二次函数的应用(3)[上学期]
图片预览
文档简介
2.4二次函数的应用(3)
教学目标：
(1)会运用一元二次方程求二次函数的图象与x轴或平行于x轴的直线的交点坐标，并用来解决相关的实际问题。
(2)会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解。
(3)进一步体验在问题解决的过程中函数与方程两种数学模式经常需要相互转换。
教学重点和难点：
重点：问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模型的转换。
难点：例4涉及较多的“科学”知识，解题思路不易形成，是本节教学的难点。
教学过程：
一、复习引入：
1.利用函数解决实际问题的基本思想方法？解题步骤？
“二次函数应用” 的思路
(1)理解问题;
(2)分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
(3)用数学的方式表示出它们之间的关系;
(4)做数学求解;
(5)检验结果的合理性,拓展等.
2.几个物理问题：
(1) 直线等加速运动
我们知道，在匀速直线运动中，物体运动的距离等于速度与时间的乘积，用字母表示为Ｓ＝ｖｔ，而在直线等加速运动（即通常所说的加速度）中，速度的数值是时刻在改变的，我们仍用Ｓ表示距离（米），用ｖ0表示初始速度（米／秒），用ｔ表示时间（秒），用ａ表示每秒增加的速度（米／秒）。那么直线等加速运动位移的公式是：
Ｓ＝ｖ0ｔ＋ａｔ2
就是说，再出是速度和每秒增加的速度一定时，距离是时间的函数，但不再是正比例函数，而是二次函数。
我们来看一个例子：ｖ０＝１米／秒，ａ＝１米／秒，下面我们列表看一下Ｓ和ｔ的关系。
ｔ（秒） ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
Ｓ（米） ０ 1.5 4 7.5 12 17.5 24
注意，这里的时间必须从开始等加速时开始计时，停止等加速时停止计时。t的取值范围，很明显是t≥0，而S的取值范围，同样是S≥0。下面我们来看看它的图象：
(2) 自由落体位移
我们知道，自由落体位移是直线等加速运动的特殊情况，它的初始速度为０，而每秒增加的速度为9.8米／秒，我们用ｇ表示，但这个ｇ不是９.8牛顿／千克。
自由落体位移的公式为：Ｓ＝ｇｔ2
我们再来看看这个函数的表格：
ｔ（秒） ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
Ｓ（米） ０ ４.9 19.6 44.1 78.4 122.5 176.4
图象我们就不画了，它只是直线等加速运动的特殊情况，图象大同小异。
(3) 动能
现在我们来看另一方面的问题。我们知道，物体在运动中具有的能量叫做动能，动能与物体的质量和速度有关。比如说，以个人走过来不小心撞上你，或许没什么，但如果他是跑步时撞上你，说不定会倒退几步，而假如你站在百米终点线上，想不被撞倒都不容易。这是因为对方具有的动能随速度的增大而增大。
我们用Ｅ表示物体具有的动能（焦耳），ｍ表示物体的质量（千克），用ｖ表示物体的速度（米／秒），那么计算物体动能的公式就是：Ｅ＝ｍｖ2
来看一个表格（ｍ＝１千克）：
ｖ（米/秒） ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
Ｅ（焦耳） ０ ０.5 2 4.5 8 12.5 18
ｖ的取值范围显然是ｖ≥０，Ｅ的取值范围也是Ｅ≥０，所以它的图象和前两个没什么区别。
通过上面几个问题的研究，我们认为二次函数在物理方面的实际应用中的特点，在于物理学上对取值范围的要求大部分都是要求该数值大于等于０，所以图象大部分是二次函数图象的一半，除原点外，图象都在第一象限。还有，物理学上用到的公式，一般很少有常数项。
现在我们反过来研究：物体运动某一路程或物体自由下落到某一高度所需的时间？
二、例题讲评
例4:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时求的高度为h(m)。已知物体竖直上抛运动中，h＝v0t－gt2(v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10m/s2)。问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m
分析：根据已知条件，易求出函数解析式和画出函数图象。从图象可以看到图象与x轴交点横坐标0和2分别就是球从地面弹起后回到地面的时间，此时h＝0,所以也是一元二次方程10t－5t2＝0的两个根。这两个时间差即为所求。
同样，我们只要取h＝3.75m，的一元二次方程10t－5t2＝3.75，求出它的根，就得到球达到3.75m高度时所经过的时间。
结论：从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标。反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解。
例5利用二次函数的图象求方程x2＋x－1＝0的近似解。
分析：设y＝x2＋x－1，则方程的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标。可以画出草图，求出近似解。
结论：我们知道，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根。因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。
两种方法：上述是一种方法；也可以求抛物线y＝ax2与直线y＝－bx－c的交点横坐标.
