2023年春季浙教版数学九年级下册第二章 《直线与圆的位置关系》单元检测B
一、单选题
1．（2022·重庆）如图，AB是 的切线， B 为切点，连接AO交 于点C，延长AO交 于点 D，连接BD.若 ，且 ，则AB的长度是（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．（2021·安顺）如图， 与正五边形 的两边 相切于 两点，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·青岛）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·武汉）如图，在四边形材料中，，，，，.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A． B．8cm C． D．10cm
5．（2022·无锡）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°
6．（2022·泰安）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
7．（2021·娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙ 与直线 只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·贺州）如图，在 中， ， ，点 在 上， ，以 为半径的 与 相切于点 ，交 于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．1
9．（2021·广元）如图，在边长为2的正方形 中， 是以 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
10．（2021·泰安）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
二、填空题
11．（2022·怀化）如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为 .
12．（2022·金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙О于点A，长边与⊙О相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知AC=6cm，CB=8cm，则⊙О的半径为 cm.
13．（2021·泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B.若∠APB＝30°，则点P的坐标为 .
14．（2022·宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 .
15．（2022·湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是 所对的圆周角，则∠APD的度数是
16．（2021·凉山）如图，等边三角形ABC的边长为4， 的半径为 ，P为AB边上一动点，过点P作 的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 .
三、解答题
17．（2022·河池）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D.且∠PCA＝∠CBD.
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长.
18．（2022·郴州）如图，在 中， .以AB为直径的 与线段BC交于点D，过点D作 ，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P.
（1）求证：直线PE是 的切线；
（2）若 的半径为6， ，求CE的长.
19．（2022·枣庄）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．
20．（2022·广安）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD.
（1）求证：CD是⊙O的切线.
（2）若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径.
21．（2022·桂林）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求的值.
22．（2022·永州）如图，已知，是的直径，是的切线，点在的延长线上，，交于点，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若的面积，求四边形的面积.
23．（2022·随州）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且.
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，
①求⊙O的半径；
②求BD的长.
24．（2022·丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，
（1）求证：∠CAG=∠AGC：
（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若 ，求 的值；
（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠D=∠A，
∵∠BOA=∠D+∠OBD=2∠D=2∠A，
∵AB为 的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴3∠A=90°，
∴∠A=30°，
∴OB=2OA，
∵OC=OB，
∴OA=AC=OB=3，OA=2AC=6，
∴AB==3.
故答案为：C.
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质，结合圆的半径相等推出∠BOA=2∠A，然后根据切线的性质求出∠A+∠AOB=90°，从而求出∠A=30°，最后根据含30°角的直角三角形的性质求AB长即可.
2．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540° 90° 90° 108° 108°＝144°，
故答案为：A.
【分析】根据切线的性质可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，利用正五边形的性质求出∠E=∠C=108°，由五边形内角和等于540°即可求出∠AOC的度数.
3．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB=58.5°，
∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，
∵点A是弧EC的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，
故答案为：B．
【分析】根据切线的性质可得BA⊥AD，利用直角三角形的性质可得∠B=90°-∠ADB=31.5°，跟姐姐圆周角定理可得∠ACB=90°，从而求出∠BAC=90°-∠B=58.5°，根据垂径定理可得BA⊥EC，继而求出结论.
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；直角梯形；切线的性质
【解析】【解答】解：当AB、BC、CD相切于⊙O于点E、F、G时，⊙O的面积最大，连接OA、OB、OC、OD、OD、OE、OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H.
∵AD∥BC，∠BAD=90°，
∴∠ABC=90°.
∵∠DHB=90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴AB=DH=20cm，AD=BH=9cm.
∵BC=14cm，
∴CH=BC-BH=15cm，
∴CD==25cm.
设OE=OF=OG=xcm，
则有×(9+24)×20=×20r+×24r+×25r+×9×(20-r)，
∴r=8cm.
故答案为：B.
【分析】当AB、BC、CD相切于⊙O于点E、F、G时，⊙O的面积最大，连接OA、OB、OC、OD、OD、OE、OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H，则四边形ABHD为矩形，AB=DH=20cm，AD=BH=9cm，由CH=BC-BH可得CH，利用勾股定理求出CD，设OE=OF=OG=xcm，然后根据梯形、三角形的面积公式结合面积间的和差关系进行计算即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE，故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，
∴∠BOD=2∠OAD=50°，故选项D正确；
如图：
过点D作DF⊥AB于点F
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF故答案为：C.
