垂线
一、选择题（共20小题）
1、下列说法中，正确的是（ ）
A、相交的两条直线叫做垂直 B、经过一点可以画两条直线
C、平角是一条直线 D、两点之间的所有连线中，线段最短
2、下列时刻时钟的时针与分针互相垂直的是（ ）
A、3点半 B、6点
C、8点半 D、3点
3、如图，如果M点在∠ANB的角平分线上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么和AM相等的线段一定是（ ）
A、BM B、BN
C、MN D、AN
4、如图，AO⊥BO，射线OC平分∠AOB，射线OD平分∠BOC，射线OE平分∠AOD，则∠COE等于（ ）
A、11° B、11.25°
C、11.45° D、12.25°
5、如图，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ．则∠SQT等于（ ）
A、42° B、64°
C、48° D、24°
6、如图，直线EO⊥BC于点O，∠BOC=3∠1，OD平分∠AOC，则∠2的度数是（ ）
A、30° B、40°
C、60° D、以上结果都不正确
7、如图，OA⊥OC，OB⊥OD，下列结论不正确的是（ ）
A、∠AOB=∠COD B、∠BOC+∠AOD=180°
C、∠AOB+∠COD=90° D、∠AOB+∠BOC=90°
8、如图所示，OB⊥OD，OC⊥OA，∠BOC=32°，那么∠AOD等于（ ）
A、148° B、132°
C、128° D、90°
9、如图，直线AB、CD相交于O，EO⊥AB，垂足为O，图中∠EOD与∠AOC的关系是（ ）
A、对顶角 B、同位角
C、互补 D、互余
10、如图∠BCA=Rt∠，CD⊥AB，则图中与∠A互余的角有（ ）个．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
11、如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，则图中，∠1与∠2的关系是（ ）
A、对顶角 B、相等
C、互余 D、互补
12、如图所示，已知A、O、B在同一条直线上，且∠AOC=∠BOC=∠EOF=90°，则∠AOE的余角有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
13、∠1的两边与∠2的两边分别垂直，则∠1与∠2（ ）
A、相等 B、互余
C、互补 D、相等或互补
14、如图所示，AO⊥OC，BO⊥DO，则下列结论正确的是（ ）
A、∠1=∠2 B、∠2=∠3
C、∠1=∠3 D、∠1=∠2=∠3
15、如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，则图中∠1与∠2的关系是（ ）
A、相等 B、互余
C、互补 D、没有关系
16、下列正确的是：①所有直角都相等；②所有的余角都相等；③等角的余角都相等；④相等的角都是直角
（ ）
A、①和② B、①和③
C、②和③ D、③和④
17、直线AB上有一点O，OM⊥AB于O，另有直角∠COD在平角∠AOB内绕O点左右摆动（OC与OA、OD与OB不重合），在摆动时，始终与∠MOD保持相等的角是（ ）
A、∠BOD B、∠AOC
C、∠COM D、没有
18、如图，直线AB、MN相交于一点O，OC⊥AB，则∠1的邻补角是（ ）
A、∠2 B、∠AOC
C、∠NOC D、∠MOB
19、如图，AB⊥CD于点O，直线EF过点O，则∠1的邻补角是（ ）
A、∠2 B、∠COE
C、∠BOF D、∠BOC
20、下面的语句中，不正确的是（ ）
A、对顶角相等 B、相等的角是对顶角
C、线段AB和线段BA表示同一条线段 D、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
二、填空题（共5小题）
21、如图，OA⊥OB，∠BOC=30°，OD平分∠AOC，则∠BOD= _________ 度．
22、如图，已知DE⊥DB于D，∠ADE=60°，DC是∠ADB的平分线，则∠ADC= _________ °．
23、如图，O是直线BF上的一点，OA⊥OE，OE平分∠FOC，∠AOF=130°，则∠AOC= _________ °．
24、如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠1=50°，则∠2= _________ 度．
25、如图，已知AO⊥CO，BO⊥DO，且∠BOC=50°，则∠AOD= _________ 度．
三、解答题（共5小题）
26、平面上有A，B，C三点，如图．
（1）画线段BC，射线AC，直线AB；
（2）在射线AC上取D点，使AC=CD；
（3）取AB中点E；
（4）过A作BC的垂线AH，H是垂足；
（5）连接BD；
（6）量AH，CE及BD的长，你有何判断？
（7）量∠ACE，∠ADB的度数，你有何判断？
27、如图，在表盘上请你画出时针与分针，使时针与分针恰好互相垂直，且此时恰好为整点．
（1）此时表示的时间是 _________ 点．
（2）一天24小时，时针与分针互相垂直 _________ 次．
28、小明坐在学校的凉亭（A）中，绘制了学校的一张简图（如图所示），体育馆在凉亭的正北方向．测得：∠DAE=109°35′，∠EAF=61°35′，且AE平分∠FAC，AB⊥AC．
问：图书馆、实验楼、教学楼、校门相对凉亭在什么方向？（要求有相应的运算过程）
29、如图，直线AB与CD相交于点0，射线OE平分∠BOF，∠AOD+∠COB=40°，∠DOF：∠FOB=1：7．
（1）求∠AOD和∠EOB的度数；
（2）你发现射线OD是一条什么特殊的线？请说明理由；
（3）你发现射线OE与直线CD有什么位置关系？请说明理由．
