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5.1-5.2 变量与常量 函数
一、变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
要点：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.
二、函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
要点：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
三、函数值
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
要点：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
四、自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
要点：自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
五、函数的几种表达方式：
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
要点：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
六、函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
要点：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
一、单选题
1．下列关于圆的周长与半径之间的关系式中，说法正确的是（ ）
A．、是变量，是常量 B．、是变量，2是常量
C．、是变量，2是常量 D．、是变量，是常量
2．下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边与面积 D．速度一定时，行驶的路程与时间
3．下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在式子①，②，③，④⑤中，y是x的函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下表是某报纸公布的世界人口数据情况：表中的变量（ ）
年份 1957 1974 1987 1999 2010
人口数 30亿 40亿 50亿 60亿 70亿
A．仅有一个，是时间（年份） B．仅有一个，是人口数
C．有两个，一个是人口数，另一个是时间（年份） D．一个也没有
7．弹簧挂重物会伸长，测得弹簧长度最长为20cm，与所挂物体重量间有下面的关系．
x 0 1 2 3 4 ……
y 8 8.5 9 9.5 10 ……
下列说法不正确的是（ ）A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量 B．所挂物体为6kg，弹簧长度为11cm
C．物体每增加1kg，弹簧长度就增加 D．挂30kg物体时一定比原长增加15cm
8．某函数满足条件：当时，；当时，．给出结论①这个函数一定是，②这个函数可以是，③这个函数可以是，④有无数多个函数满足这样的条件.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．此图象中所反映的过程是张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又走到文具店去买笔，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．下列说法中正确的是（ ）
A．体育场离张强家5千米 B．张强在体育场锻炼了30分钟
C．体育场离文具店1千米 D．张强从文具店回家的平均速度是3千米/时
10．一水池中有水，如果每分钟放出的水，水池里的水量与放水时间有如下关系：
放水时间（分） 1 2 3 4 …
水池中水量 38 36 34 32 …
下列数据中满足此表格的是（ ）A．放水时间8分钟，水池中水量 B．放水时间20分钟，水池中水量
C．放水时间26分钟，水池中水量 D．放水时间18分钟，水池中水量
二、填空题
11．每张电影票的售价为10元，某日共售出x张票，票房收入为y元，在这一问题中，_____是常量，_____是变量．
12．长方形的周长为20，宽为x．若设长方形的面积为S，则面积S与宽x之间的关系是________．
13．城市绿道串连起绿地、公园、人行横道和自行车道改善了城市的交通环境，引导市民绿色出行截至2019年年底，某市城市绿道达2000千米，该市人均绿道长度y（单位：千米）随人口数x的变化而变化，指出这个问题中的所有变量________________．
14．完成以下问题：
（1）某人持续以a米/分钟的速度t分钟内跑了s米，其中常量是_______________ ，变量是_______________；
（2）在t分钟内，不同的人以不同的速度a米/分钟跑了s米，其中常量是______________，变量是 _______________；
（3）s米的路程不同的人以不同的速度a米/分钟各需跑t分钟，其中常量是 ____________，变量是 _______________；
（4）根据以上叙述，写一句关于常量与变量的结论： _________________________．
15．变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值为________．
16．函数y= 中，自变量x的取值范围为_____．
17．在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系如下表：
物体的质量（kg） 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5
写出y与x的关系式________．
18．甲乙两位同学住在同一小区，学校与小区相距2700米，一天甲从小区步行出发去学校，12分钟后乙先骑共享自行车，途经学校又骑行一段路到达还车点后，立即步行走回学校．已知步行速度甲比乙每分钟快5米．图中的折线表示甲乙两人之间的距离（米）与甲步行时间（分钟）的函数关系图像，根据图像可知：甲步行速度为______米/分；乙骑自行车的速度为______米/分；乙到还车点时，甲乙两人相距_______米．
三、解答题
19．写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
（1）分针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式n=6t；
（2）某市居民用电价格是0.58元/度，居民生活应付电费y（元）与用电量x（度）之间满足y=0.58x．
20．分析并指出下列关系中的变量与常量．
(1)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h (m)与它下落的时间t (s)的关系式是h＝gt2 (其中g＝9.8 m/s2)；
(2)已知苹果每千克的售价是6.8元，则购买数量m千克与所付款y元之间的关系式是y＝6.8m.
