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5.3一次函数
一、一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.
（为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.
要点：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.
一、单选题
1．下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A．y=-8x B．y=8x2 C．y=8x-4 D．
【答案】A
【提示】形如y=kx的函数即为正比例函数，根据定义依次判断.
【解答】A. y=-8x 是正比例函数；
B. y=8x2未知数的次数是2，不是正比例函数；
C. y=8x-4不符合定义，不是正比例函数；
D.不符合定义，不是正比例函数，
故选：A.
【点睛】此题考查正比例函数的定义，熟记正比例函数的定义及解析式形式是解题的关键.
2．若y=x+2–b是正比例函数，则b的值是( )
A．0 B．–2 C．2 D．–0.5
【答案】C
【提示】根据正比例函数的定义可得关于b的方程，解出即可．
【解答】解：由正比例函数的定义可得：2-b=0，
解得：b=2．
故选C．
【点睛】考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
3．下列函数中，正比例函数有（ ）．
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【提示】利用正比例函数定义分析即可．
【解答】解：（1）是正比例函数，（2）中x次数不是1，不是正比例函数，（3）是反比例函数，不是正比例函数，（4）是正比例函数，（5）是一次函数，不是正比例是函数，（6）正比例是函数，（7）是二次函数，不是正比例函数，所以共3个
故选：C．
【点睛】此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．
4．下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】正比例函数解析式为：，将各点坐标代入求出k的值即可解答．
【解答】解：设正比例函数解析式为：，
将代入可得：，解得：；
将代入可得：，即；
将代入可得：，解得：；
将代入可得：，解得：；
∴点，，在正比例函数上，
点在正比例函数．
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数，解题的关键是掌握正比例函数解析式的求法．
5．当为何值时，函数是一次函数（ ）
A．2 B．－2 C．－2和2 D．3
【答案】C
【提示】根据一次函数的定义列方程求解即可．
【解答】∵函数是一次函数，
∴3-|m|=1且m-3≠0，
∴m=±2且m≠3，
∴m的值为2或-2，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
6．下列函数关系式：；；；，其中一次函数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】根据一次函数的定义解答即可．
【解答】解：是一次函数；
是一次函数；
，自变量x次数为2，不是一次函数；
，自变量x不能做分母，不是一次函数．
一次函数有个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．
7．已知函数是关于的正比例函数，则关于字母、的取值正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【提示】一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此可得，b-1=0，解出即可．
【解答】解：∵一次函数是正比例函数，
∴，b-1=0，
解得：，．
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
8．已知一次函数的图象经过点和，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【提示】代入A点坐标求一次函数解析式，再根据B点纵坐标代入解析式即可求解．
【解答】解：∵一次函数的图象经过点，
∴，
解得k=2，
∴一次函数解析式为：，
∵在一次函数上，
∴，
解得，
故选C．
【点睛】本题主要考查一次函数的基本概念以及基本性质，解本题的要点在于求出直线的解析式，从而得到答案．
9．下列说法中不成立的是（ ）
A．在y=3x﹣1中y+1与x成正比例 B．在y=﹣中y与x成正比例
C．在y=2（x+1）中y与x+1成正比例 D．在y=x+3中y与x成正比例
【答案】D
【解答】解：A.∵y=3x 1，∴y+1=3x，∴y+1与x成正比例，故本选项正确；
B.∵∴y与x成正比例，故本选项正确；
C.∵y=2(x+1)，∴y与x+1成正比例，故本选项正确；
D.∵y=x+3，不符合正比例函数的定义，故本选项错误．
故选：D．
10．对于一次函数y=kx+b(k，b为常数)，下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ）
x -1 0 1 2 3
y 2 5 8 12 14
A．5 B．8 C．12 D．14
【答案】C
【提示】经过观察5组自变量和相应的函数值得（-1，2），（0，5），（1，8），（3，14）符合解析式y=3x+5，（2，12）不符合，即可判定．
【解答】∵（-1，2），（0，5），（1，8），（3，14）符合解析式y=3x+5，当x=2时，y=11≠12
∴这个计算有误的函数值是12，
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式是解决本题的关键．
二、填空题
