4.1比例线段(3)
教学目标:
1.了解比例中项的概念。
2.会求已知线段的比例中项(了解与数的比例中项的区别)。
3.通过实例了解黄金分割。
4.利用黄金分割进行简单的计算和作图.
教学重点、难点:
教学重点:黄金分割的概念及其简单应用。
教学难点:例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系,比较复杂,是本节教学的难点。
知识要点:
1.如果三个数a、b、c满足比例式=(或a:b=b: c),则b叫做a,c的比例中项。
2. =<=>b2=ac。
3.如图4-1-4,如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB,使=,那么称线段AB被点P黄金分割,点P叫做线段AB的黄金分割点,线段AP与AB的比叫做黄金比.
重要方法:
1.判断b是a、c的比例中项,只要=或b2=ac成立。
2.记住线段AB被点P黄金分割原理;记住黄金比: EQ \F(-1,2) ≈0.618.
3.利用黄金分割原理解释自然界中的生活现象.
4.黄金三角形:顶角为36°的等腰三角形的底与腰的比等于黄金比;顶角为108°的等腰三角形的腰与底的比等于黄金比.(宽与长的比等于黄金比的矩形是黄金矩形)
教学过程:
一、创设情景,引入新课
感受匀称、协调之美
如:蒙娜丽莎像、芭蕾舞演员的演姿、上海东方明珠塔、五角星等,感受黄金分割图像之美。
二、合作学习,探索新知
1.线段的比例中项
(1)取一张长与宽之比为∶1的长方形纸(怎么取?协作学习)
(2)将它(上述矩形)对折.请判断图4-4中的两张长方形纸的长与宽这4条线段是否成比例.如果成比例,请写出比例式.这个比例式有什么特别之处吗?(与同伴交流)
= EQ \F(,1) ,= EQ \F(b, EQ \F(,2) b) = EQ \F(,1)
∴=,这个比例式的内项相同.
定义:一般地,如果三个数a、b、c满足比例式=(或a:b=b: c),则b叫做a,c的比例中项.
=<=>b2=ac。
做一做:
P1011、(1)1是不是1和的比例中项;(2)1和的比例中项是什么?
P1012、求线段a、b的比例中项.
(1)a=3,b=27; (2)a=,b=3; (3)a= EQ \F(-1,2) ,b= EQ \F(+1,2)
2.黄金分割
(1)五角星是我们常见的图形.在图4-4中,度量点C到点A,B的距离
与相等吗?
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果=,
那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),
点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
问题:一条线段有几个黄金分割点?一颗五角星中有几个黄金分割点?
(2)求出黄金比的数值,如图4-1-4
设=x,则PB=AB-AP=AB-AB x.
由=,得=,即=
化简,得x2+x-1=0.
解得x1= EQ \F(-1+,2) ,x2= EQ \F(-1-,2) (不合题意,舍去)
所以= EQ \F(-1,2) ≈0.618
(3)黄金分割的深远意义
历史上,人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率,广泛应用于建筑和雕刻中,如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等,一些长方形的画框,宽与长之比也设计成0.618,在自然界中也有很多例子,美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。
(4)尺规做线段的黄金分割点
例5,已知线段AB=a,用直尺和圆规作出它的黄金分割点。
分析:线段a的黄金分割所得的较长线段长应是 EQ \F(-1,2) a,
= EQ \F(,2) a-a,由于 EQ \F(,2) a是以a和a为直角边的斜边长
因此本题转化为作两条线段之差.
作法:
1.经过点B作BD⊥AB,使BD=AB
2.连接AD,在AD上截取DE=DB.
3.在AB上截取AC=AE.
如图,点C就是线段a的黄金分割点
思考:
1.如果设AB=1,那么BD,AD,AC,BC分别等于多少
2.计算 与
3.点C是线段AB的黄金分割点吗
课内练习:P1021、2
P102~103作业题1、2、3、4、5、6
三、课堂小结
1.比例中项的概念,
2.线段的比例中项与数的比例中项的区别;
3.黄金分割,黄金分割点,黄金比的概念.
四、作业:见作业本
五、教后感
EMBED Flash.Movie
B
C
A
图4-5