21．设路程为s km，速度为v km/h，时间为t h，指出下列各式中的常量与变量．
(1)v＝；
(2)s＝15t－2t2；
(3)vt＝100.
22．一辆小汽车在公路上从静止到启动5s内的速度随时间的变化情况如下表：
时间t/s 0 1 2 3 4 5
速度v/m/s 0 0.3 1.3 2.8 2.6 4.5
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？
(2)随着时间（s）的变化，速度v（m/s）的变化趋势是什么？
(3)当t每增加1s，v的变化情况相同吗？在哪个时间段（相邻两秒之间，如1s～2s）内，v增加的最快？
23．一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，两车所行的路程s（千米）与慢车行驶的时间x（时）关系如图所示．根据图像解决下列问题：
(1)快车比慢车晚 小时出发，快车比慢车早到 小时．快车追上慢车时，快车行驶了 千米．
(2)求A、B两地相距多少千米？
24．某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数(人)与每月利润(利润=收入费用-支出费用)(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)；
（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 ……
（元） -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 ……
（1）在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量；(填中文)
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为_______元？
（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达_______人．
25．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地相向而行，在每段行驶中分别保持匀速行驶，图中的折线与线段分别表示轿车和货车离甲地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系．
（1）观察图象，甲、乙两地相距多少千米？轿车在途中停留了多长时间？
（2）通过计算，求货车速度和图象对应的轿车速度；
（3）求货车出发多长时间与轿车相遇？
（4）行驶时间为多少小时，两车在相遇后相距千米？
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5.1-5.2 变量与常量 函数
一、变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
要点：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.
二、函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
要点：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
三、函数值
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
要点：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
四、自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
要点：自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
五、函数的几种表达方式：
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
要点：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
六、函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
要点：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
一、单选题
1．下列关于圆的周长与半径之间的关系式中，说法正确的是（ ）
A．、是变量，是常量 B．、是变量，2是常量
C．、是变量，2是常量 D．、是变量，是常量
【答案】D
【提示】根据变量和常量的定义判断即可．
【解答】解：关于圆的周长与半径之间的关系式中，、是变量，是常量．
故选：．
【点睛】本题考查了变量和常量的定义，解题关键是明确变量和常量的定义，注意：是常量．
2．下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边与面积 D．速度一定时，行驶的路程与时间
【答案】C
【提示】在一个变化过程中，存在两个变量 对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与之对应，我们就说：是的函数，根据函数的定义逐一判断即可得到答案.
【解答】解：长方形的宽一定，其长与面积，符合函数定义，故不符合题意；
正方形的周长与面积，符合函数定义，故不符合题意；
等腰三角形的底边与面积，在这个变化过程中，还有底边上的高是变量，所以不符合函数定义，故符合题意；
速度一定时，行驶的路程与时间，符合函数定义，故不符合题意；
故选：
【点睛】本题考查的是函数的定义，掌握“函数的定义判断变量之间是不是函数关系”是解题的关键.
