初中数学浙教版九年级下册 专题训练：解直角三角形（含答案）

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专题训练：解直角三角形
一、单选题(共10题；共30分)
1．如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点，则PK+QK的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．1
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则 BC 的长是（　　）
A． B．4 C．8 D．4
4．如图，在中，，垂足为D，E为边的中点，，则（　　）
A． B． C． D．
5．如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（　　）
A． B． C． D．
6．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点Ｉ．记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，若DＩ＝2，CＩ＝1，Ｓ2＝5Ｓ1，则GＩ的值是（　　）
A． B． C． D．
7．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，线段AB与CD相交于点E，∠AED=45°，DE+AE=9，以AE和CE为边作AGCE，以DE和BE为边作EBFD，且AGCE和EBFD的面积都为3，若1A．9．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　）
A． B． C．3 D．2
10．如图，已知正六边形内接于半径为的，随机地往内投一粒米，落在正六边形内的概率为（　　）
A． B．
C． D．以上答案都不对
二、填空题(共6题；共24分)
11．如图，已知边长为1cm的菱形AFEO，∠AFE＝120°，过点O作两条夹角为60°的射线，分别交边AF，边FE于点M，N，连接MN．则下列命题：
①②MN的长度为定值 ③的形状为等边三角形 ④的最小值为3，正确的选项有　 　（填序号）
12．如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为　 　．
13．如图，矩形ABCD中，BC＝10，∠BAC＝30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值　 　．
14．如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．连接，若，，则的长是　 　．
15．在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为　 　．
16．如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 　 　．
三、解答题(共10题；共46分)
17．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3．求AC的长和sinA的值．
18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=
。求BC的长及∠A的正切值．
19．共享单车为大众出行提供了方便，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）（参考数据： ， ， ， ）
20．如图，在Rt中，∠ACB＝90°，CD、CH分别是AB边上的中线和高，，，求AB、CH的长．
21．如图，在△ABC中，∠C = 90°，，D为AC上一点，∠BDC = 45°，CD=6．求AD的长．
22．如图，在中，，，，求BC的长．
23．如图，中，，D是的中点，交AC于点E，．求的正切值．
24．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，求四边形ABCD的面积．
25．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长度（结果保留小数点后一位，）.
26．如图1是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，如图2是该空调挂机的侧面示意图.已知空调挂机底部垂直于墙面，床紧靠墙面放置，当导风板所在的直线与竖直直线的夹角时，空调风刚好吹到床的外边沿E处，于点D，于点F.若，，床铺，求空调挂机的底部位置距离床的高度.（参考数据：，，）
图1 图2
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：过点A作于点C，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
故答案为：A．
【分析】过点A作于点C，再利用解直角三角形的方法可得。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交于点K，
∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠A=120°，
∴AD=2，∠ADC=60°，
过A作AE⊥CD于E，则AE=P′Q，
∵AE=AD cos60°=2× = ，
∴点P′到CD的距离为 ，
∴PK+QK的最小值为 ．
故答案为：B.
【分析】 根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，过A作AE⊥CD于E，求出AE的长，即可得出PK+QK的最小值.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，cosB=
则BC = ABcosB = 8cos30°=8=.
故答案为：B.
【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=BE=EC=，
∴BC=2，
∵，
∴ ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵，
∴，
∴，
∴∠ACD=∠B=30°，
故答案为：B．
【分析】先求出BC=2，再求出，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，再求解即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：过点I作IM⊥HC于点M，
∵正方形EFGH，
∴∠HGE=∠IGM=45°，
∴IM=GM，
∵DＩ＝2，CＩ＝1，
∴CD=DI+CI=2+1=3
∵ 记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ1，大正方形ABCD的面积为Ｓ2，Ｓ2＝5Ｓ1，
∴5Ｓ1=9
解之：
∴HG=
∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，
∴DH=CG，
设DH=CG=x，则HC=+x，
在Rt△DHC中
DH2+CH2=DC2即
解之：（取正值），
∴
设IM=GM=a，
在Rt△CMI中，IM2+CM2=CI2
∴
解之：
在等腰直角△IGM中
.
