二次函数[上学期]
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文档简介
2.1 二次函数
【学习目标】
体会二次函数的意义,能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的代数式。
【例题精析】
〔例1〕若函数y=（m-1）xm2+m是y关于x的二次函数，试确定m的值。
〔分析〕（1）函数是y关于x的二次函数说明自变量x的指数为2次，
即m2＋m=2；
（2）二次项系数是（m－1），用含m的代数式表示应保证系数不为零，
即m－1≠0
〔解答〕由题意得，m2＋m=2且m－1≠0
解得m=2
〔例2〕 如图,已知矩形的长为3，宽为2，现在矩形上截去一个边长为x的正方形，求：
（1）余下部分面积y关于x的函数关系式；
（2）当x=1时，y的值；
（3）当x为何值时，余下部分面积是截去部分面积的2倍。
〔分析〕从题意中找出等量关系即可求出y关于x的函数关系式，把x=1代入求得的函数关系式即可求出y的值，其实这也属于代数式求值的问题，第（3）小题的等量关系比较明确，其中渗透了方程的思想，也体现了函数与方程之间的联系。
〔解答〕：（1）由已知得：y=2×3－x2 即y=－x2＋6
（2）当x=1时，y=－12＋6=5
（3）由题意得：－x2+6=2x2即x2=2
解得：x=±（x=－不合题意应舍去），故x=
【优化训练】
1、任意写一个一次项系数为0的二次函数 。
2、半径为r的圆的面积为S=πr2，其中二次项系数为 。
3、下列函数中，哪一个是二次函数（ ）
A、y= B、y=5x－1 C、y= D、y=2－3x＋x2
4、把函数y=－（x－1）2＋5化为y=ax2＋bx＋c的形式是 。
5、已知二次函数y=x2－3x＋2，请你在下表中填出相应的函数值：
－0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
6、已知二次函数y=x2+bx+c，当x=1时函数值为2，当x=－1，函数值为4，求这个二次函数的解析式。
7、半径为r的圆，若半径增加x,则圆面积增加s，则面积s配x之间的函数关系式是（ ）
A、S=π（r+x）2 B、S=πr2+πr2 C、S=πx2+2πrx D、S=πr2+2πrx
8、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形，把其中一段铁丝的长度设为x，两个正方形的面积之和记为y。
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（3）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段丝的长度；若不能，请说明理由。
2.2 二次函数的图象（1）
【学习目标】
会用描点法画二次函数y=ax2的图象；能从图象认识二次函数y=ax2的性质。
【例题精析】
〔例1〕二次函数y=ax2（a≠o）的图像的图所示
（1）求出a的值并写出这个二次函数的解析式；
（2）尽可能从我方面说说这条抛物成的特征。
〔分析〕
本例与课本的例1类似，要求学生结合图形发现抛物线经过点（－2，3），即可求得a析值；而第（2）小题则为学生留下许多思考的空间，让学生自己去回忆该从哪些方面去阐时抛物线的特征。
〔解答〕
（1）结合图形可知抛物线过点（－2，3），把点（－2，3）的坐标代入y=ax2得，3=a（－2）2 ∴a=
这个二次函数的解析式是
（2）顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴，开口方向向上，顶点是图象的最低点，图象在x轴的上方（除顶点外）。
〔例2〕在抛物线y=2x2上找出与对关于对称轴对称的对称点，再说说你的取得有何规律，用简要的语言把它概括出来。
〔分析〕
本例设计目的是增强学生对抛物线，对称轴，对称性的了解，让学生能够数形结合，化难为易，加深对函数图象性质的理解。
〔解答〕
可以找（1，2）和（－1，2）；（2，8）和（－2，8）；（3，18）（－3，18）（4，32）和（－4，32）；（5，50）和（－50，50）等等。
规律：图象的开口向上，当x的取值离开对称轴越远时，函数y的值就越大。
【优化训练】
1、函数y=ax2（a≠o）的图象的顶点坐标是 。
2、点（1，2）在抛物线y=ax2上，那么以下四方点中也一定在这条抛物线上的点是（ ）
A、（1，－2） B、（2，1） C、（－1，2） D、（－1，－2）
3、抛物线y=（a-1）x2 的开口方向向下则a的取值范围是 。
4、在同一坐标系中，用描点法画下列函数的图象：
（1）y=3x2 （2）y=－3x2
5、有一桥孔形状是一条开口向下的抛物成y=－
（1）作出这条抛物线；
（2）利用图象，当水面与抛物线顶点的距离为4时，求水面的宽；
（3）当水面宽是6时，水面与抛物线顶点的距离是多少？（精确到0.1）？
2.2 二次函数的图象（2）
【学习目标】
会用描点法画二次函数y=a(x＋m)2＋k的图象；能在平移的过程中理解函数图象的变化及其性质。
【例题精析】
〔例1〕把二次函数y=2x2＋4x－6化成y=a(x＋m)2＋k的形式。
