2023年春季浙教版数学九年级下册第一章 《解直角三角形》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·乳山期中）某简易房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AC的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】如图，过点A作AH⊥BC于H．
由题意AB＝AC，BC＝4+0.2+0.2＝4.4（m），
∵AH⊥BC，
∴BH＝CH＝2.2（m），
∴AC＝AB＝＝＝（m），
故答案为：D．
【分析】过点A作AH⊥BC于H，先求出CH的长，再利用解直角三角形的方法可得AC＝AB＝＝＝。
2．（2022·通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵为直径，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
3．（2022九上·莱西期中）在中，，如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在△ABC 中， ∠C=90° ，由知，
设，则，结合，得，
可得；
故答案为：A．
【分析】设，则，结合，得，再利用正切的定义可得。
4．（2022九上·乳山期中）在中，、均为锐角，且，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值；三角形相关概念；非负数之和为0
【解析】【解答】∵|tanB |+(2sinA )2＝0，
∴|tanB |＝0，(2sinA )2＝0，
∴tanB=，∠B=60°，
2sinA-=0，sinA=，∠A=60°，
在△ABC中，∠C=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：B．
【分析】根据非负数之和为0的性质可得tanB=，∠B=60°，sinA=，∠A=60°，再利用三角形的内角和求出∠C的度数即可。
5．（2021九上·烟台期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是
．
故答案为：C．
【分析】根据 对每个选项一一判断即可。
6．（2022九上·乳山期中）上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离（ ）
A．海里 B．海里 C．40海里 D．海里
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作于点N．
由题意得，海里，．
作于点．
在中，海里．
在直角中，，则，
所以（海里）．
故答案为：D．
【分析】过点B作于点N，先求出，再结合，利用含30°角的直角三角形的性质可得。
7．（2022九上·青州期中）如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】过C点作CE⊥AB，
∵
∴CE=BD=am，
在Rt△BCE中，BE=CEtan=
在Rt△ACE中，AE=CEtan=
∴=+
故答案为：A．
【分析】过C点作CE⊥AB，先求出BE=CEtan=，AE=CEtan=，再利用线段的和差求出AB的长即可。
8．（2022九上·莱西期中）如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作于点C，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
故答案为：A．
【分析】过点A作于点C，再利用解直角三角形的方法可得。
9．（2022·牡丹江·鸡西）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（ ）
A．（600－250）米 B．（600－250）米
C．（350＋350）米 D．500米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k，
∵AB=1300米，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，
即，解得k=100．
∴AE=1200米，BE=500米．
设EC=x米，
∵∠DBF=60°，∴DF=x米．
又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．
∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．
∴DF=x=600﹣750．
∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．
∴山高CD为（600﹣250）米．
故答案为：B．
【分析】结合图形，利用勾股定理求解即可。
10．（2022·竞秀模拟）某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线的夹角为，，若米，米，车辆的高度为（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：
①当时，小于3.4米的车辆均可以通过该闸口；②当时，等于3.0米的车辆不可以通过该闸口；③当时，等于3.2米的车辆可以通过该闸口．
上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：限高曲臂道路闸口高度为：1.5+，
①当时，闸口高度为：1.5+2=3.5（米），
∴h于3.4米的车辆均可以通过该闸口，
故①符合题意；
②当时，闸口高度为：1.5+=1.5+，
∵3.0＞2.914，
∴不可以通过，
故②符合题意；
③当时，闸口高度为：1.5+=1.5+，
∵3.2＜3.232
∴可以通过，
故③确；
故答案为：D．
【分析】①当时，②当时，③当时，分三种情况求解即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·宜昌）如图， 岛在A岛的北偏东 方向， 岛在 岛的北偏西 方向，则 的大小是 .
【答案】85°
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解： C岛在A岛的北偏东50°方向，
，
C岛在B岛的北偏西35°方向，
，
过C作CF∥DA交AB于F ，如图所示：
，
，
.
故答案为：85°.
【分析】易得∠DAC=50°，∠CBE=35°，过C作CF∥DA交AB于F，根据平行线的性质得∠FCA=∠DAC=50°，∠FCB=∠CBE=35°，然后根据∠ACB=∠FCA+∠FCB进行计算.
