2023年春季浙教版数学九年级下册第二章 《直线与圆的位置关系》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·长沙）如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·眉山）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=28°，则∠APB的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·自贡） 为⊙ 外一点， 与⊙ 相切于点 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B．5 C．8 D．9
4．（2022·重庆）如图，AB是⊙O的直径，C为 ⊙O上一点，过点 C的切线与 AB 的延长线交于点 P，若 AC=PC= ，则 PB 的长为（ ）
A． B． C． D．3
5．（2021·荆门）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·益阳）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ）
A．I到AB，AC边的距离相等 B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心 D．I到A，B，C三点的距离相等
7．（2022·娄底）如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·泰安）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
9．（2022·深圳）如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，则和面积之比为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·哈尔滨）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·泰州）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为 °.
12．（2022·黔东南）如图，在中，，半径为3cm的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是 cm2.（结果用含的式子表示）
13．（2022·泸州）如图，在中，，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为 .
14．（2022·宁波）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为
15．（2022·连云港）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点，连接 ，与 交于点 ，连接 .若 ，则 .
16．（2022·泰州）如图上，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．
18．（2022·济南）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD；
（2）若AB＝12，求线段BF的长．
19．（2022·鄂尔多斯）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长．
20．（2022·朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
21．（2022·青海）如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，求BE的长．
22．（2022·梧州）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作 ，且 .连接AD，分别交 于点E，F，与 交于点G，若 .
（1）求证：① ；
②CD是 的切线.
（2）求 的值.
23．（2022·恩施）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C.
（1）求证：∠ADE=∠PAE.
（2）若∠ADE=30°，求证：AE=PE.
（3）若PE=4，CD=6，求CE的长.
24．（2022·柳州）如图，已知 是 的直径，点 是 上异于 ， 的点，点 是 的中点，连接 ， ， ，过点 作 交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ， 的平分线 交 于点 ，交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求 的值；
（3）若 ， ，求 的直径．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB是的切线，
∴，
，
，
则.
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，根据垂直的概念可得∠PAO=∠PBO=90°，然后结合四边形内角和为360°进行计算.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=28°，
∴∠AOB=124°，
∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥AB，
∴∠OAP+∠OBP=180°，
∴∠APB+∠AOB=180°；
∴∠APB=56°.
故答案为：C.
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA=28°，结合三角形的内角和定理可得∠AOB=124°，根据切线的性质可得OA⊥PA，OP⊥AB，则∠OAP+∠OBP=180°，结合四边形内角和为360°可得∠APB+∠AOB=180°，据此计算.
3．【答案】A
【知识点】切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OT，
∵PT是圆O的切线，
∴∠PTO=90°，
在Rt△PTO中
.
故答案为：A.
【分析】连接OT，利用圆的切线垂直于过切点的半径，可得到∠PTO=90°，再利用解直角三角形求出PT的长.
4．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，分别连接OC、BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=PC=3，OC=OA，
∴∠P=∠A=∠OCA，
∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∴∠P+∠BOC=90°，
∵∠OCA+∠BCO=90°，
∴∠BCO=∠BOC，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠POC=60°，∠P=∠PCB=30°，
∴PB=BC，
∵BC=OC===3，
∴PB=3.
故答案为：D.
【分析】分别连接OC、BC，由圆周角定理得∠ACB=90°，由等腰三角形性质得∠P=∠A=∠OCA，再由切线性质和圆周角定理得∠P+∠BOC=90°，∠OCA+∠BCO=90°，从而得∠BCO=∠BOC，进而得到三角形BOC是等边三角形，即得∠POC=60°，∠P=∠PCB=30°，从而可推出PB=BC，由直角三角形性质可求出BC=OC===3，进而可求得PB的长.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解： PA，PB是⊙O的切线，
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得PA=PB，利用等边对等角可得，利用三角形内角和求出∠PBA=55°，根据垂直的定义可得∠OBP=90°，利用∠ABO=∠OBP-∠PBA即可求出结论.