练习：P50课内练习、探究活动
补充练习：
1．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好人水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由
分析：挖掘已知条件，由已知条件和图形可以知道抛物线过（0，0）（2，-10），顶点的纵坐标为。
解：（1）如图，在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c ，由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）（2，-10），且顶点A的纵坐标为。
∴ ∴
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴>0，
又∵抛物线开口向下，∴a<0, b>0， ∴a=－，b=，c=0
∴抛物线的解析式为：y=－x2+x
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3时，即x=3-2=时，
y=(－)×()2+×=－， ∴此时运动员距水面高为：10－=<5，
因此，此次试跳会出现失误。
2(2006年宁波课改区).利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解。
(1)请再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法。
(2)已知函数y＝x3的图象，求方程x3－x－2＝0的解。(结果保留2个有效数字)
三、小结
1.利用函数解决实际问题的基本思想：
“二次函数应用” 的思路
(1)理解问题;
(2)分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
(3)用数学的方式表示出它们之间的关系;
(4)做数学求解;
(5)检验结果的合理性,拓展等.
2.利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标。反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解。
3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根。因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。
两种方法：上述是一种方法；也可以求抛物线y＝ax2与直线y＝－bx－c的交点横坐标.
四、作业：见作业本。
S
t
O
教学目标：
(1)会运用一元二次方程求二次函数的图象与x轴或平行于x轴的直线的交点坐标，并用来解决相关的实际问题。
(2)会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解。
(3)进一步体验在问题解决的过程中函数与方程两种数学模式经常需要相互转换。
教学重点和难点：
重点：问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模型的转换。
难点：例4涉及较多的“科学”知识，解题思路不易形成，是本节教学的难点。
教学过程：
一、复习引入：
1.利用函数解决实际问题的基本思想方法？解题步骤？
“二次函数应用” 的思路
(1)理解问题;
(2)分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
(3)用数学的方式表示出它们之间的关系;
(4)做数学求解;
(5)检验结果的合理性,拓展等.
2.几个物理问题：
(1) 直线等加速运动
我们知道，在匀速直线运动中，物体运动的距离等于速度与时间的乘积，用字母表示为Ｓ＝ｖｔ，而在直线等加速运动（即通常所说的加速度）中，速度的数值是时刻在改变的，我们仍用Ｓ表示距离（米），用ｖ0表示初始速度（米／秒），用ｔ表示时间（秒），用ａ表示每秒增加的速度（米／秒）。那么直线等加速运动位移的公式是：
Ｓ＝ｖ0ｔ＋ａｔ2
就是说，再出是速度和每秒增加的速度一定时，距离是时间的函数，但不再是正比例函数，而是二次函数。
我们来看一个例子：ｖ０＝１米／秒，ａ＝１米／秒，下面我们列表看一下Ｓ和ｔ的关系。
ｔ（秒） ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
Ｓ（米） ０ 1.5 4 7.5 12 17.5 24
注意，这里的时间必须从开始等加速时开始计时，停止等加速时停止计时。t的取值范围，很明显是t≥0，而S的取值范围，同样是S≥0。下面我们来看看它的图象：
(2) 自由落体位移
我们知道，自由落体位移是直线等加速运动的特殊情况，它的初始速度为０，而每秒增加的速度为9.8米／秒，我们用ｇ表示，但这个ｇ不是９.8牛顿／千克。
自由落体位移的公式为：Ｓ＝ｇｔ2
我们再来看看这个函数的表格：
ｔ（秒） ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
Ｓ（米） ０ ４.9 19.6 44.1 78.4 122.5 176.4
图象我们就不画了，它只是直线等加速运动的特殊情况，图象大同小异。
(3) 动能
现在我们来看另一方面的问题。我们知道，物体在运动中具有的能量叫做动能，动能与物体的质量和速度有关。比如说，以个人走过来不小心撞上你，或许没什么，但如果他是跑步时撞上你，说不定会倒退几步，而假如你站在百米终点线上，想不被撞倒都不容易。这是因为对方具有的动能随速度的增大而增大。