12．（2022·枣庄）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝ ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；正多边形的性质
【解析】【解答】连接BC、AC，
∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，
∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵BE⊥AC，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，
∴tan∠ABE＝tan30°＝，
故答案为：．
【分析】先求出AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再求出∠ABC＝60°，最后利用锐角三角函数求解即可。
13．（2022·扬州）在中，，分别为的对边，若，则的值为 .
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：，
，
，
， ，，
，即：，
求出或（舍去），
在Rt△ABC中：.
故答案为：.
【分析】由勾股定理可得a2+b2=c2，结合b2=ac可得a2+ac=c2，两边同时除以c2并求解可得的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
14．（2022·四川）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得： α=β ，
∵α+∠AOC=β +∠BOD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
∴OD=2OC，
∵CD=OD+OC=3OC=12，
∴OC=4，
∴tanα=.
故答案为：.
【分析】根据反射定律和余角的性质求出∠AOC=∠BOD，则可证明△AOC∽△BOD，列比例式求出OD=2OC，结合CD=OD+OC=12，则可求出OC长，最后根据正切的定义计算即可.
15．（2022·南通）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为 m（结果保留根号）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=90°，四边形DBCE是矩形，
∴CE=BD=1m，BC=ED=10m，
∵ 树顶A的仰角为60°，
∴.
故答案为： .
【分析】利用垂直的定义可证得∠ADE=90°，同时可得到四边形DBCE是矩形，利用矩形的性质可求出CE，DE的长；再利用解直角三角形求出AE的长，根据AC=AE+CE，代入计算求出AC的长.
16．（2022·衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首.王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽.某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图， ， ， .已知测角仪 的高度为 ，则大雁雕塑 的高度约为 .（结果精确到 .参考数据： ）
【答案】10.2
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，
即 .
∴ ，
∴ ，
故答案为 .
【分析】利用已知条件可证得∠DBF=∠BDG，利用等角对等边可证得BF=DF，可求出BF的长；再利用解直角三角形求出BG的长；然后根据BC=BG+CG，可求出BC的长.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022·贺州）计算： .
【答案】解：原式
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质、0次幂的运算性质以及特殊角的三角函数值分别化简，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
18．（2022·娄底）计算：.
【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂、负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
19．（2022·丹东）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
【答案】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，
由题意得：
EF=BC=33.2海里，AG∥DC，
∴∠GAD=∠ADC=53°，
在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，
∴AF=AB sin50°≈40×0.77=30.8（海里），
∴AE=AF+EF=64（海里），
在Rt△ADE中，AD=≈=80（海里），
∴货船与A港口之间的距离约为80海里．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先求出 ∠GAD=∠ADC=53°， 再求出 AE=AF+EF=64（海里）， 最后利用锐角三角函数计算求解即可。
20．（2022·鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为的励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的底端到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点处，在点正上方点处测得条幅顶端的仰角为，然后向教学楼条幅方向前行到达点处（楼底部点与点，在一条直线上），在点正上方点处测得条幅底端的仰角为，若，均为（即四边形为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端到地面的距离的长度．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】解：设AC与GE相交于点H，
由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
设CH＝x米，
∴AH＝AC＋CH＝（12＋x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF＋FH＝（8＋x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°＝，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH＋HE＝5.65≈5.7（米），
∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设CH＝x米，则AH=（12+x）米，GH=（8+x）米，再结合tan37°＝，求出x的值，最后利用线段的和差求出EF的长即可。
21．（2022·广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE， CD = 1.6m，BC =5CD．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求旗杆AB的高度．
条件①：CE = 1.0m； 条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81， cos54.46°≈0.58， tan54.46°≈1.40 ．
【答案】（1）解：．
（2）解：①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，
∴，
∴，
②当时，作点D到AB的垂线段DF，
则四边形BCDF是矩形，FB=DC=1.6m，FD=BC=8.0m，
Rt△ADF中，，
∴．
∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
∴旗杆AB高度约12.8m．
【知识点】平行线分线段成比例；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据 BC =5CD计算求解即可；
（2）①先求出， 再求解即可；
②根据题意先求出 ， 再求出AF的值，最后求解即可。
22．（2022·宜昌）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 一般要满足 .如图，现有一架长 的梯子 斜靠在一竖直的墙 上.