3．下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可．
【解答】A、部分自变量对应多个因变量，不是函数，不符合题意；
B、是函数，符合题意；
C、当时，对应3个值，不是函数，不符合题意；
D、部分自变量对应2个因变量，不是函数，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．
4．在式子①，②，③，④⑤中，y是x的函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【提示】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可逐一判断．
【解答】解：在①，②，③，④中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数；
⑤对于x的每一个取值，y都有一个或两个值与之对应，所以y不是x的函数；
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的概念，解题关键是明确满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，两个变量为函数关系．
5．下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意；
B、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意；
C、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意；
D、当时，有两个的值与其对应，所以不是的函数，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数，熟记函数的定义（一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数）是解题关键．
6．下表是某报纸公布的世界人口数据情况：表中的变量（ ）
年份 1957 1974 1987 1999 2010
人口数 30亿 40亿 50亿 60亿 70亿
A．仅有一个，是时间（年份） B．仅有一个，是人口数
C．有两个，一个是人口数，另一个是时间（年份） D．一个也没有
【答案】C
【提示】根据变量的定义直接判断即可．
【解答】解；观察表格，时间在变，人口在变，故正确；
故选：．
【点睛】本题考查了变量的定义，解题关键是明确变量的定义，能够正确判断．
7．弹簧挂重物会伸长，测得弹簧长度最长为20cm，与所挂物体重量间有下面的关系．
x 0 1 2 3 4 ……
y 8 8.5 9 9.5 10 ……
下列说法不正确的是（ ）A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量 B．所挂物体为6kg，弹簧长度为11cm
C．物体每增加1kg，弹簧长度就增加 D．挂30kg物体时一定比原长增加15cm
【答案】D
【提示】弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，由表格数据可知物体每增加，弹簧长度就增加，可以计算当所挂物体为或时弹簧的长度，但应注意弹簧的最大长度为．
【解答】解：A．因为弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，所以是自变量，是因变量．故本选项正确；
B．当所挂物体为时，弹簧的长度为．故本选项正确；
C．从表格数据中分析可知，物体每增加，弹簧长度就增加．故本选项正确；
D．当所挂物体为时，弹簧长度为．故本选项不正确．
故选：D
【点睛】本题考查了变量、自变量、因变量的概念，认真审题能从题目中抽取出有效信息是解题的关键．
8．某函数满足条件：当时，；当时，．给出结论①这个函数一定是，②这个函数可以是，③这个函数可以是，④有无数多个函数满足这样的条件.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【提示】分别把，代入①②③中的函数关系式求解的值，可判断①②③，再把条件转化为：函数经过两个点，再利用数形结合的方法判断④，即可得到答案.
【解答】解：对于，
满足：当时，；当时，，
但不能说：这个函数一定是，故①不符合题意；
对于，
满足：当时，；当时，，
所以这个函数可以是，故②符合题意；
对于，
当时，；当时，，故③不符合题意；
由题意可得：，满足给出的条件，
其实只要满足经过这两个点的函数都满足条件，
这样的函数有无数个，故④符合题意.
故选：
【点睛】本题考查的是函数图象上点的坐标特点，函数的性质，掌握“只要满足经过这两个点的函数都满足条件”是解题的关键.
9．此图象中所反映的过程是张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又走到文具店去买笔，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．下列说法中正确的是（ ）
A．体育场离张强家5千米 B．张强在体育场锻炼了30分钟
C．体育场离文具店1千米 D．张强从文具店回家的平均速度是3千米/时
【答案】C
【提示】A选项，因为张强从家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为体育场离张强家的距离；B选项，第一段平线表示张强在体育场锻炼的时间；C选项，根据观察函数图象的横坐标，可得体育场与文具店的距离；D选项，先求出张强家离文具店的距离，再求出从文具店到家的时间，求出二者的比值即可．
