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第4章 相似三角形 单元测试
一、单选题
1．两个相似三角形周长的比是2:3,则它们的面积比是( )
A．2:3 B．3:2 C．4:9 D．9:4
2．两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是（ ）
A．1：1000000 B．1：100000 C．1：2000 D．1：1000
3．四边形ABCD相似四边形A'B'C'D'，且AB:A'B'=1:2,已知BC=8，则B'C'的长是( )
A．4 B．16 C．24 D．64
4．给出4个命题：①三边对应成比例的两个三角形相似；②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；④一个角相等的两个等腰三角形相似，其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④
5．如图，△ABC中，DE∥BC，，DE=2cm，则BC边的长是（ ）
A．6cm B．4cm C．8cm D．7cm
6．在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（ ）
A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，4） C．（2，﹣1） D．（8，﹣4）
7．△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD=15，AC=30，则AB的长为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
8．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④，其中单独能够判定的个数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，中，、是边上的点，，在边上，，交，于，，则等于（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：
①；
②若点D是AB的中点，则AF=AB；
③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；
④若，则
其中正确的结论序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
11．已知，那么的值为______．
12．已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为_____．
13．如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为___米．
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），（6，2）．
若△ABC的面积为m，则△的面积（用含m的代数式表示）是________
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若，则________．
16．如图，等边△ABC的边长为3，点P为BC上一点，且BP＝1，点D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为________.
17．如图，△ABC和△ECD均为等边三角形，B、C、D三点在一直线上，AD、BE相交于点F，DF=3，AF=4，则线段FE的长为________．
18．如图1，有一张矩形纸片ABCD，已知AB=10，AD=12，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图2）；然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上（如图3），给出四个结论：
①AF的长为10；②△BGH的周长为18；③=；④GH的长为5，
其中正确的结论有________．（写出所有正确结论的番号）
三、解答题
19．已知， 求的值．
20．如图，已知中，交于点，交于点，点在边上，交于点．求证：．
21．在同一时刻，身高1.6m的小强的影长是1.2m,旗杆的影长是15m,求旗杆高．
22．如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D， ∠BAD=∠CAE， 求证：△ABC∽△ADE．
23．晚饭后，小林和小京在社区广场散步，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小林正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小京正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小林的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小京身高BE的长．（结果精确到0.01米）
24．如图，已知，，点在轴上，点在轴上，，，点．
分别求点、的坐标及的值；
在第一象限中，画出以原点为位似中心，将缩小后所得的，使与的对应边之比．
25．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
26．已知菱形的边长为5，且点，点E是线段的中点，过点A，E的抛物线与边交于点D，
(1)求点的坐标；
(2)连接，将沿着翻折痕．
①当的对应点恰好落在线段上时，求点的坐标；
②连接，，若与相似，请直接写出此时抛物线二次项系数______．
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第4章 相似三角形 单元测试
一、单选题
1．两个相似三角形周长的比是2:3,则它们的面积比是( )
A．2:3 B．3:2 C．4:9 D．9:4
【答案】C
【解答】试题分析：根据周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方,易得：面积比是4:9.故选C.
考点：相似比.
2．两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是（ ）
A．1：1000000 B．1：100000 C．1：2000 D．1：1000
【答案】B
【提示】先把2000m化为200000cm，然后根据比例尺的定义求解．
【解答】解：2000m=200000cm，
所以这幅地图的比例尺为2：200000=1：100000．
故选B．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．四边形ABCD相似四边形A'B'C'D'，且AB:A'B'=1:2,已知BC=8，则B'C'的长是( )
A．4 B．16 C．24 D．64
【答案】B
【提示】根据相似三角形对应边长比等于相似比即可解答.
【解答】已知四边形ABCD相似四边形A'B'C'D'，且AB:A'B'=1:2,已知BC=8，则B'C'的长=16.即答案选B.
【点睛】熟悉掌握相似三角形对应边长比等于相似比这一性质是解答本题的关键.
4．给出4个命题：①三边对应成比例的两个三角形相似；②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；④一个角相等的两个等腰三角形相似，其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【解答】①三边对应成比例的两个三角形相似；正确；
②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；不一定，改为：两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似；
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；正确，相当于两角对应相等，两三角形相似；
④一个角相等的两个等腰三角形相似，不一定，改为：有一个角对应相等的两个等腰三角形相似.故选A.
