2023年春季浙教版数学九年级下册第三章 《投影与三视图》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021·南京）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；中心投影
【解析】【解答】A.因为正方形纸板重直于地面，故不能产生正方形的投影，不符合题意
B.因为正方形的对角线互相垂直，中心投影后，影子的对角线仍然互相垂直，不符合题意
D.上方投影比下方要长，故D选项符合题意
故答案为：D.
【分析】观察图形，根据正方形纸板放置的位置，可知不能产生正方形的投影，可对A作出判断；中心投影后，影子的对角线仍然互相垂直，可对B，C作出判断；中心投影物体的高和影长成比例，正方形对边相等，可对D作出判断.
2．（2022·菏泽）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一个角，得到如图所示的几何体，则他的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从几何体的正面看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看得见的小三角形画为实线，
故答案为：D．
【分析】根据所给的几何体对每个选项一一判断即可。
3．（2022·徐州）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A、2的对面是4，点数之和不为7，故A项错误；
B、2的对面是6，点数之和不为7，故B项错误；
C、2的对面是6，点数之和不为7，故C项错误；
D、1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，相对面的点数之和都为7，故D项正确.
故答案为：D.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，然后根据相对两面的点数之和为7进行判断.
4．（2020·绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm，则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质；中心投影
【解析】【解答】解：设投影三角尺的对应边长为 ，
三角尺与投影三角尺相似，
，
解得 ．
故答案为：A．
【分析】由题意可知三角尺与投影三角尺相似，再利用相似三角形的对应边成比例就可求出投影三角尺的对应边的长。
5．（2022·黄石）由5个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形.
故答案为：B.
【分析】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，根据主视图的概念确定出每行每列小正方形的个数，据此判断.
6．（2022·齐齐哈尔）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题中所给出的左视图知物体共两层，每一层都是两个小正方体；
从俯视图可以可以看出最底层的个数
所以图中的小正方体最少2+4=6。
故答案为：C。
【分析】根据三视图的定义求解即可。
7．（2022·龙东）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有5+3=8个．
故答案为：B．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
8．（2021·雅安）甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数（ ）
A．甲和乙左视图相同，主视图相同
B．甲和乙左视图不相同，主视图不相同
C．甲和乙左视图相同，主视图不相同
D．甲和乙左视图不相同，主视图相同
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】由甲俯视图知，其左视图为 ，由乙俯视图知，其左视图为 ，故它们的左 视图不相同，但它们两个的主视图相同，都是 .
故答案为：D.
【分析】先分别判断出甲、乙两个几何体的左视图、主视图，然后判断即可.
9．（2022·柳州）如图，圆锥底面圆的半径 ，母线长 ，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：弧 的长，就是圆锥的底面周长，即 ，
所以扇形的面积为 ，
即圆锥的侧面积为 ，
故答案为：C.
【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长结合圆的周长公式可得弧长，然后根据S侧面=rl进行计算.
10．（2022·广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2
【答案】C
【知识点】圆锥的计算；圆柱的计算
【解析】【解答】解：根据题意，
∵底面圆半径DE=2m，
∴圆柱的底面积为：，故A正确，不符合题意；
圆柱的侧面积为：，故B正确，不符合题意；
圆锥的母线为：，故C错误，符合题意；
圆锥的侧面积为：，故D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据圆的面积公式可得圆柱的底面积，据此判断A；根据圆柱的侧面积=底面周长×高可判断B；根据底面圆的半径、圆柱的高以及母线构成直角三角形，结合勾股定理求出母线长，据此判断C；根据圆锥的侧面积公式可判断D.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·郴州）如图，圆锥的母线长 ，底面圆的直径 ，则该圆锥的侧面积等于 .（结果用含 的式子表示）
【答案】60π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意，
∵圆锥的母线长 ，底面圆的直径 ，
∴圆锥的侧面积为：
；
故答案为：60π.
【分析】根据圆锥的侧面积S=πrl（l为母线长，r为底面圆的半径）进行计算即可.
12．（2022·常德）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是 .
【答案】月
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”.
故答案为：月.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
13．（2022·青海）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 .
【答案】5
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知，这个几何体的构成情况如下：（数字表示相应位置上小正方形的个数）
则构成这个几何体的小正方体的个数是，
故答案为：5．
【分析】求出构成这个几何体的小正方体的个数是，即可作答。
14．（2021·徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长 为 ，扇形的圆心角 ，则圆锥的底面圆半径 为 .