30、知：如图，①、②，解答下面各题：
（1）图①中，∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，求∠EPF的度数．
（2）图②中，点P在∠AOB外部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，那么∠P与∠O有什么关系？为什么？
（3）通过上面这两道题，你能说出如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？
垂线段最短
一、选择题（共16小题）
1、下列说法中，正确的是（ ）
A、如果两个角互补，那么这两个角中一个是锐角，一个是钝角 B、两点之间直线最短
C、同角的余角相等 D、点到直线的距离垂线最短
2、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（ ）
A、2.5 B、3
C、4 D、5
3、体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）
A、平行线间的距离相等 B、两点之间，线段最短
C、垂线段最短 D、两点确定一条直线
4、如图，这是一条马路上的人行横道线，即斑马线的示意图，请你根据图示判断，在过马路时三条线路AC、AB、AD中最短的是（ ）
A、AC B、AB
C、AD D、不确定
5、下列说法：
①两条直线相交，有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角；
②如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线也没有交点；
③邻补角的两条角平分线构成一个直角；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确的是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
6、如图所示，△ABC中AD⊥BC，AE是△ABD的角平分线，则下列线段中最短的是（ ）
A、AB B、AE
C、AD D、AC
7、如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是（ ）
A、大于3cm B、小于5cm
C、大于3cm或小于5cm D、大于3cm且小于5cm
8、如图，点P在直线l外，PB⊥l于B，A为l上任意一点，则PA与PB的大小关系是（ ）
A、PA＞PB B、PA＜PB
C、PA≥PB D、PA≤PB
9、下列叙述中，正确的是（ ）
A、相等的两个角是对顶角 B、一条直线有只有一条垂线
C、从直线外一点到这条直线上的各点所连接的线段中，垂线段最短 D、一个角一定不等于它的余角
10、如图，AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，则AC的取值范围（ ）
A、大于b B、小于a
C、大于b且小于a D、无法确定
11、如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，那么以下线段大小的比较必定成立的是（ ）
A、CD＞AD B、AC＜BC
C、BC＞BD D、CD＜BD
12、点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A、小于2cm B、等于2cm
C、不大于2cm D、等于4cm
13、如图点P是直线a外一点，PB⊥a，A、B、C、D都在直线a上，下列线段中最短的是（ ）
A、PA B、PB
C、PC D、PD
14、点P为直线l外一点，点A、B、C为直线上三点，PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，则点P到直线l的距离为（ ）
A、等于2cm B、小于2cm
C、大于2cm D、不大于2cm
15、如图，有三条公路，其中AC与AB垂直，小明和小亮分别沿AC，BC同时出发骑车到C城，若他们同时到达，则下列判断中正确的是（ ）
A、小亮骑车的速度快 B、小明骑车的速度快
C、两人一样快 D、因为不知道公路的长度，所以无法判断他们速度的快慢
16、三角形两边长分别为3和9，第三边上的高h的取值范围是（ ）
A、0＜h＜3 B、0＜h≤3
C、3＜h＜9 D、3≤h＜9
二、填空题（共9小题）
17、如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 _________ ．
18、如图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一最佳路线，理由是 _________ ．
19、如图，AB⊥BC，则AB _________ AC（填“＞”或“=”或“＜”），其理由是 _________ ．
20、如图，计划把河AB中的水引到水池C中，可以先作CD⊥AB，垂足为D，然后沿CD开渠，则能使所打开的水渠最短，这种方案的设计根据是 _________ ．
21、如图，现有一条高压线路沿公路l旁边建立，某村庄A需进行农网改造，必须要从这条高压线上架接一条线路去村庄A，为了节省费用，请你帮他们规划一下，并说明理由．
理由是 _________ ．
22、平面上有A，B两点之间的距离是5cm．若该平面内有另一点C，C到A，B两点的距离之和也等于5cm，则点C在 _________ ；若C到A，B两点的距离之和大于5，则点C在 _________ ；若C到A，B两点的距离之和小于5，则点C _________ ．
23、直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中， _________ 最短．