我们用Ｅ表示物体具有的动能（焦耳），ｍ表示物体的质量（千克），用ｖ表示物体的速度（米／秒），那么计算物体动能的公式就是：Ｅ＝ｍｖ2
来看一个表格（ｍ＝１千克）：
ｖ（米/秒） ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
Ｅ（焦耳） ０ ０.5 2 4.5 8 12.5 18
ｖ的取值范围显然是ｖ≥０，Ｅ的取值范围也是Ｅ≥０，所以它的图象和前两个没什么区别。
通过上面几个问题的研究，我们认为二次函数在物理方面的实际应用中的特点，在于物理学上对取值范围的要求大部分都是要求该数值大于等于０，所以图象大部分是二次函数图象的一半，除原点外，图象都在第一象限。还有，物理学上用到的公式，一般很少有常数项。
现在我们反过来研究：物体运动某一路程或物体自由下落到某一高度所需的时间？
二、例题讲评
例4:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时求的高度为h(m)。已知物体竖直上抛运动中，h＝v0t－gt2(v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10m/s2)。问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m
分析：根据已知条件，易求出函数解析式和画出函数图象。从图象可以看到图象与x轴交点横坐标0和2分别就是球从地面弹起后回到地面的时间，此时h＝0,所以也是一元二次方程10t－5t2＝0的两个根。这两个时间差即为所求。
同样，我们只要取h＝3.75m，的一元二次方程10t－5t2＝3.75，求出它的根，就得到球达到3.75m高度时所经过的时间。
结论：从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标。反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解。
例5利用二次函数的图象求方程x2＋x－1＝0的近似解。
分析：设y＝x2＋x－1，则方程的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标。可以画出草图，求出近似解。
结论：我们知道，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根。因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。
两种方法：上述是一种方法；也可以求抛物线y＝ax2与直线y＝－bx－c的交点横坐标.
练习：P50课内练习、探究活动
补充练习：
1．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好人水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由
分析：挖掘已知条件，由已知条件和图形可以知道抛物线过（0，0）（2，-10），顶点的纵坐标为。
解：（1）如图，在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c ，由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）（2，-10），且顶点A的纵坐标为。
∴ ∴
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴>0，
又∵抛物线开口向下，∴a<0, b>0， ∴a=－，b=，c=0
∴抛物线的解析式为：y=－x2+x
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3时，即x=3-2=时，
y=(－)×()2+×=－， ∴此时运动员距水面高为：10－=<5，
因此，此次试跳会出现失误。
2(2006年宁波课改区).利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解。
(1)请再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法。
(2)已知函数y＝x3的图象，求方程x3－x－2＝0的解。(结果保留2个有效数字)
三、小结
1.利用函数解决实际问题的基本思想：
“二次函数应用” 的思路
(1)理解问题;
(2)分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
(3)用数学的方式表示出它们之间的关系;
(4)做数学求解;
(5)检验结果的合理性,拓展等.
2.利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标。反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解。
3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根。因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。
两种方法：上述是一种方法；也可以求抛物线y＝ax2与直线y＝－bx－c的交点横坐标.
四、作业：见作业本。
S
t
O
同课章节目录