故答案为：A.
【分析】过点I作IM⊥HC于点M，利用正方形的性质可证得∠HGE=∠IGM=45°，可推出IM=GM，同时可求出CD的长；利用已知条件求出HG的长；利用大正方形中的四个直角三角形全等，可证得HD=CG，设DH=CG=x，可表示出CH的长；再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CG的长；设IM=GM=a，在Rt△CMI中，利用勾股定理可得到关于a的方程，解方程求出a的值，然后利用解直角三角形求出GI的长.
7．【答案】D
【解析】【解答】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用正弦的定义求解即可。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：设AE=a，则DE=9-a，
∴平行四边形AGCE的高为：AE·sin∠AED=a·sin45°=a，
∵AGCE和EBFD的面积都为3，
∴a·CE=，
解之：CE=；
∵ 1∴1<<3，
∵a＞0
∴2＜a＜6；
∴-6＜-a＜-2
∴9-6＜9-a＜-2+9即3＜9-a＜7，
∵DE边上的高为DF·sin∠D=DF·sin45°=DF，
∴DE·DF=即（9-a）DF=
解之：即
∴
解之：.
故答案为：B.
【分析】设AE=a，则DE=9-a，利用解直角三角形，可表示出平行四边形AGCE的高，再利用平行四边形的面积公式可求出CE的长，再根据CE的取值范围，可得到3＜9-a＜7；再利用解直角三角形表示出平行四边形EBFD的边DE上的高，再利用平行四边形的面积公式可表示出9-a的长，代入3＜9-a＜7，可得到关于DF的不等式组，求出不等式组的解集.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过作于
由，
结合旋转：
为等边三角形，
∴A到的距离为3．
故答案为：C
【分析】过作于根据勾股定理可得根据旋转的性质可得为等边三角形，则A到的距离为3。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：如图：连接OB，过点O作OH⊥AB于点H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=r，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=r，∠OAB=60°，
在中，，
∴，
∴正六边形的面积，
∵⊙O的面积=πr2，
∴米粒落在正六边形内的概率为：，
故答案为：A.
【分析】连接OB，过点O作OH⊥AB于点H，利用正六边形的性质可求出中心角∠AOB的度数，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△OAB是等边三角形，利用解直角三角形求出OH的长；利用三角形的面积公式求出△AOB的面积，即可求出正六边形ABCDEF的面积，同时求出圆O的面积；然后利用概率公式求出随机地往内投一粒米，落在正六边形内的概率.
11．【答案】①③④
【解析】【解答】解：连接OF，过点F作FH⊥AD于点H，
∵菱形AFEO，
∴OA=OF，OA∥OF，∠OFN=∠AOF=∠AFE=60°，
∴∠A+∠AFE=180°，∠AOF=∠MON，
∴∠A=180°-120°=60°=∠OFN，∠AOM=∠FON，
∴△AFO是等边三角形，
∴OF=OA，
在△AOM和△FON中
∴△AOM≌△FON（ASA）
∴OM=ON，
∴△OMN是等边三角形，故③正确；②不正确；
∴S△AOM=S△FON，
∴S四边形ONFM=S△FON+S△MOF=S△AOM+S△MOF=S△AOF，
∴AH=，FH=AHtan∠A=tan60°=
∴S四边形ONFM=S△AOF，故①正确；
当OM⊥AF时，OM最小，
∴OM边上的高为，
∴△OMN的面积的最小值为，
∴△FMN的面积为
∴
∴的最小值为3，故④正确；
∴正确结论有①③④.