【分析】根据切线的性质可得OD⊥DE，根据等腰三角形的性质得∠OAD=∠ODA，根据角平分线的概念得∠OAD=∠EAD，则∠EAD=∠ODA，推出OD∥AE，据此判断A、B；根据等腰三角形的性质以及角平分线概念得∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，由圆周角定理得∠BOD=2∠OAD=50°，据此判断D；根据角平分线的性质可得DE=DF，据此判断C.
6．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DI=DC=DM，
∴∠ICM=90°，
∴CM==8，
∵AI=2CD=10，
∴AI=IM，
∵AE=EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IE=CM=4，
故答案为：C．
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM，先利用勾股定理求出CM的长，再证明IE是△ACM的中位线，即可得到IE=CM=4。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如下图所示，连接 ，过 点作 ，
此时 点坐标可表示为 ，
∴ ， ，
在 中， ，
又∵ 半径为5，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点坐标为 ，
故答案为：D.
【分析】连接 ，过 点作 ，此时 点坐标可表示为 ，从而求出OC、BC、OB，证明 ，可得，代入相应数据可求出OA，由于左右两侧都有相切的可能，据此求出点A坐标.
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：连接OD，EF，
∵ 与 相切于点 ，BF是 的直径，
∴OD⊥AC，FE⊥BC，
∵ ，
∴OD∥BC，EF∥AC，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴OD=OB=2，AO=5-2=3，BF=2×2=4，
∴ ， ，
∴BC= ，BE= ，
∴CE= - = .
故答案为：B.
【分析】连接OD，EF，先证明OD∥BC，EF∥AC，利用平行线分线段成比例可得 ， ，据此求出BC、BE，利用CE=BC-BE计算即得结论.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，
∵ 是以 为直径的半圆的切线，
∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，
∴AB=AF=2，CE=CF，
∵OA=OA，
∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），
同理可证△OCE≌△OFE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】设AE与⊙O的相切的切点为F， 由切线的性质可得EC=EF、AB=AF，设CE=x，则AE=2+x，DE=2-x，由勾股定理可得CE的长度，由扇形的面积公式和三角形面积公式可得结果.
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
如图所示，连接DG和AD
∵BC为圆的切线
∴AD⊥BC
∵AD=AE，∠CDE=18°，∠ADC=90°
∴∠ADE=∠AED=90°-18°=72°
∴∠DAC=180°-72°-72°=36°
∵AB=6，AG=3
∴G为AB的中点
∴GD为直角三角形ABD斜边AB上的中线
∴GD=AG=AD
∴△AGD为等边三角形
∴∠GAD=60°
∴∠GAC=60°+36°=96°
∴∠GFE=96°÷2=48°
故答案为：B.
【分析】根据题意，由切线的性质结合圆的半径相等，计算得到∠DAC的度数，继而由直角三角形斜边上的中线的性质，证明△AGD为等边三角形，由等边三角形的性质求出∠GAD，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得到∠GFE的度数。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，
在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2，
∴AC=.
故答案为：.
【分析】连接OC，根据切线的性质可得OC⊥AB，即∠OCA=90°，然后利用勾股定理进行计算.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过点A作AD⊥OB于点D，
∴OA=OB，∠OBC=∠ODA=∠C=90°，
∴四边形ACBD为矩形，
∴AC=DB=6cm，AD=CB=8cm，
设半径为r，则OD=（r-6）cm，
∴OA2=AD2+OD2，即r2=82+（r-6）2，
整理，解得：r=.
故答案为：.
【分析】如图所示，连接OA、OB，过点A作AD⊥OB于点D，易得四边形ACBD为矩形，由矩形的性质得AC=DB=6cm，AD=CB=8cm，设半径为r，则OD=（r-6）cm，再根据勾股定理列出关于r的方程，解之即可求解.
13．【答案】（0，11）
【知识点】点的坐标；勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】如下图所示，连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，
∵PB与⊙A相切于点B
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，AB⊥PB，
∴PA=2AB= .
∵
∴四边形ACOD是矩形，
点A的坐标为（8，5），
所以AC=OD=8，CO=AD=5，
在 中， .
如图，当点P在C点上方时，
∴ ，
∴点P的坐标为（0，11）.
