特殊图形------大胆猜想------小心求证-----专项训练 （1）
夯实基础，稳扎稳打
1.如图，是的角平分线，点是边上一点，，，交于点．
以下结论：；是等腰三角形；平分；垂直平分；．
其中结论正确的是( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，并交于点，若，求的长
3.如图，在中，，，，分别以它的三边为直径作三个半圆，求阴影部分的面积．
4.如图，在四边形中，，，，，求的度数．
5.如图，已知，点为上一点，，分别平分，．
求证：；求证：；若，，求四边形的面积．
6.如图，在中，点为的中点，，，，，求的长．
7.在螳螂的示意图中，，是等腰三角形，，，
8.如图，在中，，是的中点，于点，交于点若，，．
9.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，等边三角形ADE的顶点D，E分别落在BC，AC上．若AD=BD，求∠EDC的度数
10.如图，在中，是上的一点，，，分别是，的中点若，求的长．
连续递推，豁然开朗
11．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BC=12，CD=AC=16，M、N分别是对角线BD、AC的中点． ①求证：MN⊥AC；②求MN的长．
12．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
13．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，求四边形APBQ的面积．
思维拓展，更上一层
14．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，求OC的最大值．
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与点A，点C重合），连接BD，BD＝AB．（1）设∠C＝50°时，求∠ABD的度数；
若AB＝5，BC＝6，求AD的长．
16.如图，在长方形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长，交于点，连结若，，求的长
特殊图形------大胆猜想-------小心求证
特殊图形---------特殊点+特殊线+特殊角+特殊三角形+特殊四边形
特殊图形 大胆猜想（××藏其中） 小心求证（××处理）
特殊点 斜边中点 三连等 连接处理
对称点 将军饮马 对称处理
中点 平行四边形 倍长中线
特殊线 中线 平行四边形 倍长中线
角平分线 全等藏其中 截长补短
全等藏其中 垂直处理
特殊角 1350 1350=450+900 分解处理
450 等腰直角三角形 垂直处理
300 黄金直角三角形 垂直处理
600 等边三角形 连接处理
300450600900 全等藏其中 旋转处理
特殊三角形（1） 等边三角形 新600 识别全等
等边三角形 新等边三角形 平移处理
等腰直角三角形 新450 识别全等
特殊三角形（3） 等腰三角形 三线合一 垂直处理
特殊四边形（1） 正方形 开心图形 垂直处理
特殊四边形（2） 长方形 全等 翻折处理
组合图形 双等腰 手拉手 旋转处理
多条高线 面积算两次 面积处理
参考答案
1.解：是的角平分线，，
在和中，，≌，故正确；
≌，，是等腰三角形；故正确；
，，，，
，平分，故正确；
，点在线段的垂直平分线上，，
点在线段的垂直平分线上，垂直平分．故正确；
由于无法判断和的大小，，故不正确；故选：．
2.解：是线段的垂直平分线，
，，，，
，在中，，，
，，，
，
3.解：，，，
，
4.解：连接，
，，，
，
又，，
，
是直角三角形，，，，
又，，的度数是．
5.解：，，
又、分别平分、，，
，
如图，延长，交于，
，， ≌，
， ，且，
≌，．
，，，
≌，，．
6.解：，，，又，
，是直角三角形且，
，，又点为的中点，．
7.如图，延长交于，是等腰三角形，，
，，
，．
8.AE=BC=2BD=4
9.解析：∵AB=AC，AD=BD，∴∠B=∠C=∠BAD，
∵△ADE是等边三角形，∴∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，
设∠B=∠C=∠BAD=y，∴∠B+∠C+∠BAC=3y+60°=180°，∴y=40°，
∴∠C=40°，∵∠AED=∠EDC+∠C=60°，∴∠EDC=20°．
10．4
11.①证明：如图，连接AM、CM， ∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，∴AM=CM=BM=DM= BD，∵N是AC的中点，∴MN⊥AC；
②解：∵∠BCD=90°，BC=12，CD=16，∴BD= =20，
∴AM= ×20=10，∵AC=16，N是AC的中点，∴AN= ×16=8，
∴MN= =8．
解：作AD⊥BC于D，
如图所示：设BD = x，则 ．在Rt△ABD中，，
在Rt△ACD中， ，
∴ ，解之得： ．∴ ．
∴ ．
13解：连结PQ，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，∴AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ＝AP＝6，∵∠CAP＋∠BAP＝60°，∠BAP＋∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，在△APC和△AQB中，，∴△APC≌△AQB，
∴PC＝QB＝10，在△BPQ中，∵PB2＝82＝64，PQ2＝62，BQ2＝102，而64＋36＝100，∴PB2＋PQ2＝BQ2，∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，
∴S四边形APBQ＝S△BPQ＋S△APQ＝×6×8＋×62＝24＋9．
14.解：取AB的中点E，连接OE，CE，
∴AE＝4，在Rt△ACE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，
∵∠AOB＝90°，点E为AB的中点，∴OE＝AB＝4，
∵OC≤OE+CE，∴当点O、E、C共线时，OC最大值为4+2，故答案为：4+2．
15．（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝50°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，