6．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心；角平分线的概念
【解析】【解答】解：A、∵BD平分∠ABC，I是BD上的一点
∴I到AB，AC边的距离相等，故A不符合题意；
B、由作图可知，AE是∠BAC的平分线，
∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点I，
∴CI平分∠ACB，故B不符合题意；
C，∵I是△ABC的三个角的平分线的交点，
∴I是△ABC的内心，故C不符合题意；
D、∵I到AB，AC，BC的距离相等，
∴I不是到A，B，C三点的距离相等，故D符合题意
故答案为：D.
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可对A作出判断；由作图可知，AE是∠BAC的平分线，根据三角形三条角平分线交于一点I，可对B作出判断；再根据三角形的三个角的平分线的交点是三角形的内心，可对C作出判断；利用角平分线的性质，可对D作出判断.
7．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，
由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，
令BC=2a，则BD=a，
在等边三角形ABC中
AD⊥BC，OB平分∠ABC，
∴∠OBD=∠ABC=30°，
由勾股定理，得AD=，
在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=，
∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比为.
故答案为：A.
【分析】令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，由题可知：圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据等边三角形的性质可得AD⊥BC，∠OBD=30°，利用勾股定理可得AD，根据三角函数的概念可得OD，然后结合圆的面积公式进行计算.
8．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DI=DC=DM，
∴∠ICM=90°，
∴CM==8，
∵AI=2CD=10，
∴AI=IM，
∵AE=EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IE=CM=4，
故答案为：C．
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM，先利用勾股定理求出CM的长，再证明IE是△ACM的中位线，即可得到IE=CM=4。
9．【答案】B
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【解答】解：如图，连接OC，连接．
∵是圆O的直径．
∴．
∵与圆O相切．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
又∵．
∴．
∵，，．
∴．
∴．
∵点O是的中点．
∴．
∴．
∴
故答案是：1∶2．
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
10．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】解：PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
11．【答案】32
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C=∠O=32°.
故答案为：32.
【分析】连接OA，根据切线的性质可得∠PAO=90°，则根据三角形的内角和求出∠O的度数，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠C的度数.
12．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
【解析】【解答】∵内切圆圆心是三条角平分线的交点
∴；
设，
在中：
在中：
由①②得：
扇形面积：（cm2）
故答案为：
【分析】利用三角形的内切圆可知内切圆圆心是三条角平分线的交点，利用角平分线的定义可设∠ABO=∠CBO=a，∠ACO=∠BCO=b，利用三角形的内角和定理，可得到∠A+2a+2b=180°，∠DOE+a+b=180°，从而可求出∠DOE的度数；然后利用扇形的面积公式求出阴影部分的面积.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设直线AO交于M点（M在O点右边），则点A到上的点的距离的最大值为AM的长度，当与AB、BC相切时，AM最长
设切点分别为D、F，连接OB，如图
∵，，
∴，
∴
∵与AB、BC相切
∴
∵的半径为1
∴
∴
∴
∴
∴
∴点到上的点的距离的最大值为.
故答案为：.
【分析】设直线AO交⊙O于M点（M在O点右边），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为AM的长度，当⊙O与AB、BC相切时，AM最长，设切点分别为D、F，连接OB，求出tanB的值，可得∠B=60°，根据勾股定理可得AB的值，根据切线的性质可得∠OBD=30°，根据三角函数的概念可得BD，由AD=AB-DB可得AD，利用勾股定理求出OA，然后根据AM=OA+OM进行计算.
14．【答案】 或
【知识点】勾股定理；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，
∵圆与AC相切于点A，
∴OA⊥AC，
①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径=r，
∴OA=r，OC=4-r，
∴ AC=4，
在Rt△AOC中，
∵OA2+AC2=OC2，即r2+4= (4-r)2，
解得：r=，
∴AD=AO=；
②当∠ADC=90°时，
∵，
，
∵AO=，AC=2，OC=4-r=，
∴AD=，
综上所述，AD的长为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，分两种情况讨论，即①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径=r，在Rt△AOC中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答；②当∠ADC=90°时，根据等面积法解答即可.
