5.4《一元一次方程的应用》 同步练习 （含解析）

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5.4《一元一次方程的应用》 同步练习
一、选择题
1．某车间有28名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母18个或螺栓12个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．奥运会足球赛的前11场比赛中，某队仅负1场，共积22分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，则该队共胜了（　　）场．
A．4 B．5 C．6 D．7
3．一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x天完成这项工程，则可列的方程是（　　）
A． B． C． D．
4．某商品的标价为126元，若降价以九五折出售（优惠5%）仍可获利5%（相对于进货价）则该商品的进货价是（　　）
A．114元 B．113.4元 C．119.7元 D．112元
5．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
6．一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9，则原两位数是（ ）
A．45 B．27 C．72 D．54
7．《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙三十六石，问：各该若干？”其大意为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”设乙分得白米x石，则可列方程为（ ）
A．x＋x＋2x＝180 B．x＋2x＋3x＝180
C．（x＋18）＋x＋（x﹣36）＝180 D．（x＋18）＋x＋（x﹣18）＝180
8．为响应习总书记“绿水青山，就是金山银山”的号召，某校今年3月争取到一批植树任务，领到一批树苗，按下列方法依次由各班领取：第一班领取全部的，第二班领取56棵和余下的，第三班领取112棵和余下的，第四班领取168棵和余下的……最后树苗全部被领完，且各班领取的树苗相等，则树苗总棵数为（ ）
A．3584棵 B．3360棵 C．3136棵 D．2912棵
9．下图是某月的月历，在此月历上可以用一个“十”字图出5个数（如3，9，10，11，17）照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为38，则这5个数的和为（ ）
A．50 B．85 C．95 D．100
10．如图，正方形的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在处，乙在处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，已知正方形轨道的边长为，则乙在第次追上甲时的位置（ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
二、填空题
11．一项工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要8天完成．若甲先做1天，然后由甲、乙合作完成此项工程，则甲一共做了 _____天．
12．某商场搞促销活动，标价为360元以上的商品在七折基础上再减35元，标价为360元以下的商品一律八折，那么花280元买的商品原来标价为__________元．
13．某城市用电收费实行阶梯电价，收费标准如下表所示，
月用电量 不超过12度的部分 超过12度不超过18度的部分 超过18度的部分
收费标准（元/度） 2.00 2.50 3.00
用户5月份交电费45元，则所用电量为___度．
14．淘气和笑笑两人共有155元，如果淘气用去自己的，笑笑用去自己的，两人剩下的钱一样多，则淘气原来有_______元．
15．某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船，已知船在静水中的速度是，水流速度是，若A、C两地距离为，则A、B两地间的距离是____．
16．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．这个问题中共有 _____两银子．
三、解答题
17．列方程（组）解决下列问题：
某蔬菜公司收购到一批蔬菜，计划用天加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工吨或者粗加工吨，且每吨蔬菜精加工后的利润为元，粗加工后的利润为元，已知公司售完这批加工后的蔬菜，共获得利润元，求这批蔬菜共多少吨？
18．某市出租车收费标准是：起步价10元，3千米后每千米2元，某乘客乘坐了x千米（x＞5）
(1)请用含x的代数式表示出他应该支付的车费；
(2)若该乘客乘坐了20千米，那他应该支付多少钱？
(3)如果他支付了34元，你能算出他乘坐的里程吗？
19．风华中学利用暑假期间对教室内墙粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用1600元，付乙工程队每天费用2600元．
(1)求风华中学一共有多少个教室？
(2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分．且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多16天，求乙工程队共粉刷多少天？
(3)经学校研究，制定如下方案：
方案一：由甲工程队单独完成；
