第4章《相似三角形》单元提升卷(含解析）

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2022-2023相似三角形提升卷（含解析）
一、单选题
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列结论中，不正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若（b﹣d≠0），则 D．若，则a＝3，b＝4
3．下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（　　）
A． B．C． D．
4．若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是(　　)
A．16 cm B．12 cm C．24 cm D．36 cm
5．如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（　　）
A．1，， B．1，， C．1，， D．1，，
7．如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，则DE的长度是（　　）
A． B． C．6 D．10
8．下列语句中，正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②等弦对等弧；
③若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3；
④已知线段AB＝2，点C是AB的黄全分割点，则；
⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，已知△ABC和△A′B′C′相似，则图中角度 和边长x分别为（　　）
A．30°，9 B．30°，6 C．40°，9 D．40°，6
10． 如图，平行四边形OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D.将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，当点D的对应点D'落在OA上时，D'A'的延长线恰好经过点C，则点B的坐标为（　　）
A．（2
，2） B．（2
，2） C．（2
1，2） D．（2
1，2）
二、填空题
11．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示__　 　 ．
12．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 　 　.
13．如图，在⊙O中， ＝ ，AB＝10，BC＝12，D是 上一点，CD＝5，则AD的长为　 　.
14．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为　 　．
15．如图，把矩形Ⅰ、一个小正方形和由大小相同的四个正方形组成的 L 型放入矩形 ABCD 中.矩形Ⅰ的一个顶点落在 L 型中正方形的顶点 E 处，其他顶点在矩形 ABCD 的边上； L 型中的正方形有三个顶点恰好在矩形
ABCD 的边上，另有一个顶点和小正方形顶点合.若矩形Ⅰ与矩形
ABCD相似，则 AB：BC 的值为　 　.
16．如图，在直角 ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点M从点C出发沿线段CA向点A移动，连接BM，MN BM交边AB于点N．若CM＝2，那么线段AN＝　 　；当点M从点C移动到AC的中点时，则点N的运动过程中路径长为　 　。
三、解答题
17．已知线段a，b满足 ，且a+b=14，
（1）求a，b，c的值；
（2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x的值．
18．如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，以AD为直径的⊙O经过点C，交AB于点E，且AC＝AE，CF为⊙O的直径，连接FE并延长交BC于点G，连接AF。
（1）求证：四边形ADGF是平行四边形；
（2）若AF：BC＝3：8，BE＝4，求⊙O的直径。
20．在 中， ， 垂直平分 ，分别交 于点 .
（1）求证： ；
（2）求证： .
21．在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝　 　cm；OQ＝　 　cm．
（2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
（3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
22．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣2）2的顶点为C，与y轴正半轴交于点B，一次函数y＝kx+4（k≠0）图象与抛物线交于点A、点B，与x轴负半轴交于点D，若AB＝3BD．
（1）求点A的坐标；
（2）联结AC、BC，求△ABC的面积；
（3）如果将此抛物线沿y轴正方向平移，平移后的图象与一次函数y＝kx+4（k≠0）图象交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？
23．如图， 中， ，P是斜边 上一个动点，以 为直径作 交 于点D，与 的另一个交点E，连接 .
（1）当 时，
①若 ，求 的度数；
②求证 ；
（2）当 ， 时，是否存在点P，使得 是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的 的长.
24．如图
如图1，把两个相似比为 的矩形ABCD与矩形CEFG拼成如图所示的图案．
（1）（一）问题发现：
请探究AC与CF的位置关系并证明．
（2）求 的值．
（3）（二）拓展应用：
如图2，在四边形ABCF中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CF＝10，AF＝5 ．
连接BF，求BF的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴x=y，
∴，
故答案为：D．
【分析】由已知条件可得x=y，然后代入中化简即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、若，则，而，，不合题意；
B、若，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则，不合题意；
C、若（b﹣d≠0），则，则，不合题意；
D、若，设，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1， a，b的值不是3与4，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据比例的性质逐项判断即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：的三边长分别为：，
，，
∵，
∴为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；
A选项中三边长度分别为：2，4，，
∴，
A选项符合题意，
D选项中三边长度分别为：，，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
4．【答案】C
【解析】【解答】∵AB=3cm，BC=5cm，
∴矩形ABCD的周长=2×（3+5）=16cm，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，
∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，
∴矩形EFGH的周长为24cm，
故答案为：C．
【分析】先求出矩形ABCD的周长为16cm，再求出矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，最后计算求解即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
∴ ，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例、相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方进行判断.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：=1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1：：，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形对应边的比相等进行解答即可.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：由平行线分线段成比例可知
∴
解得
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入计算即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，故不符合题意；
②在同圆或等圆中，等弦所对的优弧相等，等弦所对的劣弧相等，原说法错误，故不符合题意；
③若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3，原说法正确，故符合题意；
④已知线段AB＝2，点C是AB的黄全分割点，
则或，原说法错误，故不符合题意；
⑤三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，原说法错误，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，相似多边形的性质、黄全分割点、三角形的外心的性质分别进行判断即可.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意：△ABC∽△A′B′C′，
∴∠ =∠ ＝40°，
，即 ，
∴解得 ，
经检验 符合意义，是原方程的解.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠α的度数，根据相似三角形对应边成比例可得x的值.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接A'C，AD⊥y轴，△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，
∴，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴点B的坐标为：
，
故答案为：D.