15．【答案】49
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是直径，AC是切线，
∴∠A=90°，
∵∠AOD=82°，
∴∠B=41°，
∴∠C=90°-41°=49°.
故答案为：49.
【分析】根据切线的性质得出∠A=90°，根据圆周角定理得出∠B=∠AOD=41°，即可得出∠C=90°-41°=49°.
16．【答案】2或
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图，作，，连接OB，则OD⊥AC，
∵，
∴
∵O为的内心，
∴，
∴
∴，
同理，，
∴DE=CD+BE，
∵O为的内心，
∴，
∴
∴
∴
②如图，作，
由①知，，，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：2或.
【分析】作DE∥BC，OF∥BC，OG∥AB，连接OB，则OD⊥AC，由平行线的性质得∠OBF=∠BOE，根据内心的概念可得∠OBF=∠OBE，推出BE=OE，同理可得CD=OD，则DE=CD+BE，利用勾股定理可得AB，根据内心的概念可得OF=OD=OG=CD，则BF=BG，AD=AC，AB=BG+AG=6-CD+8-CD=10，据此可得CD的值；作DE⊥AB，则BE=4，AE=6，易证△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质可得AD的值，由CD=AC-AD可得AD，利用勾股定理可得DE，由DE=BE+CD就可求出CD的值.
17．【答案】（1）解：结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠CBE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC//BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵OC⊥DC，CD⊥DB，
∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，
∴四边形CDEJ是矩形，
∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，
∴OC⊥AE，
∴AJ＝EJ，
∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，
∴DE＝3，CD＝4，
∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，
在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，
∴r＝，
∴⊙O的半径为．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先求出 ∠OCB＝∠OBC， 再求出 OC//BD， 最后证明求解即可；
（2）先求出 AJ＝EJ， 再利用勾股定理计算求解即可。
18．【答案】（1）证明：连接
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵所对的圆周角为，圆心角为，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵为直径，
∴，
在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后利用锐角三角函数计算求解即可。
19．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，∵E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC＝，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，∴∠C＝∠ABD，在Rt△ABC中，AC＝＝，∵OA＝OB，BE＝CE，∴OE＝．
【知识点】切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10， 再利用锐角三角函数计算求解即可。
20．【答案】（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，
∴∠DAF=∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC=90°，
∴，
∵AC是直径，
∴AF是⊙O的切线
（2）解：作于点H，
∵⊙O的半径为5，
∴AC=10，
∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，
∴△ADH～△ACD，
∴，
∴，
∵AD＝6，
∴，
∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°，
∴AD=ED，
．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明，再结合AC是直径，可得AF是⊙O的切线；
（2）作于点H，先证明△ADH～△ACD，可得，再将数据代入求出，再利用中位线的性质可得。
21．【答案】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设为x，
∴，
∴，
解得：，
即的长为2．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后解方程即可。
22．【答案】（1）证明：①∵ ，
∴∠D=∠A，
且对顶角∠CFD=∠BFA，
∴ ；
②∵OB=CO，
∴∠OCB=∠ABC=45°，
∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°，
∵ ，
∴∠OCD=∠COB=90°，
∴CD是圆O的切线
（2）解：连接DB，连接BG交CD于M点，如下图所示：
∵ 且CD=BO，
∴四边形COBD为平行四边形，
∵∠COD=90°，CO=BO，
∴四边形COBD为正方形，
由(1)知： ，
∴ ，
∵CE∥DB，
∴ ，
∴ ，即E为CO的中点，
∵AB是半圆的直径，
∴∠AGB=∠BGD=90°，
∴∠GBD+∠BDG=90°=∠BDC=∠BDG+∠EDC，
∴∠GBD=∠EDC，
且BD=CD，∠BDM=∠DCE=90°，
∴△BDM≌△DCE(ASA)，
∴DM=CE，即M为CD的中点，
设CM=x，则DB=CD=2x， ，
由勾股定理知： ，
在Rt△MBD中由等面积法知： ，
代入数据得到： ，解得 ，
在Rt△DGB中由勾股定理可知： ，
又 且其相似比为 ，
∴ ，
在Rt△BFG中由勾股定理可知： ，
∴ ，
∴
【知识点】平行线的性质；正方形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据平行线的性质可得∠D=∠A，由对顶角的性质可得∠CFD=∠BFA，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；②根据等腰三角形的性质可得∠OCB=∠ABC=45°，结合内角和定理可得∠COB=90°，由平行线的性质可得∠OCD=∠COB=90°，据此证明；
（2）连接DB，连接BG交CD于M点，易得四边形COBD为正方形，根据相似三角形的对应边成比例可得 ，易证△CEF∽△BDF，结合相似三角形的性质可得E为CO的中点，根据圆周角定理可得∠AGB=∠BGD=90°，由同角的余角相等可得∠GBD=∠EDC，证明△BDM≌△DCE，得到DM=CE，设CM=x，则DB=CD=2x，BC=x，利用勾股定理可得BM，根据三角形的面积公式可得DG，利用勾股定理表示出BG，根据相似三角形的性质可得BF，由EF=DE-DG-FG可得EF，据此求解.