24、如图所示，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路旁选一点来建火车站（位置已选好），说明理由： _________ ．
25、自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接（AO⊥BO），路线最短，工程造价最低，根据是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、作图题：
（1）过点P作直线l的垂线PN，垂足为N；
（2）连接PA、PB；
（3）过P作l平行线；
（4）比较线段PN、PA、PB的长短，并按小到大的顺序排列．
27、如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（3）线段PH的长度是点P到 _________ 的距离， _________ 是点C到直线OB的距离．因为直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 _________ ．（用“＜”号连接）
28、说出日常生活现象中的数学原理：
日常生活现象
相应数学原理
有人和你打招呼，你笔直向他走过去
两点之间直线段最短
要用两个钉子把毛巾架安装在墙上
桥建造的方向通常是垂直于河两岸
人去河边打水总是垂直于河边方向走
29、附加题：如图：在三角形ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于点D，线段AB、BC、CD的大小顺序如何，并说明理由．
30、如图，是一条河，C是河边AB外一点：
（1）过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．
（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多少？（本图比例尺为1：2000）
垂线段最短
答案与评分标准
一、选择题（共16小题）
1、下列说法中，正确的是（ ）
A、如果两个角互补，那么这两个角中一个是锐角，一个是钝角 B、两点之间直线最短
C、同角的余角相等 D、点到直线的距离垂线最短
考点：余角和补角；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短。
专题：证明题。
分析：补角即是和为180度的两角称互为补角，余角即是和为90度的两角称互为余角；
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等；
两点间的距离及两点间线段的长度；
点到直线的距离是垂线段的长度．
解答：解：A、如果两个角互补，那么这两个角中一个是锐角，一个是钝角，错误，可以为两个直角；
B、两点之间直线最短，错误，应是两点之间线段最短．
C、同角的余角相等，正确；
D、点到直线的距离垂线最短，错误，点到直线的距离是垂线段的长度．
故选C．
点评：本题考查了补角和余角的性质，点到直线的距离，是基础知识要熟练掌握．
2、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（ ）
A、2.5 B、3
C、4 D、5
3、体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）
A、平行线间的距离相等 B、两点之间，线段最短
C、垂线段最短 D、两点确定一条直线
考点：垂线段最短。
专题：应用题。
分析：此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
解答：解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选C．
点评：此题考查知识点垂线段最短．
4、如图，这是一条马路上的人行横道线，即斑马线的示意图，请你根据图示判断，在过马路时三条线路AC、AB、AD中最短的是（ ）
A、AC B、AB
C、AD D、不确定
考点：垂线段最短。
专题：应用题。
分析：根据在同一平面内垂线段最短求解．
解答：解：根据在同一平面内垂线段最短，可知AB最短．
故选B．
点评：本题主要考查了垂线段最短的性质．
5、下列说法：
①两条直线相交，有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角；
②如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线也没有交点；
③邻补角的两条角平分线构成一个直角；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确的是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
6、如图所示，△ABC中AD⊥BC，AE是△ABD的角平分线，则下列线段中最短的是（ ）
A、AB B、AE
C、AD D、AC
考点：垂线段最短。
分析：点到直线之间，垂线段最短．
解答：解：根据题意，知
AD是点A到BC的垂线段，
根据垂线段最短的性质，即点A到BC的线段中，AD最短．
故选C．
点评：正确理解点到直线之间，垂线段最短是解决本题的关键．
7、如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是（ ）
A、大于3cm B、小于5cm
C、大于3cm或小于5cm D、大于3cm且小于5cm
8、如图，点P在直线l外，PB⊥l于B，A为l上任意一点，则PA与PB的大小关系是（ ）
A、PA＞PB B、PA＜PB
C、PA≥PB D、PA≤PB
考点：垂线段最短。
