2023年春季浙教版数学九年级下册第一章 《解直角三角形》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·北部湾）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 ，则高BC是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα= ，
∴BC= sinα AB=12 sinα（米）.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数的概念可得BC=AB·sinα，据此计算.
2．（2022·陕西）如图，是的高，若，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵直角△ADC中，，
∴，
∴直角△ABD中，由勾股定理可得，.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件知BD=2CD=6，则CD=3，根据三角函数的概念可得AD，然后利用勾股定理进行计算.
3．（2022·广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图.
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC.
在△DCE中，有，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝.
故答案为：B.
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，根据平行线的性质可得∠APC＝∠EDC.，利用勾股定理可得EC、DC、DE，结合勾股定理逆定理知△DCE是直角三角形，且∠DCE=90°，然后结合三角函数的概念进行计算.
4．（2022·随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，，则建筑物AB的高度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】设AB=x，由题意知，∠ACB=α，∠ADB=β，
∴，，
∵CD=BC-BD，
∴，
∴，即AB=，
故答案为：D.
【分析】利用解直角三角形分别表示出BD，BC的长；再根据CD=BC-BD=a，建立关于x的方程，解方程表示出x，即可得到建筑物AB的高.
5．（2022·杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．cosθ(1+cosθ) B．cosθ(1+sinθ)
C．sinθ(1+sinθ) D．sinθ(1+cosθ)
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形
【解析】【解答】解：当△ABC的高经过圆心时即点A和点A′重合时，此时△ABC的面积最大，
∵A′D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
BD=OBsinθ=sinθ，OD=OBcosθ=cosθ，
∴BC=2sinθ，AD=1+cosθ
∴.
故答案为：D.
【分析】当△ABC的高经过圆心时即点A和点A′重合时，此时△ABC的面积最大，利用垂径定理和圆周角定理可证得BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，利用解直角三角形表示出BD，OD的长，由此可得到AD，BC的长；然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的最大面积.
6．（2021·衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 的倾斜角为 ，大厅两层之间的距离 为6米，则自动扶梯 的长约为（ ）（ ）.
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，得：
∵ 米
∴ 米
故答案为：D.
【分析】由求出AB即可.
7．（2021·温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 .若 . ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用
【解析】【解答】∵在 中， ，
∴
在 中， ，
故答案为：A.
【分析】在 中，利用正弦三角函数定义求出OB，然后在 中，根据勾股定理求OC2即可.
8．（2021·滨州）如图， 是 的外接圆，CD是 的直径．若 ，弦 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AD，如图所示，
∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD= =8，
∴cos∠ADC= = ，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cos∠ABC的值为 ，
故答案为：A．
【分析】先连接AD，利用同弧所对的圆周角相等的到∠B=∠D，再直角三角形ADC中，利用余弦的定义求解即可。
9．（2022·乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2.作AE∥BC且AE=BC.点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点.那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，
∵AB=AC，
∴BD=DC=BC=1，
∵AE=BC，
∴AE=DC=1，
∵AE∥BC，
∴四边形AECD是矩形，
∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，
∴AD=2，则CE=AD=2，
当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，
当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN.
∵BC=2，CE=2，
由勾股定理得BE=4，
cos∠EBC=，即，
∴BF=8，
∵点N是CE的中点，点M是EF的中点，
∴MN=CF=3，
∴点M的运动路径长为3.
故答案为：B.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，根据等腰三角形的性质可得BD=DC=BC=1，由已知条件知AE=BC，则AE=DC=1，推出四边形AECD是矩形，利用△ABC的面积公式可得AD，当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，当点P与B重合时，点M的运动轨迹是线段MN，利用勾股定理求出BE，根据三角函数的概念可得BF，易得NM为△ECF的中位线，据此求解.