【分析】连接A'C，AD⊥y轴，△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，由同角的余角相等可得∠DOA=∠D'CO，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADO∽△OD'C，则可得比例式
，根据比例式求出CO，由平行四边形的性质得OC=AB，由线段的构成DB=AD+AB求得DB的值，则点B的坐标可求解.
11．【答案】△DEB
【解析】【解答】解：根据题意可得： ， ， ，
∴ ，
故答案为：△DEB．
【分析】利用相似三角形的判定方法判断求解即可。
12．【答案】3
【解析】【解答】解：依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则
解得 .
故答案为：3.
【分析】依题意可知：两高脚杯中的液体部分两三角形相似，然后根据对应边成比例可得AB.
13．【答案】3＋2
【解析】【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，
∵ ＝ ， AB＝10，
∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，
∵AE⊥BC，BC=12，
∴BE=CE=6，
∴ ，
∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE∽△CDF，
∴ ，
∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，
∴ ，
解得：DF=3，CF=4，
在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，
则 ，
∴AD=DF+AF=3＋2 .
故答案为：3＋2 .
【分析】过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠B=∠D，根据等弧所对的弦相等得AB=AC=10，由等腰三角形的三线合一得BE=CE=6， 利用勾股定理可得AE，证明△ABE∽△CDF，根据相似三角形的性质可得DF、CF，利用勾股定理求出AF，然后根据AD=DF+AF进行计算.
14．【答案】
【解析】【解答】∵矩形CDFE∽矩形ADCB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，
解得，AD1＝1﹣ （舍去），AD2＝ ，
故答案为： ．
【分析】根据矩形CDFE∽矩形ADCB，可得 ＝ ，再将数据代入计算可得AD2﹣2AD﹣4＝0，最后解一元二次方程即可。
15．【答案】 或
【解析】【解答】解：设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，
在Rt△IJH中，JH=
a，
∵四边形ABCD和四边形MEFD是矩形，四边形NBLK是矩形，
4个完全相同的小正方形组成的L型模板如图放置，
∴∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，
∴∠LKJ+∠LJK=∠IJH+∠IHJ=∠GHC+∠HGC=∠EGF+∠GEF=90°，
∠KJL+∠IJH=∠IHJ+∠GHC=∠EGF+∠HGC=90°，
∴∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，
∴△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，
∴BL=KL=HC，LJ=GC，
，
，
即
，
，
∴FG=
，EF=
，BL=KL=HC=
，LJ=GC=
，
∴CD=DF+FG+GC=x+
=
，
BC=BL+LJ+JH+HC=
+
=
，
当矩形MEFD∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
，
AB：BC 的值为
；
当矩形MDFE∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
(负值已舍)，
AB：BC 的值为
；
故答案为：
或
.
【分析】设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，由勾股定理得JH= a，根据矩形的性质得∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，由同角的余角相等得∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，证△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，根据全等三角形的性质可得BL=KL=HC，LJ=GC，根据相似三角形的性质可得FG、EF，进而得到BL、LJ、CD、BC，根据相似矩形的对应边成比例可得x的值，进而可得AB：BC的值.
16．【答案】；
【解析】【解答】解：（1）如图，作ND⊥AC
易得AB=10
易得
∴
设ND=x，则MD=3x
则AD=AC-CM-MD=6-3x
易得
∴
∴
∴AN=
（2）同（1）理，得出AN=
故答案为：；.