分析：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短进行解答．
解答：解：根据“垂线段最短”的性质可得，线段PB是垂线段，故长度最小．
故选C．
点评：此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质．
9、下列叙述中，正确的是（ ）
A、相等的两个角是对顶角 B、一条直线有只有一条垂线
C、从直线外一点到这条直线上的各点所连接的线段中，垂线段最短 D、一个角一定不等于它的余角
10、如图，AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，则AC的取值范围（ ）
A、大于b B、小于a
C、大于b且小于a D、无法确定
考点：垂线段最短。
分析：根据垂线段最短即可得到AC的取值范围．
解答：解：∵AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，
∴CD＜AC＜AB，
即b＜AC＜a．
故选C．
点评：此题考查了垂线段最短的性质．
11、如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，那么以下线段大小的比较必定成立的是（ ）
A、CD＞AD B、AC＜BC
C、BC＞BD D、CD＜BD
12、点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A、小于2cm B、等于2cm
C、不大于2cm D、等于4cm
考点：垂线段最短。
专题：计算题。
分析：点P到直线l的距离为点P到直线l的垂线段，结合已知，因此点P到直线l的距离小于等于2．
解答：解：∵根据点到直线的距离为点到直线的垂线段（垂线段最短），
2＜4＜5，
∴点P到直线l的距离小于等于2，即不大于2，
故选：C．
点评：此题考查的知识点是垂线段最短，关键是要明确点P到直线l的距离为点P到直线l的垂线段．
13、如图点P是直线a外一点，PB⊥a，A、B、C、D都在直线a上，下列线段中最短的是（ ）
A、PA B、PB
C、PC D、PD
考点：垂线段最短。
专题：常规题型。
分析：根据垂线段最短进行解答．
解答：解：如图，PB是点P到a的垂线段，
∴下列线段中最短的是PB．
故选B．
点评：本题主要考查了垂线段最短的性质，需要熟记．
14、点P为直线l外一点，点A、B、C为直线上三点，PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，则点P到直线l的距离为（ ）
A、等于2cm B、小于2cm
C、大于2cm D、不大于2cm
15、如图，有三条公路，其中AC与AB垂直，小明和小亮分别沿AC，BC同时出发骑车到C城，若他们同时到达，则下列判断中正确的是（ ）
A、小亮骑车的速度快 B、小明骑车的速度快
C、两人一样快 D、因为不知道公路的长度，所以无法判断他们速度的快慢
考点：垂线段最短。
分析：根据垂线的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可知BC＞AC，然后根据速度公式即可判断．
解答：解：∵AC与AB垂直，
∴BC＞AC，
若他们同时到达，根据速度公式可得，
小亮骑车的速度快，小明骑车的速度慢．
故选A．
点评：此题主要考查学生对垂线段最短这一知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
16、三角形两边长分别为3和9，第三边上的高h的取值范围是（ ）
A、0＜h＜3 B、0＜h≤3
C、3＜h＜9 D、3≤h＜9
考点：垂线段最短。
专题：几何图形问题。
分析：过三角形第三边对应顶点作第三边的高，是对应顶点与第三边所在直线的垂线段，根据垂线段最短作答．
解答：解：三角形两边长分别为3和9，
根据垂线段最短，可知第三边上的高h应不大于较短边，
故第三边上的高h的取值范围是0＜h≤3．
故选B．
点评：本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的应用．
二、填空题（共9小题）
17、如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短 ．
考点：垂线段最短。
专题：应用题。
分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
解答：解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
点评：本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．
18、如图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一最佳路线，理由是 垂线段最短 ．
19、如图，AB⊥BC，则AB ＜ AC（填“＞”或“=”或“＜”），其理由是 垂线段最短 ．
考点：垂线段最短。
分析：把BC看作直线，点A为直线BC外一点，根据垂线段定理进行判断．
解答：解：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可知AB＜AC，
其理由是垂线段最短．
点评：本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质．
20、如图，计划把河AB中的水引到水池C中，可以先作CD⊥AB，垂足为D，然后沿CD开渠，则能使所打开的水渠最短，这种方案的设计根据是 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 ．
考点：垂线段最短。
专题：应用题。
