相似三角形复习[上学期]
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课件19张PPT。相似三角形复习新课程新课堂新教育热烈庆祝括山中学教学活动周隆重召开例1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．满足一个什么条件时△ ACP∽△ABC． 解:⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB （或∠2= ∠B）时，△ ACP∽△ABC
1、条件探索型答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC时,△ ACP∽△ABC.温故而知新⑵ ∵∠A= ∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时，
△ ACP∽△ABC
请问：
ΔABC与 的相似比是多少？
ΔABC与 的周长比是多少?
面积比是多少？4×4正方形网格看一看：
ΔABC与 有什么关系？ 为什么？
（相似）2▲周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方温故而知新▲对应角相等，对应边成比例
▲对应角平分线、对应中线、对应高线之比都等于相似比。
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？问题情境思考30m例2.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来.解：有相似三角形，它们是：△ADE∽ △BAE, △BAE ∽ △CDA ，△ADE∽ △CDA（ △ADE∽ △BAE ∽ △CDA）2、结论探索型一.填空、选择题:
1、如图，DE∥BC, AD:DB=2:3,
则△ AED和△ ABC
的相似比为＿＿＿.
2:552cm2、 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.
3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.
4. 如图，△ADE∽ △ACB,
则DE:BC=_____ 。
5. 如图，D是△ABC一边BC
上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是（ ）.
A. AC:BC=AD:BD
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BC
6. D、E分别为△ABC 的AB、AC上
的点，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A，
把每两个相似的三角形称为一组，那
么图中共有相似三角形_______组。
1:3D4ABEDC二、证明题：
1. D为△ABC中AB边上一点，
∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB.
2. △ABC中,∠ BAC是直角，过斜
边中点M而垂直于斜边BC的直线
交CA的延长线于E，交AB于D，
连AM.
求证：① △ MAD ∽ △ MEA
② AM2=MD · ME
E例3、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14.
问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP
设PD=x，则PB=14―x，
∴6：4=（14―x）:x则有AB:CD=PB:PD∴x=5.6P（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则
则有AB:PD=PB:CD设PD=x，则PB=14―x，
∴6： x =（14―x）: 4∴x=2或x=12∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似46x14―xDBCAp巩固提高： 在?ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟?BPQ与?BAC相似？分析：由于?PBQ与?ABC有公共角∠B；所以若?PBQ与?ABC相似，则有两种可能一种情况为 ,即PQ∥AC;另一种情况为 1. 解: ∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∵AD:DB=2:3
∴DB:AD=3:2
∴(DB+AD):AD=(2+3):3
即 AB:AD=5:2
∴AD:AB=2:5
即△ADE与△ABC的相似比为2:5 如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED
和△ ABC 的相似比为＿＿＿.
2.已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙
的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm.解: 设三角形甲为△ABC ，三角
形乙为 △DEF，且△DEF的最大
边为DE，最短边为EF
∵ △DEF∽△ABC
∴ DE:EF=6:3
即 10:EF=6:3
∴ EF=5cm3.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在
腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.解: ∵ △ABC ∽△BDC
∴
即
∴ DC=2cm4.解: ∵ △ADE∽△ACB
且
∴如图，△ADE∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 。6. D、E分别为△ABC 的AB、AC上的点，DE∥BC，
∠DCB= ∠ A，把每两个相似的三角形称为一组，
那么图中共有相似三角形_______组。解: ∵ DE∥BC
∴∠ADE= ∠B,
∠EDC=∠DCB=∠A
① ∵ DE∥BC
∴△ADE ∽ △ABC
② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B
∴△ADE∽ △CBD
③ ∵ △ADE ∽ △ABC
△ADE ∽ △CBD
∴ △ABC ∽ △CBD
④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC
∴ △ADC ∽ △DEC1. D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB分析:要证明AC2=AD·AB，需
要先将乘积式改写为比例
式 ，再证明AC、
AD、AB所在的两个三角形相
似。证明:∵ ∠ACD= ∠ ABC
∠A = ∠ A
∴ △ABC ∽△ACD
∴
∴ AC2=AD·AB2. △ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于
斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM.
求证：① △ MAD ～△ MEA ② AM2=MD · ME分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。AM是△ MAD 与△ MEA 的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项。证明：①∵∠BAC=90°
M为斜边BC中点
∴AM=BM=BC/2
∴ ∠B= ∠MAD
又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90°
∠E+ ∠ADE= 90°
∠BDM= ∠ADE∴∠B=∠E
∴∠MAD= ∠E
又 ∵ ∠DMA= ∠AME
∴△MAD∽ △MEA② ∵ △MAD∽ △MEA
∴
即AM2=MD·MEABCDEM
1、条件探索型答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC时,△ ACP∽△ABC.温故而知新⑵ ∵∠A= ∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时，
△ ACP∽△ABC
请问：
ΔABC与 的相似比是多少？
ΔABC与 的周长比是多少?