【解答】解：由题意可知： A．体育场离张强家2.5千米，原说法错误，故本选项不合题意；
B．张强在体育场锻炼的时间为：30-15=15（分钟），原说法错误，故本选项不合题意；
C．由函数图象可知，张强家离文具店1.5千米，离体育场2.5千米，所以体育场离文具店1千米，原说法正确，故本选项符合题意；
D．从图象可知：文具店离张强家1.5千米，张强从文具店散步走回家花了100-65=35分， ∴张强从文具店回家的平均速度是（千米/时），原说法错误，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解答此题的关键．
10．一水池中有水，如果每分钟放出的水，水池里的水量与放水时间有如下关系：
放水时间（分） 1 2 3 4 …
水池中水量 38 36 34 32 …
下列数据中满足此表格的是（ ）A．放水时间8分钟，水池中水量 B．放水时间20分钟，水池中水量
C．放水时间26分钟，水池中水量 D．放水时间18分钟，水池中水量
【答案】D
【提示】根据题意可得蓄水量y=40-2t，从而进行各选项的判断即可．
【解答】设水池中水量为y，放水时间为t，则根据表格数据可得．
A项，放水时间8分钟，水池中水量为，故本选项错误
B项，放水时间20分钟，水池中水量为，故本选项错误；
C项，放水时间26分钟，水池中水量为，故本选项错误；
D项，放水时间18分钟，水池中水量为，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了函数关系式的知识，解答本题的关键是根据题意确定函数关系式．
二、填空题
11．每张电影票的售价为10元，某日共售出x张票，票房收入为y元，在这一问题中，_____是常量，_____是变量．
【答案】 电影票的售价 电影票的张数，票房收入．
【提示】根据常量，变量的定义进行填空即可．
【解答】解：常量是电影票的售价，变量是电影票的张数，票房收入，
故答案为电影票的售价；电影票的张数，票房收入．
【点睛】本题考查了常量和变量，掌握常量和变量的定义是解题的关键．
12．长方形的周长为20，宽为x．若设长方形的面积为S，则面积S与宽x之间的关系是________．
【答案】
【提示】先用x表示出长方形的长，再根据长方形的面积公式解答即可．
【解答】解：因为长方形的周长为20，宽为x，所以长方形的长为(10－x)，所以长方形的面积S与宽x的关系式是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，准确掌握长方形的周长与面积公式是解题的关键．
13．城市绿道串连起绿地、公园、人行横道和自行车道改善了城市的交通环境，引导市民绿色出行截至2019年年底，某市城市绿道达2000千米，该市人均绿道长度y（单位：千米）随人口数x的变化而变化，指出这个问题中的所有变量________________．
【答案】人均绿道长度y ，人口数x
【提示】根据常量与变量的定义进行填空即可．
【解答】解：这个问题中的所有变量是该市人均绿道长度与人口数，
故答案为：人均绿道长度y ，人口数x．
【点睛】本题考查了常量与变量，掌握常量与变量的定义是解题的关键．
14．完成以下问题：
（1）某人持续以a米/分钟的速度t分钟内跑了s米，其中常量是_______________ ，变量是_______________；
（2）在t分钟内，不同的人以不同的速度a米/分钟跑了s米，其中常量是______________，变量是 _______________；
（3）s米的路程不同的人以不同的速度a米/分钟各需跑t分钟，其中常量是 ____________，变量是 _______________；
（4）根据以上叙述，写一句关于常量与变量的结论： _________________________．
【答案】 （1）a；t，s；（2）t；a，s；（3）s；t，a；（4）在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
【解答】（1）某人持续以a米/分钟的速度t分钟内跑了s米，其中常量是a，变量是t，s；（2）在t分钟内，不同的人以不同的速度a米/分钟跑了s米，其中常量是t，变量是a，s；（3）s米的路程不同的人以不同的速度a米/分钟各需跑t分钟，其中常量是s，变量是t，a；（4）在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
故答案为(1).a；t，s；(2).t；a，s；(3).s；t，a；(4).在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
15．变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值为________．
【答案】17
【提示】把x= 6代入y= 2x + 5进行计算即可．
【解答】解：把x=6代入y=2x+5得，y=2×6＋5= 17，
故答案为：17．
【点睛】本题考查函数值，理解函数值的意义，把x= 6代入y= 2x + 5进行计算是解决问题的关键．
16．函数y= 中，自变量x的取值范围为_____．
【答案】x≠6．
【提示】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x-6≠0，解得x的范围．
【解答】根据题意得：x 6≠0，
解得：x≠6.
故答案为x≠6.
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是熟练的掌握分式的意义.
