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4.6-4.7 相似多边形 图形的位似
一、相似多边形
相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
二、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点：
位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
3.位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时,如原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则么位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
4. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
5. 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
要点：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
一、单选题
1．下面一定相似的一组图形为（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个等边三角形 D．两个菱形．
【答案】C
【提示】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．
【解答】解：A. 两个等腰三角形不一定相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；
B.两个矩形不一定相似，因为没有指明边的情况，虽然其四个角均相等，不符合相似的条件；
C.两个等边三角形一定相似；
D.任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；
故选C．
【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．
2．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论．
【解答】解∶∵，，，，
∴，
∴B选项不符合标准，
故选∶B．
【点睛】本题考查了相似形的应用，熟练掌握相似形的判定定理是解题的关键．
3．如图，点O是四边形ABCD内一点，、、、分别是OA、OB、OC、OD上的点，且，若四边形的面积为12cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 D．54cm2
【答案】B
【提示】利用位似图形的定义得出四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为：2：3，进而得出面积比，即可得出四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵OA′：A′A＝OB′：B′B＝OC′：C′C＝OD′：D′D＝2：1，
∴OA′：OA＝OB′：OB＝OC′：COC＝OD′：DO＝2：3，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为：2：3，
∴四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的面积比为：4：9，
∵四边形A′B′C′D′的面积为12cm2，
∴四边形ABCD的面积为：27cm2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，得出两四边形的相似比是解题关键．
4．两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（ ）
A．9：4 B．9：2 C．3：1 D．3：2
【答案】D
【提示】根据相似图形的性质求解即可．
【解答】解：因为这两个六边形相似，
所以这两个六边形的周长比＝对应边之比＝3：2，
故选：D．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比，即相似多边形的周长比等于对应边的比是解题的关键．
5．对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．
甲方案：如图1所示，最大值为16；
乙方案：如图2所示，最大值为16．
下列选项中说法正确的是（ ）
A．甲方案正确，周长和的最大值错误
B．乙方案错误，周长和的最大值正确
C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确
D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误
【答案】D
【提示】根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可．
【解答】解：∵6：2=3：1，
∴三个矩形的长宽比为3：1，
甲方案：如图1所示，
3a+3b=6，
∴a+b=2，
周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；
乙方案：如图2所示，
a+b=2，
周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；
如图3所示，
矩形①的长为2，则宽为2÷3=；
则矩形②的长为6-=，宽为÷3=；
∴矩形①和矩形②的周长和为2(2+)+2(+)=；
∵16，
∴周长和的最大值为；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽是解题的关键．
6．如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0）
【答案】C
【提示】延长EB、DA交于点P，根据位似图形的对应点的连线相交于一点解答即可．
【解答】解：延长EB、DA交于点P，
则点P即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0），
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心画△OA′B′，使它与△OAB的相似比为1：4，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．（，1） B．（，﹣1）
C．（，1）或（，﹣1） D．（8，16）或（﹣8，﹣16）
【答案】C
【提示】根据位似变换的性质解答即可得．
【解答】解：∵以原点O为位似中心画△OA′B′，使它与△OAB的相似比为1：4，点A（2，4），
∴点A的对应点的坐标为（2，4）或（2×（），4×（）），即（，1）或（，﹣1），
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的概念和性质，解题的关键是掌握这些知识点．
8．如图，在平面直角坐标系中，等腰与等腰是位似图形，且斜边垂直轴，为位似中心，，，，，，五点共线，若：：，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】根据位似的性质得到，∽，则利用相似三角形的性质得到，所以，即，然后求出点坐标，最后利用线段的中点坐标公式得到点坐标．
【解答】解：，
等腰与等腰是位似图形，为位似中心，
，∽，
∽，
，
，
，
，
轴，，，，，五点共线，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了位似变换，解决本题的关键是掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
9．如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是( )
A． B．
C． D．直线经过点
【答案】B
【提示】根据位似变换的概念和性质判断即可．
【解答】解：∵以点为位似中心，把放大2倍得到，
∴，，直线经过点，，
∴，
∴A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似三角形的性质是解题的关键．
10．如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据每次变换后，正方形的边长放大3倍，可得出作2005次变换后的正方形的边长为 ，从而计算面积即可.