故答案为：①③④
【分析】连接OF，过点F作FH⊥AD于点H，利用菱形的性质可证得OA=OF，OA∥OF，利用平行线的性质可求出∠A的度数，由此可证得∠A=∠OFN，∠AOM=∠FON，同时可推出△AFO是等边三角形，可得到OF=OA；利用ASA证明△AOM≌△FON，利用全等三角形的对应边相等，可证得OM=ON，可得到△OMN是等边三角形，可对②③作出判断；再证明S△AOM=S△FON，可推出S四边形ONFM=S△AOF，利用直角三角形的性质和解直角三角形求出FH的长，利用三角形的面积公式可求出四边形ONFM的面积，可对①作出判断；利用垂线段最短，可知当OM⊥AF时，OM最小，利用解直角三角形求出OM边上的高，利用三角形的面积公式求出△OMN的面积，再求出△FMN的面积，即可求出的最小值.
12．【答案】
【解析】【解答】解：连接BD，过点F作FH⊥CD于点H，
∴∠FHD＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴，∠A＝∠ADC＝90°，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵∠BAG＝∠DEG＝90°，∠AGB＝∠DGE，
∴△BAG∽△DEG，
∴，∠ABG＝∠EDG，
∴，
∴，
∴，
∵∠ADH＝∠FHD＝90°，
∴AD∥FH，
∴∠EDG＝∠DFH，
∴∠ABG＝∠DFH，
∵，∠A＝∠FHD＝90°，
在△BAG和△FHDz中
∴△BAG≌△FHD（AAS），
∴AB＝FH，
∵AB＝BC，
∴FH＝BC，
∵∠C＝∠FHM＝90°，
∴FH∥CB，
∴，
∴FM＝BM，
∵，
∴，
∵在Rt△BEF中，BM＝MF，
∴，
∵BO＝OD，BM＝MF，
∴OM是△BDF的中位线，
∴，
∵OE＝BD＝×6＝3，
∴△OEM的周长＝.
故答案为：.
【分析】连接BD，过点F作FH⊥CD于点H，可证得∠FHD=90°，利用正方形的性质可求出AD的长，同时可证得∠A＝∠ADC＝90°，利用解直角三角形求出AG的长，即可求出DG的长，利用勾股定理求出BG的长；再证明△BAG∽△DEG，利用相似三角形的对应边成比例可求出DE，EG的长，由此可求出BE的长；利用平行线的判定和性质去证明∠ABG＝∠DFH，同时可得到DF的长；利用AAS证明△BAG≌△FHD，利用全等三角形的性质可证得AB=FH，即可得到FH=BC，利用平行线分线段成比例定理可证得FM=BM，可求出EF的长；利用直角三角形的性质和三角形中位线定理可求出EM，OM，OE的长；然后求出△OEM的周长.
13．【答案】15
【解析】【解答】解：作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB，交AC于点M，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴∠ACB=90°-30°=60°，
∴；
∵点B与点B′关于AC对称，
∴AB＝AB′，∠BAC＝∠B′AC＝30°，
∴∠BAB′＝60°，
∴△BAB′是等边三角形；
∵B′N⊥AB，
∴
∵点B与点B′关于AC对称，
∴BM＝B′M，
∴BM＋MN＝B′M＋MN＝B′N＝15 .
故答案为：15.
【分析】作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB，交AC于点M，利用矩形的性质和解直角三角形可求出AB的长；再利用轴对称的性质去证明△BAB′是等边三角形；利用解直角三角形求出B′N的长，由点B与点B′关于AC对称，可得到BM＝B′M，由此可推出BM＋MN＝B′N，即可求解.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如下图所示，设交BM于点O，连接AO，
∵点E是中点，
∴在和 中，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出四边形是平行四边形，再求出，最后求解即可。
15．【答案】或9或3
【解析】【解答】解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°，
∴，
∴，
当点P在线段AB上时，如图，
∵，
∴∠BPC=90°，即PC⊥AB，
∴；
当点P在AB的延长线上时，
∵，∠PBC=∠PCB+∠CPB，
∴∠CPB=30°，
∴∠CPB=∠PCB，
∴PB=BC=3，
∴AP=AB+PB=9；
当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图，
∴，
∵，
∴∠APC=60°，
∴∠ACP=60°，
∴∠APC=∠PAC=∠ACP，
∴△APC为等边三角形，
∴PA=AC=3．
综上所述，的长为或9或3．
故答案为：或9或3
【分析】分类讨论，结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
16．【答案】
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），
∴x＝4时，y＝0，
∴BC＝4，
作FH⊥BC于H，当BD＝2时， BDEF的面积为3，
∵3＝2FH，
∴FH＝，
∵∠ABC＝60°，
∴BF＝＝，
∵DE∥AB，
∴AB＝2BF＝，
故答案为：．
【分析】根据抛物线的对称性可知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时， BDEF的面积为3，则此时BF＝＝，AB＝2BF＝，即可得解。
17．【答案】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC==4，
sinA=.