【答案】2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵母线长 为 ，扇形的圆心角
∴圆锥的底面圆周长
∴圆锥的底面圆半径
故答案为：2.
【分析】根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长即可求解.
15．（2020·呼和浩特）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
【答案】3π+4
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，
半圆柱的直径为2，高为1，
故其表面积为：π×12+（π+2）×2=3π+4，
故答案为：3π+4．
【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可．
16．（2020·齐齐哈尔）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个几何体的侧面积是 ．
【答案】65π
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，设圆锥母线长为l，底面圆半径为r
有l=13，r=5
S侧＝πrl＝π×5×13＝65π．
故答案为：65π．
【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l和底面圆半径为r的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2019七上·沈阳月考）一个几何体由若干的小立方块搭成下图是从上面看到的几何体的形状图，小正方形中数字表示在该位置上小立方块的个数，请画出从正面看和从左面看到的几何体的形状图.
【答案】解：从正面看图形为： ，
从左面看图形为： .
【知识点】作图﹣三视图
【解析】【分析】由图可知，该几何体从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3、2、1；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为2、3、1，据此进一步画出图形即可.
18．（2022七上·义乌月考）每个正方体相对两个面上写的数之和等于2．
（1）求图1的正方体看不见的三个面上的数字的积．
（2）现将两个这样的正方体黏合放置（如图2），求所有看不见的七个面上所写的数字的和．
【答案】（1）解：∵1+1=2；3+（-1）=2；-2+4=2；
∴积是1×4×（﹣1）＝﹣4；
（2）解：∵1+1=2，，2+0=2，3+(-1)=2，-4+6=2，
∴看不见的面上得数字为1，，0，-1，6，
左边的正方体的左右两面的数值之和为2，
∴和是1+ +2+6﹣1+0＝8 ．
【知识点】几何体的展开图；有理数的加法；有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）利用对面两个每个正方体相对两个面上写的数之和等于2，可得到看不见的三个面上得数字分别是1，-1，4，然后将这三个数相乘，求出结果.
（2）根据相对两个面上写的数之和等于2，可得到看不见的数字为1，，0，-1，6，左边的正方体的左右两面的数值之和为2，然后将六个数求和即可.
19．（2022·徐州）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
【答案】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
则DF=CD=90（cm），CF=CD cos∠DCF=180×=90（cm），
由题意得：=，即=，
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，
则=，
解得：AB=170+60，
答：立柱AB的高度为(170+60)cm．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；平行投影
【解析】【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据含30度直角三角形的性质得DF，根据余弦函数的定义求出CF，由题意可得==，求解即可.
20．（2021·邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径 与母线 长之比为 .制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中 ， .将扇形 围成圆锥时， ， 恰好重合.
（1）求这种加工材料的顶角 的大小
（2）若圆锥底面圆的直径 为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积.（结果保留 ）
【答案】（1）解：设ED=x，则AD=2x，
∴ 弧长 ，
∴ ，
∴ =90°
（2）解：∵ED=5cm，
∴AD=2ED=10cm，
∵ ， =90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵ ，
∴BD=CD=AD=10cm，
∴BC=BD+CD=20cm，
∴S△BAC= cm2，
∴ ，
∴S阴影= S△BAC- =（100- ）cm2
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算；等腰直角三角形
【解析】【分析】 （1）设ED=x，则AD=2x，根据 弧长等于围成圆锥的底面周长，据此列出方程，即可求出结论；
（2）由S阴影= S△BAC- ，利用三角形面积公式与扇形的面积公式计算即可.