【分析】连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，可证四边形ACOD是矩形，由点A（8，5），可得AC=OD=8，CO=AD=5，利用勾股定理可求出PC=6，当点P在C点上方时，由OP=OC+CP计算即可.
14．【答案】289
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，
则四边形EODC为正方形，
，
，
，
，
，
而，
，
小正方形的面积为，
，
，
把①代入②中得
，
，
负值舍去，
大正方形的面积为289.
故答案为：289.
【分析】设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，易得四边形EODC为正方形，可得OE=OD=3=，AC+BC=AB+6，两边同时平方并结合勾股定理可得2BC·AC=12AB+36；根据小正方形的面积为49可得(BC-AC)2=BC2+AC2-2BC·AC=49，联立求解可得AB的值，据此不难求出大正方形的面积.
15．【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=60°，
又∵∠APD是 所对的圆周角，
∴∠APD=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据等腰三角形性质及垂径定理可得∠AOD=∠BOD=∠AOB=60°，再根据圆周角定理即可求出∠APD的度数.
16．【答案】3
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接QC和PC，
∵PQ和圆C相切，
∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，
∵AB=BC=AC=4，
∴AP=BP=2，
∴CP= = ，
∵圆C的半径CQ= ，
∴PQ= =3，
故答案为：3.
【分析】连接QC和PC，由圆的切线的性质可知△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，所以当CP最小时，PQ最小，由等腰三角形的三线合一可得当CP⊥AB时，CP最小，然后用勾股定理可求解.
17．【答案】（1）证明：连接OC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC = ∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠ABC = ∠OCB，
∵∠PCA= ∠CBD，
∴∠PCA= ∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠ACO+∠OCB= 90°，
∴∠PCA+ ACO= 90°，
∴∠PCO = 90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是OO的切线；
（2）解：连接 ， 设 ，
，
，
，
，
，
，
由 可知， ，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，由角平分线概念得∠ABC = ∠CBD，由等腰三角形性质得∠ABC = ∠OCB，结合∠PCA= ∠CBD，得∠PCA= ∠OCB，根据圆周角定理得∠ACB = 90°，则∠ACO+∠OCB= 90°，推出∠PCO = 90°，据此证明；
（2）连接AE，设OB=OC=r，则PC=r，OP=3r，结合PB的值可得r的值，由（1）可得∠OCB=∠CBD，推出OC∥BD，证明△PCO∽△PDB，根据相似三角形的性质可得BD的值，由圆周角定理可得∠AEB=90°，则∠AEB=∠D=90°，推出AE∥PD，然后根据平行线分线段成比例的性质计算即可.
18．【答案】（1）证明：连接AD、OD，记 ， ，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线PE是⊙O的切线.
（2）解：连接AD，
∵AB是直径，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连AD、OD，记∠ABD=∠1，∠ODB=∠2，由等腰三角形性质得∠1=∠C，∠1=∠2，则∠C=∠2，推出OD∥AC，由平行线的性质可得∠ODE=∠CED=90°，据此证明；
（2）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，结合等腰三角形的性质得CD=BC，易得△ABC 为等边三角形，得到∠C=60°，BC=AB=12，CD=BC=6，然后根据三角函数的概念就可求出CE.
19．【答案】（1）证明：连接OC，如图：
∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴ADOC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，∵OE＝6，∴AC＝12，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴，即，∴AD．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠DAC＝∠CAO ，再求出 CO⊥DC， 最后证明求解即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
20．【答案】（1）证明：连接OD，如图
∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴，
∵OA=OD，
∴，
∵∠BDC=∠BAD，
∴，
∴，
∴，
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：∵，
∴，
∵△ABD是直角三角形，
∴，
∵，，
∴△ACD∽△DCB，
∴，
∵，
∴，
∴，
在直角△CDO中，设⊙O的半径为，则
，
∴，
解得：；
∴⊙O的半径为；
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ADO=∠BAD，结合∠BDC=∠BAD得∠ADO=∠BDC，结合∠BDO+∠ADO=90°可得∠CDO=90°，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠BAD=∠BED，根据三角函数的概念可得tan∠BAD的值，易证△ACD∽△DCB，根据相似三角形的性质可得CD，设OA=OD=x，根据勾股定理可得x，据此解答.