【解答】因为ABCD的面积为1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次变换后正方形的边长为3=3，二次变换后正方形的边长为：9=，三次变换后正方形的边长为：27=，…n次变换后正方形的边长为：，故作2005次变换后的正方形的边长为，
此时正方形的面积为：，
故选C.
【点睛】本题考查了位似变换的知识，根据每次变换后边长放大3倍，得出2005次变换后正方形的边长是解题关键.
二、填空题
11．已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，AB＝2，则A'B'＝_____．
【答案】2
【提示】利用相似多边形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，
∴，
∵AB＝2，
∴A′B′＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型．
12．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是 _________
【答案】②③⑤
【提示】根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质、圆的性质逐一进行判断即可．
【解答】①所有的等腰三角形都相似，错误，如等腰锐角三角形与等腰直角三角形不相似；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误；
⑤所有的圆都相似，正确，
故答案为：②③⑤．
【点睛】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．
13．如图所示的两个五边形相似，则_____，______，_______，______．
【答案】 3 4.5 4 6
【提示】根据相似多边形的性质，得到比例式，计算即可．
【解答】解：∵两个五边形相似，
∴，，，，
解得，a＝3，b＝4.5，c＝4，d＝6．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：对应角相等；对应边成比例是解题的关键．
14．在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到△，则点A的对应点的坐标为 __．
【答案】（﹣2，1）或（2，﹣1）．
【提示】根据位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△ ，A（﹣4，2），
∴点A的对应点的坐标为A（﹣4×，2×）或A（﹣4×（﹣），2×（﹣）），即（﹣2，1）或（2，﹣1），
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
【点睛】本题考查位似，涉及分类讨论思想，解题的关键在于理解位似图形的性质．
15．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知B（﹣4，0），D（2，0），C（3，﹣2），则点A的坐标为 _____．
【答案】（﹣6，4）
【提示】根据点B、D的坐标求出位似比，根据位似变换的性质详解即可．
【解答】解：∵B（﹣4，0），D（2，0），
∴OB＝4，OD＝2，
∴△OAB与△OCD的位似比为2：1，
∵点C的坐标为（3，﹣2），
∴点A的坐标为（3×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即点A的坐标为（﹣6，4），
故答案为：（﹣6，4）．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，根据题意求出位似比是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 ________．
【答案】（3，2）
【提示】先利用位似的性质得到，然后利用比例性质求出BC和OB即可得到C点坐标．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
而BE=EF=6，
∴，
∴BC=2，OB=3，
∴C（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
17．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为___________．
【答案】
【提示】根据正方形ABCD的面积为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出；
【解答】解：正方形ABCD的面积为4，
，
，
，
，
所求周长；
故答案为：．
【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD的边长．
18．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为_______．
【答案】
【提示】已知正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，A1B1⊥x轴，A2 B2⊥x轴，可先证明△OA1B1∽△OA2B2，求出正方形A1 B1C1A2的边长1= 20，正方形A2 B2C2 A3的边长为21=2；同理可证明△OA2B2∽△OA3B3，求出正方形A3B3C3A4的边长为4=22......由此可归纳出规律：正方形AnBnCn Dn+1的边长为2n－1．在正方形A2021B2021C2021A2022中，n =2021，将n的值代入2n－1即可求出该正方形的边长，根据正方形面积公式，即可求出该正方形的面积．
【解答】解：∵正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
∵A1B1⊥x轴，A2 B2⊥x轴，
∴，
∴△OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴正方形A1 B1C1A2的边长1= 20，
∵△OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∴，
∴正方形A2 B2C2 A3的边长为21=2；
同理可证△OA2B2∽△OA3B3，
∴，
∵四边形A2 B2C2 A3是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形A3B3C3A4的边长为4=22，
综上，可归纳出规律：正方形AnBnCn Dn+1的边长为2n－1．
∴正方形A2021B2021C2021A2022的边长为：，
∴正方形A2021B2021C2021A2022的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了位似变换、相似三角形的判定与性质、正方形的性质和面积以及图形类找规律，正确找出规律是解题的关键．
三、解答题
19．已知四边形ABCD与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点对应．
(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度数；
(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四边形ABCD的周长．
【答案】(1)120°
(2)42
【提示】（1）根据相似多边形的对应角相等解决问题即可．
（2）根据相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴∠C＝∠C1＝90°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．
（2）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BC＝12，AD＝6，
∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝9＋12＋15＋6＝42．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
20．如图，四边形ABCD∽四边形．
(1)∠B＝ °．
(2)求边x，y的长度．
【答案】(1)
(2)，
【提示】（1）直接利用相似多边形的性质，对应角相等，结合四边形内角和进行求解，即可得到答案；
（2）直接利用相似多边形的性质，对应边成比例即可得到答案．
（1）
解：四边形四边形，
，
，
故答案为：；
（2）
解：四边形四边形，
，
解得，．
【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是正确得出对应边关系进行求解．
21．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连结BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB＝6，且四边形ABCD与CEFD相似，求BC长．
【答案】（1）见解析；（2）
【提示】（1）证明四边形ABEF是菱形即可；
（2）根据相似列出比例式求解即可．
【解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD.