11．若两个变量x，y间的对应关系可以表示成__________的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的__________函数，即y＝kx（k≠0）．
【答案】 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0) 正比例
【解答】略
12．已知函数是正比例函数，则___________．
【答案】
【提示】根据正比例函数定义可得，且，再解即可．
【解答】解：由正比例函数的定义可得：，且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数定义，关键是掌握形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数．
13．正比例函数，当时，，这个函数的解析式为___________．
【答案】
【提示】根据题意，将，代入正比例函数直接求出值即可得到答案．
【解答】解：正比例函数，当时，，
，解得，
正比例函数解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式，根据正比例函数解析式，只需要知道一个点的坐标即可解出参数，熟练掌握待定系数法确定函数关系式的方法是解决问题的关键．
14．在下列函数中，是自变量，是因变量，则一次函数有___，正比例函数有___．（将代号填上即可）①；②；③；④；⑤．
【答案】 ①③④ ③
【提示】根据一次函数及正比例函数的定义，即可一一判定．
【解答】解：①是一次函数，不是正比例函数；
②不是一次函数；
③是正比例函数，因为正比例函数一定是一次函数，所以还是一次函数；
④是一次函数；
⑤既不是正比例函数也不是一次函数．
故答案为：①③④，③．
【点睛】本题考查了一次函数及正比例函数的定义，熟知正比例函数是一次函数的特例是解决本题的关键．
15．已知点P在直线上，且点P到y轴的距离为1，则点P的坐标为______．
【答案】或
【提示】根据点P到y轴的距离是1可得出点P的横坐标是，再求出其纵坐标的值即可．
【解答】解：∵点P在直线上，且点P到y轴的距离是1，
∴点P的横坐标是，
∴当时，；
当时，，
∴点P的坐标为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
16．一次函数y=-x+5的图象经过点A(a，b)，B(c，d)，则a(c+d)+b(d+c)=_________．
【答案】25
【提示】将点A(a，b)，B(c，d)代入解析式，得到a+b=5，c+d=5，再将a+b=5，c+d=5代入计算可得．
【解答】解：∵一次函数y=-x+5的图象经过点A(a，b)，B(c，d)，
∴-a+5=b，-c+5=d，
∴a+b=5，c+d=5，
∴a(c+d)+b(d+c)
=5a+5b
=5(a+b)
=5×5
=25，
故答案为：25．
【点睛】此题考查了一次函数的性质，代数式求值，正确理解一次函数图象上点的坐标符合解析式是解题的关键．
17．甲，乙两车分别从A，B两地沿直路同向匀速行驶，两车相距y（单位：m）与行驶时间x（单位：s）（0≤x≤60）的部分对应值如下表，则y与x的对应关系可用解析式表示为______．
时间 0 5 10 15 20
两车相距 300 275 250 225 200
【答案】y=300-5x（0≤x≤60）
【提示】根据表格可得x=0时，y=300，时间x每增加5s，两车的相距y对应减少25m，由此可得y与x的关系式．
【解答】解：由题意可得：x=0时，y=300，时间x每增加5s，两车的相距y对应减少25m，
∴y=300-25×=300-5x，
故答案为：y=300-5x（0≤x≤60）．
【点睛】本题考查函数关系式，解题关键是理解表格中数据的变化规律．
18．新定义：[a，b]为一次函数(a≠0，,a、b为实数)的“关联数”．若“关联数”为[3，m-2] 的一次函数是正比例函数，则点(1-m，1+m)在第_____象限．
【答案】二．
【提示】根据新定义列出一次函数解析式，再根据正比例函数的定义确定m的值，进而确定坐标、确定象限.
【解答】解：∵“关联数”为[3，m﹣2]的一次函数是正比例函数，
∴y＝3x+m﹣2是正比例函数，
∴m﹣2＝0，
解得：m＝2，
则1﹣m＝﹣1，1+m＝3，
故点（1﹣m，1+m）在第二象限．
故答案为二．
【点睛】本题属于新定义和正比例函数的定义，解答的关键运用新定义和正比例函数的概念确定m的值.
三、解答题
19．已知：y与x﹣2 成正比例，且x＝3时，y＝2．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当点A（a，2）在此函数图象上，求a的值．
【答案】（1）y＝2x﹣4；（2）3
【提示】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）将点A（a，2）代入（1）中的解析式，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵y与x﹣2 成正比例，
∴y＝k（x﹣2）．
把x＝3时，y＝2代入得：
2＝（3﹣2）k．
∴k＝2．
∴y与x之间的函数关系式为：y＝2x﹣4．
（2）点A（a，2）在此函数图象上，
∴2＝2a﹣4．
解得：a＝3．
∴a的值为3．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义以及求一次函数对应自变量，正比例函数一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数；一次函数y=kx+b（k≠0），当给定x时，只需将x的值代入解析式的自变量的位置，求出y即可．同理，当给定y时，只需将y的值代入解析式的自变量的位置，求出x即可．
20．已知．
（1）满足什么条件时，是一次函数？
（2）满足什么条件时，是正比例函数？
【答案】（1）；（2）．
【提示】（1）形如是一次函数，根据一次函数的定义解题；
（2）形如是正比例函数，根据正比例函数的定义解题.