21．【答案】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB，
设BE＝x，则AB＝3x，
∴OC＝OB＝1.5x，
∵AD∥OC，
∴∠COE＝∠DAB，
∴；
（3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，
∴，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，
∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，
∴∠E＝∠AFH，
∵∠FAH＝∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 （1）连接OC，根据等腰三角形的性质可得∠CAO＝∠ACO，根据角平分线的概念可得∠DAC＝∠OAC，则∠DAC＝∠ACO，推出AD∥OC，结合CD⊥AD可得OC⊥CD，据此证明；
（2）设BE＝x，则AB＝3x，OC＝OB＝1.5x，根据平行线的性质可得∠COE＝∠DAB，然后根据三角函数的概念进行计算；
（3）由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，利用勾股定理得EC，根据同角的余角相等得∠E=∠AFH，证明△AHF∽△ACE，然后根据相似三角形的性质进行解答.
22．【答案】（1）证明：∵是的直径，是的切线，
∴，
∴
∴
（2）证明：∵，∴
∵，
∴
∵是直径，∴
∵，∴
∴
（3）解：∵∴
∴
∴
∵
∴，，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用切线的性质可证得∠ABC+∠MBC=90°，然后利用三角形的内角和定理和余角的性质可证得结论.
（2）利用等边对等角可证得∠BAC=∠ACE，可推出∠ACD=∠ACE；利用直径所对的圆周角是直角，可得到∠EAC=∠DAC=90°；然后利用ASA证明△AEC≌△ADC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（3）易证AB∥CD，可推出△AEO∽△DEC，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式；利用相似三角形的性质可求出△AOF，△COF，△CDF的面积，然后求出四边形AOCD的面积.
23．【答案】（1）解：CO与⊙O相切，理由如下∶
连接OD，
∵
∴
∵
∴
又∵BE与⊙O相切
∴，即
∴
∴，即∠ODE=90°，
∴
∴CD与⊙O相切；
（2）解：①设，
∵
∴
∴
∵，
∴，解得
故⊙O的半径为2；
②由①得：OC=6，OD=2，AB=4，
在Rt△COD中，
∵AB为直径
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
设，则，
由勾股定理得，即
解得（负值舍去）
∴
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，利用等边对等角可证得∠OBD=∠ODB，∠EBD=∠EDB；利用切线的性质去证明∠EBD+∠DBO=90°，代入可推出∠ODE=90°，然后利用切线的判定定理，可证得结论.
（2）①设圆的半径为r，利用解直角三角形，建立关于r的方程，解方程求出r的值；②由①可求出OC，OD，AB的长，利用勾股定理求出CD的长；再利用圆周角定理去证明∠ADC=∠OBD，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CAD∽△CDB，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设，则，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BD的长.
24．【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，
∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB，
∵AH是OO的切线，AH⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AG∥CD，
∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD，
∴∠CAG=∠AGC.
（2）解：由(1)得CA=CE，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α
可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α
∵OC∥AF，
∴∠OCF=∠AFC=α.
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC=α.
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CA0=3α.
∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°
∴α=22.5°，
∵∠OFC=∠AGF
∴OF∥AG.
∴∠AOF=∠OAG=90°，
∴∠OFA=2α=45°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α
∵OC∥AF，
∴∠FAE=∠OCA=α
∴∠COE=∠FAE=2a.
∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG
∴
解得α=22.5°，2a=45°.
∴ 是等腰直角三角形，则 .
可得 ，
∴
③当 时，如图3，连结OC，OF，设 .
∵
∵
∴
可得 .
解得 ，
∴
∴
∴
即 ，解得 .
∴
④当 时，如图4，连结OC，OF，BF，设 .
∵
∴
可得 .
∴
∴
∴ .
可证
∴
∴
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴
综上所述，AE的长为 .
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB，∠FCD=∠ACD，由切线的性质得出AH⊥AB，可得AG∥CD，然后根据平行线的性质，即可证得结果；
(2)先证明， 得出，由相似比的性质得出，然后根据比例的性质转化，可得结论；
(3)分四种情形讨论，即如图1，①当OC∥AF时；如图2中，②当OC∥AF时；③如图3中，当AC∥OF时；④如图4中，当AC∥OF时，分别解答，最后总结即可.