∴∠FAE＝∠AEB.
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE＝∠BAE.
∴∠BAE＝∠AEB.
∴AB＝EB.
∴四边形ABEF是菱形．
∴BF平分∠ABC；
(2)∵四边形ABEF为菱形，
∴BE＝EF＝AB＝6.
∵四边形ABCD与CEFD相似，
∴＝，即＝.
解得,BC＝3±3．
∵BC＞0，
∴BC＝
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，相似多边形的性质，解题关键是熟练运用相关定理和性质进行推理证明与计算．
22．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC和格点0.
(1)以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到ΔA1B1C1，在网格中画出ΔA1B1C1；
(2)将△ABC绕点0逆时针旋转90°得ΔA2B2C2，画出ΔA2B2C2；
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【提示】（1）利用相似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（1）
解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）
解：如图，△A2B2C2即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，相似变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，相似变换的性质，属于中考常考题型．
23．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【提示】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1．
（2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可．
（1）
如图，为所作．
（2）
如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．
【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．
24．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1；
(2)以点M(1，2)为位似中心，作出△A1B1C1按2：1放大后的位似图形△A2B2C2；
(3)填空：点A2的坐标 ；△ABC与△A2B2C2的周长比是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)点A2的坐标(3，6)，周长比是1：2
【提示】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用位似变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；
（3）根据点的位置写出坐标即可，利用轴对称变换，位似变换的性质求出周长比．
【解答】（1）如图，△A1B1C1即为所作；
（2）如图，△A2B2C2即为所作；
（3）如图，点A2的坐标(3，6)，周长比是1：2．
故答案为：(3，6)；1：2．
【点睛】本题考查作图 轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是作为轴对称变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．
25．如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
(1)求证：△ADP∽△BCP；
(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形；
(3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
【答案】(1)见解析；
(2)不是位似图形；
(3)6
【提示】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
（2）根据位似图形的定义判断，即可；
（3）根据△ADP∽△BCP，得到，再证明△APB∽△DPC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
（1）
证明：∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，
∴ △ADP∽△BCP．
（2）
解：△ADP与△BCP不是位似图形．
理由是：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．△ADP与△BCP的对应点的连线交于一个点，
∴ △ADP与△BCP不是位似图形．
（3）
解：∵△ADP∽△BCP，
∴，
∵∠APB＝∠DPC，
∴△APB∽△DPC，
∴，
∴，
解得AP＝6．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线M1：顶点为A（1，2），与y轴交于点，点B关于对称轴对称的点为C．
(1)求抛物线M1的表达式和点C的坐标．
(2)以坐标原点为位似中心，在第一象限内作△ABC的位似△A′B′C′，其中点A、B、C的对应点分别是A′、B′、C′，△ABC与A′B′C′的位似比为1：2，过A′、B′、C′三点的抛物线记作M2，点D在抛物线M2上，E是坐标平面内一点，若以A′、B′、D、E为顶点的四边形是矩形，且A′B′是矩形的一条边，求点D坐标．
【答案】(1)；
(2)或
【提示】（1）根据题意代入点，点即可求得二次函数解析式，关于直线对称的点的特征即可求得点C的坐标．
（2）由位似的性质求出A′，B'，C'，再由待定系数法求出抛物线：，设，，分两种情况讨论：①当A′D为矩形的对角线时，A′D=B′E，可得；②当A′E为矩形对角线时，A′E=B′D，可得或，即可得出答案．
（1）
解：把，点代入得，
解得，
抛物线M1的表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
点B关于对称轴对称的点为C，
点的坐标为．
（2）
∵△ABC与△A′B′C′的位似比为，
∴A'，B′，C′，
设过A′、B'、C′三点的抛物线记作解析式为，
，
解得，
，
设，，
①当A′D为直角边时，
则kA′B′kA′D，
∵kA′B′=6 40 2= 1，
∴kA′D，
此时，直线A′D的解析式为，
联立方程组，
解得或（舍去），
，
②当B′D为一条直角边时，
此时，kA′B′kB′D，
kA′B′，
∴kB'D=1，
直线B'D的解析式为，
联立方程组，解得或（舍去），
，
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质和分类讨论思想是解题的关键．
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、
4.6-4.7 相似多边形 图形的位似
一、相似多边形
相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
