2023年春季浙教版数学九年级下册第三章 《投影与三视图》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·包头模拟）如图是一物体的三视图，则这个几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体；圆柱的侧面积和表面积
【解析】【解答】解：由题意可知，这个几何体是圆柱，侧面积是：π×10×20=200π．
故答案为：A．
【分析】先利用三视图的定义求出几何体是圆柱，再求出圆柱的侧面积即可。
2．（2022九上·莱西期中）某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：此商场的休息椅的俯视图为A，
故答案为：A．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．（2022七上·碑林月考）在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（ ）
A．11个 B．10个 C．9个 D．8个
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由“俯视图”可知，该物体的最下面一层有6个正方体小货箱，由正视图和左视图可得：该物体第二层有2个正方体小货箱，第三层有1个正方体小货箱，
∴组成该物体的正方体小货箱有：6+2+1=9（个）.
故答案为：C.
【分析】由“俯视图”可知：该物体的最下面一层有6个正方体小货箱，由正视图和左视图可得：该物体第二层有2个正方体小货箱，第三层有1个正方体小货箱，进而可得正方体小货箱的总个数.
4．（2022七上·碑林月考）下列图形中经过折叠，可以围成圆锥的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A、能围成圆锥，符合圆锥展开图的特征，故此选项符合题意；
B、不能围成圆锥，无底面圆形和侧面扇形，故此选项不符合题意；
C、不能围成圆锥，无底面圆形和侧面扇形，故此选项不符合题意；
D、不能围成圆锥，无底面圆形和侧面扇形，故此选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】由一个圆和一个扇形围成的图形为圆锥，据此判断.
5．（2022七上·碑林月考）一个正方体的相对的表面上所标的数都是互为相反数的两个数，如图是这个正方体的表面展开图，那么图中x的值是（ ）
A．－8 B．－3 C．－2 D．3
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体表面展开图的特征可知，
“-3”与“x”的面是相对的面，
“y”与“8”的面是相对的面，
“-2”与“2”的面是相对的面，
相对的表面上所标的数是互为相反数，
x=3.
故答案为：D.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此可得与x相对的面，然后根据 相对的表面上所标的数互为相反数可得x的值.
6．（2022九上·淇滨开学考）如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影长为，，，，点到的距离是，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：设点P到AB的距离是
∵AB∥CD，，，点P到CD的距离是3cm，
∽
，
故答案为：C.
【分析】设点P到AB的距离是xcm，易证△ABP∽△CDP，然后根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，进行计算.
7．（2021九上·佛山月考）如图所示是滨河公园中的两个物体一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）
A．(3)(4)(1)(2) B．(4)(3)(1)(2)
C．(4)(3)(2)(1) D．(2)(4)(3)(1)
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知，（3），（4）是上午，（1），（2）是下午，根据影子的长度可知先后为（4）（3）（2）（1）．
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的特点和规律求解即可。
8．（2022九上·碑林月考）如图是一根空心方管，在研究物体的三种视图时，小明画出的该空心方管的主视图与俯视图分别是（ ）
A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是正方形且中间的空心部分看得见，所以主视图是（2）；
俯视图是长方形且中间的空心部分看不见，因此要画成虚线，所以俯视图是（4）.
故答案为：D.
【分析】从正面看时中间的空心部分看得见；从上往下看时中间的空心部分看不见，要画成虚线，据此可得到符合题意的选项.
9．（2023七上·子洲月考）下图所示的长方形（长为14，宽为8）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（ ）
A．56 B．40 C．28 D．20
【答案】B
【知识点】几何体的展开图；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方体箱子的正方形底面的边长为 ，长方体的高为 ．
则 ， ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】设长方体箱子的正方形底面的边长为 ，长方体的高为 ，根据图形知4a=8，2a+b=14，据此求出a、b值，再利用长方体的体积公式求解即可.
10．（2022七上·泾阳月考）如图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示位置依次翻转到第①格、第②格，第③格，第④格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．六 B．中 C．学 D．强
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体的展开图可得，“一”的对面为“中”，“二”的对面为“强”，“六”的对面为“学”，
翻转第①格时，“二”在下，
翻转第②格时，“六”在下，
翻转第③格时，“一”在下，
翻转第④格时，“二”在下，这时小正方体朝上一面的字是“强”，
故答案为：D．
【分析】根据正方体的展开图可得，“一”的对面为“中”，“二”的对面为“强”，“六”的对面为“学”，继而判断即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022九下·泾阳月考）如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6 m的小明站在D处的影长DC为2 m，那么此时小明离路灯杆AB的距离BD为 m
【答案】4
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
∴ ，
∴，即 ，
∴CB=6，
∴BD=BC-CD=6-2=4m，
故答案为：4.
