第1章《解直角三角形》单元检测题（含解析）

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第1章《解直角三角形》单元检测题
一、选择题(共24分)
1．（ ）
A．1 B． C． D．
2．在中，，则（ ）．
A． B． C． D．
3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，连接AB，BC，则的正切值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（　　）
A．米 B．米 C．50sin40°米 D．50cos40°米
5．在坡度为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是（ ）米.
A．3 B．12 C． D．
6．已知为锐角，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是半圆的直径，的平分线分别交弦和半圆于和，若，，则长为（　　）
A．2 B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝∠EAF；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF＝CD；④AF＝AB+CF．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(共20分)
9．已知中，，，，那么的长是 ___________．
10．在中，，则一定是______．
11．如果是锐角，，那么为___________．
12．如图，在中，，，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BC的长是__________cm．
13．山西省阳曲县青龙古镇，是全国传统古村和全省十大新锐景区，交通十分便利．周末，张老师一家自驾到该镇（记为点A）游玩，到达B地后，手机导航显示，该镇恰好在B地的正北方向，前面路况出了问题，车辆应沿北偏西60°方向行驶6km至C地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇．则C，A两地的距离是______km．
三、解答题(共76分)
14．(6分)计算：
(1) (2)．
15．(6分)已知：如图，在中，求的值．
16．(6分)如图，在中，AD是BC边上的高，，，求BC的长．
17．(8分)已知：如图，已知中，，点是边上的一点，且，．
(1)求的长；
(2)求的余弦值．
18．(8分)如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧BG的长为60cm，，ED长度约为21cm．求出该书架中最多能竖放几个这样的档案盒．（点A、点B、点C、点D、点E、点F、点G在同一平面内．参考数据：，，）
19．(8分)如图，在中，，，点B在边上，，垂足为D，点F在延长线上，，．求：
(1)的长；
(2)的值．
20．(10分)期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约周末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向．
(1)求的距离：
(2)两人准备从B地出发，实然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地，并沿着C地南偏东走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：）．
21．(12分)如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点．
(1)如图1，若，，，求；
(2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（1）的条件下，为边的中点，为边上一个动点，连接，将沿翻折，得到△，连接，以为斜边向右作等腰直角三角，连接，求的最小值．
22．(12分)如图，在矩形中，，，是射线上的一个动点，作，交射线于点，射线交射线于点，设，．
(1)当时，求的长；
(2)如图，当点在边上时（点与点、不重合），求关于的函数关系式，并写出它的定义域；
(3)当时，求的长．
参考答案
1．D
【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可解答．
【详解】解：．
故选D．
【点睛】主要考查了特殊角的三角形函数值，牢记特殊角的三角函数值是解答的关键．
2．A
【分析】直接根据三角函数计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选A．
【点睛】考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答的关键．在中，若，则的正弦等于的对边比斜边，的余弦等于的邻边比斜边，的正切等于的对边比邻边．的余切等于的邻边比对边，，，，．
3．A
【分析】连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图：连接，
由题意得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．A
【分析】根据锐角三角函数解决问题．
【详解】解：在中，
∵，（米），
∴，
∴（米），
故选：A．
【点睛】考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的意义是解决的关键．
5．C
【分析】利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离．
【详解】解：∵相邻两树间的水平距离是米，坡度为．
∴垂直高度为米．
根据勾股定理可得斜坡上相邻两树间的坡面距离是米．
故选C．
【点睛】考查了解直角三角形坡度问题，解题的关键是熟悉且会灵活应用公式：坡度=垂直高度÷水平宽度．
6．D
【分析】判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间，即可得到正确选项．
【详解】解：∵，，
∴ ．
故选：D
【点睛】主要考查锐角三角函数的增减性知识；判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间是解决的关键．
7．D
【分析】证明，求出，利用角平分线的性质证得，推出，利用三角函数求出，得到，再利用三角函数求出答案即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵是半圆的直径，
∴
∴
∴
∴
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
8．D
【分析】①设正方形的边长为2,然后求出AE、FC、EF，然后比较正切函数值即可；
②由已知条件，可得∠AEB和∠CFE的正切值，从而可以得到射线FE是否为∠AFC的角平分线；
④结合②③的结论，确定CF和CD的关系，从而可以判断CF=CD是否成立；
④由已知条件和全等三角形的判定与性质以及线段的和差即可判定AF=AB+CF是否成立．
【详解】解：设正方形的边长为2
∵在正方形ABCD中， E是BC的中点
∴AB=BC=2，BE=EC=AB=1，∠C=∠B=90°，
∴AE=,tan∠BAE=
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE =90°，
∴∠BAE=∠BAE
∴tan∠FEC=,CE=1
∴CF=
∴EF=
∴tan∠EAF =
∴∠BAE＝∠EAF，故①正确；
∴tan∠CFE=，tan∠AFE=，
∴∠AFE=∠CFE，即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；
∵BC=CD，BC=2CE=4CF，
∴CF=CD，故③正确；
作EG⊥AF于点G，