23．【答案】（1）证明：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠PAE=90°，
∵DE为⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，即∠OAE+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠PAE，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADE，
∴∠ADE=∠PAE；
（2）证明：∵∠ADE=30°，
由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED=90°-∠ADE=60°，
∴∠APE=∠AED-∠PAE =30°，
∴∠APE=∠PAE =30°，
∴AE=PE；
（3）解：∵PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交AB于点C.
∴AB⊥PD，
∵∠DAE=90°，∠OAP=90°，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠OAC+∠PAC=90°，
∵∠DAC+∠D=90°，∠OAC+∠AOC=90°，
∴∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，
∴Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，
∴AC2=DC×CE，AC2=OC×PC，
即DC×CE=OC×PC，
设CE=x，则DE=6+x，OE=3+，OC=3+-x=3-，PC=4+x，
∴6x=（3-）（ 4+x），
整理得：x2+10x-24=0，
解得：x=2（负值已舍）.
∴CE的长为2.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得∠OAP=90°，由圆周角定理得∠DAE=90°，根据同角的余角相等得∠DAO=∠PAE，由等腰三角形的性质得∠DAO=∠ADE，据此可得结论；
（2）由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，则∠AED=90°-∠ADE=60°，∠APE=∠AED-∠PAE =30°，则∠APE=∠PAE =30°，据此证明；
（3）由切线的性质得AB⊥PD，由同角的余角相等得∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，证明Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，根据相似三角形的性质可得DC×CE=OC×PC，设CE=x，则DE=6+x，OE=3+，OC=3-，PC=4+x，代入求解可得x的值.
24．【答案】（1）证明：连接 ．
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是 的切线．
（2）解： 是直径，
，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
， ，
，
；
（3）解：过点 作 于点 ， 于点 ．
平分 ，
，
，
是等腰直角三角形， ，
，
，
设 ， ，
， ，
∽ ，
，
，
平分 ，
，
，
， ， ，
，
的直径为
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）连接OF，根据等腰三角形的性质可得∠OAF=∠OFA，根据圆周角定理可得∠CAF=∠FAB，则∠CAF=∠AFO，推出OF∥AC，结合AC⊥CD可得OF⊥CD，据此证明；
（2）根据圆周角定理可得∠AFB=90°，根据垂直的概念可得∠OFD=90°，根据同角的余角相等可得∠AFO=∠DFB，由等腰三角形的性质可得∠OAF=∠OFA，则∠DFB=∠OAF，根据角平分线的概念可得∠ADG=∠FDG，由外角的性质可得∠FGH=∠OAF+∠ADG，∠FHG=∠DFB+∠FDG，推出∠FGH=∠FHG=45°，然后根据特殊角的三角函数值进行计算；
（3）过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N，根据角平分线的性质可得HM=HN，根据三角形的面积公式可得 ，根据等腰直角三角形的性质可得FH=FG=4，则 ，设DB=k，DF=2k，证明△DFB∽△DAF，根据相似三角形的性质可得AD=4k，根据角平分线的性质可得AG，然后利用勾股定理进行计算.