〔分析〕本例实际上是通过配方来转化二次函数的形式，掌握配方的方法，有助于更好地理解函数图象的变换。
〔解答〕y=2x2＋4x－6=2(x2＋2x)－6=2(x2＋2x＋1)－2－6
=2(x＋1)2－8 即y=2(x＋1)2－8
或y=2x2＋4x－6=2(x2＋2x－3)=2(x2＋2x＋1－4)
=2(x2＋2x＋1)－8=2(x＋1)2－8 即y=2(x＋1)2－8
〔例2〕试说出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）y= （2）y=3x2＋1
（3）y= （4）y=
〔分析〕此例的目的在于让学生进一步归纳y=a(x＋m)2＋k的图象特点（y=ax2和y=a(x＋m)2是其两种特殊情况），特别是对称轴和顶点坐标与m、k之间的关系，主要考察y=a(x＋m)2＋k函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
〔解答〕可以用列表方式作答：
开口方向 顶点坐标 对称轴
y= 向上 （0，0） 直线x=0或y轴
y=3x2＋1 向上 （0，1） 直线x=0或y轴
y= 向下 （1，0） 直线x=1
y= 向下 （－2，－3） 直线x=－2
【优化训练】
1、对于三个函数y=x2，y=(x＋3)2，y=(x＋3)2－2：
(1)函数y =(x＋3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 平移 个单位得到；
(2)函数y=(x＋3)2－2的图象可以由函数y=(x＋3)2的图象向 平衡 个单位得到；
(3)函数y=(x＋3)2－2的图象可以由函数y=x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到。
2、不改变抛物线y=2x2的形状，分别按下列要求平移，请写出平移后抛物线所对应的函数关系式：
(1)向右平移3个单位，再向上平移2个单位；
(2)向左平移个单位，再向上平移1个单位；
(3)向下平移4个单位，再向左平移3个单位；
(4)向右平移5个单位；
(5)向下平移2个单位。
3、用语言描述下列各抛物线，经过怎样的平移后可得到抛物线y=3x2：
(1) y=3x2－2 (2) y=3(x－2) 2 (3) y=3(x－1) 2－3
(4) y=3(x＋2) 2＋1 (5) y=3(x＋4) 2＋5
4、求函数的表达式：
(1)已知一个二次函数的顶点坐标是（－2，3），且过点（1，6），求这个二次函数的表达式。
(2)有一个抛物线成形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图所示，则该抛物线的表达式为 。
5、已知二次函数y=－2x2，怎样平移这个函数图象，才能使它经过（0，0）和（1，6）两点？
2.2 二次函数的图象（3）
【学习目标】
理解二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)函数图象的性质；会利用公式求二次函数图象顶点坐标和对称轴；会利用二次函数图象性质解决一些简单的实际问题。
【例题精析】
〔例1〕说出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
(1)y=x2－2x＋3 (2)y=－x2+x+1 (3)y=x2－3x＋2
〔分析〕本例重在强化对顶点坐标方式的理解和运用。
〔解答〕可列表作答：
开口方向 对称轴 顶点坐标
y= x2－2x＋3 向上 直线x=1 （1，2）
y=－x2＋x＋1 向下 直线x=4 （4，－13）
y=x2－3x＋2 向上 直线x=－3 （－3，）
〔例2〕已知点A（－1，－1）在抛物线y=(k2－1)x2－2(k－2)x＋1上。
(1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)该抛物线能否由函数y=8x2平移变换得到？若能，请说出平移的过程。
〔分析〕把坐标代入函数关系式即可求出k，再检验是否符合要求，即考虑二次项系数不能为零，抛物线的平移与函数关系式的配方密切联系，故首称要熟练掌握配方的技巧。
〔解答〕（1）把A（－1，－1）的坐标代入函数关系式，得：
－1=k2－1＋2k－4＋1
∴k2－＋2k－3=0 解得k1=－3，k2=1（舍去）
∴抛物线为：y=8x2＋10x＋1
∴对称轴是直线x=，顶点坐标为（，）
（2）∵
=
=8
=8
=
∴抛物线y=8x2＋10x＋1可以由抛物线y=8x2
先向左平移个单位，再向下平移个单位得到。
【优化训练】
1、抛物线y=－2(x＋1)2＋1的顶点坐标是
2、抛物线y=2x2向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的二次函数关系式是
3、抛物线y=ax2＋x－2经过（1，1），则其对称轴为
4、任意写一个二次函数，使其图象经过（－1，2）
5、任意写一个二次函数，使其图象经过（2，1）和（－1，4）
6、抛物线y=2x2＋3x＋4可以由抛物线y=2x2经过怎样平移得到？
7、关于二次函数y=ax2＋bx＋c的图象有下列命题：
(1)当b=0时，函数的图象关于y轴对称；
(2)当c=0时，函数图象经过原点；