面积比是多少？4×4正方形网格看一看：
ΔABC与 有什么关系？ 为什么？
（相似）2▲周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方温故而知新▲对应角相等，对应边成比例
▲对应角平分线、对应中线、对应高线之比都等于相似比。
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？问题情境思考30m例2.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来.解：有相似三角形，它们是：△ADE∽ △BAE, △BAE ∽ △CDA ，△ADE∽ △CDA（ △ADE∽ △BAE ∽ △CDA）2、结论探索型一.填空、选择题:
1、如图，DE∥BC, AD:DB=2:3,
则△ AED和△ ABC
的相似比为＿＿＿.
2:552cm2、 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.
3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.
4. 如图，△ADE∽ △ACB,
则DE:BC=_____ 。
5. 如图，D是△ABC一边BC
上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是（ ）.
A. AC:BC=AD:BD
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BC
6. D、E分别为△ABC 的AB、AC上
的点，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A，
把每两个相似的三角形称为一组，那
么图中共有相似三角形_______组。
1:3D4ABEDC二、证明题：
1. D为△ABC中AB边上一点，
∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB.
2. △ABC中,∠ BAC是直角，过斜
边中点M而垂直于斜边BC的直线
交CA的延长线于E，交AB于D，
连AM.
求证：① △ MAD ∽ △ MEA
② AM2=MD · ME
E例3、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14.
问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP
设PD=x，则PB=14―x，
∴6：4=（14―x）:x则有AB:CD=PB:PD∴x=5.6P（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则
则有AB:PD=PB:CD设PD=x，则PB=14―x，
∴6： x =（14―x）: 4∴x=2或x=12∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似46x14―xDBCAp巩固提高： 在?ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟?BPQ与?BAC相似？分析：由于?PBQ与?ABC有公共角∠B；所以若?PBQ与?ABC相似，则有两种可能一种情况为 ,即PQ∥AC;另一种情况为 1. 解: ∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∵AD:DB=2:3
∴DB:AD=3:2
∴(DB+AD):AD=(2+3):3
即 AB:AD=5:2
∴AD:AB=2:5
即△ADE与△ABC的相似比为2:5 如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED
和△ ABC 的相似比为＿＿＿.
2.已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙
的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm.解: 设三角形甲为△ABC ，三角
形乙为 △DEF，且△DEF的最大
边为DE，最短边为EF
∵ △DEF∽△ABC
∴ DE:EF=6:3
即 10:EF=6:3
∴ EF=5cm3.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在
腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.解: ∵ △ABC ∽△BDC
∴
即
∴ DC=2cm4.解: ∵ △ADE∽△ACB
且
∴如图，△ADE∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 。6. D、E分别为△ABC 的AB、AC上的点，DE∥BC，
∠DCB= ∠ A，把每两个相似的三角形称为一组，
那么图中共有相似三角形_______组。解: ∵ DE∥BC
∴∠ADE= ∠B,
∠EDC=∠DCB=∠A
① ∵ DE∥BC
∴△ADE ∽ △ABC
② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B
∴△ADE∽ △CBD
③ ∵ △ADE ∽ △ABC
△ADE ∽ △CBD
∴ △ABC ∽ △CBD
④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC
∴ △ADC ∽ △DEC1. D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB分析:要证明AC2=AD·AB，需
要先将乘积式改写为比例
式 ，再证明AC、
AD、AB所在的两个三角形相
似。证明:∵ ∠ACD= ∠ ABC
∠A = ∠ A
∴ △ABC ∽△ACD
∴
∴ AC2=AD·AB2. △ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于
斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM.
求证：① △ MAD ～△ MEA ② AM2=MD · ME分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。AM是△ MAD 与△ MEA 的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项。证明：①∵∠BAC=90°
M为斜边BC中点
∴AM=BM=BC/2
∴ ∠B= ∠MAD
又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90°
∠E+ ∠ADE= 90°
∠BDM= ∠ADE∴∠B=∠E
∴∠MAD= ∠E
又 ∵ ∠DMA= ∠AME
∴△MAD∽ △MEA② ∵ △MAD∽ △MEA
∴
即AM2=MD·MEABCDEM
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