17．在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系如下表：
物体的质量（kg） 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5
写出y与x的关系式________．
【答案】y=12+0.5x
【提示】由表中的数据可知，x=0时，y=12，并且每增加1千克的重量，长度增加0.5cm，所以y=0.5x+12．
【解答】解：根据上表y与x的关系式是：y=12+0.5x．
故答案为：y=12+0.5x
【点睛】本题考查了函数关系式，需仔细分析表中的数据，进而解决问题；关键是写出解析式．
18．甲乙两位同学住在同一小区，学校与小区相距2700米，一天甲从小区步行出发去学校，12分钟后乙先骑共享自行车，途经学校又骑行一段路到达还车点后，立即步行走回学校．已知步行速度甲比乙每分钟快5米．图中的折线表示甲乙两人之间的距离（米）与甲步行时间（分钟）的函数关系图像，根据图像可知：甲步行速度为______米/分；乙骑自行车的速度为______米/分；乙到还车点时，甲乙两人相距_______米．
【答案】 80 200 840
【提示】根据甲12分钟步行了960米可得甲步行的速度，根据乙骑自行车8分钟行驶的路程比甲多960米即可得出乙骑自行车的速度；根据乙骑自行车的速度和乙步行的速度求出c的值，进而求出乙到还车点时，甲、乙两人的距离．
【解答】解：由题意得：甲步行的速度为：960÷12=80（米/分），
乙骑自行车的速度为：80+960÷（20-12）=200（米/分），
乙步行的速度为：80-5=75（米/分），
乙全程：200（c-12）-75（31-c）=2700，解得c=27，
所以乙骑自行车的路程为：200×（27-12）=3000（米），
所以自行车还车点距离学校为：3000-2700=300（米），
乙到还车点时，乙的路程为3000米，
甲步行的路程为：80×27=2160（米），
此时两人相距：3000-2160=840（米）．
故答案为：80，200，840
【点睛】本题考查从函数图象中获取信息，解答本题的关键是明确题意，理解点的坐标的含义．
三、解答题
19．写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
（1）分针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式n=6t；
（2）某市居民用电价格是0.58元/度，居民生活应付电费y（元）与用电量x（度）之间满足y=0.58x．
【答案】(1)常量：6；变量：n，t.(2)常量：0.58；变量y，x
【提示】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．
【解答】（1）分针旋转一周内，旋转的角度n(度)与旋转所需要的时间t(分)之间的关系式n＝6t中，常量：6；变量：n，t；
(2)某市居民用电价格是0.58元/度，居民生活应付电费y(元)与用电量x(度)之间满足y＝0.58x中，常量：0.58；变量：y，x.
【点睛】本题考查了常量与变量的知识，属于基础题，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．
20．分析并指出下列关系中的变量与常量．
(1)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h (m)与它下落的时间t (s)的关系式是h＝gt2 (其中g＝9.8 m/s2)；
(2)已知苹果每千克的售价是6.8元，则购买数量m千克与所付款y元之间的关系式是y＝6.8m.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【提示】根据常量与变量的性质进行作答.
【解答】(1) 解：变量是h，t，常量是g．
(2) 解：变量是m，y，常量是6.8．
【点睛】本题考查了常量与变量的性质，熟练掌握常量与变量的性质是本题解题关键.
21．设路程为s km，速度为v km/h，时间为t h，指出下列各式中的常量与变量．
(1)v＝；
(2)s＝15t－2t2；
(3)vt＝100.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【提示】根据常量与变量的性质进行作答.
【解答】(1)常量是60，变量是v，s
(2)常量是15，－2，变量是s，t
(3)常量是100，变量是v，t
【点睛】本题考查了常量与变量的性质，熟练掌握常量与变量的性质是本题解题关键.