（参考数据： ， ， ， ， ， ， ， ， ）
（1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端 与地面距离的最大值；
（2）当梯子底端 距离墙面 时，计算 等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？
【答案】（1）解：∵
当 时， 取最大值，
在 中， ，
∴ ，
所以梯子顶端 与地面的距离的最大值3.8米.
（2）解：在 中， ，
，
，
∴ ，
∵ ，
∴人能安全使用这架梯子.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）由题意可得当α=72°，AO取得最大值，根据三角函数的概念可得AO=ABsin∠ABO，据此计算；
（2） 根据三角函数的概念可得cos∠ABO的值，求出∠ABO的度数，然后结合α的范围进行判断.
23．（2022·河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线 ．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．
（1）求∠C的大小及AB的长；
（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据： 取4， 取4.1）
【答案】（1）解：∵水面截线
，
，
，
在 中， ， ，
，
解得 ．
（2）解：过点 作 ，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示：
水面截线 ， ，
， ，
为最大水深，
，
，
，且 ，
，
，即 ，即 ，
在 中， ， ，
，即 ，
解得 ，
，
最大水深约为 米．
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数可得，再求出即可；
（2）过点 作 ，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，先证明可得 ，即 ，所以，再利用勾股定理可得，求出，再利用线段的和差可得。
24．（2022·重庆）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸 A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头 C 接该游客，再沿 CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知 C 在A的北偏东 30°方向上，B在A的北偏东 60°方向上，且在C的正南方向 900米处．
（1）求湖岸 A 与码头 C 的距离（结果精确到 1 米，参考数据： =1.732 ）；
（2）救援船的平均速度为 150 米/分，快艇的平均速度为 400 米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
【答案】（1）解：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
由题意可知：∠NAC=30°，∠NAB=60°，∠D=∠NAD=90°，
∴∠CAB=30°，∠CAD=60°，
设BD=x，则AD=x，AC=2x，
在Rt△ADC中，tan∠CAD=tan60°===，
∴CD=3x，
∵CD=CB+BD=900+x，
∴3x=900+x，
∴x=450，
∴CD=900+450=1350，AD=450，
∴AC=900≈900×1.732=1558.8≈1559米.
答：湖岸A与码头C的距离为1559米；
（2）解：由题意可知，快艇接到游客与救援船相遇所走的路程为AC+CB=1559+900=2459米，
∵相遇时间为5s，
∴快艇的行驶距离=400×5=2000米，救援船的行驶距离=150×5=750米，
∵2000+750＞2459，
∴快艇能在5分钟内将该游客送上救援船.
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由题意可知：∠NAC=30°，∠NAB=60°，∠D=∠NAD=90°，从而得∠CAB=30°，∠CAD=60°，由30°角所对直角边等于斜边一般，设BD=x，则AD=x，AC=2x，在Rt△ADC中，tan∠CAD=tan60°===，
可得CD=3x，又CD=CB+BD=900+x，即得3x=900+x，解得x从而求得CD=1350，AD=450，再由30°角所对直角边等于斜边一般，即可求得AC=900，再通过计算即可得出湖岸A与码头C的距离；
（2）由题意可知，快艇接到游客与救援船相遇所走的路程为AC+CB=1559+900=2459米，分别求出5分钟快艇的行驶距离=400×5=2000米，救援船的行驶距离=150×5=750米，求得二者距离之和与相遇距离进行比较，即可判断快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船.