【分析】利用中心投影的性质可判断 ，再根据相似的性质求出BC的长，然后计算BC-CD即可.
12．（2022·即墨模拟）三棱柱的三视图如图所示，在俯视图△EFG中，FG=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，则左视图中AB的长为 cm．
【答案】7
【知识点】含30°角的直角三角形；简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，
由题意可得出：EQ=AB，
∵EG=14cm，∠EGF=30°，
∴EQ=AB=×14=7（cm）．
故答案为：7．
【分析】过点E作EQ⊥FG于点Q，利用含30°角的直角三角形的性质可得EQ=AB=×14=7（cm）。
13．（2022七上·泾阳月考）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要m个，最多需要n个，则m﹣n＝ ．
【答案】﹣4
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和俯视图可确定所需正方体个数多时的俯视图为：
最多的小正方形个数时：
∴n＝1+2+2+2+3+3＝13，
最少的小正方形个数时：
∴m＝1+1+1+2+1+3＝9，
∴m－n＝9－13＝﹣4，
故答案为：﹣4
【分析】由主视图和俯视图可确定所需正方体个数最多及最少的个数，再代入求值即可.
14．（2021九上·泰和期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为 ．
【答案】3.2m
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC，过点M作MF⊥PQ，
∵PQ⊥QN，MN⊥QN，
∴四边形FQNM是矩形，
∴FQ=MN=0.8，
∵同一时刻物体影子与实际高度成比例，
∴，
∴，
∴PF=2.4，
∴PQ=PF+FQ=2.4+0.8=3.2（m），
故答案为：3.2m．
【分析】连接AC，过点M作MF⊥PQ，根据题意可得，将数据代入可得，求出PF的长，最后利用线段的和差求出PQ的长即可。
15．（2021九上·西安月考）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝ ．
【答案】x2+3x+2
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵S主=x2+2x=x（x+2），S左=x2+x=x（x+1），
∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，
则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2，
故答案为：x2+3x+2．
【分析】先把S主和S左的表达式进行因式分解，根据主视图反应的是长与高，左视图反应的宽与高，俯视图反应的是长与宽，得出该长方体的长为（x+2），则宽为（x+1），依此求俯视图的面积即可.
16．（2022·胶州模拟）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
【答案】
【知识点】由三视图判断几何体；圆柱的体积
【解析】【解答】解：由三视图可知，原几何体是一个正方体中间去掉一个圆柱体，
正方体的边长为1+2+1=4，圆柱体的直径为2，两者的高度都为3，
∴该几何体的体积为，
故答案为：．
【分析】根据三视图可得原几何体是一个正方体中间去掉一个圆柱体，再根据图中数据计算即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·潍坊）在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
【答案】解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，，
乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，，
∵，
∴，
故不认同小亮的说法．
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】根据圆锥侧面积公式计算即可。
18．（2022七上·泾阳月考）如图，是一个几何体的表面展开图．
（1）该几何体是 ．
（2）依据图中数据求该几何体的表面积和体积．
【答案】（1）长方体
（2）解：表面积：3×1×2+3×2×2+2×1×2＝22（平方米），
体积：3×2×1＝6（立方米），
答：该几何体的表面积是22平方米，体积是6立方米．
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】（1）解：由展开图得这个几何体为长方体，
故答案为：长方体．
【分析】（1）由展开图可知这个几何体为长方体；
（2）表面积=六个面之和，体积=长×宽×高，据此分别计算即可.
19．（2021七上·章贡期末）如图，由六个棱长为1cm的小正方体组成一个几何体．
（1）分别画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图．
（2）该几何体的表面积是 cm2．
【答案】（1）解：如图所示
（2）24
【知识点】几何体的表面积；作图﹣三视图
【解析】【解答】解：（2）5×2+3×2+4×2=24
【分析】（1）根据三视图的定义求解即可；
（2）先求出几何体的主视图、左视图和俯视图的面积之和，再乘以2即可。
20．（2021九上·椒江期末）一块材料的形状是等腰△ABC，底边 BC=120 cm，高 AD=120 cm.