10．（2021·广州）如图，在 中， ， ， ，将 绕点A逆时针旋转得到 ，使点 落在AB边上，连结 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ．
∵ 绕点A逆时针旋转得到 ，
∴ ， ， ．
∴ ．
∴在 中，由勾股定理得 ．
∴ ．
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB=10，再根据旋转的性质和锐角三角函数计算求解即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·黔东南）如图，校园内有一株枯死的大树，距树12米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为45°，点的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：①米；②米；③若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.其中正确的是 .（填写序号，参考数值：，）
【答案】①③④
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D的水平线交AB于E，
∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，
∴四边形EACD为矩形，
∴ED=AC=12米，
①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+4故①正确；
②∵CD=AE=DEtan30°=4米，故②不正确；
③∵AB=18.8米＞12米，∴直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；故③正确；
④∵第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，
∴点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜12，
∴第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.故④正确
∴其中正确的是①③④.
故答案为①③④.
【分析】过点D的水平线交AB于E，易证四边形EACD是矩形，利用矩形的性质可求出DE的长，利用解直角三角形求出AB的长，可对①作出判断；利用CD=AE=DEtan30°，代入计算求出CD的长，可对②作出判断；利用AB的长，可对③作出判断；先求出点B到砍伐点的距离，再根据第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
12．（2022·盐城）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：
∵矩形ABCD中，
由旋转可知，
∵，
∴
∴线段AB扫过的面积
故答案为：
【分析】根据已知条件可得BC=1，根据矩形的性质可得AD=BC=1，∠D=∠DAB=90°，由旋转的性质可得AB=AB′=2，求出cos∠DAB′的值，得到∠DAB′、∠BAB′的度数，然后结合扇形的面积公式进行计算.
13．（2022·泰安）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH=BF，BH=DF，
∵斜坡的斜面坡度i=1：，
∴，
设DF=x m，CF=x m，
∴CD=，
∴x=10，
∴BH=DF=10m，CF=m，
∴DH=BF=+30（m），
∵∠ADH=30°，
∴AH=（m），
∴AB=AH+BH=（m），
故答案为：．
【分析】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，设DF=x m，CF=x m，先利用CD=，求出x的值，再利用锐角三角函数求出AH和BH的长，最后利用线段的和差可得AB的长。
14．（2021·常州）如图，在 中， ，点D、E分别在 、 上，点F在 内.若四边形 是边长为1的正方形，则 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，
∵四边形 是边长为1的正方形，
∴∠C=90°，
∴AB= ，
∵ ，
∴ ，
∴ FM=1，
∵BF= ，
∴ .
故答案是： .
【分析】连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，由正方形的性质可得∠C=90°，利用勾股定理可得AB的值，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系可求出FM的值，由勾股定理可得BF的值，最后根据三角函数的概念求解即可.
15．（2021·北部湾）如图，从楼顶 处看楼下荷塘 处的俯角为 ，看楼下荷塘 处的俯角为 ，已知楼高 为 米，则荷塘的宽 为 米.（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意知：∠BAC=90°-45°=45°，△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，tan∠BAC = ，AB=30米，
∴BC=AB tan45°=30米，
∵∠BAD=90°-60°=30°，tan∠BAD = ，
∴BD=AB tan30°= （米），
∴CD=BC-BD= （米）；
故答案为： .
【分析】利用已知易证△ABC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出BC的长；再在Rt△BAD中，利用解直角三角形求出BD的长；然后根据CD=BC-BD，可求出CD的长.
16．（2022·河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝ .
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴，
∴四边形ABEF是矩形，
由题意知，AD=2AB，
∴AF=AB，
∴矩形ABEF是正方形，
∴AB=BE，∠ABE=∠BEF=90°，
∵BG=EH，
∴△ABG≌△BEH（SAS），
∴∠BAG=∠EBH，
∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，
∴∠AOB=90°，
∵BG＝EH＝BE＝2，
∴BE=5，
∴AF=5，
∴，
∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，
∴△AOB∽△ABG，
∴，即，
∴，
∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°=∠AOB，
∴∠BOM=∠AON，
∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，
∴∠OBM=∠OAN，
∴△OBM～△OAN，
∴，
∵点N是AF的中点，
∴，
∴，解得：BM=1，
∴AM=AB-BM=4，
∴.
故答案为：.