25．（2022·济宁）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵，
∴，
∴
（1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
（2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
【答案】（1）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E．
在RtΔABE中，，
同理：，．
．
．
．
．
（2）解：在ΔABC中，
∴
解得：
答：点A到点B的距离为m．
【知识点】推理与论证；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）先求出 ，再求解即可。
1 / 12023年春季浙教版数学九年级下册第一章 《解直角三角形》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·乳山期中）某简易房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AC的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2022·通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·莱西期中）在中，，如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·乳山期中）在中，、均为锐角，且，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．（2021九上·烟台期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022九上·乳山期中）上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离（ ）
A．海里 B．海里 C．40海里 D．海里
7．（2022九上·青州期中）如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022九上·莱西期中）如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·牡丹江·鸡西）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（ ）
A．（600－250）米 B．（600－250）米
C．（350＋350）米 D．500米
10．（2022·竞秀模拟）某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线的夹角为，，若米，米，车辆的高度为（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：
①当时，小于3.4米的车辆均可以通过该闸口；②当时，等于3.0米的车辆不可以通过该闸口；③当时，等于3.2米的车辆可以通过该闸口．
上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·宜昌）如图， 岛在A岛的北偏东 方向， 岛在 岛的北偏西 方向，则 的大小是 .
12．（2022·枣庄）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝ ．
13．（2022·扬州）在中，，分别为的对边，若，则的值为 .
14．（2022·四川）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为 ．
15．（2022·南通）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为 m（结果保留根号）．
16．（2022·衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首.王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽.某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图， ， ， .已知测角仪 的高度为 ，则大雁雕塑 的高度约为 .（结果精确到 .参考数据： ）
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022·贺州）计算： .
18．（2022·娄底）计算：.
19．（2022·丹东）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
20．（2022·鞍山）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为的励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的底端到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点处，在点正上方点处测得条幅顶端的仰角为，然后向教学楼条幅方向前行到达点处（楼底部点与点，在一条直线上），在点正上方点处测得条幅底端的仰角为，若，均为（即四边形为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端到地面的距离的长度．（结果精确到，参考数据：，，）
21．（2022·广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE， CD = 1.6m，BC =5CD．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求旗杆AB的高度．
条件①：CE = 1.0m； 条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81， cos54.46°≈0.58， tan54.46°≈1.40 ．
22．（2022·宜昌）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 一般要满足 .如图，现有一架长 的梯子 斜靠在一竖直的墙 上.
（参考数据： ， ， ， ， ， ， ， ， ）
（1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端 与地面距离的最大值；
（2）当梯子底端 距离墙面 时，计算 等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？
23．（2022·河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线 ．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．
（1）求∠C的大小及AB的长；
（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据： 取4， 取4.1）
24．（2022·重庆）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸 A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头 C 接该游客，再沿 CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知 C 在A的北偏东 30°方向上，B在A的北偏东 60°方向上，且在C的正南方向 900米处．
（1）求湖岸 A 与码头 C 的距离（结果精确到 1 米，参考数据： =1.732 ）；
（2）救援船的平均速度为 150 米/分，快艇的平均速度为 400 米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