（1）若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在
BC 上，其余两个顶点分别在AB，AC 上（如图 1），则这个正方形的边长为多少？
（2）若把这块材料加工成正方体零件（如图 2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积为多少？
【答案】（1）解：设正方形的边长为xcm，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，EF=EH=xcm，又AD⊥BC，
∴∠AEH=∠ABC，∠AHE=∠ACB，AD⊥EH，DK=EF=xcm，
∴△AEH∽△ABC，
∴ ，
∵BC=120 cm， AD=120 cm，
∴ ，
解得：x=60，
答：方形的边长为60cm；
（2）解：设正方体的棱长为acm，
由题意知：MN∥BC，AP⊥MN，MN=a，PD=4a，
∴△AMN∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得：a=24
∴正方体的表面积为6×242=3456cm2.
【知识点】几何体的表面积；几何体的展开图；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）设正方形的边长为xcm，根据正方形的性质可得EH∥BC，EF=EH=xcm，易证△AEH∽△ABC，然后利用相似三角形的性质进行求解；
（2）设正方体的棱长为acm，由题意知：MN∥BC，AP⊥MN，MN=a，PD=4a，易证△AMN∽△ABC，利用相似三角形的性质可得a的值，进而可得正方体的表面积.
21．（2021七上·吉林期末）一个正方体的六个面分别标有字母A、B、C、D、E、F，从三个不同方向看到的情形如图所示．
（1）A的对面是 ，B的对面是 ，C的对面是 ；（直接用字母表示）
（2）若，，，，且小正方体各对面上的两个数都互为相反数，请求出F所表示的数．
【答案】（1）D；E；F
（2）解：∵小正方体各对面上的两个数都互为相反数，
∴，
解得，，
∴，
∴点F表示的数为5．
【知识点】几何体的展开图；非负数之和为0
【解析】【解答】解：（1）由图可知，A相邻的字母有C、E、B、F，
所以，A对面的字母是D，
与B相邻的字母有C、D、A、F，
所以，B对面的字母是E，
所以，C对面的字母是F；
故答案为：D，E，F；
【分析】（1）观察三个正方体，与A相邻的字母由C、E、B、F，从而确定出A对面的字母，与B相邻的字母由C、D、A、F，从而确定与B对面的字母，最后确定出E的对面；
（2）根据互为相反数的定义列出求出m与n，然后代入代数式求出C表示的数，进而可得F表示的数。
22．（2022·上蔡模拟）为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了三种不同的测量方案，如下表所示.
课题 测量校园旗杆的高度
测量工具 测角仪（测量角度的仪器），卷尺，平面镜等
测量小组 A组 B组 C组
测量方案示意图
说明 线段AB表示旗杆的高度，线段BE表示旗杆底座高度，点A，B，E共线，线段CD，FG表示测角仪的高度，点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，CG表示两次测角仪摆放位置的距离，测角仪可测得旗杆顶端A的仰角 线段AB表示旗杆的高度，线段BE表示旗杆底座高度，点A，B，E共线，线段CD表示测角仪的高度，DE表示测角仪到旗杆的距离，点F表示平面镜的中心，点E，F，D共线，眼睛在C处，移动平面镜，看向中心F，恰好看到旗杆顶端A，此时用测角仪测得平面镜的俯角，A，B，C，D，E，F六点在同一竖直平面内 线段AB表示旗杆的高度，线段BE表示旗杆底座高度，点A，B，E共线，EC为旗杆与底座某一时刻下的影长，A，B，C，E四点在同一竖直平面内，标杆NM垂直于水平地面，PM为标杆NM在某一时刻的影长
测量数据 为，为，米，米，米 米，米，米，为 米，米，米，米
（1）上述A，B，C三个小组中，用哪个小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，为什么？
（2）请结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆的高度AB.（结果保留两位小数.参考数据：，）
【答案】（1）解：C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，理由如下：
上午10：00测量的旗杆与影长的比值与上午10：30测量的标杆与影长的比值不相同，因为随着时间的推移，太阳的位置上升，使得太阳光与地面竖直物体之间的夹角增大，从而使得竖直物体的高度与其影长之间的比值变大，两个时间点测量的比值不同，从而根据比值计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，如图所示，
是上午10：00旗杆高度与影长的比值，
是上午10：30旗杆高度与影长的比值，
∵在同一时刻，上述两个比值因为太阳处于同一高度，是相同的，
但是在不同时刻，随着太阳高度上升，上述比值是逐渐增大的，
∴，
∴，
∴通过上述比值求出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，比真实高度要小；
（2）解：如图所示，连接FD与线段AE交于点M，
根据题意得：=，=，米，米，米，
又∵FG⊥CG，DC⊥CG，
∴四边形FGCD是矩形，
又∵AE⊥CG，且线段AE与FD交于点M，
∴FG = ME = 1.5 m，
∴FM= GE，DM = CE，
设FM = xm，则DM= CE = CG-GE = CG-FM=（14.79-x）m，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即旗杆的高度AB为9.45m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）根据上午10：00测量的旗杆与影长的比值与上午10：30测量的标杆与影长的比值不相同，那么根据比值计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，要比真实高度要小，即可得出C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度；
（2）连接DF交AB于M，易得四边形FGCD为矩形，根据矩形性质及AE⊥CG，求得FG = ME = 1.5m，FM= GE，DM = CE，设FM =xm，则DM= CE = CG-GE = CG-FM=（14.79-x）m， 再利用α、β的正切值得DM·1≈FM，即14.79-x=x，解得x值从而求得AM得长度，最后再由AB=AM+ME-BE，代入数据计算即可求得AB的值.