∵BD＝AB，∴∠BDA＝∠A＝80°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠BDA＝20°，
（2）解：过点B作BM⊥BC于点M，BN⊥AC于点N，
设AN＝x，则CN＝5﹣x，∵AB＝5，BC＝6，∴AM＝，
∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2，∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，
∴x＝，∴AD＝2AN＝．
16.解：是的中点，，沿折叠后得到，
，，，在矩形中，，
，在和中，
≌，，设，则，，
在中，，解得． 特殊图形-----大胆猜想------小心求证-------专项训练（2）
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，求小鸟至少要飞多少米？．
2． 如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．
(1) 判断△ABC是什么形状，并说明理由．(2) 求△ABC的面积．
3．如图为一块光学直角棱镜，其截面为直角三角形ABC，AB所在的面为不透光的磨砂面，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8cm．现将一束单色光从AC边上的O点入射，折射后到达AB边上的D点，恰有CD⊥AB，再经过反射后（即∠CDE＝∠ODC），从E点垂直于BC射出，求光线在棱镜内部经过的路径OD+DE的总长度
4．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，求正方形D的面积．
5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，用含S1，S 的代数式表示（a+b）2
6．如图，△ABH、△CBG、△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，如果BH＝8，EG＝2，求AB的长度．
连续递推，豁然开朗
7． 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9，求AC的长．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求：
（1）Rt△ABC的面积；（2）斜边AB的长；（3）求AB边上的高CD的长．
9．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝12，CD＝9，AB＝25，BC＝20，求四边形ABCD的面积．
10. 如图，在 中，，， 是边 上的中线，点 在 的延长线上，，求 的面积．
思维拓展，更上一层
11． 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ． (1) 观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
(2) 若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
12．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边．当a2＋b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状 (按角分类)．
(1) 当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为 三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为 三角形．
(2) 猜想：当a2＋b2 c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2 c2时，△ABC为钝角三角形．
(3) 当a=2，b=4时，判断△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
14. 如图①是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点 ，， 在同一条直线上，且 ．如图②是小床支撑脚 折叠的示意图，在折叠过程中， 变形为四边形 ，最后折叠形成一条线段 ．（1）小床这样设计应用的数学原理是 ；
（2）若 ，求 的值．
特殊图形------大胆猜想-------小心求证
特殊图形---------特殊点+特殊线+特殊角+特殊三角形+特殊四边形
特殊图形 大胆猜想（××藏其中） 小心求证（××处理）
特殊点 斜边中点 三连等 连接处理
对称点 将军饮马 对称处理
中点 平行四边形 倍长中线
特殊线 中线 平行四边形 倍长中线
角平分线 全等藏其中 截长补短
全等藏其中 垂直处理
特殊角 1350 1350=450+900 分解处理
450 等腰直角三角形 垂直处理
300 黄金直角三角形 垂直处理
600 等边三角形 连接处理
300450600900 全等藏其中 旋转处理
特殊三角形（1） 等边三角形 新600 识别全等
等边三角形 新等边三角形 平移处理
等腰直角三角形 新450 识别全等
特殊三角形（3） 等腰三角形 三线合一 垂直处理
特殊四边形（1） 正方形 开心图形 垂直处理
特殊四边形（2） 长方形 全等 翻折处理
组合图形 双等腰 手拉手 旋转处理
多条高线 面积算两次 面积处理
夯实基础，稳扎稳打
1．解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，则CE＝BD＝12，AE＝AB﹣CD＝5，
在直角三角形AEC中，AC＝＝＝13．小鸟至少要飞13米．
2．(1) ∵ AC2=12＋82=65，AB2=22＋32=13，BC2=42＋62=52，∴ AC2=AB2＋BC2．∴ △ABC是直角三角形，且∠ABC=90° (2) S=×AB×BC=××2=13
3．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，∴∠DCB＝30°，∠DCA＝60°，
在Rt△BCD中，BD＝BC＝4cm，CD＝BD＝4cm，
∵DE⊥BC，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝2cm，DE＝BE＝2cm，∠CDE＝60°，