分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
解答：解：这种方案的设计根据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
点评：本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用．
21、如图，现有一条高压线路沿公路l旁边建立，某村庄A需进行农网改造，必须要从这条高压线上架接一条线路去村庄A，为了节省费用，请你帮他们规划一下，并说明理由．
理由是 从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短 ．
22、平面上有A，B两点之间的距离是5cm．若该平面内有另一点C，C到A，B两点的距离之和也等于5cm，则点C在 线段AB上 ；若C到A，B两点的距离之和大于5，则点C在 线段AB外 ；若C到A，B两点的距离之和小于5，则点C 不存在 ．
考点：垂线段最短。
分析：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短进行分析．
解答：解：由垂线段定理可知：
C到A，B两点的距离之和也等于5cm，则点C在线段AB上；
若C到A，B两点的距离之和大于5，则点C在线段AB外；
若C到A，B两点的距离之和小于5，则点C不存在．
故应填：线段AB上，线段AB外，不存在．
点评：此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质．
23、直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中， 垂线段 最短．
考点：垂线段最短。
分析：这是垂线段定理的内容：直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短．
解答：解：根据垂线段的定理填空：垂线段最短．
点评：本题考查了垂线段定理，要熟练掌握．
24、如图所示，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路旁选一点来建火车站（位置已选好），说明理由： 垂线段最短 ．
25、自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接（AO⊥BO），路线最短，工程造价最低，根据是 垂线段最短 ．
考点：垂线段最短。
专题：应用题。
分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
解答：解：根据是：直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短．
点评：此题主要考查垂线段最短在实际生活中的应用．
三、解答题（共5小题）
26、作图题：
（1）过点P作直线l的垂线PN，垂足为N；
（2）连接PA、PB；
（3）过P作l平行线；
（4）比较线段PN、PA、PB的长短，并按小到大的顺序排列．
考点：比较线段的长短；垂线段最短。
专题：作图题。
分析：正确画出图形即可解答．在比较的时候注意利用垂线段的性质进行比较．
解答：解：
由图可知PN＜PB＜PA．
点评：本题主要考查垂线段的性质，垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
27、如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（3）线段PH的长度是点P到 直线OA 的距离， 线段CP 是点C到直线OB的距离．因为直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 PH＜PC＜OC ．（用“＜”号连接）
28、说出日常生活现象中的数学原理：
日常生活现象
相应数学原理
有人和你打招呼，你笔直向他走过去
两点之间直线段最短
要用两个钉子把毛巾架安装在墙上
桥建造的方向通常是垂直于河两岸
人去河边打水总是垂直于河边方向走
考点：垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线。
专题：应用题。
分析：根据两点确定一条直线和垂线段最短解答．
解答：解：这几种实际问题用数学原理解释分别是：
两点确定一条直线；
夹在两平行线间的线段中，垂线段最短；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
点评：此题主要考查数学原理在实际生活中的应用．
29、附加题：如图：在三角形ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于点D，线段AB、BC、CD的大小顺序如何，并说明理由．
考点：垂线段最短。
分析：利用“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”即可求出三线的关系．
解答：解：∵CD⊥AB于点D，
∴BC＞CD；
∵∠BCA=90°，
∴AB＞BC；
∴AB＞BC＞CD．
点评：此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
30、如图，是一条河，C是河边AB外一点：
（1）过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．
（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多少？（本图比例尺为1：2000）
点评：此题主要考查了平行线的画法，及从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质．
垂线