23．（2021七上·南京月考）根据要求完成下列题目.
（1）图中有 块小正方体.
（2）请在方格纸中分别画出它的左视图和俯视图（画出的图都用铅笔涂上阴影）.
（3）用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要 个小正方体，最多要 个小正方体.
【答案】（1）6
（2）解：如图：
（3）5；7
【知识点】作图﹣三视图
【解析】【解答】解：（1）由图知，图形共有3层，最下层有3块小正方体，中间一层有2块，最上一层有1块，
∴图中共有1+2+3=6块小正方体，
故答案为：6；
（3）如图，用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要5个，最多需要7个，
故答案为：5，7.
【分析】（1）观察几何体，可知图形共有3层，最下层有3块小正方体，中间一层有2块，最上一层有1块，由此可得到小正方形的数量；
（2）从左边看共有两列，从左至右每列依次有小正方形的个数分别是3、1，而且最下边对齐；从上边看共有两列，从左至右每列依次有小正方形的个数分别是2、1，而且最上边对齐，据此即可画出图形；
（3）根据题意画出相关的图形，可得答案.
24．（2021七上·郑州期末）综合与实践：制作一个无盖长方形盒子.
用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒.如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角减掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子.
（1）如果原正方形纸片的边长为a cm，剪去的正方形的边长为b cm，则折成的无盖长方体盒子的高为 cm，底面积为 cm2，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积 cm3；
（2）如果a=20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表；
剪去正方形的 边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
容积/cm3 324 512 500 384 252 128 36 0
（3）观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
（4）分析猜想当剪去图形的边长为 时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是 cm3.
（5）对（2）中的结果，你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗？
【答案】（1）b；（a-2b）2；b（a-2b）2
（2）588；576
（3）C
（4）3；588
（5）解：根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3与4之间时，无盖长方体盒子的容积最大；
当x=3，5时，b（a-2b）2=3.5×（20-2×3.5）2=591.5cm3，
当 时，b（a-2b）2=3.25×（20-2×3.25）2=592.3125cm3，
当 时，b（a-2b）2=3.375×（20-2×3.375）2=592.5234375cm3，
当剪去图形的边长为3.3cm时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是592.548cm3.
因此表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位.
【知识点】代数式求值；几何体的展开图；用字母表示数
【解析】【解答】（1）解：无盖长方体盒子的高就是截去的小正方形边长，无盖长方体盒子的高为bcm，底面边长（a-2b）cm，底面面积为（a-2b）2cm2， 做成一个无盖的长方体盒子的体积为b（a-2b）2cm3，
故答案为：b；（a-2b）2；b（a-2b）2.
（2）解：当b=3cm， a-2b=20-6=14cm，b（a-2b）2=3×142=588cm3，
当b=4，a-2b=20，8=12cm，b（a-2b）2=4×122=576cm3，
故答案为：588；576.
（3）解：随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先变大，再变小.
故答案为：C.
（4）根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3cm时，无盖长方体盒子的容积最大588cm3.
故答案为：3，588.
【分析】（1）由题意可得：无盖长方体盒子的高为bcm，底面边长（a-2b）cm，结合长方体的体积公式可得无盖长方体纸盒的容积；
（2）根据（1）的结果将b、a-2b的值代入计算即可；
（3）（4）根据（2）中的表格进行判断即可；
（5） 求出b=3、5、3.25、3.375时对应的容积，结合数据的精确度进行解答.