1 / 12023年春季浙教版数学九年级下册第二章 《直线与圆的位置关系》单元检测B
一、单选题
1．（2022·重庆）如图，AB是 的切线， B 为切点，连接AO交 于点C，延长AO交 于点 D，连接BD.若 ，且 ，则AB的长度是（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠D=∠A，
∵∠BOA=∠D+∠OBD=2∠D=2∠A，
∵AB为 的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴3∠A=90°，
∴∠A=30°，
∴OB=2OA，
∵OC=OB，
∴OA=AC=OB=3，OA=2AC=6，
∴AB==3.
故答案为：C.
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质，结合圆的半径相等推出∠BOA=2∠A，然后根据切线的性质求出∠A+∠AOB=90°，从而求出∠A=30°，最后根据含30°角的直角三角形的性质求AB长即可.
2．（2021·安顺）如图， 与正五边形 的两边 相切于 两点，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540° 90° 90° 108° 108°＝144°，
故答案为：A.
【分析】根据切线的性质可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，利用正五边形的性质求出∠E=∠C=108°，由五边形内角和等于540°即可求出∠AOC的度数.
3．（2021·青岛）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB=58.5°，
∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，
∵点A是弧EC的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，
故答案为：B．
【分析】根据切线的性质可得BA⊥AD，利用直角三角形的性质可得∠B=90°-∠ADB=31.5°，跟姐姐圆周角定理可得∠ACB=90°，从而求出∠BAC=90°-∠B=58.5°，根据垂径定理可得BA⊥EC，继而求出结论.
4．（2022·武汉）如图，在四边形材料中，，，，，.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A． B．8cm C． D．10cm
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；直角梯形；切线的性质
【解析】【解答】解：当AB、BC、CD相切于⊙O于点E、F、G时，⊙O的面积最大，连接OA、OB、OC、OD、OD、OE、OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H.
∵AD∥BC，∠BAD=90°，
∴∠ABC=90°.
∵∠DHB=90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴AB=DH=20cm，AD=BH=9cm.
∵BC=14cm，
∴CH=BC-BH=15cm，
∴CD==25cm.
设OE=OF=OG=xcm，
则有×(9+24)×20=×20r+×24r+×25r+×9×(20-r)，
∴r=8cm.
故答案为：B.
【分析】当AB、BC、CD相切于⊙O于点E、F、G时，⊙O的面积最大，连接OA、OB、OC、OD、OD、OE、OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H，则四边形ABHD为矩形，AB=DH=20cm，AD=BH=9cm，由CH=BC-BH可得CH，利用勾股定理求出CD，设OE=OF=OG=xcm，然后根据梯形、三角形的面积公式结合面积间的和差关系进行计算即可.
5．（2022·无锡）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°
【答案】C
【知识点】平行线的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE，故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，
∴∠BOD=2∠OAD=50°，故选项D正确；
如图：
过点D作DF⊥AB于点F
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF故答案为：C.
【分析】根据切线的性质可得OD⊥DE，根据等腰三角形的性质得∠OAD=∠ODA，根据角平分线的概念得∠OAD=∠EAD，则∠EAD=∠ODA，推出OD∥AE，据此判断A、B；根据等腰三角形的性质以及角平分线概念得∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，由圆周角定理得∠BOD=2∠OAD=50°，据此判断D；根据角平分线的性质可得DE=DF，据此判断C.
6．（2022·泰安）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DI=DC=DM，
∴∠ICM=90°，
∴CM==8，
∵AI=2CD=10，
∴AI=IM，
∵AE=EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IE=CM=4，
故答案为：C．
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM，先利用勾股定理求出CM的长，再证明IE是△ACM的中位线，即可得到IE=CM=4。
7．（2021·娄底）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙ 与直线 只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如下图所示，连接 ，过 点作 ，
此时 点坐标可表示为 ，
∴ ， ，
在 中， ，
又∵ 半径为5，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点坐标为 ，
故答案为：D.
【分析】连接 ，过 点作 ，此时 点坐标可表示为 ，从而求出OC、BC、OB，证明 ，可得，代入相应数据可求出OA，由于左右两侧都有相切的可能，据此求出点A坐标.
8．（2021·贺州）如图，在 中， ， ，点 在 上， ，以 为半径的 与 相切于点 ，交 于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：连接OD，EF，
∵ 与 相切于点 ，BF是 的直径，
∴OD⊥AC，FE⊥BC，
∵ ，
∴OD∥BC，EF∥AC，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴OD=OB=2，AO=5-2=3，BF=2×2=4，
∴ ， ，
∴BC= ，BE= ，
∴CE= - = .