【分析】易得AF=AD，BE=BC，由矩形的性质可得∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，则AF=BE=AD，由题意知：AD=2AB，则AF=AB，推出矩形ABEF是正方形，证明△ABG≌△BEH，得到∠BAG=∠EBH，进而得到∠AOB=90°，由已知条件可知BG＝EH＝BE＝2，则BE=AF=5，利用勾股定理求出AG，证明△AOB∽△ABG，根据相似三角形的性质可得OA、OB，由等角的余角相等可得∠OBM=∠OAN，证明△OBM～△OAN，然后相似三角形的性质可得BM，由AM=AB-BM可得AM，然后根据三角函数的概念进行计算.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2021·内江）计算： .
【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可.
18．（2021·德阳）计算：（﹣1）3+| 1|﹣（ ）﹣2+2cos45° .
【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质、负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值可得原式，据此计算.
19．（2022·鄂尔多斯）旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）
【答案】解：如图，设MN为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，ME为标杆影子，长为0.25m，
作DF⊥CD交AE于点F，作FH⊥AB于点H，
∵DFMN，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝5.6，
∴BH＝DF＝5.6，
在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°，
tan∠AFH＝，
∴tan80.5°＝≈6，
∴AH≈7.2，
∴旗杆AB的高度为5.6+7.2＝12.8（m）．
所以，旗杆AB的高度为12.8m．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
20．（2022·青海）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实.如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，，，，，且，求出垂尾模型ABCD的面积.（结果保留整数，参考数据：，）
图1 图2
【答案】解：过D作垂直的延长线于E，交于点F．
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴．
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】利用全等三角形的判定与性质和三角形的面积公式计算求解即可。
21．（2022·连云港）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点 处测得阿育王塔最高点 的仰角 ，再沿正对阿育王塔方向前进至 处测得最高点 的仰角 ， ；小亮在点 处竖立标杆 ，小亮的所在位置点 、标杆顶 、最高点 在一条直线上， ， .
（1）求阿育王塔的高度 ；
（2）求小亮与阿育王塔之间的距离 .
（注：结果精确到 ，参考数据： ， ， ）
【答案】（1）解：在Rt△CAE中，∠CAE=45°，
∴CE=AE，
∵AB=10m，
∴BE=AE-AB=（CE-10）m，
在Rt△CEB中，∠CBE=53°，
∴tan53°=，即tan53°（CE-10）=CE，
解得：CE≈40.58m.
答：阿育王塔的高度约为40.58m.
（2）解：∵CE⊥ED，FG⊥ED，
∴CE∥FG，
∴Rt△CED∽Rt△FGD，
∴，即，
∴ED≈54.11m.
答：小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11m.
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由等腰直角三角形性质得CE=AE，继而表示出BE=AE-AB=（CE-10）m，再在在Rt△CEB中，∠CBE=53°，利用角的正弦求得CE的长度，即可得阿育王塔的高度；
（2）由CE⊥ED，FG⊥ED得CE∥FG，即证出Rt△CED∽Rt△FGD，再由相似三角形对应比的比例关系得
，求出ED的长，即可得小亮与阿育王塔之间的距离.
22．（2022·舟山）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD=BE=10cm，CD=CE=5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE=40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A、B之间的距离．
(结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36．sin40°≈0.64．cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)
【答案】（1）解：如图2，过点C作CF⊥DE于点F，
∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°，
∴∠DCF=∠ECF=20°，DF=EF=DE，
∴在Rt△DFC中，sin20°=≈0.34，
∴DF=1.7cm，
∴DE=2DF=3.4cm.
（2）解：如图2，连接AB，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∴∠AGD=90°，
由题意可得：CF垂直平分AB，
∴DG∥CF，
∴∠GDC=∠DCF=20°，
又∵AD⊥CD，
∴∠A+∠ADG=∠GDC+∠ADG=90°，
∴∠A=∠GDC=20°，
∴在Rt△AGD中，AD=10cm，cos20°=≈0.94，
∴AG=9.4，
同理可得：HB=9.4，
∴AB=AG+GH+HB=AG+DE+HB=9.4+3.4+9.4=22.2cm.