1 / 12023年春季浙教版数学九年级下册第二章 《直线与圆的位置关系》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·长沙）如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB是的切线，
∴，
，
，
则.
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，根据垂直的概念可得∠PAO=∠PBO=90°，然后结合四边形内角和为360°进行计算.
2．（2022·眉山）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=28°，则∠APB的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=28°，
∴∠AOB=124°，
∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥AB，
∴∠OAP+∠OBP=180°，
∴∠APB+∠AOB=180°；
∴∠APB=56°.
故答案为：C.
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA=28°，结合三角形的内角和定理可得∠AOB=124°，根据切线的性质可得OA⊥PA，OP⊥AB，则∠OAP+∠OBP=180°，结合四边形内角和为360°可得∠APB+∠AOB=180°，据此计算.
3．（2022·自贡） 为⊙ 外一点， 与⊙ 相切于点 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B．5 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OT，
∵PT是圆O的切线，
∴∠PTO=90°，
在Rt△PTO中
.
故答案为：A.
【分析】连接OT，利用圆的切线垂直于过切点的半径，可得到∠PTO=90°，再利用解直角三角形求出PT的长.
4．（2022·重庆）如图，AB是⊙O的直径，C为 ⊙O上一点，过点 C的切线与 AB 的延长线交于点 P，若 AC=PC= ，则 PB 的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，分别连接OC、BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=PC=3，OC=OA，
∴∠P=∠A=∠OCA，
∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∴∠P+∠BOC=90°，
∵∠OCA+∠BCO=90°，
∴∠BCO=∠BOC，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠POC=60°，∠P=∠PCB=30°，
∴PB=BC，
∵BC=OC===3，
∴PB=3.
故答案为：D.
【分析】分别连接OC、BC，由圆周角定理得∠ACB=90°，由等腰三角形性质得∠P=∠A=∠OCA，再由切线性质和圆周角定理得∠P+∠BOC=90°，∠OCA+∠BCO=90°，从而得∠BCO=∠BOC，进而得到三角形BOC是等边三角形，即得∠POC=60°，∠P=∠PCB=30°，从而可推出PB=BC，由直角三角形性质可求出BC=OC===3，进而可求得PB的长.
5．（2021·荆门）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解： PA，PB是⊙O的切线，
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得PA=PB，利用等边对等角可得，利用三角形内角和求出∠PBA=55°，根据垂直的定义可得∠OBP=90°，利用∠ABO=∠OBP-∠PBA即可求出结论.
6．（2022·益阳）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ）
A．I到AB，AC边的距离相等 B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心 D．I到A，B，C三点的距离相等
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心；角平分线的概念
【解析】【解答】解：A、∵BD平分∠ABC，I是BD上的一点
∴I到AB，AC边的距离相等，故A不符合题意；
B、由作图可知，AE是∠BAC的平分线，
∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点I，
∴CI平分∠ACB，故B不符合题意；
C，∵I是△ABC的三个角的平分线的交点，
∴I是△ABC的内心，故C不符合题意；
D、∵I到AB，AC，BC的距离相等，
∴I不是到A，B，C三点的距离相等，故D符合题意
故答案为：D.
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可对A作出判断；由作图可知，AE是∠BAC的平分线，根据三角形三条角平分线交于一点I，可对B作出判断；再根据三角形的三个角的平分线的交点是三角形的内心，可对C作出判断；利用角平分线的性质，可对D作出判断.
7．（2022·娄底）如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，
由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，
令BC=2a，则BD=a，
在等边三角形ABC中
AD⊥BC，OB平分∠ABC，
∴∠OBD=∠ABC=30°，
由勾股定理，得AD=，
在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=，
∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比为.
故答案为：A.
【分析】令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，由题可知：圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据等边三角形的性质可得AD⊥BC，∠OBD=30°，利用勾股定理可得AD，根据三角函数的概念可得OD，然后结合圆的面积公式进行计算.