【分析】由三垂直，得出，得出，设出未知数，由平行，得出，得出方程，从而得出结果。
17．【答案】（1）解：设 ，则a=3k，b=4k，c=5k，
∵a+b=14，
∴3k+4k=7k=14，
解得k=2，
∴a=6，b=8，c=10
（2）解：∵b=8，c=10，x是b，c的比例中项，
∴x2=8×10=80，
解得
【解析】【分析】（1）利用已知条件a=3k，b=4k，c=5k，根据a+b=14，可求出k的值，然后求出a，b，c的值.
（2）利用x是b，c的比例中项， 可得到x2=bc，代入可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
18．【答案】解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有，，，
当时，，
即，
解得秒；
当时，，
即，
解得秒．
∴经过2.5秒或1秒时，△PBQ与△ABC相似．
【解析】【分析】分两种情况：①当时，，②当时，，再将数据代入求解即可。
19．【答案】（1）证明：连接CE．
∵AC＝AE，
∴ ，
∴AD⊥CE，
∵CF是直径，
∴∠CEF＝90°，
∴FG⊥CE，
∴AD∥FG，
∵CF，AD是直径，
∴∠ACD＝∠CAF＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝180°，
∴AF∥BC，
∴四边形ADGF是平行四边形．
（2）解：∵∠AOF＝∠COD，
∴ ，
∴AF＝CD，
∵四边形ADGF是平行四边形，
∴AF＝DG，
∵AF：BC＝3：8，
∴BG：DG＝2：3，
∵EG∥AD，
∴ ，
∵BE＝4，
∴AE＝AC＝6，
∴AB＝10，BC＝ ＝8，
∵CD＝DG，BG：DG＝2：3，
∴CD＝GD＝3，BG＝2，
∴AD＝ ＝3 ，
∴⊙O的直径为3
【解析】【分析】(1)根据垂径定理得出AD⊥CE，然后根据圆周角定理求出FG⊥CE，可得AD∥FG，根据直径所对的圆周角是直角求出∠CAF+∠ACD＝180°，可得AF∥BC，从而证出四边形ADGF是平行四边形．
(2) 根据平行四边形的性质和圆心角和弦的关系求出AF=CD=DG，可得BG：DG=2： 3，利用平行线分线段成比例定理求出AE、AC，再利用勾股定理求出BC、CD，即可求出结果.
20．【答案】（1）证明： ，
，
垂直平分 AB ，
，
，
，
，
；
（2）解：证明：由（1）知 ，
，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠C=72°，根据垂直平分线的性质可得AE=BE，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠A=36°，推出∠BEC=∠C，据此证明；
（2）易证△BEC∽△ABC，然后根据相似三角形的性质证明即可.
21．【答案】（1）2t；（5﹣t）
（2）解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，
∵△POQ的面积为6cm2，
∴6=×2t×（5-t），
∴t=2或3，
∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
（3）解：∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA，
∴或，
当，则，
∴t=；
当时，则，
∴t=1，
∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
【解析】【解答】(1)解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，
∴OQ=（5-t）cm，
故答案为：2t，（5-t）；
【分析】（1）由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，则OQ=（5-t）cm；
（2）由（1）可得S==6 ，解之可得t；
（3）由题意可知 △POQ与△AOB相似分为两种情况，△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA，可根据相似三角形的性质对应线段成比例求出t的值。
22．【答案】（1）解：作AE⊥x轴与点E，则BO∥AE，
将x＝0代入y＝（x﹣2）2得y＝4，
∴点B坐标为（0.4）．
∵AB＝3BD，
∴.
∴AE＝4BO＝16，
将y＝16代入y＝（x﹣2）2得16＝（x﹣2）2，
解得x＝6或x＝﹣2（舍），
∴点A坐标为（6，16）．
（2）作CF∥y轴交AB于点F，
将（6，16）代入y＝kx+4得16＝6k+4，
解得k＝2，
∴y＝2x+4，
将x＝2代入y＝2x+4得y＝8，
∴点F坐标为（2，8），
∴FC＝8，
∴S△ABC＝S△BCF+S△ACF＝ FC （xC﹣xB）+FC （xA﹣xC）＝×8×（2﹣0）+×8×（6﹣2）＝24．
（3）设抛物线向上平移m个单位，则点P坐标为（0，4+m），
由题意可得P，Q关于对称轴对称，
∴点Q坐标为（4，4+m），
将（4，4+m）代入y＝2x+4得4+m＝8+4，
解得m＝8，
∴该抛物线平移了8个单位．
【解析】【分析】（1）作AE⊥x轴与点E，先求出点B的坐标为（0，4），再根据平行线分线段成比例定理得出AE=16，再把y=16代入抛物线的解析式求出x的值，即可得出点A的坐标；
（2）作CF∥y轴交AB于点F，利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点F的坐标，利用 S△ABC＝S△BCF+S△ACF列式进行计算，即可得出答案；
（3）设抛物线向上平移m个单位，得出点P坐标为（0，4+m），从而得出点Q坐标为（4，4+m），再把点Q的坐标代入直线AB的解析式，求出m的值，即可得出答案.