答：点A、B之间的距离为22.2cm.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）如图2，过点C作CF⊥DE于点F，由等腰三角形性质可得∠DCF=∠ECF=20°，DF=EF=DE，再根据锐角三角函数定义，即在Rt△DFC中，sin20°=≈0.34，求得DF的长，进而求得DE的长；
（2）如图2，连接AB，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，∠AGD=90°，由题意得CF垂直平分AB，从而得DG∥CF，进而得∠GDC=∠DCF=20°，通过角互余等量代换得∠A=∠GDC=20°，
由cos20°=≈0.94，求得AG=9.4，同理得HB=9.4，最后由AB=AG+GH+HB代入数据计算即可求解.
23．（2021·徐州）如图，斜坡 的坡角 ，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点 ，过其另一端 安装支架 ， 所在的直线垂直于水平线 ，垂足为点 为 与 的交点.已知 ，前排光伏板的坡角 .
参考数据：
三角函数锐角 13° 28° 32°
0.22 0.47 0.53
0.97 0.88 0.85
0.23 0.53 0.62
（1）求 的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点 的太阳光线与 所成的角 .后排光伏板的前端 在 上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则 的最小值为多少（结果取整数）？
【答案】（1）解：在Rt△ADF中，
∴
=
=
=88cm
在Rt△AEF中，
∴
（2）解：设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，
则
∴
在Rt△ADF中，
在Rt△DFG中，
∴
∴AG=AF+FG=88+75.8=
∵AN⊥GD
∴∠ANG=90°
∴
在Rt△ANM中，
∴
∴
∴ 的最小值为 。
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△ADF中，由求出AF， 在Rt△AEF中，由求出AE即可；
（2） 设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，由三角形外角的性质可得=45°，利用解直角三角形分别求出DF、FG， 由AG=AF+FG求出AG， 由求出AN， 在Rt△ANM中，由求出AM，利用EM=AM-AE求出EM即得结论.
24．（2021·荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 的方向上，当海监船行驶 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东 方向上.
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
【答案】（1）解：如图1，作 ，交AB的延长线于C，
由题意知： ， .
设 ：则 ，
，
解得 ，
经检验： 是原方程的根，且符合题意，
（2）解： ，
.
因此海监船继续向东航行有触礁危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，
以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，∴∠PDB=90°，
由（1）得：
∴ ，
∴∠PBD=60°，
∴∠CBD=15°，
∴海监船由B处开始沿南偏东小于 的方向航行能安全通过这一海域
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1） 作 ，交AB的延长线于C，设 ， ， 由，解出x值即可；
（2）先判断出海监船继续向东航行有触礁危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD， 以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，可得∠PDB=90°，
由（1）得可得，据此可得∠PBD=60°，由∠CBD=∠PBD-∠PBC，求出∠CBD的度数即可.
25．（2022·岳阳）如图，和的顶点重合，，，，.
（1）特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论： ，直线与直线的位置关系是 ；
（2）探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值.
【答案】（1）；垂直
（2）解：结论成立.
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点.
∵，，
∴，
∴.
∵，
∴，，
当时，四边形是矩形，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴，此时.
故答案为：，垂直；
【分析】（1）根据三角函数的概念可得AB=BC=，BD=BE=，易得EC=BC-BE=1，AD=AB-BD=，据此求解；
（2）根据同角的余角相等可得∠ABD=∠CBE，证明△ABD∽△CBE，由相似三角形的性质可得
=，∠ADB=∠BEC，由邻补角的性质可得∠ADB+∠CDB=180°，结合∠DBE=90°可得∠DCE=90°，据此解答；
（3）过B作BJ⊥AC于点J，设BD交AK于点K，过K作KT⊥AC于点K，易得∠ABJ=60°，∠KBJ=60°-α，根据三角函数的概念可得BJ、AJ，当DF=BE时，四边形BEFD是矩形，利用勾股定理可得AD，设KT=m，则AT=m，AK=2m，根据三角函数的概念可得BT，由AB=AT+BT可得m，然后求出AK、KJ，再根据三角函数的概念计算即可.