8．（2022·泰安）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DI=DC=DM，
∴∠ICM=90°，
∴CM==8，
∵AI=2CD=10，
∴AI=IM，
∵AE=EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IE=CM=4，
故答案为：C．
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM，先利用勾股定理求出CM的长，再证明IE是△ACM的中位线，即可得到IE=CM=4。
9．（2022·深圳）如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，则和面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【解答】解：如图，连接OC，连接．
∵是圆O的直径．
∴．
∵与圆O相切．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
又∵．
∴．
∵，，．
∴．
∴．
∵点O是的中点．
∴．
∴．
∴
故答案是：1∶2．
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
10．（2022·哈尔滨）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】解：PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·泰州）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为 °.
【答案】32
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C=∠O=32°.
故答案为：32.
【分析】连接OA，根据切线的性质可得∠PAO=90°，则根据三角形的内角和求出∠O的度数，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠C的度数.
12．（2022·黔东南）如图，在中，，半径为3cm的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是 cm2.（结果用含的式子表示）
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
【解析】【解答】∵内切圆圆心是三条角平分线的交点
∴；
设，
在中：
在中：
由①②得：
扇形面积：（cm2）
故答案为：
【分析】利用三角形的内切圆可知内切圆圆心是三条角平分线的交点，利用角平分线的定义可设∠ABO=∠CBO=a，∠ACO=∠BCO=b，利用三角形的内角和定理，可得到∠A+2a+2b=180°，∠DOE+a+b=180°，从而可求出∠DOE的度数；然后利用扇形的面积公式求出阴影部分的面积.
13．（2022·泸州）如图，在中，，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设直线AO交于M点（M在O点右边），则点A到上的点的距离的最大值为AM的长度，当与AB、BC相切时，AM最长
设切点分别为D、F，连接OB，如图
∵，，
∴，
∴
∵与AB、BC相切
∴
∵的半径为1
∴
∴
∴
∴
∴
∴点到上的点的距离的最大值为.
故答案为：.
【分析】设直线AO交⊙O于M点（M在O点右边），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为AM的长度，当⊙O与AB、BC相切时，AM最长，设切点分别为D、F，连接OB，求出tanB的值，可得∠B=60°，根据勾股定理可得AB的值，根据切线的性质可得∠OBD=30°，根据三角函数的概念可得BD，由AD=AB-DB可得AD，利用勾股定理求出OA，然后根据AM=OA+OM进行计算.
14．（2022·宁波）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为
【答案】 或
【知识点】勾股定理；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，
∵圆与AC相切于点A，
∴OA⊥AC，
①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径=r，
∴OA=r，OC=4-r，
∴ AC=4，
在Rt△AOC中，
∵OA2+AC2=OC2，即r2+4= (4-r)2，
解得：r=，
∴AD=AO=；
②当∠ADC=90°时，
∵，
，
∵AO=，AC=2，OC=4-r=，
∴AD=，
综上所述，AD的长为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，分两种情况讨论，即①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径=r，在Rt△AOC中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答；②当∠ADC=90°时，根据等面积法解答即可.
15．（2022·连云港）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点，连接 ，与 交于点 ，连接 .若 ，则 .
【答案】49
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是直径，AC是切线，
∴∠A=90°，
∵∠AOD=82°，
∴∠B=41°，
∴∠C=90°-41°=49°.
故答案为：49.
【分析】根据切线的性质得出∠A=90°，根据圆周角定理得出∠B=∠AOD=41°，即可得出∠C=90°-41°=49°.
16．（2022·泰州）如图上，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为 .
【答案】2或
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图，作，，连接OB，则OD⊥AC，
∵，
∴
∵O为的内心，
∴，
∴
∴，
同理，，
∴DE=CD+BE，
∵O为的内心，
∴，
∴
∴
∴
②如图，作，
由①知，，，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：2或.