1 / 12023年春季浙教版数学九年级下册第三章 《投影与三视图》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·包头模拟）如图是一物体的三视图，则这个几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·莱西期中）某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022七上·碑林月考）在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（ ）
A．11个 B．10个 C．9个 D．8个
4．（2022七上·碑林月考）下列图形中经过折叠，可以围成圆锥的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022七上·碑林月考）一个正方体的相对的表面上所标的数都是互为相反数的两个数，如图是这个正方体的表面展开图，那么图中x的值是（ ）
A．－8 B．－3 C．－2 D．3
6．（2022九上·淇滨开学考）如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影长为，，，，点到的距离是，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·佛山月考）如图所示是滨河公园中的两个物体一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）
A．(3)(4)(1)(2) B．(4)(3)(1)(2)
C．(4)(3)(2)(1) D．(2)(4)(3)(1)
8．（2022九上·碑林月考）如图是一根空心方管，在研究物体的三种视图时，小明画出的该空心方管的主视图与俯视图分别是（ ）
A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）
9．（2023七上·子洲月考）下图所示的长方形（长为14，宽为8）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（ ）
A．56 B．40 C．28 D．20
10．（2022七上·泾阳月考）如图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示位置依次翻转到第①格、第②格，第③格，第④格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．六 B．中 C．学 D．强
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022九下·泾阳月考）如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6 m的小明站在D处的影长DC为2 m，那么此时小明离路灯杆AB的距离BD为 m
12．（2022·即墨模拟）三棱柱的三视图如图所示，在俯视图△EFG中，FG=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，则左视图中AB的长为 cm．
13．（2022七上·泾阳月考）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要m个，最多需要n个，则m﹣n＝ ．
14．（2021九上·泰和期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为 ．
15．（2021九上·西安月考）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝ ．
16．（2022·胶州模拟）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·潍坊）在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
18．（2022七上·泾阳月考）如图，是一个几何体的表面展开图．
（1）该几何体是 ．
（2）依据图中数据求该几何体的表面积和体积．
19．（2021七上·章贡期末）如图，由六个棱长为1cm的小正方体组成一个几何体．
（1）分别画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图．
（2）该几何体的表面积是 cm2．
20．（2021九上·椒江期末）一块材料的形状是等腰△ABC，底边 BC=120 cm，高 AD=120 cm.
（1）若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在
BC 上，其余两个顶点分别在AB，AC 上（如图 1），则这个正方形的边长为多少？
（2）若把这块材料加工成正方体零件（如图 2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积为多少？
21．（2021七上·吉林期末）一个正方体的六个面分别标有字母A、B、C、D、E、F，从三个不同方向看到的情形如图所示．
（1）A的对面是 ，B的对面是 ，C的对面是 ；（直接用字母表示）
（2）若，，，，且小正方体各对面上的两个数都互为相反数，请求出F所表示的数．
22．（2022·上蔡模拟）为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了三种不同的测量方案，如下表所示.
课题 测量校园旗杆的高度
测量工具 测角仪（测量角度的仪器），卷尺，平面镜等
测量小组 A组 B组 C组
测量方案示意图
说明 线段AB表示旗杆的高度，线段BE表示旗杆底座高度，点A，B，E共线，线段CD，FG表示测角仪的高度，点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，CG表示两次测角仪摆放位置的距离，测角仪可测得旗杆顶端A的仰角 线段AB表示旗杆的高度，线段BE表示旗杆底座高度，点A，B，E共线，线段CD表示测角仪的高度，DE表示测角仪到旗杆的距离，点F表示平面镜的中心，点E，F，D共线，眼睛在C处，移动平面镜，看向中心F，恰好看到旗杆顶端A，此时用测角仪测得平面镜的俯角，A，B，C，D，E，F六点在同一竖直平面内 线段AB表示旗杆的高度，线段BE表示旗杆底座高度，点A，B，E共线，EC为旗杆与底座某一时刻下的影长，A，B，C，E四点在同一竖直平面内，标杆NM垂直于水平地面，PM为标杆NM在某一时刻的影长
测量数据 为，为，米，米，米 米，米，米，为 米，米，米，米
（1）上述A，B，C三个小组中，用哪个小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，为什么？
（2）请结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆的高度AB.（结果保留两位小数.参考数据：，）
23．（2021七上·南京月考）根据要求完成下列题目.
（1）图中有 块小正方体.
（2）请在方格纸中分别画出它的左视图和俯视图（画出的图都用铅笔涂上阴影）.
（3）用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要 个小正方体，最多要 个小正方体.