5．如图，△ABC中，DE∥BC，，DE=2cm，则BC边的长是（ ）
A．6cm B．4cm C．8cm D．7cm
【答案】A
【解答】试题分析：∵ =，
∴=，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∵DE=2cm，
∴BC=6cm．
故选：A．
考点：相似三角形的判定与性质．
6．在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（ ）
A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，4） C．（2，﹣1） D．（8，﹣4）
【答案】A
【提示】利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．
【解答】∵E（-4，2），位似比为1：2，
∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．
故选A．
【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．
7．△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD=15，AC=30，则AB的长为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【答案】C
【提示】作DE⊥AB，易得△ABC∽△DBE，则，设BD=x，BE=y，则，解得x=2y-15，在Rt△DBE中，BD2=DE2+BE2，即（2y-15）2=y2+152，求得y的值，即可求得AB．
【解答】如图，作DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BED=∠C=90°，
∵∠EBD=∠ABC，
∴△ABC∽△DBE，
∴，
设BD=x，BE=y，则，
30y=152+15x，
x=2y-15，
在Rt△DBE中，BD2=DE2+BE2，
即（2y-15）2=y2+152，
y（y-20）=0，
∴y=20，
AB=AE+BE=30+20=50．
故选C．
【点睛】此题考查角平分线的性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，作辅助线是关键．
8．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④，其中单独能够判定的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】由已知△ABC与△ABD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.
【解答】解：：①∵，∠A为公共角，∴；
②∵，∠A为公共角，∴；
③虽然，但∠A不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似；
④∵，∴，又∵∠A为公共角，∴．
综上，单独能够判定的个数有3个，故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
9．如图，中，、是边上的点，，在边上，，交，于，，则等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】试题解析：连接EM，
CE:CD=CM:CA=1:3
∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME,△CEM∽△CDA
∴HD:ME=BD:BE=3:5，ME:AD=CM:AC=1:3
∴AH:ME=12:5
∴HG:GM=AH:EM=12:5
设GM=5k，GH=12k，
∵BH:HM=3:2=BH:17k
故选D.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：
①；
②若点D是AB的中点，则AF=AB；
③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；
④若，则
其中正确的结论序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【解答】试题分析：∵∠ABC=90°，∠GAB=90°，AB=BC，
∴AG//BC，∴△AFG∽△CFB，∴，故①正确；
又∵∠BCD+∠EBC=∠EBC+∠ABG=90°，
∴∠BCD=∠ABG，
∵AB=BC，∴△CBD≌△BAG，
∴AG＝BD，
∵BD＝AB，∴AG：BC＝１：２，∴AF：FC＝１：２，∴AF：AC＝１：３，
∵AC＝AB，∴AF＝AB，故②正确；
当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∵∠DBC＝９０°，∴CD是直径，∴∠CFD＝９０°，
∵BF⊥CD，∴BE＝EF，∴BD＝DF，故③正确；
若，则有BD：BC＝１：３，
∵∠BEC＝∠DEB＝９０°，∠BCD=∠ABG，
∴△BDE∽△CBE，∴DE：BE＝BE：CE＝BD：BC＝１：３，
∴DE：CE＝１：９，∴S△BDF：S△BFC＝１：９，即S△ＢＣＦ＝９Ｓ△BDF，故④错误；
故选C.
考点：１.相似三角形的判定和性质；２.圆周角定理；３.三角形全等的判定与性质.
二、填空题
11．已知，那么的值为______．
【答案】
【解答】试题解析：∵，
∴
故答案为
12．已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP的长为_____．
【答案】（6﹣2）cm．
【提示】根据黄金分割点的定义和AP＜BP得出PB=AB，代入数据即可得出BP的长度．
【解答】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP＜BP，
则BP=×4=（2 -2）cm．
∴AP=4-BP=
故答案为：()cm．
【点评】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的 ．
13．如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为___米．
【答案】1.4
【提示】根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得．
【解答】由题意得,，
解得h=1.4．
故答案为1.4．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），（6，2）．
若△ABC的面积为m，则△的面积（用含m的代数式表示）是________
【答案】4m
【解答】∵△ABC与△的相似比为1:2，
∴，∴ ，
∴ ，
故答案为4m．
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若，则________．
【答案】4
【解答】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案.
