浙教版2022年九年级上册第4章《相似三角形》单元检测卷 （含解析）

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浙教版2022年九年级上册第4章《相似三角形》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知线段a，b，c，求作线段x，使bx＝ac，下列作法中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如果x：y＝2：3，那么下列各式中成立的是（　　）
A． B．2x＝3y C． D．
3．如图所示的两个五边形相似，则以下a，b，c，d的值错误的是（　　）
A．a＝3 B．b＝4.5 C．c＝4 D．d＝8
4．已知△ABC∽△DEF，AG和DH是它们的对应边上的高，若AG＝4，DH＝6，则△ABC与△DEF的面积比是（　　）
A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．9：4
5．如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中，不能判定△APC和△ACB相似的条件是（　　）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP AB D．AC CP＝AP CB
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，则下列结论不正确的是（　　）
A． B．
C．△ADE∽△ABC D．AD AB＝AE AC
7．如图所示，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，2），C（﹣2，1），以A为位似中心，把△ABC在点A同侧按相似比1：2放大，放大后的图形记作△A'B'C'，则C'的坐标为（　　）
A．（﹣6，2） B．（﹣5，2） C．（﹣4，2） D．（﹣3，2）
8．将两张直角三角形纸片按如图所示的方式摆进⊙O内，点A，B，C，D都在圆上，点E在边AC上，已知∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝6，DE＝2，则⊙O的直径为（　　）
A． B． C． D．10
9．已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM为（　　）
A．3 B． C．3 或 D．以上都错
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，交AC于点G，连接CF交BD于点H，延长CE交AD于点M，连接FM，则下列结论：①点E到AB，BC的距离相等；②∠FCE＝45°；③∠DMC＝∠FMC；④若DM＝2，则．正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知，则的值为 　 　．
12．如图，l1∥l2∥l3，已知AB＝6cm，BC＝3cm，A1B1＝4cm，则线段B1C1的长为　 　cm．
13．在△ABC中，AC＝6，BC＝9，D是△ABC的边BC上的点，且∠CAD＝∠B，则BD＝　 　．
14．有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则FI的长 　 　．
15．如图，已知平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，EF与对角线AC交于P，若，，则的值为 　 　．
16．如图，一个由8个正方形组成“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均是1，则边AB的长为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC BE．证明：△BCD∽△BDE．
18．（6分）某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组为了估计澧水河某段水域的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝35米，求河的宽度AB为多少米？
19．（7分）已知线段a，b，c满足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3．
（1）求线段a，b，c的长．
（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
20．（8分）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．
（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1；
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2：1；
（3）若点D（a，b）在线段OA上，直接写出变化（2）后点D的对应点D2的坐标为 　 　．
（4）分别求出△OAB的周长和△OA2B2的面积．
21．（8分）如图，正方形ABCD中，点E是边CD的中点，点F在AD边上，且＝2，AE与CF相交于点G．
（1）若AD＝6，EG＝3，连接DG，求证：△ADE∽△DGE；
（2）求∠AGF的度数．
22．（8分）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、AB上的点，AP⊥BE于点P．
（1）如图1，如果点F是AB的中点，求证：BP BE＝2PF BC；