21．（2022九上·长清期中）如图，一路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离墙17米的D处时，影长为1米．
（1）求路灯B的高度；
（2）若点P为路灯，请画出小亮位于N处时，在路灯P下的影子NF（用粗线段表示出来）
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴米，米，
∴，解得：．
∴路灯高6.4米．
（2）解：如图所示：
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）先证明，可得，再将数据代入可得，最后求出即可；
（2）根据要求作出图象即可。
22．（2022·深圳模拟）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧恰好经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点的坐标为 ；
（2）连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为 ；
（3）连接AB，将线段AB绕点D旋转一周，求线段AB扫过的面积．
【答案】（1）（2，0）
（2）
（3）解：设AB的中点为E，
∴E（2，4），
∴DE＝4，
∴S＝π×（AD2﹣DE2）＝4π，
∴线段AB扫过的面积是4π.，
【知识点】圆锥的计算；旋转的性质
【解析】【解答】(1)解：过点（2，0）作x轴垂线，过点（5，3）作与BC垂直的线，
两线的交点即为D点坐标，
∴D（2，0），
故答案为：（2，0）；
(2)解：连接AC，
∵A（0，4），B（4，4），C（6，2），
∴ ， ， ，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
∴ 的长 ，
∵扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【分析】（1）过点（2，0）作x轴垂线，过点（5，3）作与BC垂直的线，再结合图象直接写出点D的坐标即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°，再求出弧AC的长，再利用扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得，再求出即可；
（3）设AB的中点为E，根据点E的坐标可得DE的长，再利用割补法可得S＝π×（AD2﹣DE2）＝4π。
23．（2020·攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 的距离皆为 ．王诗嬑观测到高度 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 ，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为 ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 ？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否符合题意？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 ，则高圆柱的高度为多少 ？
【答案】（1）解：设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得： ，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）解：符合题意，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）解：如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度 ，
∴ ，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴ ，
∴AH= =200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
【知识点】相似三角形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
24．（2023七上·子洲月考）【问题情境】
小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】
（1）图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？ （填序号）．
（2）小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①请计算出这个几何体的体积；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加 个正方体纸盒．
【答案】（1）①③④
（2）解：①由图象可知共有6个无盖正方体纸盒，
由题意得无盖正方体纸盒的棱长都为 ，
故这个几何体的体积为 ；
②3.
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】（1）解：无盖正方体形纸盒应该由5个面，但图②中经折叠后有两个面重复，因此图②中的图形折叠不能围成无盖正方体形纸盒，图①③④均可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒，
故答案为：①③④．
（2）②由图得左视图和俯视图分别为：
故保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，可放置的正方体纸盒为虚线所示的正方体纸盒：
共3个，
故答案为：3．
【分析】（1）动手操作即得结论；
（2）① 由图象可知共有6个无盖正方体纸盒， 由题意得无盖正方体纸盒的棱长都为 ，求出一个正方体的体积，再乘以6即可；②先判断出原几何体的左视图和俯视图，再添加判断即可.
1 / 12023年春季浙教版数学九年级下册第三章 《投影与三视图》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021·南京）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·菏泽）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一个角，得到如图所示的几何体，则他的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·徐州）如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm，则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
5．（2022·黄石）由5个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·齐齐哈尔）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．（2022·龙东）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2021·雅安）甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数（ ）
A．甲和乙左视图相同，主视图相同
B．甲和乙左视图不相同，主视图不相同
C．甲和乙左视图相同，主视图不相同
D．甲和乙左视图不相同，主视图相同
9．（2022·柳州）如图，圆锥底面圆的半径 ，母线长 ，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·郴州）如图，圆锥的母线长 ，底面圆的直径 ，则该圆锥的侧面积等于 .（结果用含 的式子表示）
12．（2022·常德）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是 .
13．（2022·青海）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 .
14．（2021·徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长 为 ，扇形的圆心角 ，则圆锥的底面圆半径 为 .
15．（2020·呼和浩特）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
16．（2020·齐齐哈尔）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个几何体的侧面积是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2019七上·沈阳月考）一个几何体由若干的小立方块搭成下图是从上面看到的几何体的形状图，小正方形中数字表示在该位置上小立方块的个数，请画出从正面看和从左面看到的几何体的形状图.
18．（2022七上·义乌月考）每个正方体相对两个面上写的数之和等于2．
（1）求图1的正方体看不见的三个面上的数字的积．
（2）现将两个这样的正方体黏合放置（如图2），求所有看不见的七个面上所写的数字的和．
19．（2022·徐州）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
20．（2021·邵阳）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径 与母线 长之比为 .制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中 ， .将扇形 围成圆锥时， ， 恰好重合.