故答案为：B.
【分析】连接OD，EF，先证明OD∥BC，EF∥AC，利用平行线分线段成比例可得 ， ，据此求出BC、BE，利用CE=BC-BE计算即得结论.
9．（2021·广元）如图，在边长为2的正方形 中， 是以 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，
∵ 是以 为直径的半圆的切线，
∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，
∴AB=AF=2，CE=CF，
∵OA=OA，
∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），
同理可证△OCE≌△OFE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】设AE与⊙O的相切的切点为F， 由切线的性质可得EC=EF、AB=AF，设CE=x，则AE=2+x，DE=2-x，由勾股定理可得CE的长度，由扇形的面积公式和三角形面积公式可得结果.
10．（2021·泰安）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
如图所示，连接DG和AD
∵BC为圆的切线
∴AD⊥BC
∵AD=AE，∠CDE=18°，∠ADC=90°
∴∠ADE=∠AED=90°-18°=72°
∴∠DAC=180°-72°-72°=36°
∵AB=6，AG=3
∴G为AB的中点
∴GD为直角三角形ABD斜边AB上的中线
∴GD=AG=AD
∴△AGD为等边三角形
∴∠GAD=60°
∴∠GAC=60°+36°=96°
∴∠GFE=96°÷2=48°
故答案为：B.
【分析】根据题意，由切线的性质结合圆的半径相等，计算得到∠DAC的度数，继而由直角三角形斜边上的中线的性质，证明△AGD为等边三角形，由等边三角形的性质求出∠GAD，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得到∠GFE的度数。
二、填空题
11．（2022·怀化）如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，
在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2，
∴AC=.
故答案为：.
【分析】连接OC，根据切线的性质可得OC⊥AB，即∠OCA=90°，然后利用勾股定理进行计算.
12．（2022·金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙О于点A，长边与⊙О相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知AC=6cm，CB=8cm，则⊙О的半径为 cm.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过点A作AD⊥OB于点D，
∴OA=OB，∠OBC=∠ODA=∠C=90°，
∴四边形ACBD为矩形，
∴AC=DB=6cm，AD=CB=8cm，
设半径为r，则OD=（r-6）cm，
∴OA2=AD2+OD2，即r2=82+（r-6）2，
整理，解得：r=.
故答案为：.
【分析】如图所示，连接OA、OB，过点A作AD⊥OB于点D，易得四边形ACBD为矩形，由矩形的性质得AC=DB=6cm，AD=CB=8cm，设半径为r，则OD=（r-6）cm，再根据勾股定理列出关于r的方程，解之即可求解.
13．（2021·泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B.若∠APB＝30°，则点P的坐标为 .
【答案】（0，11）
【知识点】点的坐标；勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】如下图所示，连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，
∵PB与⊙A相切于点B
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，AB⊥PB，
∴PA=2AB= .
∵
∴四边形ACOD是矩形，
点A的坐标为（8，5），
所以AC=OD=8，CO=AD=5，
在 中， .
如图，当点P在C点上方时，
∴ ，
∴点P的坐标为（0，11）.
【分析】连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，可证四边形ACOD是矩形，由点A（8，5），可得AC=OD=8，CO=AD=5，利用勾股定理可求出PC=6，当点P在C点上方时，由OP=OC+CP计算即可.
14．（2022·宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 .
【答案】289
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，
则四边形EODC为正方形，
，
，
，
，
，
而，
，
小正方形的面积为，
，
，
把①代入②中得
，
，
负值舍去，
大正方形的面积为289.
故答案为：289.
【分析】设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，易得四边形EODC为正方形，可得OE=OD=3=，AC+BC=AB+6，两边同时平方并结合勾股定理可得2BC·AC=12AB+36；根据小正方形的面积为49可得(BC-AC)2=BC2+AC2-2BC·AC=49，联立求解可得AB的值，据此不难求出大正方形的面积.
15．（2022·湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是 所对的圆周角，则∠APD的度数是
【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=60°，
又∵∠APD是 所对的圆周角，
∴∠APD=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据等腰三角形性质及垂径定理可得∠AOD=∠BOD=∠AOB=60°，再根据圆周角定理即可求出∠APD的度数.