解：因为E为AD中点，AD∥BC，所以，△DFE∽△BFC，
所以，，，所以，＝1，
又，所以，4．
“点睛”本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方.
16．如图，等边△ABC的边长为3，点P为BC上一点，且BP＝1，点D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为________.
【答案】
【提示】由等边三角形的性质结合条件可证明△ABP∽△PCD，由相似三角形的性质可求得CD．
【解答】∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=60°，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∵AB=BC=3，BP=1，
∴PC=2，
∴，
∴CD=．
答案为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件能找到∠BAP=∠DPC是解题的关键，注意三角形外角性质的灵活运用．
17．如图，△ABC和△ECD均为等边三角形，B、C、D三点在一直线上，AD、BE相交于点F，DF=3，AF=4，则线段FE的长为________．
【答案】1
【提示】首先证△CFF′是等边△，可得，可证FD=CF+EF=3，根据EF，FC的关系即可求得EF的值．
【解答】如图
可以认为△BCE是由△ACD逆时针转60°而得；那么CF的起始位是CF′，
∴CF=CF'，
∵∠FCF'=60°，
∴△CFF′是等边△，
∴∠BFC=∠CFD=CF'F=60°，
∴CF平分∠DFB．
∵∠CAD+∠ACF=60°，∠ACF+∠FCE=60°，
∴△ACF∽△CEF，
∴，
∵△EFC∽△DF'C，EC=CD，
∴EF=F'D
∴FD=FF'+F'D=CF+EF=3，
解得EF=1．故答案为1.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应边比值相等的性质．
18．如图1，有一张矩形纸片ABCD，已知AB=10，AD=12，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图2）；然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上（如图3），给出四个结论：
①AF的长为10；②△BGH的周长为18；③=；④GH的长为5，
其中正确的结论有________．（写出所有正确结论的番号）
【答案】①③④
【提示】过G点作MN∥AB，交AD、BC于点M、N，可知四边形ABEF为正方形，可求得AF的长，可判断①，且△BNG和△FMG为等腰三角形，设BN＝x，则可表示出GN、MG、MD，利用折叠的性质可得到CD＝DG．在Rt△MDG中，利用勾股定理可求得x，再利用△MGD∽△NHG，可求得NH、GH和HC，则可求得BH，容易判断②③④，可得出答案．
【解答】如图，过点G作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N．
∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝12，由折叠可得：AB＝BE，且∠A＝∠ABE＝∠BEF＝90°，∴四边形ABEF为正方形，∴AF＝AB＝10，故①正确；
∵MN∥AB，∴△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且MN＝AB＝10，设BN＝x，则GN＝AM＝x，MG＝MN﹣GN＝10﹣x，MD＝AD﹣AM＝12﹣x，又由折叠的可知DG＝DC＝10．在Rt△MDG中，由勾股定理可得：MD2+MG2＝GD2，即（12﹣x）2+（10﹣x）2＝102，解得：x=18（舍去），x＝4，∴GN＝BN＝4，MG＝6，MD＝8，又∠DGH＝∠C＝∠GMD＝90°，∴∠NGH+∠MGD＝∠MGD+∠MDG＝90°，∴∠NGH＝∠MDG，且∠DMG＝∠GNH，∴△MGD∽△NHG，∴，即，∴NH＝3，GH＝CH＝5，∴BH＝BC﹣HC＝12﹣5＝7，故④正确；
又∵△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且BN＝4，MG＝6，∴BG＝4，GF＝6，∴△BGH的周长＝BG+GH+BH＝45+7＝12+4，故②不正确；③正确；
综上可知正确的为①③④．
故答案为①③④．
【点睛】本题是四边形综合题，涉及知识点有矩形的性质、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质及方程思想等．过G点作AB的平行线，构造等腰直角三角形，利用方程思想在Rt△GMD中得到方程，求得BN的长度是解题的关键．本题考查了知识点较多，综合性质较强，难度较大．
三、解答题
19．已知， 求的值．
【答案】.