24．（2021七上·郑州期末）综合与实践：制作一个无盖长方形盒子.
用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒.如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角减掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子.
（1）如果原正方形纸片的边长为a cm，剪去的正方形的边长为b cm，则折成的无盖长方体盒子的高为 cm，底面积为 cm2，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积 cm3；
（2）如果a=20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表；
剪去正方形的 边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
容积/cm3 324 512 500 384 252 128 36 0
（3）观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
（4）分析猜想当剪去图形的边长为 时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是 cm3.
（5）对（2）中的结果，你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体；圆柱的侧面积和表面积
【解析】【解答】解：由题意可知，这个几何体是圆柱，侧面积是：π×10×20=200π．
故答案为：A．
【分析】先利用三视图的定义求出几何体是圆柱，再求出圆柱的侧面积即可。
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：此商场的休息椅的俯视图为A，
故答案为：A．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由“俯视图”可知，该物体的最下面一层有6个正方体小货箱，由正视图和左视图可得：该物体第二层有2个正方体小货箱，第三层有1个正方体小货箱，
∴组成该物体的正方体小货箱有：6+2+1=9（个）.
故答案为：C.
【分析】由“俯视图”可知：该物体的最下面一层有6个正方体小货箱，由正视图和左视图可得：该物体第二层有2个正方体小货箱，第三层有1个正方体小货箱，进而可得正方体小货箱的总个数.
4．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A、能围成圆锥，符合圆锥展开图的特征，故此选项符合题意；
B、不能围成圆锥，无底面圆形和侧面扇形，故此选项不符合题意；
C、不能围成圆锥，无底面圆形和侧面扇形，故此选项不符合题意；
D、不能围成圆锥，无底面圆形和侧面扇形，故此选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】由一个圆和一个扇形围成的图形为圆锥，据此判断.
5．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体表面展开图的特征可知，
“-3”与“x”的面是相对的面，
“y”与“8”的面是相对的面，
“-2”与“2”的面是相对的面，
相对的表面上所标的数是互为相反数，
x=3.
故答案为：D.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此可得与x相对的面，然后根据 相对的表面上所标的数互为相反数可得x的值.
6．【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：设点P到AB的距离是
∵AB∥CD，，，点P到CD的距离是3cm，
∽
，
故答案为：C.
【分析】设点P到AB的距离是xcm，易证△ABP∽△CDP，然后根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，进行计算.
7．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知，（3），（4）是上午，（1），（2）是下午，根据影子的长度可知先后为（4）（3）（2）（1）．
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的特点和规律求解即可。
8．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是正方形且中间的空心部分看得见，所以主视图是（2）；
俯视图是长方形且中间的空心部分看不见，因此要画成虚线，所以俯视图是（4）.
故答案为：D.
【分析】从正面看时中间的空心部分看得见；从上往下看时中间的空心部分看不见，要画成虚线，据此可得到符合题意的选项.
9．【答案】B
【知识点】几何体的展开图；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方体箱子的正方形底面的边长为 ，长方体的高为 ．
则 ， ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】设长方体箱子的正方形底面的边长为 ，长方体的高为 ，根据图形知4a=8，2a+b=14，据此求出a、b值，再利用长方体的体积公式求解即可.
10．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体的展开图可得，“一”的对面为“中”，“二”的对面为“强”，“六”的对面为“学”，
翻转第①格时，“二”在下，
翻转第②格时，“六”在下，
翻转第③格时，“一”在下，
翻转第④格时，“二”在下，这时小正方体朝上一面的字是“强”，
故答案为：D．
【分析】根据正方体的展开图可得，“一”的对面为“中”，“二”的对面为“强”，“六”的对面为“学”，继而判断即可.
11．【答案】4
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
∴ ，
∴，即 ，
∴CB=6，
∴BD=BC-CD=6-2=4m，
故答案为：4.
【分析】利用中心投影的性质可判断 ，再根据相似的性质求出BC的长，然后计算BC-CD即可.
12．【答案】7
【知识点】含30°角的直角三角形；简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，
由题意可得出：EQ=AB，
∵EG=14cm，∠EGF=30°，
∴EQ=AB=×14=7（cm）．
故答案为：7．
【分析】过点E作EQ⊥FG于点Q，利用含30°角的直角三角形的性质可得EQ=AB=×14=7（cm）。
13．【答案】﹣4
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和俯视图可确定所需正方体个数多时的俯视图为：
最多的小正方形个数时：
∴n＝1+2+2+2+3+3＝13，
最少的小正方形个数时：
∴m＝1+1+1+2+1+3＝9，
∴m－n＝9－13＝﹣4，
故答案为：﹣4
【分析】由主视图和俯视图可确定所需正方体个数最多及最少的个数，再代入求值即可.