1 / 12023年春季浙教版数学九年级下册第一章 《解直角三角形》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·北部湾）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 ，则高BC是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
2．（2022·陕西）如图，是的高，若，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，，则建筑物AB的高度为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．cosθ(1+cosθ) B．cosθ(1+sinθ)
C．sinθ(1+sinθ) D．sinθ(1+cosθ)
6．（2021·衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 的倾斜角为 ，大厅两层之间的距离 为6米，则自动扶梯 的长约为（ ）（ ）.
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
7．（2021·温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 .若 . ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·滨州）如图， 是 的外接圆，CD是 的直径．若 ，弦 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2.作AE∥BC且AE=BC.点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点.那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B．3 C． D．4
10．（2021·广州）如图，在 中， ， ， ，将 绕点A逆时针旋转得到 ，使点 落在AB边上，连结 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·黔东南）如图，校园内有一株枯死的大树，距树12米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为45°，点的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：①米；②米；③若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.其中正确的是 .（填写序号，参考数值：，）
12．（2022·盐城）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为 ．
13．（2022·泰安）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是 ．
14．（2021·常州）如图，在 中， ，点D、E分别在 、 上，点F在 内.若四边形 是边长为1的正方形，则 .
15．（2021·北部湾）如图，从楼顶 处看楼下荷塘 处的俯角为 ，看楼下荷塘 处的俯角为 ，已知楼高 为 米，则荷塘的宽 为 米.（结果保留根号）
16．（2022·河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝ .
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2021·内江）计算： .
18．（2021·德阳）计算：（﹣1）3+| 1|﹣（ ）﹣2+2cos45° .
19．（2022·鄂尔多斯）旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）
20．（2022·青海）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实.如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，，，，，且，求出垂尾模型ABCD的面积.（结果保留整数，参考数据：，）
图1 图2
21．（2022·连云港）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点 处测得阿育王塔最高点 的仰角 ，再沿正对阿育王塔方向前进至 处测得最高点 的仰角 ， ；小亮在点 处竖立标杆 ，小亮的所在位置点 、标杆顶 、最高点 在一条直线上， ， .
（1）求阿育王塔的高度 ；
（2）求小亮与阿育王塔之间的距离 .
（注：结果精确到 ，参考数据： ， ， ）
22．（2022·舟山）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD=BE=10cm，CD=CE=5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE=40°．
（1）连结DE，求线段DE的长．
（2）求点A、B之间的距离．
(结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36．sin40°≈0.64．cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)
23．（2021·徐州）如图，斜坡 的坡角 ，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点 ，过其另一端 安装支架 ， 所在的直线垂直于水平线 ，垂足为点 为 与 的交点.已知 ，前排光伏板的坡角 .
参考数据：
三角函数锐角 13° 28° 32°
0.22 0.47 0.53
0.97 0.88 0.85
0.23 0.53 0.62
（1）求 的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点 的太阳光线与 所成的角 .后排光伏板的前端 在 上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则 的最小值为多少（结果取整数）？
24．（2021·荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 的方向上，当海监船行驶 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东 方向上.
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
25．（2022·岳阳）如图，和的顶点重合，，，，.
（1）特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论： ，直线与直线的位置关系是 ；
（2）探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα= ，
∴BC= sinα AB=12 sinα（米）.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数的概念可得BC=AB·sinα，据此计算.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵直角△ADC中，，
∴，
∴直角△ABD中，由勾股定理可得，.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件知BD=2CD=6，则CD=3，根据三角函数的概念可得AD，然后利用勾股定理进行计算.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图.
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC.
在△DCE中，有，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝.
故答案为：B.
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，根据平行线的性质可得∠APC＝∠EDC.，利用勾股定理可得EC、DC、DE，结合勾股定理逆定理知△DCE是直角三角形，且∠DCE=90°，然后结合三角函数的概念进行计算.
4．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】设AB=x，由题意知，∠ACB=α，∠ADB=β，
∴，，
∵CD=BC-BD，
∴，
∴，即AB=，
故答案为：D.
【分析】利用解直角三角形分别表示出BD，BC的长；再根据CD=BC-BD=a，建立关于x的方程，解方程表示出x，即可得到建筑物AB的高.