25．（2022·济宁）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵，
∴，
∴
（1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
（2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】如图，过点A作AH⊥BC于H．
由题意AB＝AC，BC＝4+0.2+0.2＝4.4（m），
∵AH⊥BC，
∴BH＝CH＝2.2（m），
∴AC＝AB＝＝＝（m），
故答案为：D．
【分析】过点A作AH⊥BC于H，先求出CH的长，再利用解直角三角形的方法可得AC＝AB＝＝＝。
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵为直径，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
3．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在△ABC 中， ∠C=90° ，由知，
设，则，结合，得，
可得；
故答案为：A．
【分析】设，则，结合，得，再利用正切的定义可得。
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值；三角形相关概念；非负数之和为0
【解析】【解答】∵|tanB |+(2sinA )2＝0，
∴|tanB |＝0，(2sinA )2＝0，
∴tanB=，∠B=60°，
2sinA-=0，sinA=，∠A=60°，
在△ABC中，∠C=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：B．
【分析】根据非负数之和为0的性质可得tanB=，∠B=60°，sinA=，∠A=60°，再利用三角形的内角和求出∠C的度数即可。
5．【答案】C
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是
．
故答案为：C．
【分析】根据 对每个选项一一判断即可。
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作于点N．
由题意得，海里，．
作于点．
在中，海里．
在直角中，，则，
所以（海里）．
故答案为：D．
【分析】过点B作于点N，先求出，再结合，利用含30°角的直角三角形的性质可得。
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】过C点作CE⊥AB，
∵
∴CE=BD=am，
在Rt△BCE中，BE=CEtan=
在Rt△ACE中，AE=CEtan=
∴=+
故答案为：A．
【分析】过C点作CE⊥AB，先求出BE=CEtan=，AE=CEtan=，再利用线段的和差求出AB的长即可。
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作于点C，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
故答案为：A．
【分析】过点A作于点C，再利用解直角三角形的方法可得。
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k，
∵AB=1300米，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，
即，解得k=100．
∴AE=1200米，BE=500米．
设EC=x米，
∵∠DBF=60°，∴DF=x米．
又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．
∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．
∴DF=x=600﹣750．
∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．
∴山高CD为（600﹣250）米．
故答案为：B．
【分析】结合图形，利用勾股定理求解即可。
10．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：限高曲臂道路闸口高度为：1.5+，
①当时，闸口高度为：1.5+2=3.5（米），
∴h于3.4米的车辆均可以通过该闸口，
故①符合题意；
②当时，闸口高度为：1.5+=1.5+，
∵3.0＞2.914，
∴不可以通过，
故②符合题意；
③当时，闸口高度为：1.5+=1.5+，
∵3.2＜3.232
∴可以通过，
故③确；
故答案为：D．
【分析】①当时，②当时，③当时，分三种情况求解即可。
11．【答案】85°
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解： C岛在A岛的北偏东50°方向，
，
C岛在B岛的北偏西35°方向，
，
过C作CF∥DA交AB于F ，如图所示：
，
，
.
故答案为：85°.
【分析】易得∠DAC=50°，∠CBE=35°，过C作CF∥DA交AB于F，根据平行线的性质得∠FCA=∠DAC=50°，∠FCB=∠CBE=35°，然后根据∠ACB=∠FCA+∠FCB进行计算.
12．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；正多边形的性质
【解析】【解答】连接BC、AC，
∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，
∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵BE⊥AC，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，
∴tan∠ABE＝tan30°＝，
故答案为：．
【分析】先求出AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再求出∠ABC＝60°，最后利用锐角三角函数求解即可。
13．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：，
，
，
， ，，
，即：，
求出或（舍去），
在Rt△ABC中：.
故答案为：.
【分析】由勾股定理可得a2+b2=c2，结合b2=ac可得a2+ac=c2，两边同时除以c2并求解可得的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
14．【答案】
【知识点】相似三角形的应用；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得： α=β ，
∵α+∠AOC=β +∠BOD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
∴OD=2OC，
∵CD=OD+OC=3OC=12，
∴OC=4，
∴tanα=.
故答案为：.
【分析】根据反射定律和余角的性质求出∠AOC=∠BOD，则可证明△AOC∽△BOD，列比例式求出OD=2OC，结合CD=OD+OC=12，则可求出OC长，最后根据正切的定义计算即可.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=90°，四边形DBCE是矩形，
∴CE=BD=1m，BC=ED=10m，
∵ 树顶A的仰角为60°，
∴.
故答案为： .
【分析】利用垂直的定义可证得∠ADE=90°，同时可得到四边形DBCE是矩形，利用矩形的性质可求出CE，DE的长；再利用解直角三角形求出AE的长，根据AC=AE+CE，代入计算求出AC的长.
16．【答案】10.2
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，
即 .
∴ ，
∴ ，
故答案为 .
【分析】利用已知条件可证得∠DBF=∠BDG，利用等角对等边可证得BF=DF，可求出BF的长；再利用解直角三角形求出BG的长；然后根据BC=BG+CG，可求出BC的长.