(3)函数图象最高点的纵坐标是；
(4)函数图象一定经过点（0，c），其中正确的命题有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
8、二次函数的顶点是（1，4），并且当x=2时，y=1：
(1)求这个二次函数的关系式，并画出图象；
(2)说出函数图象的开口方向和对称轴。
2.3 二次函数的性质
【学习目标】
能从图象中认识二次函数的性质；学会画二次函数的大致图象；能运用二次函数的性质解决一些简单的实际问题。
【例题精析】
〔例1〕求抛物线y=2x2－3x＋1与坐标轴的交点坐标。
〔分析〕坐标轴有x轴和y轴，图象与x轴的交点在x轴上，所以纵坐标y=0；图象与y轴的交点在y轴上，所以横坐标x=0。
〔解答〕令x=0则y=1，故抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），令y=0则2x2－3x＋1=0，解得x1=1，x2=，故抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（，0）
∴抛物线与坐标轴的交点共有3个：（0，1）、（1，0）、（，0）
〔例2〕已知函数y=x2＋3x＋2与坐标轴的交点坐标：
(1)求出顶点坐标与坐标轴的交点坐标、坐标轴、最值，并画出大致图象；
(2)根据图象回答：当x为什么值时，y＞0，y＝0，y＜0？
〔分析〕根据二次函数的性质及相关公式求出关键点的坐标即可画出其大致图象，结合图象在x轴上方的部分 y＞0，在x轴下方的部分y＜0，与x轴的交点即y＝0。
〔解答〕
(1)
令y=0则x2＋3x＋2=0 ∴x1=－1 x2=－2 令x=0则y=2
∴顶点坐标为（，），与x轴交点的坐标为（－1，0）、（－2，0）
与y轴交点的坐标为（0，2），当x=时，y有最小值为
大致图象为：
(2)由图可知：当x＜－或x＞－1时y＞0；
当x=－1或x=－2时y=0
当－2＜x＜－1时y＜0。
【优化训练】
1、已知函数y=(m－1)x2＋m，当m 时图象是抛物线；当m 时抛物线的开口向下；当m 时抛物线经过坐标原点。
2、二次函数y=x2－3x－4，当x= 时，y有最 值为 。
3、二次函数y=x2－4x＋5，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大。
4、求下列二次函数的图象与x轴交点的坐标及最大值或最小值：
(1)y=x2＋2x (2)y=－x2－2x＋3
5、已知矩形周长为6，设矩形一边长为x，它的面积为y：
(1)求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，矩形的面积最大。
6、已知两个正整数之和为10，请你猜一猜这两个正整数的最大乘积是多少？请你列式加以验证。
7、函数y=kx2－6x＋3的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A、k＜3 B、k＜3且k≠0 C、k≤3 D、k≤3且≠0
8、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（单位：min）之间满足函数关系式y=－0.1x2＋2.6x＋43（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越强。
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10min时，学生的接受能力y是多少？
(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
2.4 二次函数的应用
【学习目标】
会运用二次函数解决简单实际问题；进一步理解二次函数的图象和性质；会用二次函数图象求一元二次方程的近似解。
【例题精析】
〔例1〕一高尔夫球的飞行路线为如图抛物线。
(1)请用解析法表示球飞行过程中y关于x的函数关系式；
(2)高尔夫球飞行的最大距离为多少m？最大高度为多少m？
(3)当高尔夫球的高度达到5m时，它飞行的水平距离为多少m？
〔分析〕由图象可知抛物线经过原点，最高点的坐标为（20，10）；第(2)小题的答案也可从图象直接得出；第(3)小题求得的方程解必须检验是否在自变量的取值范围之内，也可用图象法求解，不过得到的只能是近似解。
〔解答〕(1)设所求的函数关系式为y=ax2＋bx＋c(a≠0)
由图可知c=0，=20，=10解得
∴
(2)根据图象和抛物线的轴对称性，得高尔夫球的最大高度为10m，最大水平距离为40m。
(3)令 解得
都属于0≤x≤40的取值范围。
答：当高尔夫球的高度达到5m时，它飞行的水平距离为
〔例2〕施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米。现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）。
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数解析式；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上，为了筹备材料，要求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下。