【解析】【分析】先由勾股定理求出AC的长，再根据正弦的定义，角的对边比上邻边，代入数据即可求解.
18．【答案】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，sinB= ，
∴AC=AB．sinB=6，
∴BC= =8，
∴tanA=
【解析】【分析】结合正弦的定义，利用∠B的正弦值求出AC的长，然后利用勾股定理求出BC，结合正切的定义即可求解.
19．【答案】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm，
当CN=90cm时，CM=60cm，
∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°，
∴sin∠ABE=sin70°= ，
∴BC≈64cm，
∴CE=BC-BE=64-40=24cm.
【解析】【分析】 过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm，在Rt△BCM中，利用sin∠ABE=sin70°= ，可求出BC，再利用CE=BC-BE解求解.
20．【答案】过D作DE⊥AC于E，则∠AED=∠CED=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=∠ACB，
∴DE//BC，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
∴CE=AE，即AC=2CE
∵，
∴DE=BC=，
∵
∴设CE=3x，CD=4x，
由勾股定理得：
∴=，即x=
∴
∴AC=AE+CE=
∵，即
∴AB=
∵
∴，解得：CH=．
∴CH的长为，AB的长为．
【解析】【分析】 过D作DE⊥AC于E，则∠AED=∠CED=90°， 求出AE=CE，求出DE解直角三角形求出CE，求出AC，再根据勾股定理求出AB，再根据三角形面积公式求出CH即可。
21．【答案】解：在△BDC中，∠C=90°，
∵∠BDC=45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，，
∴，
∴AB=10，
∴AC=8，
∴AD=AC-CD=8-6=2．
【解析】【分析】根据已知条件求出BC的值，再根据正弦的定义求出AB，再根据勾股定理求出AC，再根据AD=AC-DC求出AD的长。
22．【答案】解：根据题意，过点A作AD⊥BC，如图：
∴△ABD，△ACD都是直角三角形，
∵，
设，，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴，，
∵，
∴，
∴；
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC，证出△ABD，△ACD都是直角三角形，设，，利用勾股定理得出AC的值，求出BD即可得出答案。
23．【答案】解：中，，
∴．
设，，则．
∵D是的中点，，
∴，
∴，，
中，，
∴．
∴的正切值为．
【解析】【分析】设，，则．根据D是的中点，，得出，根据中，，即可得出的正切值。
24．【答案】解：如图，延长AD、BC相交于点E，
∵∠B=90°，
∴，
∴，
∴CE=BE-BC=2， ，
∴，
又∵∠CDE=∠CDA=90°，
∴在Rt△CDE中，，
∴，
∴，
∴
．
【解析】【分析】延长AD、BC相交于点E，先求出，利用勾股定理求出DE的长，再利用割补法可得，最后将数据代入计算即可。
25．【答案】解：如图，延长交的垂线于点，交于点，则四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
中，，
，
中，，
米．
【解析】【分析】在中，求出DG的值，在中，得出AF的值，由此得解。
26．【答案】解：根据题意可得：
∵AB=0.05m，BC=0.2m，DE=2m，，
且CD⊥ED，AB⊥ED，BC⊥CD，
∴四边形BCDF是矩形，EF=ED-BC=1.8m，
∴，
解得：CD≈2.35（m）.
答：安装的空调底部位置距离床的高度CD是2.35米.
【解析】【分析】易求四边形BCDF是矩形，EF=ED-BC=1.8m，根据，求出CD的长即可.
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