14．【答案】3.2m
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC，过点M作MF⊥PQ，
∵PQ⊥QN，MN⊥QN，
∴四边形FQNM是矩形，
∴FQ=MN=0.8，
∵同一时刻物体影子与实际高度成比例，
∴，
∴，
∴PF=2.4，
∴PQ=PF+FQ=2.4+0.8=3.2（m），
故答案为：3.2m．
【分析】连接AC，过点M作MF⊥PQ，根据题意可得，将数据代入可得，求出PF的长，最后利用线段的和差求出PQ的长即可。
15．【答案】x2+3x+2
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵S主=x2+2x=x（x+2），S左=x2+x=x（x+1），
∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，
则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2，
故答案为：x2+3x+2．
【分析】先把S主和S左的表达式进行因式分解，根据主视图反应的是长与高，左视图反应的宽与高，俯视图反应的是长与宽，得出该长方体的长为（x+2），则宽为（x+1），依此求俯视图的面积即可.
16．【答案】
【知识点】由三视图判断几何体；圆柱的体积
【解析】【解答】解：由三视图可知，原几何体是一个正方体中间去掉一个圆柱体，
正方体的边长为1+2+1=4，圆柱体的直径为2，两者的高度都为3，
∴该几何体的体积为，
故答案为：．
【分析】根据三视图可得原几何体是一个正方体中间去掉一个圆柱体，再根据图中数据计算即可。
17．【答案】解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，，
乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，，
∵，
∴，
故不认同小亮的说法．
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】根据圆锥侧面积公式计算即可。
18．【答案】（1）长方体
（2）解：表面积：3×1×2+3×2×2+2×1×2＝22（平方米），
体积：3×2×1＝6（立方米），
答：该几何体的表面积是22平方米，体积是6立方米．
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】（1）解：由展开图得这个几何体为长方体，
故答案为：长方体．
【分析】（1）由展开图可知这个几何体为长方体；
（2）表面积=六个面之和，体积=长×宽×高，据此分别计算即可.
19．【答案】（1）解：如图所示
（2）24
【知识点】几何体的表面积；作图﹣三视图
【解析】【解答】解：（2）5×2+3×2+4×2=24
【分析】（1）根据三视图的定义求解即可；
（2）先求出几何体的主视图、左视图和俯视图的面积之和，再乘以2即可。
20．【答案】（1）解：设正方形的边长为xcm，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，EF=EH=xcm，又AD⊥BC，
∴∠AEH=∠ABC，∠AHE=∠ACB，AD⊥EH，DK=EF=xcm，
∴△AEH∽△ABC，
∴ ，
∵BC=120 cm， AD=120 cm，
∴ ，
解得：x=60，
答：方形的边长为60cm；
（2）解：设正方体的棱长为acm，
由题意知：MN∥BC，AP⊥MN，MN=a，PD=4a，
∴△AMN∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得：a=24
∴正方体的表面积为6×242=3456cm2.
【知识点】几何体的表面积；几何体的展开图；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）设正方形的边长为xcm，根据正方形的性质可得EH∥BC，EF=EH=xcm，易证△AEH∽△ABC，然后利用相似三角形的性质进行求解；
（2）设正方体的棱长为acm，由题意知：MN∥BC，AP⊥MN，MN=a，PD=4a，易证△AMN∽△ABC，利用相似三角形的性质可得a的值，进而可得正方体的表面积.