【解答】（1）：当时为一次函数，
解得．
（2）：当时为正比例函数，
解得．
【点睛】本题考查一次函数、正比例函数的定义，其中涉及绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
21．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A(﹣3，6)．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y；
（3）当x取何值时，y=．
【答案】（1）y=﹣2x；（2）y=12；（3）x=﹣．
【提示】（1）设正比例函数解析式为y=kx，把点的坐标代入计算即可得解；
（2）把x=-6代入解析式解答即可；
（3）把y=代入解析式解答即可．
【解答】（1）设正比例函数解析式为y=kx，
∵图象经过点(﹣3，6)，
∴﹣3k=6，
解得k=﹣2，
所以，此函数的关系式是y=﹣2x；
（2）把x=﹣6代入解析式可得：y=12；
（3）把y=代入解析式可得：x=﹣．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，根据正比例函数的定义设出解析式，代入点的坐标进行计算是待定系数法的一般步骤．
22．已知一次函数的图象过，两点.
（1）求这个一次函数的关系式；
（2）试判断点是否在这个一次函数的图象上.
【答案】（1）.；（2）点不在这个一次函数图象上.
【提示】（1）由一次函数的图象过，两点，可求一次函数解析式；（2）把代入（1）的函数解析式即可判断．
【解答】解：（1）设一次函数关系式为，因为图象过，两点，所以，，解得，，所以表达式为.
（2）当时，，所以点不在这个一次函数图象上.
【点睛】本题考查了一次函数的解析式和代入求值的知识点，准确求出解析式是解决问题的关键．
23．如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．
设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离．
（1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数；
（2）当时，求的值．
【答案】（1），是的一次函数；（2）140
【提示】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案．
【解答】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km）
∵甲、乙两地相距100km
∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km
∴y=100+80x
∴y是x的一次函数；
（2）当时，得：y=100+80×0.5=140．
【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
24．为增强公民的节水意识，某市制订了如下用水标准：每户每月的用水量不超过10吨时，水价为每吨2元；超过10吨时，超过的部分按每吨3元收费.设该市居民李大妈家某月用水量为x吨，交水费y元，请回答下列问题：
（1）若李大妈家5月份用水8.5吨，应交水费多少元？
（2）若李大妈家6月份交水费35元，这个月李大妈家用水多少吨？
（3）请写出y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并填表.
用水量x/吨 3 10 15
水费y/元 10 26 38
【答案】（1）17元；（2）15吨.；（3），.6，5，20，12，35，16.
【提示】（1）根据不超过10吨时，水价为每吨2元，直接计算；
（2）根据所交水费35元可知6月份用水超过10吨，设出未知数，用方程思想求解即可；
（3）分和两种情况，根据题意分别列出函数关系式，然后代入x求出对应的y即可填表.
【解答】.解：（1）（元）.所以李大妈家5月份应交水费17元；
（2）因为，所以李大妈家6月份用水超过10吨，
设这个月李大妈家用水x吨，那么，
解得，
所以这个月李大妈家用水15吨；
（3）y与x之间的函数关系式是；
当x=3，y=2x=6，
当y=10，10=2x，则x=5，
当x=10，y=2x=20，
当y=26，26=3x-10，则x=12，
当x=15，y=3x-10=35，
当y=38，38=3x-10，则x=16，
表格中从左至右依次填：6 ，5 ，20 ，12 ，35 ，16.
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，得出相应的函数关系式．
25．【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“互异数”．
【发现】若n是一个“互异数”，任意两个数位上的数字对调后得到三个不同的新三位数，则这三个新三位数的和是111的整数倍，记这个整数为．
【例如】若，对调百位数字与十位数字得到315，对调百位数字与个位数字得到531，对调十位数字与个位数字得到153，则这三个新三位数的和为，所以．
【解答】
（1）求的值；
（2）请你用学过的整式的加减知识说明上述发现是正确的：
林林同学说理过程如下：设“互异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则．（请你继续完成林林同学的说理过程）
（3）若s，t都是“互异数”，，（其中x，y均为小于10的正整数），，求的最大值．
【答案】（1）11；（2）证明见解析；（3）9
【提示】（1）根据题目中的定义，将245任意两个数位上的数字对调，将得到的三个数的和除以111得出结果；
（2）根据题意，将原数任意两个数位上的数字对调，得到，，，它们的和是，是111的整数倍；
（3）根据题意，的百位的数字是9，十位的数字是，个位的数字是4，的百位的数字是1，十位的数字是7，个位的数字是，由（2）发现的规律，，，即可求出结果．
【解答】解：（1），对调百位数字与十位数字得到425，对调百位数字与个位数字得到542，对调十位数字与个位数字得到254，则这三个新三位数的和为，，
∴；
（2）设“互异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则，
对调百位数字与十位数字得到，
对调百位数字与个位数字得到，
对调十位数字与个位数字得到，
三个数的和是，
，
故结论正确；
（3）∵，且的数是小于10的正整数，
∴这个数是个三位数，百位的数字是9，十位的数字是，个位的数字是4，
∵，且的数是小于10的正整数，
∴这个数是个三位数，百位的数字是1，十位的数字是7，个位的数字是，
由（2）中发现的规律，，，
∵，
∴，即，
则，
∵，是小于10的正整数，
∴当时，取最大值，最大值是．
【点睛】本题考查新定义题型，解题的关键是掌握整式的加减运算法则，一次函数最值的求解．
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5.3一次函数
一、一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.