23．【答案】（1）解：①如图，连接PD，
∵PB为直径，
∴∠PDB=90°，
∠BPD=65°，
∴∠PBD=90°-∠BPD=25°，
∵ ，
∴，
∴，
∴∠C=∠BPE-∠PBD=65°-25°=40°；
② 证明：∵，
∴∠CBP=∠EBP，
∵∠ABE+∠A=∠C+∠A=90°，
∴∠C=∠ABE，
∴∠ABP=∠ABE+∠EBP，∠APB=∠C+∠CBP，
∴∠ABP=∠APB，
∴AP=AB；
（2）解：存在，
如图，连接PD，
由AB=15，BC= 20,
由勾股定理得: AC= = =25，
∵AB.BC=AC.BE ,
即×15×20=×25×BE，
∴ BE=12，
∵BP是直径，
∴∠PDB =90° ,
∵∠ABC =90° ,
∴PD∥AB ,
∴△DCP∽△BCA ,
∴,
∴，
△BDE是等腰角形，分三种情况:
当BD= BE时，BD=BE=12,
∴CD=BC-BD=20-12=8，
∴ CP=CD=x8=10，
当BD= ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，
∴CD=BC=10,
∴CP=CD=×10=，
当DE=BE时，作EH⊥BC, 则H是BD中点，EH//AB, 如图，
AE== =9，
:.CE=AC-AE=25-9=16， CH=BC-BH=20-BH ,
∵EH∥AB，
∴，
即，
解得: BH= ,
∴BD=2BH=，
∴CD= BC-BD=20-=，
∴CP=CD=，
综上所述，△BDE 是等腰三角形，符合条件的CP的长为10或或7.
【解析】【分析】（1）如图，连接PD，
① 根据直径所对的圆周角是直角，结合求得∠BPD的大小，则度数可求，从而求出的度数，最后利用三角形外角的性质求出∠C的度数即可；
② 由弧相等得角相等，再由余角的性质得∠C=∠ABE，于是角的关系即可得出∠ABP=∠APB，从而证出AP=AB；
（2）由勾股定理得AC=25，由面积公式得出AB BC=AC BE，求出BE=12，连接DP，则PD∥AB，得出△DCP∽△BCA，求出CP==，CD，
△BDE是等腰三角形，分三种情况讨论，当BD=BE时，BD=BE=12，CD=BC-BD=8，
CP=2CD=10; 当BD= ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，得出CD=BC=10，CP=CD=，当DE=BE时，作EH⊥BC,则H是BD中点, EH∥AB ,求出AE==9, CE=AC-AE=16,CH=20-BH，由EH∥AB, 根据平行线分线段成比例求出BH=，BD=2BH=, CD=BC- BD= , 则CP=CD=7.
24．【答案】（1）解：AC⊥CF
证明：∵矩形ABCD∽矩形CEFG
∴ ，
∵∠B=∠E=90°，
∴△ABC∽△CEF，
∴∠ACB=∠CFE，
∵∠CFE+∠FCE=90°，
∴∠ACB+∠FCE=90°，
∴∠ACF=90°，
∴AC⊥CF
（2）解：∵△ABC∽△CEF，
∴
（3）解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC= ，
∵CF＝10，AF＝5 ，
∴ ，
∴∠ACF=90°，
tan∠AFC=
（4）解：过点F作FD⊥BC，交BC延长线于点D，
∵∠ACB+∠BAC=90°，∠ACB+∠FCD=90°，
∴∠BAC=∠FCD，
∵∠ABC=∠D，
∴△ABC∽△CDF，
∴ ，
∵AB＝3，BC＝4，AC=5，CF＝10，
∴CD=6，FD=8，BD=10，
BF=
【解析】【分析】（1）先证出 △ABC∽△CEF， 得到 ∠ACB=∠CFE， 即可得出 AC⊥CF ；
（2）由（1）列出比例式即可求出比值为；
（3）连接AC，勾股定理求出AC，用勾股定理逆定理证明△ACF是直角三角形，按照三角函数的意义求值即可；
（4）过点F作FD⊥BC，交BC延长线于点D， 求出DF、CD即可求出BF。
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