∵FE平分∠AFC，∠C=90°，
∴EG=EC，
∴EG=EB，
∵∠B=∠AGE=90°，
在Rt△ABE和Rt△AGE中
AE=AE，EB=EG
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）
∴AB=AG，
又∵CF=GF，AF=AG+GF，
∴AF=AB+CF，故④正确；
综上共有4个正确结论．
故答案为D．
【点睛】考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数，明确题意并正确运用数形结合的思想是解答的关键．
9．
【分析】根据余弦的定义：即邻边与斜边的比，进行解答即可．
【详解】在中，
，，
，
故答案为：．
【点睛】考查了解直角三角形，熟知余弦的定义是解的关键．
10．等边三角形
【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答．
【详解】∵，
∴，，
即，，
∴，，
∴，
则一定是等边三角形，
故答案为等边三角形．
【点睛】考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
11．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：∵，
又∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】考查特殊角的三角函数值．熟背特殊角的三角函数值是解题的关键．
12．4
【分析】由线段垂直平分线、勾股定理结合即可求解；
【详解】解：∵的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】主要考查线段垂直平分线、勾股定理、锐角三角函数，掌握相关知识是解题的关键．
13．
【分析】如图所示，过点C作于D，先解直角三角形求出的长，再解直角三角形求出的长即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，
由题意得：，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】主要考查了解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．(1)
(2)
【分析】（1）代入特殊角三角函数值，然后再计算即可；
（2）先化简零指数幂、绝对值，再代入特殊角三角函数值，然后再计算即可．
【详解】（1）
=
=
=；
（2）
=
=
=
【点睛】主要考查了实数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
15．
【分析】根据勾股定理求，再根据余弦的定义求得．
【详解】解：在中，
∴，
∴．
【点睛】主要考查勾股定理、余弦的定义，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义是解决的关键．
16．
【分析】根据题意可以分别求出的长，从而可以得到的长．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即BC的长．
【点睛】考查了解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
17．(1)
(2)
【分析】（1）首先证明，由相似三角形的性质可知，借助勾股定理计算出，即可确定的长；
（2）过点作于，首先由相似三角形的性质计算，即可确定，然后证明，由相似三角形的性质求得的值，然后计算，在中求的余弦值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
【点睛】主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
18．12个
【分析】根据题意可得：，设每一个档案盒的厚度为x cm，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据书架内侧长为60cm，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】由题意得：，
设每一个档案盒的厚度为x cm,
∵，
在中，设cm,
∴（cm），
由题意得：，
∴，
∴（个），
∴该书架中最多能放12个这样的档案盒．
【点睛】考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）由各角之间的关系得出，再由正切函数及勾股定理求解得出，最后利用三角形等面积法求解即可；
（2）由等面积法得出，结合图形得出，再由余切函数的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
令，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】主要考查三角函数解三角形及勾股定理解三角形，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
20．(1)
(2)小西家会被划为管控区，理由见解析．
【分析】（1）过点作于点，根据题意可得，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题；
(2)过点作于点，根据题意可得，所以，然后根据锐角三角函数即可解决问题．
【详解】（1）如图，过点作于点，
根据题意可知：m，
，
，
，；
的距离约为
（2）小西家会被划为管控区，理由如下：
如图，过点作于点，
根据题意可知∶，
在Rt中，，
小西家会被划为管控区．
【点睛】考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决的关键是掌握解直角三角形的应用．
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图，过点作于点，连接．想办法求出，可得结论；
（2）如图2中，过点作交的延长线于点．证明，推出，再证明，推出，，推出，推出是等腰直角三角形，可得结论；
（3）如图3中，连接，以，为边构造矩形，连接，．证明四边形是正方形，再证明，推出，推出，可得结论．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，连接．
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）证明：如图2中，过点作交的延长线于点．
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（3）解：如图3中，连接，以，为边构造矩形，连接，．
由（1）可知，，，
是的中点，
，，
，
四边形是正方形，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
22．(1)
(2)
(3)3或
【分析】（1）由矩形的性质和垂直的性质即可证明，再由相似三角形对应边成比例即可求得的长；
（2）根据，求得，得出，再利用（1）中相似三角形的性质即可证明，从而求得y关于x的函数关系式；
（3）根据，得出，求得，然后再份情况讨论，从而求得的长．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
（2）解：四边形是矩形，
∴，
，
，
即，
解得：，
，
，
即，
解得：，
，
整理得：．
即关于的函数关系式为；
（3）解：①当点在线段上时，在线段上，
，
，
，，
，
，
∵，
，
，
即，
解得：；
②当在的延长线上时，如图：
，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
解得：；
综上所述，的长为3或．
【点睛】是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理以及分类讨论等知识．综合性强，熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．