【分析】作DE∥BC，OF∥BC，OG∥AB，连接OB，则OD⊥AC，由平行线的性质得∠OBF=∠BOE，根据内心的概念可得∠OBF=∠OBE，推出BE=OE，同理可得CD=OD，则DE=CD+BE，利用勾股定理可得AB，根据内心的概念可得OF=OD=OG=CD，则BF=BG，AD=AC，AB=BG+AG=6-CD+8-CD=10，据此可得CD的值；作DE⊥AB，则BE=4，AE=6，易证△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质可得AD的值，由CD=AC-AD可得AD，利用勾股定理可得DE，由DE=BE+CD就可求出CD的值.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠CBE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC//BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵OC⊥DC，CD⊥DB，
∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，
∴四边形CDEJ是矩形，
∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，
∴OC⊥AE，
∴AJ＝EJ，
∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，
∴DE＝3，CD＝4，
∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，
在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，
∴r＝，
∴⊙O的半径为．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先求出 ∠OCB＝∠OBC， 再求出 OC//BD， 最后证明求解即可；
（2）先求出 AJ＝EJ， 再利用勾股定理计算求解即可。
18．（2022·济南）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD；
（2）若AB＝12，求线段BF的长．
【答案】（1）证明：连接
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵所对的圆周角为，圆心角为，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵为直径，
∴，
在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后利用锐角三角函数计算求解即可。
19．（2022·鄂尔多斯）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，∵E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC＝，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，∴∠C＝∠ABD，在Rt△ABC中，AC＝＝，∵OA＝OB，BE＝CE，∴OE＝．
【知识点】切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10， 再利用锐角三角函数计算求解即可。
20．（2022·朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，
∴∠DAF=∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC=90°，
∴，
∵AC是直径，
∴AF是⊙O的切线
（2）解：作于点H，
∵⊙O的半径为5，
∴AC=10，
∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，
∴△ADH～△ACD，
∴，
∴，
∵AD＝6，
∴，
∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°，
∴AD=ED，
．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明，再结合AC是直径，可得AF是⊙O的切线；
（2）作于点H，先证明△ADH～△ACD，可得，再将数据代入求出，再利用中位线的性质可得。
21．（2022·青海）如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，求BE的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设为x，
∴，
∴，
解得：，
即的长为2．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后解方程即可。
22．（2022·梧州）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作 ，且 .连接AD，分别交 于点E，F，与 交于点G，若 .
（1）求证：① ；
②CD是 的切线.
（2）求 的值.
【答案】（1）证明：①∵ ，
∴∠D=∠A，
且对顶角∠CFD=∠BFA，
∴ ；
②∵OB=CO，
∴∠OCB=∠ABC=45°，
∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°，
∵ ，
∴∠OCD=∠COB=90°，
∴CD是圆O的切线
（2）解：连接DB，连接BG交CD于M点，如下图所示：
∵ 且CD=BO，
∴四边形COBD为平行四边形，
∵∠COD=90°，CO=BO，
∴四边形COBD为正方形，
由(1)知： ，
∴ ，
∵CE∥DB，
∴ ，
∴ ，即E为CO的中点，
∵AB是半圆的直径，
∴∠AGB=∠BGD=90°，
∴∠GBD+∠BDG=90°=∠BDC=∠BDG+∠EDC，
∴∠GBD=∠EDC，
且BD=CD，∠BDM=∠DCE=90°，
∴△BDM≌△DCE(ASA)，
∴DM=CE，即M为CD的中点，
设CM=x，则DB=CD=2x， ，
由勾股定理知： ，
在Rt△MBD中由等面积法知： ，
代入数据得到： ，解得 ，
在Rt△DGB中由勾股定理可知： ，
又 且其相似比为 ，
∴ ，
在Rt△BFG中由勾股定理可知： ，
∴ ，
∴
【知识点】平行线的性质；正方形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据平行线的性质可得∠D=∠A，由对顶角的性质可得∠CFD=∠BFA，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；②根据等腰三角形的性质可得∠OCB=∠ABC=45°，结合内角和定理可得∠COB=90°，由平行线的性质可得∠OCD=∠COB=90°，据此证明；
（2）连接DB，连接BG交CD于M点，易得四边形COBD为正方形，根据相似三角形的对应边成比例可得 ，易证△CEF∽△BDF，结合相似三角形的性质可得E为CO的中点，根据圆周角定理可得∠AGB=∠BGD=90°，由同角的余角相等可得∠GBD=∠EDC，证明△BDM≌△DCE，得到DM=CE，设CM=x，则DB=CD=2x，BC=x，利用勾股定理可得BM，根据三角形的面积公式可得DG，利用勾股定理表示出BG，根据相似三角形的性质可得BF，由EF=DE-DG-FG可得EF，据此求解.