（1）求这种加工材料的顶角 的大小
（2）若圆锥底面圆的直径 为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积.（结果保留 ）
21．（2022九上·长清期中）如图，一路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离墙17米的D处时，影长为1米．
（1）求路灯B的高度；
（2）若点P为路灯，请画出小亮位于N处时，在路灯P下的影子NF（用粗线段表示出来）
22．（2022·深圳模拟）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧恰好经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点的坐标为 ；
（2）连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为 ；
（3）连接AB，将线段AB绕点D旋转一周，求线段AB扫过的面积．
23．（2020·攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 的距离皆为 ．王诗嬑观测到高度 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 ，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为 ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 ？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否符合题意？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 ，则高圆柱的高度为多少 ？
24．（2023七上·子洲月考）【问题情境】
小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】
（1）图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？ （填序号）．
（2）小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①请计算出这个几何体的体积；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加 个正方体纸盒．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正方形的性质；中心投影
【解析】【解答】A.因为正方形纸板重直于地面，故不能产生正方形的投影，不符合题意
B.因为正方形的对角线互相垂直，中心投影后，影子的对角线仍然互相垂直，不符合题意
D.上方投影比下方要长，故D选项符合题意
故答案为：D.
【分析】观察图形，根据正方形纸板放置的位置，可知不能产生正方形的投影，可对A作出判断；中心投影后，影子的对角线仍然互相垂直，可对B，C作出判断；中心投影物体的高和影长成比例，正方形对边相等，可对D作出判断.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从几何体的正面看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看得见的小三角形画为实线，
故答案为：D．
【分析】根据所给的几何体对每个选项一一判断即可。
3．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A、2的对面是4，点数之和不为7，故A项错误；
B、2的对面是6，点数之和不为7，故B项错误；
C、2的对面是6，点数之和不为7，故C项错误；
D、1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，相对面的点数之和都为7，故D项正确.
故答案为：D.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，然后根据相对两面的点数之和为7进行判断.
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质；中心投影
【解析】【解答】解：设投影三角尺的对应边长为 ，
三角尺与投影三角尺相似，
，
解得 ．
故答案为：A．
【分析】由题意可知三角尺与投影三角尺相似，再利用相似三角形的对应边成比例就可求出投影三角尺的对应边的长。
5．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形.
故答案为：B.
【分析】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，根据主视图的概念确定出每行每列小正方形的个数，据此判断.
6．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题中所给出的左视图知物体共两层，每一层都是两个小正方体；
从俯视图可以可以看出最底层的个数
所以图中的小正方体最少2+4=6。
故答案为：C。
【分析】根据三视图的定义求解即可。
7．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有5+3=8个．
故答案为：B．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
8．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】由甲俯视图知，其左视图为 ，由乙俯视图知，其左视图为 ，故它们的左 视图不相同，但它们两个的主视图相同，都是 .
故答案为：D.
【分析】先分别判断出甲、乙两个几何体的左视图、主视图，然后判断即可.
9．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：弧 的长，就是圆锥的底面周长，即 ，
所以扇形的面积为 ，
即圆锥的侧面积为 ，
故答案为：C.
【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长结合圆的周长公式可得弧长，然后根据S侧面=rl进行计算.
10．【答案】C
【知识点】圆锥的计算；圆柱的计算
【解析】【解答】解：根据题意，
∵底面圆半径DE=2m，
∴圆柱的底面积为：，故A正确，不符合题意；
圆柱的侧面积为：，故B正确，不符合题意；
圆锥的母线为：，故C错误，符合题意；
圆锥的侧面积为：，故D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据圆的面积公式可得圆柱的底面积，据此判断A；根据圆柱的侧面积=底面周长×高可判断B；根据底面圆的半径、圆柱的高以及母线构成直角三角形，结合勾股定理求出母线长，据此判断C；根据圆锥的侧面积公式可判断D.
11．【答案】60π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意，
∵圆锥的母线长 ，底面圆的直径 ，
∴圆锥的侧面积为：
；
故答案为：60π.
【分析】根据圆锥的侧面积S=πrl（l为母线长，r为底面圆的半径）进行计算即可.
12．【答案】月
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”.
故答案为：月.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
13．【答案】5
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知，这个几何体的构成情况如下：（数字表示相应位置上小正方形的个数）
则构成这个几何体的小正方体的个数是，
故答案为：5．
【分析】求出构成这个几何体的小正方体的个数是，即可作答。
14．【答案】2
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵母线长 为 ，扇形的圆心角
∴圆锥的底面圆周长
∴圆锥的底面圆半径
故答案为：2.
【分析】根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长即可求解.
15．【答案】3π+4
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，
半圆柱的直径为2，高为1，
故其表面积为：π×12+（π+2）×2=3π+4，
故答案为：3π+4．
【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可．
16．【答案】65π
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，设圆锥母线长为l，底面圆半径为r
有l=13，r=5
S侧＝πrl＝π×5×13＝65π．
故答案为：65π．
【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l和底面圆半径为r的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．
17．【答案】解：从正面看图形为： ，
从左面看图形为： .