5．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形
【解析】【解答】解：当△ABC的高经过圆心时即点A和点A′重合时，此时△ABC的面积最大，
∵A′D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
BD=OBsinθ=sinθ，OD=OBcosθ=cosθ，
∴BC=2sinθ，AD=1+cosθ
∴.
故答案为：D.
【分析】当△ABC的高经过圆心时即点A和点A′重合时，此时△ABC的面积最大，利用垂径定理和圆周角定理可证得BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，利用解直角三角形表示出BD，OD的长，由此可得到AD，BC的长；然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的最大面积.
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，得：
∵ 米
∴ 米
故答案为：D.
【分析】由求出AB即可.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用
【解析】【解答】∵在 中， ，
∴
在 中， ，
故答案为：A.
【分析】在 中，利用正弦三角函数定义求出OB，然后在 中，根据勾股定理求OC2即可.
8．【答案】A
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AD，如图所示，
∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD= =8，
∴cos∠ADC= = ，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cos∠ABC的值为 ，
故答案为：A．
【分析】先连接AD，利用同弧所对的圆周角相等的到∠B=∠D，再直角三角形ADC中，利用余弦的定义求解即可。
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，
∵AB=AC，
∴BD=DC=BC=1，
∵AE=BC，
∴AE=DC=1，
∵AE∥BC，
∴四边形AECD是矩形，
∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，
∴AD=2，则CE=AD=2，
当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，
当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN.
∵BC=2，CE=2，
由勾股定理得BE=4，
cos∠EBC=，即，
∴BF=8，
∵点N是CE的中点，点M是EF的中点，
∴MN=CF=3，
∴点M的运动路径长为3.
故答案为：B.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，根据等腰三角形的性质可得BD=DC=BC=1，由已知条件知AE=BC，则AE=DC=1，推出四边形AECD是矩形，利用△ABC的面积公式可得AD，当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，当点P与B重合时，点M的运动轨迹是线段MN，利用勾股定理求出BE，根据三角函数的概念可得BF，易得NM为△ECF的中位线，据此求解.
10．【答案】C
【知识点】解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ．
∵ 绕点A逆时针旋转得到 ，
∴ ， ， ．
∴ ．
∴在 中，由勾股定理得 ．
∴ ．
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB=10，再根据旋转的性质和锐角三角函数计算求解即可。
11．【答案】①③④
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D的水平线交AB于E，
∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，
∴四边形EACD为矩形，
∴ED=AC=12米，
①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+4故①正确；
②∵CD=AE=DEtan30°=4米，故②不正确；
③∵AB=18.8米＞12米，∴直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；故③正确；
④∵第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，
∴点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜12，
∴第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.故④正确
∴其中正确的是①③④.
故答案为①③④.
【分析】过点D的水平线交AB于E，易证四边形EACD是矩形，利用矩形的性质可求出DE的长，利用解直角三角形求出AB的长，可对①作出判断；利用CD=AE=DEtan30°，代入计算求出CD的长，可对②作出判断；利用AB的长，可对③作出判断；先求出点B到砍伐点的距离，再根据第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
12．【答案】
【知识点】矩形的性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：
∵矩形ABCD中，
由旋转可知，
∵，
∴
∴线段AB扫过的面积
故答案为：
【分析】根据已知条件可得BC=1，根据矩形的性质可得AD=BC=1，∠D=∠DAB=90°，由旋转的性质可得AB=AB′=2，求出cos∠DAB′的值，得到∠DAB′、∠BAB′的度数，然后结合扇形的面积公式进行计算.
13．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH=BF，BH=DF，
∵斜坡的斜面坡度i=1：，
∴，
设DF=x m，CF=x m，
∴CD=，
∴x=10，
∴BH=DF=10m，CF=m，
∴DH=BF=+30（m），
∵∠ADH=30°，
∴AH=（m），
∴AB=AH+BH=（m），
故答案为：．
【分析】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，设DF=x m，CF=x m，先利用CD=，求出x的值，再利用锐角三角函数求出AH和BH的长，最后利用线段的和差可得AB的长。
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，
∵四边形 是边长为1的正方形，
∴∠C=90°，
∴AB= ，
∵ ，
∴ ，
∴ FM=1，
∵BF= ，
∴ .