〔解答〕(1)M（12，0），P（6，6）
(2)设这条抛物线的解析式为y=a(x－6)2＋6
∵抛物线过O（0，0）
∴a(0－6)2＋6=0 解得a=
∴所求的抛物线解析式为y=即
(3)设点A的坐标为（m，）
则OB=m，AB=DC=＋2m
根据抛物线的轴对称可得OB=CM=m
∴BC=12－2m 即AD=12－2m
∴
=
∴当m=3即OB=3米时，三根木杆长度之和的最大值为15米。
【优化训练】
1、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售，该工艺品12件所获利润相等。
(1)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
(2)若每件工艺品按(1)中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件。若每件工艺品降低1元，则每天可多售出该工艺品4件，问每件工艺品降低多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？
2、某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，某拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨往AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米。
(1)以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y=ax2的解析式；
(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度。（精确到0.1米）
3、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
4、利用二次函数的图象判断以下方程有没有解？有几个解？若有解，就图象求出其近似解。（精确到0.1）
(1)x2－2x－5=0 (2)2x2－3x＋2=0
5、某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为xm，面积为5m2。
(1)求出s与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用。
【学习目标】
体会二次函数的意义,能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的代数式。
【例题精析】
〔例1〕若函数y=（m-1）xm2+m是y关于x的二次函数，试确定m的值。
〔分析〕（1）函数是y关于x的二次函数说明自变量x的指数为2次，
即m2＋m=2；
（2）二次项系数是（m－1），用含m的代数式表示应保证系数不为零，
即m－1≠0
〔解答〕由题意得，m2＋m=2且m－1≠0
解得m=2
〔例2〕 如图,已知矩形的长为3，宽为2，现在矩形上截去一个边长为x的正方形，求：
（1）余下部分面积y关于x的函数关系式；
（2）当x=1时，y的值；
（3）当x为何值时，余下部分面积是截去部分面积的2倍。
〔分析〕从题意中找出等量关系即可求出y关于x的函数关系式，把x=1代入求得的函数关系式即可求出y的值，其实这也属于代数式求值的问题，第（3）小题的等量关系比较明确，其中渗透了方程的思想，也体现了函数与方程之间的联系。
〔解答〕：（1）由已知得：y=2×3－x2 即y=－x2＋6
（2）当x=1时，y=－12＋6=5
（3）由题意得：－x2+6=2x2即x2=2
解得：x=±（x=－不合题意应舍去），故x=
【优化训练】
1、任意写一个一次项系数为0的二次函数 。
2、半径为r的圆的面积为S=πr2，其中二次项系数为 。
3、下列函数中，哪一个是二次函数（ ）
A、y= B、y=5x－1 C、y= D、y=2－3x＋x2
4、把函数y=－（x－1）2＋5化为y=ax2＋bx＋c的形式是 。
5、已知二次函数y=x2－3x＋2，请你在下表中填出相应的函数值：
－0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
6、已知二次函数y=x2+bx+c，当x=1时函数值为2，当x=－1，函数值为4，求这个二次函数的解析式。
7、半径为r的圆，若半径增加x,则圆面积增加s，则面积s配x之间的函数关系式是（ ）
A、S=π（r+x）2 B、S=πr2+πr2 C、S=πx2+2πrx D、S=πr2+2πrx
8、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形，把其中一段铁丝的长度设为x，两个正方形的面积之和记为y。
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（3）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段丝的长度；若不能，请说明理由。
