初中数学浙教版九年级上册 专题训练：圆动点问题（含答案）

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专题训练：圆动点问题
一、单选题
1．如图，在矩形中，，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（　　）
A．8 B． C．10 D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=12，点D为线段BC上一动点.以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，正比例函数y＝2x与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的⊙C上运动，点Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．
5．已知的直径，与的弦垂直，垂足为，且，则直径上的点（包含端点）与点的距离为整数的点有（　　）
A．1个 B．3个 C．6个 D．7个
6．如图，在中，，点O是的三等分点，半圆O与相切，M，N分别是与半圆弧上的动点，则的最小值和最大值之和是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
7．如图，点A的坐标是（ 2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P. 当点C在⊙ B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值是（）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形 的边 、 上的动点，且 ，过原点O作 ，垂足为H，连接 、 ，则 面积的最大值为（）
A． B．12 C． D．
9．如图， 是 的直径， ， 是半径 上的一动点， 交 于点 ，在半径 上取点 ，使得 ， 交 于点 ，点 位于 两侧，连结 交 于点 .点 从点 出发沿 向终点 运动，在整个运动过程中， 与 的面积和的变化情况是（　　）
A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
10．在平行四边形中，，，，点E是边上的动点，过点B作直线的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（　　）
A． B． C． D．2
二、填空题
11．如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，点为线段的中点，连接，当取最大值时，点的纵坐标为　 　．
12．如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的动点，且，点为的中点，点为上的一动点，则的最小值为　 　．
13．如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是线段AO上的一个动点，连接BC，于点D，以OD为一边，作正方形ODEF，其中点E与点B在直线OD两侧，当点C从点A运动到点O过程中，点E经过的路径长为　 　．
15．如图，在中，，将绕点顺时针旋转90°得到，为线段上的动点，以为圆心、为半径作⊙，当⊙与的边相切时，⊙的半径的长为　 　．
16．如图，、，以为直径作，射线交于、两点，为弧的中点，为的中点．当射线绕点旋转时，的最小值为　 　．
17．如图，直线l与圆O相交于A、B两点，AC是圆O的弦，OC∥AB，半径OC的长为10，弦AB的长为12，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿射线AB方向运动．当△APC是直角三角形时，动点P运动的时间t为 　 　秒．
18．图，在⊙O中，AC，BD是直径，∠BOC=60°，点P是劣弧AB上任意一点（不与A、B重合），过点P作AC垂线，交AC、BD所在直线于点E，F，过点P作BD垂线，交BD、AC所在直线于点G、H，下列选项中，正确的是　 　．
①；②∠GPE＝60°；③PG+PE最大值为；④当△PEH≌△CBA时，．
19．如图，在直角坐标系中，的圆心A的坐标为（1，0），半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是　 　．
20．如图，在矩形中，，，点E、F分别是边、上的动点，且，点G是的中点，、，则四边形面积的最小值为　 　．
三、解答题
21．如图，在直角坐标系中，直线 与 轴交于 点，与 轴交于 点，以 为直径作圆 ，过 作圆 的切线交 轴于点 ．
（1）求 点的坐标；
（2）设点 为 延长线上一点， ， 为线段 上的一个动点（异于 ， ），过 点作 轴的平行线交 于 ，交 的延长线于 ，试判断 的值是否为定值，如果是，则求出这个值；如果不是，请说明理由．
22．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0， ）．点O（0，0）．△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'、B'，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图1，若α＝30°，求点B'的坐标；