故答案是： .
【分析】连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，由正方形的性质可得∠C=90°，利用勾股定理可得AB的值，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系可求出FM的值，由勾股定理可得BF的值，最后根据三角函数的概念求解即可.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意知：∠BAC=90°-45°=45°，△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，tan∠BAC = ，AB=30米，
∴BC=AB tan45°=30米，
∵∠BAD=90°-60°=30°，tan∠BAD = ，
∴BD=AB tan30°= （米），
∴CD=BC-BD= （米）；
故答案为： .
【分析】利用已知易证△ABC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出BC的长；再在Rt△BAD中，利用解直角三角形求出BD的长；然后根据CD=BC-BD，可求出CD的长.
16．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴，
∴四边形ABEF是矩形，
由题意知，AD=2AB，
∴AF=AB，
∴矩形ABEF是正方形，
∴AB=BE，∠ABE=∠BEF=90°，
∵BG=EH，
∴△ABG≌△BEH（SAS），
∴∠BAG=∠EBH，
∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，
∴∠AOB=90°，
∵BG＝EH＝BE＝2，
∴BE=5，
∴AF=5，
∴，
∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，
∴△AOB∽△ABG，
∴，即，
∴，
∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°=∠AOB，
∴∠BOM=∠AON，
∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，
∴∠OBM=∠OAN，
∴△OBM～△OAN，
∴，
∵点N是AF的中点，
∴，
∴，解得：BM=1，
∴AM=AB-BM=4，
∴.
故答案为：.
【分析】易得AF=AD，BE=BC，由矩形的性质可得∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，则AF=BE=AD，由题意知：AD=2AB，则AF=AB，推出矩形ABEF是正方形，证明△ABG≌△BEH，得到∠BAG=∠EBH，进而得到∠AOB=90°，由已知条件可知BG＝EH＝BE＝2，则BE=AF=5，利用勾股定理求出AG，证明△AOB∽△ABG，根据相似三角形的性质可得OA、OB，由等角的余角相等可得∠OBM=∠OAN，证明△OBM～△OAN，然后相似三角形的性质可得BM，由AM=AB-BM可得AM，然后根据三角函数的概念进行计算.
17．【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可.
18．【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质、负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值可得原式，据此计算.
19．【答案】解：如图，设MN为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，ME为标杆影子，长为0.25m，
作DF⊥CD交AE于点F，作FH⊥AB于点H，
∵DFMN，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝5.6，
∴BH＝DF＝5.6，
在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°，
tan∠AFH＝，
∴tan80.5°＝≈6，
∴AH≈7.2，
∴旗杆AB的高度为5.6+7.2＝12.8（m）．
所以，旗杆AB的高度为12.8m．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
20．【答案】解：过D作垂直的延长线于E，交于点F．
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴．
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】利用全等三角形的判定与性质和三角形的面积公式计算求解即可。
21．【答案】（1）解：在Rt△CAE中，∠CAE=45°，
∴CE=AE，
∵AB=10m，
∴BE=AE-AB=（CE-10）m，
在Rt△CEB中，∠CBE=53°，
∴tan53°=，即tan53°（CE-10）=CE，
解得：CE≈40.58m.
答：阿育王塔的高度约为40.58m.
（2）解：∵CE⊥ED，FG⊥ED，
∴CE∥FG，
∴Rt△CED∽Rt△FGD，
∴，即，
∴ED≈54.11m.
答：小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11m.
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由等腰直角三角形性质得CE=AE，继而表示出BE=AE-AB=（CE-10）m，再在在Rt△CEB中，∠CBE=53°，利用角的正弦求得CE的长度，即可得阿育王塔的高度；
（2）由CE⊥ED，FG⊥ED得CE∥FG，即证出Rt△CED∽Rt△FGD，再由相似三角形对应比的比例关系得
，求出ED的长，即可得小亮与阿育王塔之间的距离.