（2）如图2，如果AE＝AF，联结CP，求证：CP⊥FP．
23．（9分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是CD边上的一个动点（点E不与点C重合），延长DC到点F，使EC＝2CF，且AF与BE交于点G．
（1）当EC＝4时，求线段BG的长；
（2）设CF＝x，△GEF的面积为y，求y与x的关系式，并求出y的最大值；
（3）连接DG，求线段DG的最小值．
浙教版2022年九年级上册第4章《相似三角形》单元检测卷
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：由题意，bx＝ac，
∴＝，
故选：D．
2．【解答】解：∵x：y＝2：3，
∴设x＝2k，y＝3k，
A、＝＝﹣，故本选项不符合题意；
B、∵x：y＝2：3，∴3x＝2y，故本选项不符合题意；
C、∵x：y＝2：3，∴＝，故本选项，符合题意；
D、不能约分，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．【解答】解：∵两个五边形相似，
∴＝＝＝＝，
∴a＝3，b＝4.5，c＝4，d＝6．
故选：D．
4．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AG和DH是它们的对应边上的高，
∴＝（）2＝（）2＝，
故选：B．
5．【解答】解：当∠ACP＝∠B时，∵∠A＝∠A，
∴△ACP∽∠ABC；
当∠APC＝∠ACB时，∵∠A＝∠A，
∴△ACP∽∠ABC；
当AC2＝AP AB时，即，
∵A＝∠A，
∴△ACP∽∠ABC；
当AB CP＝AP CB时，即，
∵A＝∠A，
∴不能判定△APC和△ACB相似，
故选：D．
6．【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴，
故选：D．
7．【解答】解：∵以A为位似中心，把△ABC按相似比1：2放大，放大后的图形记作△AB'C'，
∴AC＝AC′，
∴点C是线段AC′的中点，
∵A（1，0），C（﹣2，1），
∴C'的坐标为'（﹣5，2）．
故选：B．
8．【解答】解：连接BD，CD，
∵圆周角∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
设CE＝a，由勾股定理得：AD＝＝＝2，CD＝＝＝，BC＝＝＝，
∵∠DEA＝∠BDC＝90°，∠DBC＝∠DAE（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴△AED∽△BDC，
∴＝，
∴＝，
解得：a＝﹣或a＝，
∵a表示边的长度，不能为负，
∴a＝﹣舍去，
∴BC＝＝，
即⊙O的直径是，
故选：A．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
又∵∠PBF＝90°，
∴∠ABP＝∠CBF＝90°﹣∠CBP；
若以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，
则：①如图1中，，即＝，解得BM＝；
②如图2中，，即＝，解得BM＝3．
综上所述，满足条件的BM的值为3或．
故选：C．
10．【解答】解：如图，连接AE，设FM交AC于点I，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴点E到AB，BC的距离相等，
故①正确；
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，∠BAE＝∠BCE，
∵EF⊥CE，
∴∠CEF＝∠MEF＝90°，
∴∠BCE+∠BFE＝180°，
∵∠EFA+∠BFE＝180°，
∴∠BCE＝∠EFA，
∴∠BAE＝∠EFA，
∴AE＝FE，
∴CE＝FE，
∴∠FCE＝∠CFE＝45°，
故②正确；
∵AD∥BC，
∴∠DME＝∠BCE＝∠BAE，
∵∠MDE＝∠ABE，
∴△MDE∽△ABE，
∴＝，
∴＝，
∵∠MEF＝∠MDC，
∴△MEF∽△MDC，
∴∠DMC＝∠FMC，
故③正确；
作FL⊥BD于点L，则∠BLF＝90°，设BL＝x，
∴∠LFB＝∠LBF＝45°，
∴FL＝BL＝x，
∵BF2＝BL2+FL2＝2BL2，
∴BF＝x，
∵AD＝CD＝BC＝4，DM＝2，
∴CM＝＝2，BD＝＝4，
∵△DEM∽△BEC，
∴＝＝＝＝，
∴FE＝CE＝CM＝，BE＝BD＝，
∵EL＝＝＝，
∴x+＝，
解得x1＝，x2＝2（不符合题意，舍去），
∴BF＝×＝≠，
故④错误，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【解答】解：∵＝1，
∴x＝y，
∴＝＝0．
故答案为：0．
12．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴AB＝6cm，BC＝3cm，A1B1＝4cm，
∴，
解得B1C1＝2．
故答案为：2．
13．【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△DAC∽△ABC，
∴＝，
∵AC＝6，BC＝9，
∴＝，
∴DC＝4，
∴BD＝BC﹣DC＝9﹣4＝5，
故答案为：5．
14．【解答】解：由题知，CI＝BI﹣BC＝40﹣20＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm，
∵∠EFC+∠CEF＝90°，∠EFC+∠GFI＝90°，
∴∠CEF＝∠GFI，
∵∠ECF＝∠FIG＝90°，
∴△GIF∽△FEC，