（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中的条件下，若0°＜α＜360°，点C（﹣2，0）．求线段CP长度的取值范围．（直接写出结果即可）
23．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（﹣3，0）．过点B的直线绕点B逆时针方向旋转，过程中与y轴交于点C．过点A作AD⊥BC于点D，求在点C坐标由（0， ）到（0，3 ）的过程中点D运动的路径长．
24．对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设 ，则称点A（或点B）是⊙C的“K相关依附点”，特别地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ， （或 ）．
已知在平面直角坐标系xOy中，Q(-1，0)，C(1，0)，⊙C的半径为r．
（1）如图1，当 时，
①若A1(0，1)是⊙C的“k相关依附点”，求k的值．
②A2(1+ ，0)是否为⊙C的“2相关依附点”．
（2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M，
①当r=1，直线QM与⊙C相切时，求k的值．
②当 时，求r的取值范围．
（3）若存在r的值使得直线 与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“ 相关依附点”，直接写出b的取值范围．
四、综合题
25．在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
（1）如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．
①在图中画出点；
②连接交线段于点求证：
（2）的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）
26．如图，四边形ABCD中， ，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3， ，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°， ．
（1）求证：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且 ．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．
27．在△ ABC中，∠BAC=90° ，AB=AC= ，D为 BC的中点，E，F分别为AC， AD 上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转 90°得到线段EG，连接FG， AG．
（1）如图1，点 E 与点 C 重合，且 GF 的延长线过点 B ，若点 P 为 FG 的中点，连接 PD，求 PD的长；
（2）如图 2，EF 的延长线交 AB 于点M，点N在 AC上， ∠AGN=∠AEG 且GN=MF，求证：AM+AF= AE
（3）如图3，F为线段 AD上一动点，E为 AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接 EH，将△ BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△ B'EH'，连接 B'G，直接写出线段 B'G的长度的最小值
28．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于和直线给出如下定义：若的一条边关于直线的对称线段是的弦，则称是的关于直线的“关联三角形”，直线是“关联轴”．
（1）如图1，若是的关于直线的“关联三角形”，请画出与的“关联轴”（至少画两条）；
（2）若中，点坐标为，点坐标为，点在直线的图像上，存在“关联轴”使是的关联三角形，求点横坐标的取值范围；
（3）已知，将点向上平移2个单位得到点，以为圆心为半径画圆，，为上的两点，且（点在点右侧），若与的关联轴至少有两条，直接写出的最小值和最大值，以及最大时的长．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】B
10．【答案】B
11．【答案】
12．【答案】8
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】或
16．【答案】
17．【答案】16或20
18．【答案】①②④
19．【答案】
20．【答案】38
21．【答案】（1）∵BC是圆的切线，
∴BC⊥AB，
∵直线AB的解析式为，
∴直线BC的解析式为y=2x+4，令y=0，
∴2x+4=0，∴x=-2，
∴C（-2,0）；
（2）PM+PN的值是定值，定值为20。将x=0代入直线，得到y=4，
∴B（4,0），再将y=0代入直线，得到x=8，
∴A（8,0），由（1）可知：C（-2,0），∵CDBC，
∴D(-4,-4)，∵A（8,0），
∴直线AD的解析式为，
∵点P再线段BC上，设P（m，2m+4）（-2∵PM//x轴，
∴M（-4m，2m+4），N（6m+20,2m+4），
∴PM+PN=-4m-m+（6m+20-m）=20，即：PM+PN的值是定值，定值为20.
22．【答案】解：（Ⅰ）如图1，设A'B'与x轴交于点H，
∵OA＝2，OB＝2 ，∠AOB＝90°，
∴AB=4，
∴∠ABO＝∠B'＝30°，
∵∠BOB'＝α＝30°，
∴BO∥A'B'，
∵OB'＝OB＝2 ，
∴OH＝ OB'＝ ，B'H＝ ＝3，