方案二：由乙工程队单独完成；
方案三：按（2）的方式完成；
请你通过计算帮学校选择一种最省钱的粉刷方案
20．“双11”天猫商城推出各种优惠活动进行促销．今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条，店铺在活动期间分别给予以下优惠：
A店铺：“双11”当天购买可以享受8折优惠；
B店铺：商品每满1000元可使用店铺优惠券80元． 同时每满500元可使用商城双11购物津贴券50元，同时“双11”当天购买还可立减100元．(例如：购买2条被子需支付
元)．
(1)若张阿姨想在“双11”当天购买4条被子，她选择哪家店铺购买 请说明理由；
(2)若张阿姨在“双11”当天购买a条被子，请分别用含a的代数式表示在这两家店铺购买的费用；
(3)张阿姨在双11当天购买几条被子，两家店铺的费用相同
21．观察下列三行数：
(1)每行的第9个数分别为 ， ， ．
(2)如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数左上角数记为x，求这六个数的和（结果用含x式子表示并化简）．
(3)第三行是否存在连续的三个数的和为381，若存在，求这三个数，若不存在，请说明理由？
22．如图①，已知数轴上点对应的数分别为﹣6，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒．
(1)移动t秒时，点P在数轴上所表示的数为　 　，点Q在数轴上所表示的数为　 　；（用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，P，Q两点相距个单位长度．
(3)现将数轴在原点O和点B，点C处各折一下，得到如图②所示的一条“折线数轴”．动点P从点O到点B速度为起始速度的一半，从B点到C点的速度为起始速度的2倍，C点之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当t为何值时，P，Q两点相距个单位长度．
参考答案
1．C
【分析】设分配x名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，根据生产的螺母数量为螺栓的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，
依题意，得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．C
【分析】首先设该队共胜了x场，则平了场，根据题意可得等量关系：胜一场的得分×胜场场数+平一场的得分×场数+输场得分=总分22分，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设该队共胜了x场，则平了场，
由题意得： ，
解得：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，积分问题，关键是根据题意表示出胜的场数，平的场数，输的场数，根据得分列出方程即可．
3．D
【分析】由题意一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，可以得出甲每天做整个工程的，乙每天做整个工程的，根据文字表述得到题目中的相等关系是：甲完成的部分+两人共同完成的部分＝1．
【详解】解：设整个工程为1，根据关系式甲完成的部分+两人共同完成的部分＝1列出方程式为：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决这类问题关键是找到等量关系．
4．A
【分析】根据利润=标价-进价计算即可．
【详解】设商品的进货价是x元，
根据题意，得，
解得（元），
故选A．
【点睛】本题考查了标价、进价和利润，熟练掌握利润=标价-进价是解题的关键．
5．A
【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决．
【详解】解：设合伙人数为x，则可列方程为
；
故选：A
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
6．D
【分析】此题应先设个位数字为，十位数字为，再由“将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数小9”得，即算出原来的两位数．
【详解】解：设个位数字为，十位数字为，
由题意得，，
解得：．
则原来的两位数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解决此类题的关键．
7．D
【分析】设乙分得白米x石，得出甲、丙分得白米数，由甲、乙、丙三人分得之和为180石列出方程即可．
【详解】解：若设乙分得白米x石，
∵甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，甲比丙多分三十六石，
∴甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数都是18石，
∴甲分得白米（x＋18）石，丙分得白米（x﹣18）石，
又∵甲、乙、丙三人来分这一百八十石，即甲、乙、丙三人分得之和为180石，
∴可得方程：（x＋18）＋x＋（x﹣18）＝180．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系来列方程是解题的关键．
8．C
【分析】设树苗总数为x棵，根据各班的树苗数都相等，可得出第一班和第二班领取的树苗数相等，由此可得出方程．
【详解】解：设树苗总数x棵，根据题意得：
x＝56+（x﹣x﹣56），