22．【答案】（1）解：如图2，过点C作CF⊥DE于点F，
∵CD=CE=5cm，∠DCE=40°，
∴∠DCF=∠ECF=20°，DF=EF=DE，
∴在Rt△DFC中，sin20°=≈0.34，
∴DF=1.7cm，
∴DE=2DF=3.4cm.
（2）解：如图2，连接AB，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∴∠AGD=90°，
由题意可得：CF垂直平分AB，
∴DG∥CF，
∴∠GDC=∠DCF=20°，
又∵AD⊥CD，
∴∠A+∠ADG=∠GDC+∠ADG=90°，
∴∠A=∠GDC=20°，
∴在Rt△AGD中，AD=10cm，cos20°=≈0.94，
∴AG=9.4，
同理可得：HB=9.4，
∴AB=AG+GH+HB=AG+DE+HB=9.4+3.4+9.4=22.2cm.
答：点A、B之间的距离为22.2cm.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）如图2，过点C作CF⊥DE于点F，由等腰三角形性质可得∠DCF=∠ECF=20°，DF=EF=DE，再根据锐角三角函数定义，即在Rt△DFC中，sin20°=≈0.34，求得DF的长，进而求得DE的长；
（2）如图2，连接AB，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，∠AGD=90°，由题意得CF垂直平分AB，从而得DG∥CF，进而得∠GDC=∠DCF=20°，通过角互余等量代换得∠A=∠GDC=20°，
由cos20°=≈0.94，求得AG=9.4，同理得HB=9.4，最后由AB=AG+GH+HB代入数据计算即可求解.
23．【答案】（1）解：在Rt△ADF中，
∴
=
=
=88cm
在Rt△AEF中，
∴
（2）解：设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，
则
∴
在Rt△ADF中，
在Rt△DFG中，
∴
∴AG=AF+FG=88+75.8=
∵AN⊥GD
∴∠ANG=90°
∴
在Rt△ANM中，
∴
∴
∴ 的最小值为 。
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△ADF中，由求出AF， 在Rt△AEF中，由求出AE即可；
（2） 设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，由三角形外角的性质可得=45°，利用解直角三角形分别求出DF、FG， 由AG=AF+FG求出AG， 由求出AN， 在Rt△ANM中，由求出AM，利用EM=AM-AE求出EM即得结论.
24．【答案】（1）解：如图1，作 ，交AB的延长线于C，
由题意知： ， .
设 ：则 ，
，
解得 ，
经检验： 是原方程的根，且符合题意，
（2）解： ，
.
因此海监船继续向东航行有触礁危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，
以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，∴∠PDB=90°，
由（1）得：
∴ ，
∴∠PBD=60°，
∴∠CBD=15°，
∴海监船由B处开始沿南偏东小于 的方向航行能安全通过这一海域
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1） 作 ，交AB的延长线于C，设 ， ， 由，解出x值即可；
（2）先判断出海监船继续向东航行有触礁危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD， 以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，可得∠PDB=90°，
由（1）得可得，据此可得∠PBD=60°，由∠CBD=∠PBD-∠PBC，求出∠CBD的度数即可.
25．【答案】（1）；垂直
（2）解：结论成立.
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点.
∵，，
∴，
∴.
∵，
∴，，
当时，四边形是矩形，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
∴，此时.
故答案为：，垂直；
【分析】（1）根据三角函数的概念可得AB=BC=，BD=BE=，易得EC=BC-BE=1，AD=AB-BD=，据此求解；
（2）根据同角的余角相等可得∠ABD=∠CBE，证明△ABD∽△CBE，由相似三角形的性质可得
=，∠ADB=∠BEC，由邻补角的性质可得∠ADB+∠CDB=180°，结合∠DBE=90°可得∠DCE=90°，据此解答；
（3）过B作BJ⊥AC于点J，设BD交AK于点K，过K作KT⊥AC于点K，易得∠ABJ=60°，∠KBJ=60°-α，根据三角函数的概念可得BJ、AJ，当DF=BE时，四边形BEFD是矩形，利用勾股定理可得AD，设KT=m，则AT=m，AK=2m，根据三角函数的概念可得BT，由AB=AT+BT可得m，然后求出AK、KJ，再根据三角函数的概念计算即可.
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