2.2 二次函数的图象（1）
【学习目标】
会用描点法画二次函数y=ax2的图象；能从图象认识二次函数y=ax2的性质。
【例题精析】
〔例1〕二次函数y=ax2（a≠o）的图像的图所示
（1）求出a的值并写出这个二次函数的解析式；
（2）尽可能从我方面说说这条抛物成的特征。
〔分析〕
本例与课本的例1类似，要求学生结合图形发现抛物线经过点（－2，3），即可求得a析值；而第（2）小题则为学生留下许多思考的空间，让学生自己去回忆该从哪些方面去阐时抛物线的特征。
〔解答〕
（1）结合图形可知抛物线过点（－2，3），把点（－2，3）的坐标代入y=ax2得，3=a（－2）2 ∴a=
这个二次函数的解析式是
（2）顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴，开口方向向上，顶点是图象的最低点，图象在x轴的上方（除顶点外）。
〔例2〕在抛物线y=2x2上找出与对关于对称轴对称的对称点，再说说你的取得有何规律，用简要的语言把它概括出来。
〔分析〕
本例设计目的是增强学生对抛物线，对称轴，对称性的了解，让学生能够数形结合，化难为易，加深对函数图象性质的理解。
〔解答〕
可以找（1，2）和（－1，2）；（2，8）和（－2，8）；（3，18）（－3，18）（4，32）和（－4，32）；（5，50）和（－50，50）等等。
规律：图象的开口向上，当x的取值离开对称轴越远时，函数y的值就越大。
【优化训练】
1、函数y=ax2（a≠o）的图象的顶点坐标是 。
2、点（1，2）在抛物线y=ax2上，那么以下四方点中也一定在这条抛物线上的点是（ ）
A、（1，－2） B、（2，1） C、（－1，2） D、（－1，－2）
3、抛物线y=（a-1）x2 的开口方向向下则a的取值范围是 。
4、在同一坐标系中，用描点法画下列函数的图象：
（1）y=3x2 （2）y=－3x2
5、有一桥孔形状是一条开口向下的抛物成y=－
（1）作出这条抛物线；
（2）利用图象，当水面与抛物线顶点的距离为4时，求水面的宽；
（3）当水面宽是6时，水面与抛物线顶点的距离是多少？（精确到0.1）？
2.2 二次函数的图象（2）
【学习目标】
会用描点法画二次函数y=a(x＋m)2＋k的图象；能在平移的过程中理解函数图象的变化及其性质。
【例题精析】
〔例1〕把二次函数y=2x2＋4x－6化成y=a(x＋m)2＋k的形式。
〔分析〕本例实际上是通过配方来转化二次函数的形式，掌握配方的方法，有助于更好地理解函数图象的变换。
〔解答〕y=2x2＋4x－6=2(x2＋2x)－6=2(x2＋2x＋1)－2－6
=2(x＋1)2－8 即y=2(x＋1)2－8
或y=2x2＋4x－6=2(x2＋2x－3)=2(x2＋2x＋1－4)
=2(x2＋2x＋1)－8=2(x＋1)2－8 即y=2(x＋1)2－8
〔例2〕试说出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）y= （2）y=3x2＋1
（3）y= （4）y=
〔分析〕此例的目的在于让学生进一步归纳y=a(x＋m)2＋k的图象特点（y=ax2和y=a(x＋m)2是其两种特殊情况），特别是对称轴和顶点坐标与m、k之间的关系，主要考察y=a(x＋m)2＋k函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
〔解答〕可以用列表方式作答：
开口方向 顶点坐标 对称轴
y= 向上 （0，0） 直线x=0或y轴
y=3x2＋1 向上 （0，1） 直线x=0或y轴
y= 向下 （1，0） 直线x=1
y= 向下 （－2，－3） 直线x=－2
【优化训练】
1、对于三个函数y=x2，y=(x＋3)2，y=(x＋3)2－2：
(1)函数y =(x＋3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 平移 个单位得到；
(2)函数y=(x＋3)2－2的图象可以由函数y=(x＋3)2的图象向 平衡 个单位得到；
(3)函数y=(x＋3)2－2的图象可以由函数y=x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到。
2、不改变抛物线y=2x2的形状，分别按下列要求平移，请写出平移后抛物线所对应的函数关系式：
(1)向右平移3个单位，再向上平移2个单位；
(2)向左平移个单位，再向上平移1个单位；
(3)向下平移4个单位，再向左平移3个单位；
(4)向右平移5个单位；
(5)向下平移2个单位。
3、用语言描述下列各抛物线，经过怎样的平移后可得到抛物线y=3x2：
(1) y=3x2－2 (2) y=3(x－2) 2 (3) y=3(x－1) 2－3
(4) y=3(x＋2) 2＋1 (5) y=3(x＋4) 2＋5
4、求函数的表达式：
(1)已知一个二次函数的顶点坐标是（－2，3），且过点（1，6），求这个二次函数的表达式。
(2)有一个抛物线成形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图所示，则该抛物线的表达式为 。
5、已知二次函数y=－2x2，怎样平移这个函数图象，才能使它经过（0，0）和（1，6）两点？