16．（2021·凉山）如图，等边三角形ABC的边长为4， 的半径为 ，P为AB边上一动点，过点P作 的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 .
【答案】3
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接QC和PC，
∵PQ和圆C相切，
∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，
∵AB=BC=AC=4，
∴AP=BP=2，
∴CP= = ，
∵圆C的半径CQ= ，
∴PQ= =3，
故答案为：3.
【分析】连接QC和PC，由圆的切线的性质可知△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，所以当CP最小时，PQ最小，由等腰三角形的三线合一可得当CP⊥AB时，CP最小，然后用勾股定理可求解.
三、解答题
17．（2022·河池）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D.且∠PCA＝∠CBD.
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长.
【答案】（1）证明：连接OC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC = ∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠ABC = ∠OCB，
∵∠PCA= ∠CBD，
∴∠PCA= ∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠ACO+∠OCB= 90°，
∴∠PCA+ ACO= 90°，
∴∠PCO = 90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是OO的切线；
（2）解：连接 ， 设 ，
，
，
，
，
，
，
由 可知， ，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，由角平分线概念得∠ABC = ∠CBD，由等腰三角形性质得∠ABC = ∠OCB，结合∠PCA= ∠CBD，得∠PCA= ∠OCB，根据圆周角定理得∠ACB = 90°，则∠ACO+∠OCB= 90°，推出∠PCO = 90°，据此证明；
（2）连接AE，设OB=OC=r，则PC=r，OP=3r，结合PB的值可得r的值，由（1）可得∠OCB=∠CBD，推出OC∥BD，证明△PCO∽△PDB，根据相似三角形的性质可得BD的值，由圆周角定理可得∠AEB=90°，则∠AEB=∠D=90°，推出AE∥PD，然后根据平行线分线段成比例的性质计算即可.
18．（2022·郴州）如图，在 中， .以AB为直径的 与线段BC交于点D，过点D作 ，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P.
（1）求证：直线PE是 的切线；
（2）若 的半径为6， ，求CE的长.
【答案】（1）证明：连接AD、OD，记 ， ，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线PE是⊙O的切线.
（2）解：连接AD，
∵AB是直径，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连AD、OD，记∠ABD=∠1，∠ODB=∠2，由等腰三角形性质得∠1=∠C，∠1=∠2，则∠C=∠2，推出OD∥AC，由平行线的性质可得∠ODE=∠CED=90°，据此证明；
（2）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，结合等腰三角形的性质得CD=BC，易得△ABC 为等边三角形，得到∠C=60°，BC=AB=12，CD=BC=6，然后根据三角函数的概念就可求出CE.
19．（2022·枣庄）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．
【答案】（1）证明：连接OC，如图：
∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴ADOC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，∵OE＝6，∴AC＝12，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴，即，∴AD．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠DAC＝∠CAO ，再求出 CO⊥DC， 最后证明求解即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
20．（2022·广安）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD.
（1）求证：CD是⊙O的切线.
（2）若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接OD，如图
∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴，
∵OA=OD，
∴，
∵∠BDC=∠BAD，
∴，
∴，
∴，
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：∵，
∴，
∵△ABD是直角三角形，
∴，
∵，，
∴△ACD∽△DCB，
∴，
∵，
∴，
∴，
在直角△CDO中，设⊙O的半径为，则
，
∴，
解得：；
∴⊙O的半径为；
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ADO=∠BAD，结合∠BDC=∠BAD得∠ADO=∠BDC，结合∠BDO+∠ADO=90°可得∠CDO=90°，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠BAD=∠BED，根据三角函数的概念可得tan∠BAD的值，易证△ACD∽△DCB，根据相似三角形的性质可得CD，设OA=OD=x，根据勾股定理可得x，据此解答.
21．（2022·桂林）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求的值.
【答案】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB，
设BE＝x，则AB＝3x，
∴OC＝OB＝1.5x，
∵AD∥OC，
∴∠COE＝∠DAB，
∴；
（3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，
∴，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，
∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，
∴∠E＝∠AFH，
∵∠FAH＝∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 （1）连接OC，根据等腰三角形的性质可得∠CAO＝∠ACO，根据角平分线的概念可得∠DAC＝∠OAC，则∠DAC＝∠ACO，推出AD∥OC，结合CD⊥AD可得OC⊥CD，据此证明；
（2）设BE＝x，则AB＝3x，OC＝OB＝1.5x，根据平行线的性质可得∠COE＝∠DAB，然后根据三角函数的概念进行计算；
（3）由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，利用勾股定理得EC，根据同角的余角相等得∠E=∠AFH，证明△AHF∽△ACE，然后根据相似三角形的性质进行解答.