【知识点】作图﹣三视图
【解析】【分析】由图可知，该几何体从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3、2、1；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为2、3、1，据此进一步画出图形即可.
18．【答案】（1）解：∵1+1=2；3+（-1）=2；-2+4=2；
∴积是1×4×（﹣1）＝﹣4；
（2）解：∵1+1=2，，2+0=2，3+(-1)=2，-4+6=2，
∴看不见的面上得数字为1，，0，-1，6，
左边的正方体的左右两面的数值之和为2，
∴和是1+ +2+6﹣1+0＝8 ．
【知识点】几何体的展开图；有理数的加法；有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）利用对面两个每个正方体相对两个面上写的数之和等于2，可得到看不见的三个面上得数字分别是1，-1，4，然后将这三个数相乘，求出结果.
（2）根据相对两个面上写的数之和等于2，可得到看不见的数字为1，，0，-1，6，左边的正方体的左右两面的数值之和为2，然后将六个数求和即可.
19．【答案】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
则DF=CD=90（cm），CF=CD cos∠DCF=180×=90（cm），
由题意得：=，即=，
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，
则=，
解得：AB=170+60，
答：立柱AB的高度为(170+60)cm．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；平行投影
【解析】【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据含30度直角三角形的性质得DF，根据余弦函数的定义求出CF，由题意可得==，求解即可.
20．【答案】（1）解：设ED=x，则AD=2x，
∴ 弧长 ，
∴ ，
∴ =90°
（2）解：∵ED=5cm，
∴AD=2ED=10cm，
∵ ， =90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵ ，
∴BD=CD=AD=10cm，
∴BC=BD+CD=20cm，
∴S△BAC= cm2，
∴ ，
∴S阴影= S△BAC- =（100- ）cm2
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算；等腰直角三角形
【解析】【分析】 （1）设ED=x，则AD=2x，根据 弧长等于围成圆锥的底面周长，据此列出方程，即可求出结论；
（2）由S阴影= S△BAC- ，利用三角形面积公式与扇形的面积公式计算即可.
21．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴米，米，
∴，解得：．
∴路灯高6.4米．
（2）解：如图所示：
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）先证明，可得，再将数据代入可得，最后求出即可；
（2）根据要求作出图象即可。
22．【答案】（1）（2，0）
（2）
（3）解：设AB的中点为E，
∴E（2，4），
∴DE＝4，
∴S＝π×（AD2﹣DE2）＝4π，
∴线段AB扫过的面积是4π.，
【知识点】圆锥的计算；旋转的性质
【解析】【解答】(1)解：过点（2，0）作x轴垂线，过点（5，3）作与BC垂直的线，
两线的交点即为D点坐标，
∴D（2，0），
故答案为：（2，0）；
(2)解：连接AC，
∵A（0，4），B（4，4），C（6，2），
∴ ， ， ，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
∴ 的长 ，
∵扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【分析】（1）过点（2，0）作x轴垂线，过点（5，3）作与BC垂直的线，再结合图象直接写出点D的坐标即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°，再求出弧AC的长，再利用扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得，再求出即可；
（3）设AB的中点为E，根据点E的坐标可得DE的长，再利用割补法可得S＝π×（AD2﹣DE2）＝4π。
23．【答案】（1）解：设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得： ，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）解：符合题意，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）解：如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度 ，
∴ ，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴ ，
∴AH= =200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
【知识点】相似三角形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
24．【答案】（1）①③④
（2）解：①由图象可知共有6个无盖正方体纸盒，
由题意得无盖正方体纸盒的棱长都为 ，
故这个几何体的体积为 ；
②3.
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】（1）解：无盖正方体形纸盒应该由5个面，但图②中经折叠后有两个面重复，因此图②中的图形折叠不能围成无盖正方体形纸盒，图①③④均可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒，
故答案为：①③④．
（2）②由图得左视图和俯视图分别为：
故保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，可放置的正方体纸盒为虚线所示的正方体纸盒：
共3个，
故答案为：3．
【分析】（1）动手操作即得结论；
（2）① 由图象可知共有6个无盖正方体纸盒， 由题意得无盖正方体纸盒的棱长都为 ，求出一个正方体的体积，再乘以6即可；②先判断出原几何体的左视图和俯视图，再添加判断即可.
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