∵∠CDE＝∠ODC，∴∠ODC＝60°＝∠DCA，∴△OCD是等边三角形，
∴OD＝CD＝4，∴OD+DE＝4+2＝6（cm）
4．解：设正方形D的面积为x，∵正方形A、B、C的边长分别为2、3、4，
∴正方形的面积分别为4、9、16，根据图形得：4+16＝x﹣9，解得：x＝29，
5．解：∵大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，∴a2+b2＝S1，（b﹣a）2＝S2，
∴4个直角三角形的面积＝4×ab＝2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
6．解：∵EG＝2，∴HG＝EG＝2，∵BH＝8，∴BG＝6，
∵△ABH、△CBG、△CDF，△DAE是四个全等的直角三角形，
∴AH＝BG＝6，∴AB＝＝10
连续递推，豁然开朗
7．在AB 上截取AE=AD，连接EC．∵ AC平分∠BAD，∴ ∠DAC=∠BAC，∴ △ADC≌△AEC，∴ AE=AD=9，CE=CD=10=BC．作CF⊥AB，垂足为点F，∴ EF=FB=BE=(AB－AE)=6．在Rt△BFC (或Rt△EFC) 中，由勾股定理得CF=8，在Rt△AFC中，由勾股定理得（9+6）2＝289∴AC＝17
8．解：∵∠C＝90°，AC＝，BC＝，
∴Rt△ABC的面积＝AC BC＝（）（）＝4；
（2）∵∠C＝90°，AC＝，BC＝，
∴AB＝＝＝2；
（3）∵S△ABC＝AC BC＝AB CD，
∴CD＝＝＝，
9．解：连接AC，在△ADC中，∵∠D＝90°，AD＝12，CD＝9，
∴AC＝15，S△ABC＝AD CD＝×12×9＝54，在△ABC中，
∵AC＝15，AB＝25，BC＝20，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，
∴S△ACB＝AC BC＝×15×20＝150．
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝150+54＝204．
10. 是边 上的中线， ．
又 ，， ．
，．
，，
．，．又 ，
．． ．
思维拓展，更上一层
11．(1) 猜想：AP=CQ．证明：∵ ∠ABP＋∠PBC=60°，∠QBC＋∠PBC=60°，∴ ∠ABP=∠QBC．又∵ AB=BC，BP=BQ，∴ △ABP≌△CBQ，∴ AP=CQ (2) 由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a．连接PQ，在△PBQ中，PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，∴ △PBQ为正三角形，∴ PQ=4a．在△PQC中，∵ PQ2＋QC2=16a2＋9a2=25a2=PC2，∴ △PQC是直角三角形
12．(1) 锐角 钝角 (2) ＞ ＜ (3) ∵ c为最长的边，2＋4=6，∴ 4≤c＜6，
a2＋b2=22＋42=20．①a2＋b2＞c2，即c2＜20，∴ 当l6≤c2＜20时，这个三角形是锐角三角形；②a2＋b2=c2，即c2=20，∴ 当c2=20时，这个三角形是直角三角形；③a2+ b2＜c2，即c2 ＞20，∴ 当20＜c2＜36时，这个三角形是钝角三角形
13．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝8（cm）；（2）由题意知BP＝2tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得：t＝，综上：t＝4或t＝；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
14. （1） 三角形具有稳定性（2） ，
设 ，，则 ，，．由图形可得 ，则 ，．在 中，，即 ，解得 ． ．几何几何，想破脑壳
---------特殊图形-----大胆猜想------小心求证-----专项训练（3）
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，在△ABC中，AE＝3，BE＝5，AC＝4，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．猜想△ABC的形状并证明．
2．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，求BE的值
3．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且BC＝DE＝8，EF＝2AB＝2CD，AB＝3，求A、F两点间的距离
4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝15，点D是AC边上的一点，且CD＝3，BD＝9，猜想△ABD的形状并证明
5．如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地高度AB＝2.7米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．小张身高1.8米（CD＝1.8米），当他正对着门缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，求AD的长度．
连续递推，豁然开朗
6．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，求S4
7.如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，
求A，F两点间的距离
8．如图，每个小正方形的边长为1，求∠ABC的度数．
9.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为点E,求DE的长1教育名师原创作品
10.如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,
∠CBD=30°,∠BCD=45°,若AB=2.求四边形ABCD的面积.
思维拓展，更上一层
11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，求AB2+CD2的值．
12.已知△ABC的面积为2,AB边上的高为,AB=2AC,求BC的长.