22．（2022·永州）如图，已知，是的直径，是的切线，点在的延长线上，，交于点，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若的面积，求四边形的面积.
【答案】（1）证明：∵是的直径，是的切线，
∴，
∴
∴
（2）证明：∵，∴
∵，
∴
∵是直径，∴
∵，∴
∴
（3）解：∵∴
∴
∴
∵
∴，，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用切线的性质可证得∠ABC+∠MBC=90°，然后利用三角形的内角和定理和余角的性质可证得结论.
（2）利用等边对等角可证得∠BAC=∠ACE，可推出∠ACD=∠ACE；利用直径所对的圆周角是直角，可得到∠EAC=∠DAC=90°；然后利用ASA证明△AEC≌△ADC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（3）易证AB∥CD，可推出△AEO∽△DEC，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式；利用相似三角形的性质可求出△AOF，△COF，△CDF的面积，然后求出四边形AOCD的面积.
23．（2022·随州）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且.
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，
①求⊙O的半径；
②求BD的长.
【答案】（1）解：CO与⊙O相切，理由如下∶
连接OD，
∵
∴
∵
∴
又∵BE与⊙O相切
∴，即
∴
∴，即∠ODE=90°，
∴
∴CD与⊙O相切；
（2）解：①设，
∵
∴
∴
∵，
∴，解得
故⊙O的半径为2；
②由①得：OC=6，OD=2，AB=4，
在Rt△COD中，
∵AB为直径
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
设，则，
由勾股定理得，即
解得（负值舍去）
∴
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，利用等边对等角可证得∠OBD=∠ODB，∠EBD=∠EDB；利用切线的性质去证明∠EBD+∠DBO=90°，代入可推出∠ODE=90°，然后利用切线的判定定理，可证得结论.
（2）①设圆的半径为r，利用解直角三角形，建立关于r的方程，解方程求出r的值；②由①可求出OC，OD，AB的长，利用勾股定理求出CD的长；再利用圆周角定理去证明∠ADC=∠OBD，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CAD∽△CDB，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设，则，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BD的长.
24．（2022·丽水）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G，
（1）求证：∠CAG=∠AGC：
（2）当点E在AB上，连结AF交CD于点卫，若 ，求 的值；
（3）当点E在射线AB上，AB=2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长.
【答案】（1）证明：∵A、E关于CD对称，
∴∠FCD=∠ACD，CD⊥AB，
∵AH是OO的切线，AH⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AG∥CD，
∴∠AGC=∠FCD，∠CAG=∠ACD，
∴∠CAG=∠AGC.
（2）解：由(1)得CA=CE，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
（3）解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α
可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α
∵OC∥AF，
∴∠OCF=∠AFC=α.
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC=α.
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CA0=3α.
∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°
∴α=22.5°，
∵∠OFC=∠AGF
∴OF∥AG.
∴∠AOF=∠OAG=90°，
∴∠OFA=2α=45°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α
∵OC∥AF，
∴∠FAE=∠OCA=α
∴∠COE=∠FAE=2a.
∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG
∴
解得α=22.5°，2a=45°.
∴ 是等腰直角三角形，则 .
可得 ，
∴
③当 时，如图3，连结OC，OF，设 .
∵
∵
∴
可得 .
解得 ，
∴
∴
∴
即 ，解得 .
∴
④当 时，如图4，连结OC，OF，BF，设 .
∵
∴
可得 .
∴
∴
∴ .
可证
∴
∴
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴
综上所述，AE的长为 .
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据对称的性质得出CD⊥AB，∠FCD=∠ACD，由切线的性质得出AH⊥AB，可得AG∥CD，然后根据平行线的性质，即可证得结果；
(2)先证明， 得出，由相似比的性质得出，然后根据比例的性质转化，可得结论；
(3)分四种情形讨论，即如图1，①当OC∥AF时；如图2中，②当OC∥AF时；③如图3中，当AC∥OF时；④如图4中，当AC∥OF时，分别解答，最后总结即可.
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