∴点B'的坐标为（ ，3）；
（Ⅱ）∵∠BOB'＝∠AOA'＝α，OB＝OB'，OA＝OA'，
∴∠OBB'＝∠OA'A＝ （180°﹣α），
∵∠BOA'＝90°+α，四边形OBPA'的内角和为360°，
∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°，
∴AA'⊥BB'；
（Ⅲ）如图，作AB的中点M（1， ），连接MP，
∵∠APB＝90°，
∴点P的轨迹为以点M为圆心，以MP＝ AB＝2为半径的圆，
∵C（﹣2，0），M（1， ），
∴CM＝ ，
∴当点P在CM延长线上时，线段CP长度最大，最大值为2 +2；
当点P在CM上时，线段CP长度最小，最小值为2 -2；
线段CP长度的取值范围：2 -2≤CP≤2 +2．
23．【答案】解：∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（﹣3，0），
∴OA＝OB＝3，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴点D在以O为圆心，OA为半径的圆上，
如图，当点C'（0， ）时，连接BC'交⊙O于点D'，
∵tan∠D'BO＝ ＝ ，
∴∠D'BO＝30°，
∵BO＝D'O，
∴∠BOD'＝120°，
∵tan∠CBO＝ ，
∴∠CBO＝60°，
∵BO＝DO，
∴∠BOD＝60°，
∴∠DOD'＝60°，
∵点C坐标由（0， ）到（0，3 ），
∴点D的运动的路径长＝ ．
24．【答案】（1）①如图1中，连接 、 ．
由题意： ， △ 是直角三角形， ，即 ， 是 的切线， ．
② 在 上， ， 是 的“2相关依附点”．
故答案为： ，是；
（2）①如图2，当 时，不妨设直线 与 相切的切点 在 轴上方（切点 在 轴下方时同理），连接 ，则 ．
， ， ， ， ， ，此时 ；
②如图3中，若直线 与 不相切，设直线 与 的另一个交点为 （不妨设 ，点 ， 在 轴下方时同理），作 于点 ，则 ， ， ， ， 当 时， ，此时 ，假设 经过点 ，此时 ， 点 早 外， 的取值范围是 ．
（3）如图4中，由（2）可知：当 时， ．
当 时， 经过点 或 ，当直线 经过点 时， ，当直线 经过点 时， ， 满足条件的 的取值范围为 ．
25．【答案】（1）解：①点Q如下图所示．
∵点，
∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点，在坐标系内找出该点即可；
②证明：如图延长ON至点，连接AQ，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：长的最大值与最小值的差为．
26．【答案】（1）证明：∵ ，
∴
则在四边形 中
故四边形 为矩形
，
在 中，
∴ ，
∵
∴ ；
（2）解：①过点Q作 于S
由（1）得：
在 中，
∴
平移扫过面积：
旋转扫过面积：
故边PQ扫过的面积：
②运动分两个阶段：平移和旋转
平移阶段：
旋转阶段：
由线段长度得：
取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作 于T
设 ，则
在 中：
设 ，则 ， ，
， ，
∵DM为直径
∴
在 中 ：
在 中：
在 中：
∴ ，
PQ转过的角度：
s
总时间：
③
27．【答案】（1）解：如图，连接CP，
∵∠ABC=90°，AB=AC=2，
∴BC=4，
∵点P为FG的中点，线段EF绕点E顺时针旋转 90°得到线段EG，
∴△FEG为等腰直角三角形，EP⊥FG，
∵D为BC的中点，
∴PD=BC=×4=2；
（2）证明：如图，过点E作EH⊥AD的延长线于点H，
∴∠FEG=∠HEF=90°，
∴∠HEF+∠FEN=∠FEN+∠AEG，
∴∠HEF=∠AEG，
∵D为BC中点，∠ABC=90°，AB=AC=2，
∴∠HAE=∠H=45°，
∴AE=HE，
又∵FE=GE，
∴△FEH≌△GEA（SAS），
∴HF=AG，∠H=∠GAE，
∵HE∥BA，∠AGN=∠AEG
∴∠H=∠MAF=∠GAN，∠HEF=∠AMF=∠AEG=∠AGN，
又∵GN=MF，
∴△ANG≌△AFM（AAS），
∴AM=AG，
∴AM=HF，
∴AM+AF=HF+AF=AH=AE，
即AM+AF=AE；
（3）解： -
28．【答案】（1）解：如图1，作BM⊥x轴，垂足为M，根据题意AB=AE=EF=BF=，且∠EFO=∠BFM=45°，
∴∠EFB=90°，
∴四边形ABFE是正方形，
∴边AE，BF的中点所在直线就是与的一条“关联轴”；
∵的半径为1，
∴EH=GH=FG=EF==，且∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵∠EFG+∠EFB=180°，
∴B、F、G三点共线，
∴直线EF是与的一条“关联轴”．
（2）解：如图2，根据A（2，3），B（4，1），C（4，1），计算AB=，故AB不能落在圆的内部；
过点A作AN⊥y轴，垂足为N，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，
此时；
作点B关于x轴的对称点P，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，此时，综上所述，点C横坐标的范围是．
（3）解：OC的最小值为；OC最大，根据勾股定理，AC=4.
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