解得：x＝3136．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出各班的树苗数都相等，这个等量关系，因为第一班，第二班领取数量好表示，所以我们就选取这两班建立等量关系．
9．C
【分析】可以设中间数为x，根据日历的特征列出其上下左右四个数的式子解题即可．
【详解】解：设中间数为x，则最大的数（下面的数）为：，最小的数（上面的数）为：，左边的数为：，右边的数为：，总和为：，
∵最大数与最小数的和为38，
∴，解得：，和为：，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，能够根据日历的特征列代数式是解题关系．
10．B
【分析】设乙在第70次追上甲时的时间为xs，利用二者的路程之差为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，利用路程速度时间，可求出甲走的路程，再结合正方形ABCD的边长为2，即可得出乙在第70次追上甲时的位置在BC边上．
【详解】解：设乙在第70次追上甲时的时间为xs，
依题意得：，
解得：，
甲走了．
又，
乙在第70次追上甲时的位置在BC边上．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11．5
【分析】设甲共做了x天，则乙做了（x﹣1）天，然后根据“工作效率×工作时间＝工作总量”列方程求解．
【详解】解：设甲共做了x天，则乙做了（x﹣1）天，由题意，可得：
＝1，
解得：x＝5，
答，甲一共做了5天，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系（工作总量=工作效率×工作时间）列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
12．450或350##350或
【分析】设商品原来标价为x元，由题意得等量关系：①如果标价超过360元，标价×7折 35＝售价280元；②如果标价超过360元以下，标价×8折＝280元，根据等量关系列出方程，再解即可．
【详解】解：设商品原来标价为x元，由题意得：
如果标价超过360元，则：0.7x 35＝280，
解得：x＝450，
如果标价360元以下，则0.8x＝280，
解得：x＝350，
故答案为：450或350．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．
13．20
【详解】设所用电量为x度，则所交电费为12×2+6×2.5+3（x﹣18）元等于45元建立方程求出其解就可以得出结论．
【解答】解：设所用电量为x度，由题意得
12×2+6×6.5+3（x﹣18）＝45，
解得：x＝20．
故答案为：20．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准题意的数量关系．
14．75
【分析】设淘气原来有元，则笑笑有元，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：淘气原来有元，则笑笑有元，根据题意得，
．
解得．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
15．或
【分析】设A、B两地间的距离是，分当点A在之间时，两地距离为km，以及当点C在之间时，两地距离为km，根据题意分别列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】解：设两地间的距离是，
当点A在之间时，两地距离为km， 根据题意得：
，
∴，
∴，
∴ ，
当点C在之间时，两地距离为km， 根据题意得：
，
∴，
∴，
∴ ，
∴两地间的距离是：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是正确找出等量关系列出一元一次方程，并运用到实际问题中，从而完成求解．
16．46
【分析】根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出等式即可．
【详解】解：设总共有x个人，根据题意得：
，
解得：，
（两），
故答案为：46．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是利用人数不变找到等量关系列出方程，注意明代时1斤＝16两．
17．吨
【分析】设精加工天，则粗加工天，利用总利润精加工的天数粗加工的天数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出结论．
【详解】解：设精加工天，则粗加工天，
依题意得：，
解得：，
．
答：这批蔬菜共吨．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
18．(1)
(2)他应该支付44元
(3)他乘坐的里程是15千米
【分析】（1）利用支付的车费＝起步价＋超过3千米的费用列出代数式即可；
（2）把x＝30代入（1）中的式子即可；
（3）利用代数式建立方程求得答案即可．
（1）
支付车费：（元）；
（2）
当时，（元）；
答：他应该支付44元；
（3）
由题意得，
解得：
答：他乘坐的里程是15千米．
【点睛】此题考查列代数式，一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．针对题目的情况进行具体分析．
19．(1)风华中学一共有个教室．
(2)乙工程队共粉刷了天．
(3)选择方案一费用最小，最省钱．
【分析】（1）设甲工程队单独完成需要天，则乙工程队单独完成需要天，由甲乙完成的工作量相等列方程，再解方程即可；
（2）设甲工程队工作天后停工，则乙工程队的总工作时间为天，由甲乙的工作量之和为工作总量可得方程，再解方程即可；