∴＝，
即＝，
∴CE＝4FI，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，
即（4FI）2+（20﹣FI）2＝202，
解得FI＝或FI＝0（舍去），
故答案为：cm．
15．【解答】解：过E作EH∥AD，交DC于点H，交AC于点G，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴EH∥BC，
∴＝＝，
∴设AG＝a，GC＝2a，
∵DC∥AB，
∴△CHG∽△AEG，
∴＝＝，
∴＝，
∴EG＝EH，
∵＝，
∴＝，，
∴AF＝AD＝EH，
∵AD∥EH，
∴AF∥EG，
∴△APF∽△GPE，
∴＝＝＝，
∴AP＝a，PG＝，
∴PC＝a，
∴＝，
故答案为：．
16．【解答】解：如图所示，连接EG，则∠OEP＝90°，
由题意得，小正方形的边长为1，
∴OP＝＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，∠MQP＝90°，
∴∠BMQ＝∠CQP＝90°﹣∠MQP，
同理∠EPO＝∠CQP＝90°﹣∠QPC，
∴∠BMQ＝∠EPO，
又∠OEP＝∠B＝90°，
∴△OEP∽△QBM，
∴＝＝＝，
∴BM＝＝＝，QB＝＝＝，
∵∠B＝∠A＝90°，∠NMQ＝90°，
∴∠BMQ＝∠ANM＝90°﹣∠AMN，
在△QBM和△MAN中，
，
∴△QBM≌△MAN（AAS），
∴AM＝QB＝，
∴AB＝BM+AM＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBD．
∵BD2＝BC BE，
∴，
∴△BCD∽△BDE．
18．【解答】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
即＝，
∴AB＝30．
答：河的宽度AB为30米．
19．【解答】解：（1）∵a：b：c＝2：3：4，
∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b﹣c＝3，
∴2k+3k﹣4k＝3，
解得k＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝12；
（2）∵m是a、b的比例中项，
∴m2＝ab，
∴m2＝6×9，
∴x＝3或x＝﹣3（舍去），
即线段m的长为3．
20．【解答】解：（1）如图所示：△OA1B1即为所求；
（2）如图所示：△OA2B2即为所求；
（3）∵点D（a，b）
∴变化（2）后点D的对应点D2的坐标为（﹣2a，﹣2b），
故答案为：（﹣2a，﹣2b）；
（4）△OAB的周长＝++＝+，△OA2B2的面积＝×5×（2+2）＝10．
21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AD＝6，点E是边CD的中点，
∴DE＝3，
∴AE＝＝15，
∵EG＝3，
∴＝，，
∴，
∵∠AED＝∠DEG，
∴△ADE∽△DGE；
（2）连接AC，过F作FH⊥AC，垂足为点H，
设AD＝3a，则AF＝2a，DF＝a，DE＝a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD＝45°，AC＝3a，AE＝，
∴△AHF是等腰直角三角形，
∴AH＝FH＝a，CH＝2a，
∴＝2，＝2，
∴，
∵∠CHF＝∠ADE＝90°，
∴△CHF∽△ADE，
∴∠HCF＝∠DAE，
∵∠AGF＝∠GAC+∠ACG，
∴∠AGF＝∠GAC+∠DAE＝∠CAD＝45°．
22．【解答】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝90°，
∵AP⊥BE，
∴∠BPA＝90°，
∴∠BPA＝∠BAE，
∵∠PBA＝∠ABE，
∴△BPA∽△BAE，
∴＝，
∵点F是AB的中点，
∴BA＝2PF，
∵BA＝BC，
∴＝，
∴BP BE＝2PF BC．
（2）∵△BPA∽△BAE，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝AF，BA＝BC，
∴＝，
∵BC∥AD，
∴∠CBP＝∠BEA，
∵∠BEA＝∠FAP，
∴∠CBP＝∠FAP，
∴△CBP∽△FAP，
∴∠BPC＝∠APF，
∴∠FPC＝∠BPF+∠BPC＝∠BPF+∠APF＝∠BPA＝90°，
∴CP⊥FP．
23．【解答】解：（1）当EC＝4时，则：
CF＝2，
∴AB＝FE＝6，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠BAG，∠ABG＝∠FEG，
∴△ABG≌△FEG（ASA），
∴BG＝EG＝BE，
在直角三角形BCE中，BC＝8，CE＝4，
∴BE＝4，
∴BG＝2；
（2）如图，过点G作MN∥AD分别交AB，CD于点M，N，
设CF＝x，则：
EF＝3x，
显然△ABG∽△FEG，
∴＝，
设GN＝h，则：
MG＝8﹣h，
∴＝＝＝，
∴h＝，
∴S△GEF＝y＝×3x×＝，
∴y与x的关系式为：y＝，
∵x＞0，2x≤6，
∴0＜x≤3，
∵y＝＝，
∴y随x的增加而增加，
∴当x＝3时，ymax＝；
（3）如图，在AB上取一点Q，使得BQ＝2AQ，
∵AB∥CD，
∴△AQG∽△FCG，△BQG∽△DCG，
∴＝＝，＝＝，
∴点E在CD上运动总会有＝，即
点G在线段CQ上运动，
∴当点E与点D重合时，CG最长，
∵＝，
∴GC＝，
如图，作DM⊥CQ，GN⊥CD，当点G运动到点M时，此时DG即为最小值，
∵DM CG＝CD GN，
∴DM ＝×6×（×8），
∴DM＝，
∴DG的最小值为．