22．一辆小汽车在公路上从静止到启动5s内的速度随时间的变化情况如下表：
时间t/s 0 1 2 3 4 5
速度v/m/s 0 0.3 1.3 2.8 2.6 4.5
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？
(2)随着时间（s）的变化，速度v（m/s）的变化趋势是什么？
(3)当t每增加1s，v的变化情况相同吗？在哪个时间段（相邻两秒之间，如1s～2s）内，v增加的最快？
【答案】(1)时间与速度之间的关系
(2)t从0～3s和4～5s，v随着t的增大而增大，而t从3～4s，v随着t的增大而减小
(3)不相同，在第4～5s时，v增加的最快
【提示】（1）根据表中的数据，即可得出两个变量；
（2）根据时间与速度之间的关系，即可求出的变化趋势；
（3）根据表中的数据可得出的变化情况以及在哪秒钟，的增加最大．
（1）
上表反映了时间与速度之间的关系；
（2）
v的变化趋势是t从0～3s和4～5s，v随着t的增大而增大，
而t从3～4s，v随着t的增大而减小．
（3）
在0～1s时，v增加0.3m/s；
在1～2s时，，v增加1m/s；
在2～3s时，，v增加1.5m/s；
在3～4s时，，v减小0.2m/s；
在4～5s时，，v增加1.9m/s；
所以当t每增加1s，v的变化情况不相同，在第4～5s时，v增加得最快．
【点睛】本题主要考查函数的表示方法，常量与变量；关键是理解题意判断常量与变量，然后结合图表得到问题的答案即可．
23．一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，两车所行的路程s（千米）与慢车行驶的时间x（时）关系如图所示．根据图像解决下列问题：
(1)快车比慢车晚 小时出发，快车比慢车早到 小时．快车追上慢车时，快车行驶了 千米．
(2)求A、B两地相距多少千米？
【答案】(1)2，4，276
(2)828千米
【提示】（1）根据函数图像中的数据，可以写出快车比慢车晚几小时出发，快车比慢车早到几小时，快车追上慢车时，快车行驶了多少千米；
（2）根据图像中的数据，可以计算出慢车的速度，然后根据路程＝速度×时间，即可计算出A、B两地相距多少千米．
（1）
解：由图像可得，
慢车比快车晚2小时出发，快车比慢车早到18﹣14＝4（小时），快车追上慢车时，快行驶了276千米，
故答案为：2，4，276；
（2）
解：由图像可得，
慢车的速度为：276÷6＝46（千米/时），
46×18＝828（千米），
答：A、B两地相距828千米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
24．某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数(人)与每月利润(利润=收入费用-支出费用)(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)；
（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 ……
（元） -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 ……
（1）在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量；(填中文)
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为_______元？
（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达_______人．
【答案】（1）每月的乘车人数，每月利润；（2）2000；（3）3000；（4）4500．
【提示】（1）直接利用常量与变量的定义分析即可得答案；
（2）直接利用表中数据分析得出答案；
（3）利用由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，进而得出答案；
（4）由（3）得出当利润为5000元时乘客人数，即可得出答案．
【解答】（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数是自变量，每月利润是因变量；
（2）∵观察表中数据可知，当每月乘客量达到2000人以上时，每月利润为0，
∴每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）∵每月乘客量增加500人时，每月利润增加1000元，
∴当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元；
（4）∵每月乘客量增加500人时，每月利润增加1000元，
∴若5月份想获得利润5000元，5月份的乘客量需达4500人．
【点睛】本题主要考查了常量与变量以及函数的表示方法，正确把握函数的定义是解题关键．
25．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地相向而行，在每段行驶中分别保持匀速行驶，图中的折线与线段分别表示轿车和货车离甲地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系．
（1）观察图象，甲、乙两地相距多少千米？轿车在途中停留了多长时间？
（2）通过计算，求货车速度和图象对应的轿车速度；
（3）求货车出发多长时间与轿车相遇？
（4）行驶时间为多少小时，两车在相遇后相距千米？
【答案】（1）千米；0.5小时
（2）60千米/小时；70千米/小时
（3）小时
（4）小时
【提示】（1）直接观察图象即可得出结果；
（2）由图象知，货车从乙地到甲地共行驶4.5小时，轿车从A到B段的路程为（270-60）千米，时间为（4.5-1.5）小时，由路程÷时间即可求得货车和轿车的速度；
（3）设货车出发小时与轿车相遇，由甲行驶的路程+乙行驶的路程=270列方程，解之即可得出相遇的时间，注意要减去轿车中途停留的时间；
（4）设相遇后小时，两车相距千米，由甲行驶的路程+乙行驶的路程=130列方程，解出x，再加上相遇时间即可得出答案．
【解答】解：（1）由图象可知，甲、乙两地相距千米，
段表示轿车在途中停留，停留了小时．
（2）货车的速度：千米/小时；
段的轿车速度：千米/小时．
（3）设货车出发小时与轿车相遇，
．
所以货车出发小时后与轿车相遇．
（4）由（3）可知，两车在小时时相遇，
设相遇后小时，两车相距千米，
，解得，
所以行驶时间小时，两车在相遇后相距千米．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、函数的图象，解答的关键是能从图象中提取有效数据，寻找等量关系，列出对应的方程．
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