（为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.
要点：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.
一、单选题
1．下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A．y=-8x B．y=8x2 C．y=8x-4 D．
2．若y=x+2–b是正比例函数，则b的值是( )
A．0 B．–2 C．2 D．–0.5
3．下列函数中，正比例函数有（ ）．
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（ ）
A． B． C． D．
5．当为何值时，函数是一次函数（ ）
A．2 B．－2 C．－2和2 D．3
6．下列函数关系式：；；；，其中一次函数的个数是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数是关于的正比例函数，则关于字母、的取值正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．已知一次函数的图象经过点和，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．下列说法中不成立的是（ ）
A．在y=3x﹣1中y+1与x成正比例 B．在y=﹣中y与x成正比例
C．在y=2（x+1）中y与x+1成正比例 D．在y=x+3中y与x成正比例
10．对于一次函数y=kx+b(k，b为常数)，下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ）
x -1 0 1 2 3
y 2 5 8 12 14
A．5 B．8 C．12 D．14
二、填空题
11．若两个变量x，y间的对应关系可以表示成__________的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的__________函数，即y＝kx（k≠0）．
12．已知函数是正比例函数，则___________．
13．正比例函数，当时，，这个函数的解析式为___________．
14．在下列函数中，是自变量，是因变量，则一次函数有___，正比例函数有___．（将代号填上即可）①；②；③；④；⑤．
15．已知点P在直线上，且点P到y轴的距离为1，则点P的坐标为______．
16．一次函数y=-x+5的图象经过点A(a，b)，B(c，d)，则a(c+d)+b(d+c)=_________．
17．甲，乙两车分别从A，B两地沿直路同向匀速行驶，两车相距y（单位：m）与行驶时间x（单位：s）（0≤x≤60）的部分对应值如下表，则y与x的对应关系可用解析式表示为______．
时间 0 5 10 15 20
两车相距 300 275 250 225 200
18．新定义：[a，b]为一次函数(a≠0，,a、b为实数)的“关联数”．若“关联数”为[3，m-2] 的一次函数是正比例函数，则点(1-m，1+m)在第_____象限．
三、解答题
19．已知：y与x﹣2 成正比例，且x＝3时，y＝2．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当点A（a，2）在此函数图象上，求a的值．
20．已知．
（1）满足什么条件时，是一次函数？
（2）满足什么条件时，是正比例函数？
21．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A(﹣3，6)．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y；
（3）当x取何值时，y=．
22．已知一次函数的图象过，两点.
（1）求这个一次函数的关系式；
（2）试判断点是否在这个一次函数的图象上.
23．如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．
设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离．
（1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数；
（2）当时，求的值．
24．为增强公民的节水意识，某市制订了如下用水标准：每户每月的用水量不超过10吨时，水价为每吨2元；超过10吨时，超过的部分按每吨3元收费.设该市居民李大妈家某月用水量为x吨，交水费y元，请回答下列问题：
（1）若李大妈家5月份用水8.5吨，应交水费多少元？
（2）若李大妈家6月份交水费35元，这个月李大妈家用水多少吨？
（3）请写出y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并填表.
用水量x/吨 3 10 15
水费y/元 10 26 38
25．【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“互异数”．
【发现】若n是一个“互异数”，任意两个数位上的数字对调后得到三个不同的新三位数，则这三个新三位数的和是111的整数倍，记这个整数为．
【例如】若，对调百位数字与十位数字得到315，对调百位数字与个位数字得到531，对调十位数字与个位数字得到153，则这三个新三位数的和为，所以．
【解答】
（1）求的值；
（2）请你用学过的整式的加减知识说明上述发现是正确的：
林林同学说理过程如下：设“互异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则．（请你继续完成林林同学的说理过程）
（3）若s，t都是“互异数”，，（其中x，y均为小于10的正整数），，求的最大值．
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