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质、0次幂的运算性质以及特殊角的三角函数值分别化简，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
18．【答案】解：
.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂、负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
19．【答案】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，
由题意得：
EF=BC=33.2海里，AG∥DC，
∴∠GAD=∠ADC=53°，
在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，
∴AF=AB sin50°≈40×0.77=30.8（海里），
∴AE=AF+EF=64（海里），
在Rt△ADE中，AD=≈=80（海里），
∴货船与A港口之间的距离约为80海里．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先求出 ∠GAD=∠ADC=53°， 再求出 AE=AF+EF=64（海里）， 最后利用锐角三角函数计算求解即可。
20．【答案】解：设AC与GE相交于点H，
由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
设CH＝x米，
∴AH＝AC＋CH＝（12＋x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF＋FH＝（8＋x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°＝，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH＋HE＝5.65≈5.7（米），
∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设CH＝x米，则AH=（12+x）米，GH=（8+x）米，再结合tan37°＝，求出x的值，最后利用线段的和差求出EF的长即可。
21．【答案】（1）解：．
（2）解：①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，
∴，
∴，
②当时，作点D到AB的垂线段DF，
则四边形BCDF是矩形，FB=DC=1.6m，FD=BC=8.0m，
Rt△ADF中，，
∴．
∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
∴旗杆AB高度约12.8m．
【知识点】平行线分线段成比例；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据 BC =5CD计算求解即可；
（2）①先求出， 再求解即可；
②根据题意先求出 ， 再求出AF的值，最后求解即可。
22．【答案】（1）解：∵
当 时， 取最大值，
在 中， ，
∴ ，
所以梯子顶端 与地面的距离的最大值3.8米.
（2）解：在 中， ，
，
，
∴ ，
∵ ，
∴人能安全使用这架梯子.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）由题意可得当α=72°，AO取得最大值，根据三角函数的概念可得AO=ABsin∠ABO，据此计算；
（2） 根据三角函数的概念可得cos∠ABO的值，求出∠ABO的度数，然后结合α的范围进行判断.
23．【答案】（1）解：∵水面截线
，
，
，
在 中， ， ，
，
解得 ．
（2）解：过点 作 ，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示：
水面截线 ， ，
， ，
为最大水深，
，
，
，且 ，
，
，即 ，即 ，
在 中， ， ，
，即 ，
解得 ，
，
最大水深约为 米．
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数可得，再求出即可；
（2）过点 作 ，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，先证明可得 ，即 ，所以，再利用勾股定理可得，求出，再利用线段的和差可得。
24．【答案】（1）解：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
由题意可知：∠NAC=30°，∠NAB=60°，∠D=∠NAD=90°，
∴∠CAB=30°，∠CAD=60°，
设BD=x，则AD=x，AC=2x，
在Rt△ADC中，tan∠CAD=tan60°===，
∴CD=3x，
∵CD=CB+BD=900+x，
∴3x=900+x，
∴x=450，
∴CD=900+450=1350，AD=450，
∴AC=900≈900×1.732=1558.8≈1559米.
答：湖岸A与码头C的距离为1559米；
（2）解：由题意可知，快艇接到游客与救援船相遇所走的路程为AC+CB=1559+900=2459米，
∵相遇时间为5s，
∴快艇的行驶距离=400×5=2000米，救援船的行驶距离=150×5=750米，
∵2000+750＞2459，
∴快艇能在5分钟内将该游客送上救援船.
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由题意可知：∠NAC=30°，∠NAB=60°，∠D=∠NAD=90°，从而得∠CAB=30°，∠CAD=60°，由30°角所对直角边等于斜边一般，设BD=x，则AD=x，AC=2x，在Rt△ADC中，tan∠CAD=tan60°===，
可得CD=3x，又CD=CB+BD=900+x，即得3x=900+x，解得x从而求得CD=1350，AD=450，再由30°角所对直角边等于斜边一般，即可求得AC=900，再通过计算即可得出湖岸A与码头C的距离；
（2）由题意可知，快艇接到游客与救援船相遇所走的路程为AC+CB=1559+900=2459米，分别求出5分钟快艇的行驶距离=400×5=2000米，救援船的行驶距离=150×5=750米，求得二者距离之和与相遇距离进行比较，即可判断快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船.
25．【答案】（1）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E．
在RtΔABE中，，
同理：，．
．
．
．
．
（2）解：在ΔABC中，
∴
解得：
答：点A到点B的距离为m．
【知识点】推理与论证；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）先求出 ，再求解即可。
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