23．（2022·恩施）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C.
（1）求证：∠ADE=∠PAE.
（2）若∠ADE=30°，求证：AE=PE.
（3）若PE=4，CD=6，求CE的长.
【答案】（1）证明：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠PAE=90°，
∵DE为⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，即∠OAE+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠PAE，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADE，
∴∠ADE=∠PAE；
（2）证明：∵∠ADE=30°，
由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED=90°-∠ADE=60°，
∴∠APE=∠AED-∠PAE =30°，
∴∠APE=∠PAE =30°，
∴AE=PE；
（3）解：∵PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交AB于点C.
∴AB⊥PD，
∵∠DAE=90°，∠OAP=90°，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠OAC+∠PAC=90°，
∵∠DAC+∠D=90°，∠OAC+∠AOC=90°，
∴∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，
∴Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，
∴AC2=DC×CE，AC2=OC×PC，
即DC×CE=OC×PC，
设CE=x，则DE=6+x，OE=3+，OC=3+-x=3-，PC=4+x，
∴6x=（3-）（ 4+x），
整理得：x2+10x-24=0，
解得：x=2（负值已舍）.
∴CE的长为2.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得∠OAP=90°，由圆周角定理得∠DAE=90°，根据同角的余角相等得∠DAO=∠PAE，由等腰三角形的性质得∠DAO=∠ADE，据此可得结论；
（2）由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，则∠AED=90°-∠ADE=60°，∠APE=∠AED-∠PAE =30°，则∠APE=∠PAE =30°，据此证明；
（3）由切线的性质得AB⊥PD，由同角的余角相等得∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，证明Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，根据相似三角形的性质可得DC×CE=OC×PC，设CE=x，则DE=6+x，OE=3+，OC=3-，PC=4+x，代入求解可得x的值.
24．（2022·柳州）如图，已知 是 的直径，点 是 上异于 ， 的点，点 是 的中点，连接 ， ， ，过点 作 交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ， 的平分线 交 于点 ，交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求 的值；
（3）若 ， ，求 的直径．
【答案】（1）证明：连接 ．
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是 的切线．
（2）解： 是直径，
，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
， ，
，
；
（3）解：过点 作 于点 ， 于点 ．
平分 ，
，
，
是等腰直角三角形， ，
，
，
设 ， ，
， ，
∽ ，
，
，
平分 ，
，
，
， ， ，
，
的直径为
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）连接OF，根据等腰三角形的性质可得∠OAF=∠OFA，根据圆周角定理可得∠CAF=∠FAB，则∠CAF=∠AFO，推出OF∥AC，结合AC⊥CD可得OF⊥CD，据此证明；
（2）根据圆周角定理可得∠AFB=90°，根据垂直的概念可得∠OFD=90°，根据同角的余角相等可得∠AFO=∠DFB，由等腰三角形的性质可得∠OAF=∠OFA，则∠DFB=∠OAF，根据角平分线的概念可得∠ADG=∠FDG，由外角的性质可得∠FGH=∠OAF+∠ADG，∠FHG=∠DFB+∠FDG，推出∠FGH=∠FHG=45°，然后根据特殊角的三角函数值进行计算；
（3）过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N，根据角平分线的性质可得HM=HN，根据三角形的面积公式可得 ，根据等腰直角三角形的性质可得FH=FG=4，则 ，设DB=k，DF=2k，证明△DFB∽△DAF，根据相似三角形的性质可得AD=4k，根据角平分线的性质可得AG，然后利用勾股定理进行计算.
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