21．【答案】（1）D；E；F
（2）解：∵小正方体各对面上的两个数都互为相反数，
∴，
解得，，
∴，
∴点F表示的数为5．
【知识点】几何体的展开图；非负数之和为0
【解析】【解答】解：（1）由图可知，A相邻的字母有C、E、B、F，
所以，A对面的字母是D，
与B相邻的字母有C、D、A、F，
所以，B对面的字母是E，
所以，C对面的字母是F；
故答案为：D，E，F；
【分析】（1）观察三个正方体，与A相邻的字母由C、E、B、F，从而确定出A对面的字母，与B相邻的字母由C、D、A、F，从而确定与B对面的字母，最后确定出E的对面；
（2）根据互为相反数的定义列出求出m与n，然后代入代数式求出C表示的数，进而可得F表示的数。
22．【答案】（1）解：C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，理由如下：
上午10：00测量的旗杆与影长的比值与上午10：30测量的标杆与影长的比值不相同，因为随着时间的推移，太阳的位置上升，使得太阳光与地面竖直物体之间的夹角增大，从而使得竖直物体的高度与其影长之间的比值变大，两个时间点测量的比值不同，从而根据比值计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，如图所示，
是上午10：00旗杆高度与影长的比值，
是上午10：30旗杆高度与影长的比值，
∵在同一时刻，上述两个比值因为太阳处于同一高度，是相同的，
但是在不同时刻，随着太阳高度上升，上述比值是逐渐增大的，
∴，
∴，
∴通过上述比值求出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，比真实高度要小；
（2）解：如图所示，连接FD与线段AE交于点M，
根据题意得：=，=，米，米，米，
又∵FG⊥CG，DC⊥CG，
∴四边形FGCD是矩形，
又∵AE⊥CG，且线段AE与FD交于点M，
∴FG = ME = 1.5 m，
∴FM= GE，DM = CE，
设FM = xm，则DM= CE = CG-GE = CG-FM=（14.79-x）m，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即旗杆的高度AB为9.45m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；平行投影
【解析】【分析】（1）根据上午10：00测量的旗杆与影长的比值与上午10：30测量的标杆与影长的比值不相同，那么根据比值计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，要比真实高度要小，即可得出C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度；
（2）连接DF交AB于M，易得四边形FGCD为矩形，根据矩形性质及AE⊥CG，求得FG = ME = 1.5m，FM= GE，DM = CE，设FM =xm，则DM= CE = CG-GE = CG-FM=（14.79-x）m， 再利用α、β的正切值得DM·1≈FM，即14.79-x=x，解得x值从而求得AM得长度，最后再由AB=AM+ME-BE，代入数据计算即可求得AB的值.
23．【答案】（1）6
（2）解：如图：
（3）5；7
【知识点】作图﹣三视图
【解析】【解答】解：（1）由图知，图形共有3层，最下层有3块小正方体，中间一层有2块，最上一层有1块，
∴图中共有1+2+3=6块小正方体，
故答案为：6；
（3）如图，用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要5个，最多需要7个，
故答案为：5，7.
【分析】（1）观察几何体，可知图形共有3层，最下层有3块小正方体，中间一层有2块，最上一层有1块，由此可得到小正方形的数量；
（2）从左边看共有两列，从左至右每列依次有小正方形的个数分别是3、1，而且最下边对齐；从上边看共有两列，从左至右每列依次有小正方形的个数分别是2、1，而且最上边对齐，据此即可画出图形；
（3）根据题意画出相关的图形，可得答案.
24．【答案】（1）b；（a-2b）2；b（a-2b）2
（2）588；576
（3）C
（4）3；588
（5）解：根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3与4之间时，无盖长方体盒子的容积最大；
当x=3，5时，b（a-2b）2=3.5×（20-2×3.5）2=591.5cm3，
当 时，b（a-2b）2=3.25×（20-2×3.25）2=592.3125cm3，
当 时，b（a-2b）2=3.375×（20-2×3.375）2=592.5234375cm3，
当剪去图形的边长为3.3cm时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是592.548cm3.
因此表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位.
【知识点】代数式求值；几何体的展开图；用字母表示数
【解析】【解答】（1）解：无盖长方体盒子的高就是截去的小正方形边长，无盖长方体盒子的高为bcm，底面边长（a-2b）cm，底面面积为（a-2b）2cm2， 做成一个无盖的长方体盒子的体积为b（a-2b）2cm3，
故答案为：b；（a-2b）2；b（a-2b）2.
（2）解：当b=3cm， a-2b=20-6=14cm，b（a-2b）2=3×142=588cm3，
当b=4，a-2b=20，8=12cm，b（a-2b）2=4×122=576cm3，
故答案为：588；576.
（3）解：随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先变大，再变小.
故答案为：C.
（4）根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3cm时，无盖长方体盒子的容积最大588cm3.
故答案为：3，588.
【分析】（1）由题意可得：无盖长方体盒子的高为bcm，底面边长（a-2b）cm，结合长方体的体积公式可得无盖长方体纸盒的容积；
（2）根据（1）的结果将b、a-2b的值代入计算即可；
（3）（4）根据（2）中的表格进行判断即可；
（5） 求出b=3、5、3.25、3.375时对应的容积，结合数据的精确度进行解答.
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