2.2 二次函数的图象（3）
【学习目标】
理解二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)函数图象的性质；会利用公式求二次函数图象顶点坐标和对称轴；会利用二次函数图象性质解决一些简单的实际问题。
【例题精析】
〔例1〕说出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
(1)y=x2－2x＋3 (2)y=－x2+x+1 (3)y=x2－3x＋2
〔分析〕本例重在强化对顶点坐标方式的理解和运用。
〔解答〕可列表作答：
开口方向 对称轴 顶点坐标
y= x2－2x＋3 向上 直线x=1 （1，2）
y=－x2＋x＋1 向下 直线x=4 （4，－13）
y=x2－3x＋2 向上 直线x=－3 （－3，）
〔例2〕已知点A（－1，－1）在抛物线y=(k2－1)x2－2(k－2)x＋1上。
(1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)该抛物线能否由函数y=8x2平移变换得到？若能，请说出平移的过程。
〔分析〕把坐标代入函数关系式即可求出k，再检验是否符合要求，即考虑二次项系数不能为零，抛物线的平移与函数关系式的配方密切联系，故首称要熟练掌握配方的技巧。
〔解答〕（1）把A（－1，－1）的坐标代入函数关系式，得：
－1=k2－1＋2k－4＋1
∴k2－＋2k－3=0 解得k1=－3，k2=1（舍去）
∴抛物线为：y=8x2＋10x＋1
∴对称轴是直线x=，顶点坐标为（，）
（2）∵
=
=8
=8
=
∴抛物线y=8x2＋10x＋1可以由抛物线y=8x2
先向左平移个单位，再向下平移个单位得到。
【优化训练】
1、抛物线y=－2(x＋1)2＋1的顶点坐标是
2、抛物线y=2x2向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的二次函数关系式是
3、抛物线y=ax2＋x－2经过（1，1），则其对称轴为
4、任意写一个二次函数，使其图象经过（－1，2）
5、任意写一个二次函数，使其图象经过（2，1）和（－1，4）
6、抛物线y=2x2＋3x＋4可以由抛物线y=2x2经过怎样平移得到？
7、关于二次函数y=ax2＋bx＋c的图象有下列命题：
(1)当b=0时，函数的图象关于y轴对称；
(2)当c=0时，函数图象经过原点；
(3)函数图象最高点的纵坐标是；
(4)函数图象一定经过点（0，c），其中正确的命题有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
8、二次函数的顶点是（1，4），并且当x=2时，y=1：
(1)求这个二次函数的关系式，并画出图象；
(2)说出函数图象的开口方向和对称轴。
2.3 二次函数的性质
【学习目标】
能从图象中认识二次函数的性质；学会画二次函数的大致图象；能运用二次函数的性质解决一些简单的实际问题。
【例题精析】
〔例1〕求抛物线y=2x2－3x＋1与坐标轴的交点坐标。
〔分析〕坐标轴有x轴和y轴，图象与x轴的交点在x轴上，所以纵坐标y=0；图象与y轴的交点在y轴上，所以横坐标x=0。
〔解答〕令x=0则y=1，故抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），令y=0则2x2－3x＋1=0，解得x1=1，x2=，故抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（，0）
∴抛物线与坐标轴的交点共有3个：（0，1）、（1，0）、（，0）
〔例2〕已知函数y=x2＋3x＋2与坐标轴的交点坐标：
(1)求出顶点坐标与坐标轴的交点坐标、坐标轴、最值，并画出大致图象；
(2)根据图象回答：当x为什么值时，y＞0，y＝0，y＜0？
〔分析〕根据二次函数的性质及相关公式求出关键点的坐标即可画出其大致图象，结合图象在x轴上方的部分 y＞0，在x轴下方的部分y＜0，与x轴的交点即y＝0。
〔解答〕
(1)
令y=0则x2＋3x＋2=0 ∴x1=－1 x2=－2 令x=0则y=2
∴顶点坐标为（，），与x轴交点的坐标为（－1，0）、（－2，0）
与y轴交点的坐标为（0，2），当x=时，y有最小值为
大致图象为：
(2)由图可知：当x＜－或x＞－1时y＞0；
当x=－1或x=－2时y=0
当－2＜x＜－1时y＜0。
【优化训练】
1、已知函数y=(m－1)x2＋m，当m 时图象是抛物线；当m 时抛物线的开口向下；当m 时抛物线经过坐标原点。
2、二次函数y=x2－3x－4，当x= 时，y有最 值为 。
3、二次函数y=x2－4x＋5，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大。
4、求下列二次函数的图象与x轴交点的坐标及最大值或最小值：
(1)y=x2＋2x (2)y=－x2－2x＋3
5、已知矩形周长为6，设矩形一边长为x，它的面积为y：
(1)求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，矩形的面积最大。