【提示】设比值为，然后用表示出、、，再把、、的值代入代数式进行计算即可得到答案．
【解答】设，∴，
∴
【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出、、是解题的关键．
20．如图，已知中，交于点，交于点，点在边上，交于点．求证：．
【答案】见解析
【提示】由DE∥BC，将问题分解为DF∥BM，FE∥MC，分别利用平行线分线段成比例定理，利用“中间比”过渡，得出新的比例式，再变形即可．
【解答】证明：∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．关键是利用中间比过渡，得出新的比例．
21．在同一时刻，身高1.6m的小强的影长是1.2m,旗杆的影长是15m,求旗杆高．
【答案】旗杆高20米．
【提示】利用在同一时刻身高与影长成比例计算．
【解答】根据题意可得：设旗杆高为．
根据在同一时刻身高与影长成比例可得：解得：=20．
答：旗杆高20米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度．
22．如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D， ∠BAD=∠CAE， 求证：△ABC∽△ADE．
【答案】证明见解析
【解答】试题分析：利用“两角对应相等的两三角形相似”来证：△ABC∽△ADE.
试题解析：如图，∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC．
又∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE．
23．晚饭后，小林和小京在社区广场散步，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小林正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小京正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小林的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小京身高BE的长．（结果精确到0.01米）
【答案】小京身高约为1.75米．
【解答】试题分析：先证明△CAD～△MND，利用相似三角形的性质求得MN=9.6米，再证明△EFB～△MFN，即可解答．
解：由题意得：∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=∠MDN，
∴△CAD～△MND，
∴=，
∴=，
∴MN=9.6米，
又∵∠EBF=∠MNF=90°，∠EFB=∠MFN，
∴△EFB～△MFN，
∴=，
∴=
∴EB≈1.75米．
答：小京身高约为1.75米．
考点：相似三角形的应用；中心投影．
24．如图，已知，，点在轴上，点在轴上，，，点．
分别求点、的坐标及的值；
在第一象限中，画出以原点为位似中心，将缩小后所得的，使与的对应边之比．
【答案】 ；如图所示见解析．
【提示】(1) 利用已知得出△AOB∽△BMC, 进而求出BO, AO的长即可得出m的值;
(2) 利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案.
【解答】过点作轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
则，
∴，，
则，
故；
如图所示：即为所求．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及位似变换, 得出△AOB∽△BMC是解题关键.
25．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）
【提示】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB AD．
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD．
（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，从而得到的值．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB．
∴
即AC2=AB AD．
（2）证明：∵E为AB的中点
∴CE=AB=AE
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠DAC=∠CAB
∴∠DAC=∠ECA
∴CE∥AD．
（3）解：∵CE∥AD
∴△AFD∽△CFE
∴．
∵CE=AB
∴CE=×6=3．
∵AD=4
∴
∴．
26．已知菱形的边长为5，且点，点E是线段的中点，过点A，E的抛物线与边交于点D，
(1)求点的坐标；
(2)连接，将沿着翻折痕．
①当的对应点恰好落在线段上时，求点的坐标；
②连接，，若与相似，请直接写出此时抛物线二次项系数______．
【答案】(1)
(2)①或；②
【提示】（1）由菱形的性质和A点坐标可求出再根据中点坐标公式即可求出；
（2）①求出直线的解析式为，设，由可得t的方程，则D点坐标可求出；
②由菱形和折叠的性质可知，，为等腰三角形，再根据相似三角形的性质可得出，即证明点在上，易证四边形为菱形，得出，从而得出．最后利用待定系数法即可求出a的值．
【解答】（1）∵菱形的边长为5，且点，
∴
∴，即；
（2）①设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为．
设，
由折叠性质可知，
∵，，
∴，
解得：，
∴或．
设，
同理由可得或，
解得或，
∴或；
②由折叠的性质可知和为等腰三角形，
∴，．
由菱形的性质可知为等腰三角形，
∵与相似，
∴，
∴点在上，
∴，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴平行四边形为菱形，
∴，
∴．
将，，代入，
得：，解得：．
故答案为：．
【点睛】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．
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