13．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．
14．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当△BCP为等腰三角形时，求t的值．
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特殊图形---------特殊点+特殊线+特殊角+特殊三角形+特殊四边形
特殊图形 大胆猜想（××藏其中） 小心求证（××处理）
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对称点 将军饮马 对称处理
中点 平行四边形 倍长中线
特殊线 中线 平行四边形 倍长中线
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特殊角 1350 1350=450+900 分解处理
450 等腰直角三角形 垂直处理
300 黄金直角三角形 垂直处理
600 等边三角形 连接处理
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特殊三角形（1） 等边三角形 新600 识别全等
等边三角形 新等边三角形 平移处理
等腰直角三角形 新450 识别全等
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特殊四边形（1） 正方形 开心图形 垂直处理
特殊四边形（2） 长方形 全等 翻折处理
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特殊图形----大胆猜想-----小心求证----专项训练（3）
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1．证明：连接CE，∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝BE＝5，在△AEC中，AE＝3，EC＝5，AC＝4，
∵AC2+AE2＝42+32＝25，EC2＝52＝25，∴AC2+AE2＝EC2，
∴△AEC是直角三角形，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形．
2．解法一：∵BD＝CD，CD＝7，∴BD＝7，∵AB⊥AD，∴∠A＝90°，
∵AD＝5，∴AB＝＝2，∵AB＝CE，∴CE＝2，
∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°，∴DE＝＝5，∴BE＝BD﹣DE＝2．
解法二：∵AB⊥AD，CE⊥BD，∴∠A＝∠CED＝90°，
∵AB＝CE，BD＝CD，∴Rt△ABD≌Rt△ECD（HL），
∴AD＝DE＝5，∵BD＝CD，CD＝7，∴BD＝7，∴BE＝BD﹣DE＝2．
3．解：过F作FG⊥AB，交AB的延长线于G，
∵EF＝2AB＝2CD，AB＝3，∴CD＝3，EF＝6，
根据题意，AG＝AB+CD+EF＝12，GF＝BC+DE＝16，在Rt△AGF中，
AF＝＝＝20．
4．．解：△ABD是直角三角形，理由是：∵AC＝15，CD＝3，∴AD＝AC﹣CD＝15﹣3＝12，∵AB＝15，BD＝9，∴BD2+AD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形．
5．解：过点D作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝1.2米，BE＝CD＝1.8米，
在Rt△ADE中，AE＝AB﹣BE＝2.7﹣1.8＝0.9米，AD2＝AE2+DE2，
∴AD＝（米），
连续递推，豁然开朗
6．解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
如图，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，因此S4＝135﹣48＝87，
7．解：过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，
则AG＝AB+CD+EF＝8，FG＝BC+DE＝6，由勾股定理得，AF＝＝10，
8．解：连接AC，由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，
BC2＝22+12＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，故答案为：45．
9.解.连结AD,由D为BC的中点,得AD⊥BC,BD=5.在Rt△ABD中,根据勾股定理,AD==12.在△ABD中,根据三角形的面积公式,得×AD×BD=×AB×DE,所以,DE===.
10.解如图,过点D作DE⊥BC于E,∵AB=AD,∠BAD=90°,
∴AD=AB=2,
BD=2×=4,∵∠CBD=30°,∴DE=BD=×4=2,
BE===2,∵∠BCD=45°,∴CE=DE=2,
∴BC=BE+CE=2+2,∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD
=×2×2+×(2+2)×2=4+2+2=6+2.
思维拓展，更上一层
11．解：∵四边形ABCD为“垂美”四边形，
∴BD⊥AC，∴∠AEB＝∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝90°，
在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2＝9，在Rt△BEC中，BE2+CE2＝BC2＝25，
∴AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2，
在Rt△CED中，CE2+DE2＝CD2，∴AB2+CD2＝AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，
12.解如图①所示:AB=2×=4,AD==1,BD=AB-AD=3,故BC==2;如图②所示:AB=2×=4,AD==1,BD=AB+AD21·世纪*教育网
=5,故BC==2.
13．解：延长AD至E，使ED＝AD＝2，连接BE，如图所示：则AE＝4，
∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
在△BED和△ACD中，，∴△BED≌△ACD（SAS），
∴BE＝AC＝3，∵AE＝4，AB＝5，BE＝3，∴AE2+BE2＝AB2，
∴△ABE是直角三角形，∴△ABC的面积＝△ABE的面积＝×3×4＝6．
14．解：∵∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝13，
当点P在AC上时，CP＝CB＝5，∴t＝5；
当点P在AB上时，分三种情况：
①当BP＝BC＝5，如图1所示：
则AP＝13﹣5＝8，∴t＝12+8＝20；
②当CP＝CB＝5时，过点C作CM⊥AB于M，如图2所示：
则BM＝PM＝BP，∵AC BC＝AB CM，∴CM＝＝＝，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM＝＝＝，
∴BP＝2BM＝∴AP＝13﹣＝，∴t＝12+＝；
③当PC＝PB时，如图3所示：
则∠B＝∠BCP，∵∠B+∠A＝90°，∠BCP+∠ACP＝90°，
∴∠A＝∠ACP，∴AP＝PC，∴AP＝PB＝AB＝，∴t＝12+＝；
综上所述，当t＝5或20或或时，△BCP为等腰三角形．