6、已知两个正整数之和为10，请你猜一猜这两个正整数的最大乘积是多少？请你列式加以验证。
7、函数y=kx2－6x＋3的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A、k＜3 B、k＜3且k≠0 C、k≤3 D、k≤3且≠0
8、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（单位：min）之间满足函数关系式y=－0.1x2＋2.6x＋43（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越强。
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10min时，学生的接受能力y是多少？
(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
2.4 二次函数的应用
【学习目标】
会运用二次函数解决简单实际问题；进一步理解二次函数的图象和性质；会用二次函数图象求一元二次方程的近似解。
【例题精析】
〔例1〕一高尔夫球的飞行路线为如图抛物线。
(1)请用解析法表示球飞行过程中y关于x的函数关系式；
(2)高尔夫球飞行的最大距离为多少m？最大高度为多少m？
(3)当高尔夫球的高度达到5m时，它飞行的水平距离为多少m？
〔分析〕由图象可知抛物线经过原点，最高点的坐标为（20，10）；第(2)小题的答案也可从图象直接得出；第(3)小题求得的方程解必须检验是否在自变量的取值范围之内，也可用图象法求解，不过得到的只能是近似解。
〔解答〕(1)设所求的函数关系式为y=ax2＋bx＋c(a≠0)
由图可知c=0，=20，=10解得
∴
(2)根据图象和抛物线的轴对称性，得高尔夫球的最大高度为10m，最大水平距离为40m。
(3)令 解得
都属于0≤x≤40的取值范围。
答：当高尔夫球的高度达到5m时，它飞行的水平距离为
〔例2〕施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米。现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）。
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数解析式；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上，为了筹备材料，要求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下。
〔解答〕(1)M（12，0），P（6，6）
(2)设这条抛物线的解析式为y=a(x－6)2＋6
∵抛物线过O（0，0）
∴a(0－6)2＋6=0 解得a=
∴所求的抛物线解析式为y=即
(3)设点A的坐标为（m，）
则OB=m，AB=DC=＋2m
根据抛物线的轴对称可得OB=CM=m
∴BC=12－2m 即AD=12－2m
∴
=
∴当m=3即OB=3米时，三根木杆长度之和的最大值为15米。
【优化训练】
1、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售，该工艺品12件所获利润相等。
(1)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
(2)若每件工艺品按(1)中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件。若每件工艺品降低1元，则每天可多售出该工艺品4件，问每件工艺品降低多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？
2、某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，某拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨往AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米。
(1)以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y=ax2的解析式；
(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度。（精确到0.1米）
3、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
4、利用二次函数的图象判断以下方程有没有解？有几个解？若有解，就图象求出其近似解。（精确到0.1）
(1)x2－2x－5=0 (2)2x2－3x＋2=0
5、某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为xm，面积为5m2。
(1)求出s与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用。
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