（3）分别列式计算三种方案的总费用，再比较即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲工程队单独完成需要天，则乙工程队单独完成需要天，则
，
解得：，则，
答：风华中学一共有个教室．
（2）设甲工程队工作天后停工，则乙工程队的总工作时间为天，则
，
解得：，则，
答：乙工程队共粉刷了天．
（3）方案一：由甲工程队单独完成费用为；（元），
方案二：由乙工程队单独完成费用为；（元），
方案三：按（2）的方式完成费用为；（元），
而，
所以选择方案一费用最小，最省钱．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，列代数式，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．
20．(1)她选择B店铺购买，理由见解析
(2)A店铺：元，B店铺：元
(3)张阿姨在双11”当天购买5条被子，两家店铺的费用相同
【分析】（1）分别计算出去两个店铺购买被子的费用即可得到答案；
（2）根据两个店铺的优惠方案列出对应的代数式即可；
（3）令（2）中所求的2个代数式相等得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，去A店铺需付款：元，
去B店铺需付款：元，
∵，
∴她选择B店铺购买；
（2）解：由题意得，去A店铺需付款：元，
去B店铺需付款：元；
（3）解：由题意得，
解得，
答：张阿姨在双11当天购买5条被子，两家店铺的费用相同．
【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数四则混合计算的应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键．
21．(1)（－2）9，(-2)9+2，-(-2)9－1
(2)－x+2
(3)存在，127，－257，511
【分析】（1）找出每行数的规律，然后问题可求解；
（2）由题意易得另五个数分别为－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，然后问题可求解；
（3）设这三个数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，然后可得－x－1+2x－1－4x－1＝381，进而问题可求解．
【详解】（1）解：第①行的有理数分别是－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，…，
故第n个数为（－2）n（n是正整数），第9个数为（－2）9，
第②行的数等于第①行相应的数加2，即第n的数为（－2）n+2（n是正整数），第9个数为(-2)9+2，
第③行的数等于第①行相应的数的相反数减去1，即第n个数是－（－2）n－1（n是正整数），第9个数为-(-2)9－1，
（2）解：∵左上角数记为x，
∴另五个数分别为：－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，
∴x－2x+x+2－2x+2－x－1+2x－1＝－x+2；
（3）解：设这三个数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，
由题意可得：－x－1+2x－1－4x－1＝381，
∴x＝－128，
∴这三个数分别为127，－257，511．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及数字规律问题，解题的关键是得到每行数字的规律．
22．(1)，
(2)或
(3)7.1或7.3
【分析】（1）由点P，点Q的运动速度，可知t秒两个动点各自运动的距离，根据点A，点D对应的数分别为，12，即可求解；
（2）根据题意可得出关于t的方程，求解即可；
（3）根据点Р在“折线数轴”上每段的运动速度，可得点Р在每段的运动时间，再根据点Q在“折线数轴”上运动的时间，可知两动点在“折线数轴”上相遇的位置，进而可得此时点P，点Q对应的数，进而可推算出点P，Q相距个单位时，P，Q的位置，列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，点P在数轴上所表示的数为：，点Q在数轴上所表示的数为：；
故答案为：，；
（2）根据题意可知，分两种情况：
①点P在点Q的左侧时，
有，
解得t＝；
②点P在点Q的右侧时，，
解得t＝；
∴当t为或时，P，Q两点相距个单位长度．
（3）根据题意可得，点P在段的运动速度为2个单位长度/秒，在段的运动速度为1个单位长度/秒，在段的运动速度为4个单位长度/秒，在段的运动速度为2个单位长度/秒，
∴点Р在段的运动时间为3秒，在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为1秒，在段的运动时间为2秒，
∵点Q在D﹣C﹣B﹣O﹣A 段的运动速度为1个单位长度/秒，
∴点Q在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为4秒，在段的运动时间为6秒，
∴点P，Q在段相遇，
∴点Р在段表示的数为，点Q在段表示的数为，
∵P，Q两点相遇时，点P，Q表示的数相同，
∴，
解得t＝，
∴当t＝时，P，Q两点相遇；
此时点P，Q所对应的数为，
∴P，Q两点相距个单位长度时也在BC段．
∴或，
解得7.1或7.3．
∴当t为7.1或7.3时，P，Q两点相距个单位长度．
【点睛】此题考查了数轴、列代数式、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握列代数式和解方程是解题的关键．