要点：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
二、位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点：
位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
3.位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时,如原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则么位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
4. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
5. 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
要点：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
一、单选题
1．下面一定相似的一组图形为（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个等边三角形 D．两个菱形．
2．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，点O是四边形ABCD内一点，、、、分别是OA、OB、OC、OD上的点，且，若四边形的面积为12cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 D．54cm2
4．两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（ ）
A．9：4 B．9：2 C．3：1 D．3：2
5．对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．
甲方案：如图1所示，最大值为16；
乙方案：如图2所示，最大值为16．
下列选项中说法正确的是（ ）
A．甲方案正确，周长和的最大值错误
B．乙方案错误，周长和的最大值正确
C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确
D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误
6．如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0）
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心画△OA′B′，使它与△OAB的相似比为1：4，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．（，1） B．（，﹣1）
C．（，1）或（，﹣1） D．（8，16）或（﹣8，﹣16）
8．如图，在平面直角坐标系中，等腰与等腰是位似图形，且斜边垂直轴，为位似中心，，，，，，五点共线，若：：，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是( )
A． B．
C． D．直线经过点
10．如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，AB＝2，则A'B'＝_____．
12．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是 _________
13．如图所示的两个五边形相似，则_____，______，_______，______．
14．在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到△，则点A的对应点的坐标为 __．
15．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知B（﹣4，0），D（2，0），C（3，﹣2），则点A的坐标为 _____．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 ________．
17．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为___________．
18．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为_______．
三、解答题
19．已知四边形ABCD与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点对应．
(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度数；
(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四边形ABCD的周长．
20．如图，四边形ABCD∽四边形．
(1)∠B＝ °．
(2)求边x，y的长度．
21．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连结BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB＝6，且四边形ABCD与CEFD相似，求BC长．
22．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC和格点0.
(1)以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到ΔA1B1C1，在网格中画出ΔA1B1C1；
(2)将△ABC绕点0逆时针旋转90°得ΔA2B2C2，画出ΔA2B2C2；
23．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．
24．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1；
(2)以点M(1，2)为位似中心，作出△A1B1C1按2：1放大后的位似图形△A2B2C2；
(3)填空：点A2的坐标 ；△ABC与△A2B2C2的周长比是 ．
25．如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
(1)求证：△ADP∽△BCP；
(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形；
(3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线M1：顶点为A（1，2），与y轴交于点，点B关于对称轴对称的点为C．
(1)求抛物线M1的表达式和点C的坐标．
(2)以坐标原点为位似中心，在第一象限内作△ABC的位似△A′B′C′，其中点A、B、C的对应点分别是A′、B′、C′，△ABC与A′B′C′的位似比为1：2，过A′、B′、C′三点的抛物线记作M2，点D在抛物线M2上，E是坐标平面内一点，若以A′、B′、D、E为顶点的四边形是矩形，且A′B′是矩形的一条边，求点D坐标．
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