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列说法中，正确的是（ ）
A、相交的两条直线叫做垂直 B、经过一点可以画两条直线
C、平角是一条直线 D、两点之间的所有连线中，线段最短
考点：直线、射线、线段；垂线。
分析：本题涉及直线，相交线的有关概念和性质．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，两条直线互相垂直．
解答：解：A、只有当相交的两条直线有一个角是直角时，才能叫做垂直，错误；
B、经过一点可以画无数条直线，错误；
C、平角和直线是两种不同的概念，说平角是一条直线，错误；
D、两点之间的所有连线中，线段最短，是公理，正确．
故选D．
点评：此题主要考查了关于垂线、直线、线段的一些基本概念，比较简单．
2、下列时刻时钟的时针与分针互相垂直的是（ ）
A、3点半 B、6点
C、8点半 D、3点
3、如图，如果M点在∠ANB的角平分线上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么和AM相等的线段一定是（ ）
A、BM B、BN
C、MN D、AN
考点：角平分线的定义；垂线。
分析：根据角平分线的性质，角平分线上一点到角的两边距离相等，即可判断．
解答：解：∵M点在∠ANB的角平分线上，AM⊥AN，BM⊥BN，
∴AM=BM．
故选A．
点评：本题主要考查了角平分线的性质，正确理解性质是解题关键．
4、如图，AO⊥BO，射线OC平分∠AOB，射线OD平分∠BOC，射线OE平分∠AOD，则∠COE等于（ ）
A、11° B、11.25°
C、11.45° D、12.25°
5、如图，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ．则∠SQT等于（ ）
A、42° B、64°
C、48° D、24°
考点：角的计算；垂线。
专题：计算题。
分析：利用垂直的概念和互余的性质计算．
解答：解：∵∠PQR等于138°，QT⊥PQ，
∴∠PQS=138°﹣90°=48°，
又∵SQ⊥QR，
∴∠PQT=90°，
∴∠SQT=42°．
故选A．
点评：本题是对有公共部分的两个直角的求角度的考查，注意直角的定义和度数．
6、如图，直线EO⊥BC于点O，∠BOC=3∠1，OD平分∠AOC，则∠2的度数是（ ）
A、30° B、40°
C、60° D、以上结果都不正确
考点：角的计算；角平分线的定义；垂线。
专题：计算题。
分析：根据平角的定义，可以求出∠1的度数，进而可以求出∠BOD，又因为OD平分∠AOC，所以可以求出∠AOD，最后求出∠2的度数．
解答：解：∵∠BOC=3∠1，
∴∠1=×180°=60°，
∵EO⊥BC于点O，
∴∠BOE=∠COE=90°，
∴∠EOD=30°
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=60°，
∴∠2=60°﹣30°=30°．
故选A．
点评：涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶角等）是解题的关键．
7、如图，OA⊥OC，OB⊥OD，下列结论不正确的是（ ）
A、∠AOB=∠COD B、∠BOC+∠AOD=180°
C、∠AOB+∠COD=90° D、∠AOB+∠BOC=90°
8、如图所示，OB⊥OD，OC⊥OA，∠BOC=32°，那么∠AOD等于（ ）
A、148° B、132°
C、128° D、90°
考点：角的计算；垂线。
专题：计算题。
分析：根据两直线垂直，可得∠AOC=∠BOD=90°，由图示可得∠AOB=∠AOC﹣∠BOC，∠AOD=∠AOB+∠BOD，将∠BOC=32°代入即可求解．
解答：解：∵OB⊥OD，所以∠BOD=90°
∵OC⊥OA
∴∠AOC=90°
∴∠AOB=∠AOC﹣∠BOC=90°﹣32°=58°
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+58°=148°
故选A．
点评：本题考查垂线的定义和角的运算，比较简单．
9、如图，直线AB、CD相交于O，EO⊥AB，垂足为O，图中∠EOD与∠AOC的关系是（ ）
A、对顶角 B、同位角
C、互补 D、互余
10、如图∠BCA=Rt∠，CD⊥AB，则图中与∠A互余的角有（ ）个．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：余角和补角；垂线。
分析：根据题意，∠BCA=Rt∠，可得∠A与∠CBA互余，进而又由CD⊥AB，可得∠A与∠DCA互余，进而可得答案．
解答：解：根据题意，
∵∠BCA=90°，
∴∠A+∠CBA=90°，
即∠A与∠CBA互余，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠DCA=90°，
即∠A与∠DCA互余，
故选B．
点评：本题考查余角的概念，注意结合图形分析，做到不重不漏．
11、如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，则图中，∠1与∠2的关系是（ ）
A、对顶角 B、相等
C、互余 D、互补
考点：余角和补角；垂线。
分析：根据余角、补角的定义计算．
解答：解：根据题意可知：∵EO⊥AB，
∴∠1+∠2=180°﹣∠AOE=180°﹣90°=90°，
所以，∠1与∠2的关系是互余．
故选C．
点评：主要考查了余角和补角的概念与性质．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是能准确的从题意中找出这两个角之间的数量关系，从而判断出两角之间的关系．
12、如图所示，已知A、O、B在同一条直线上，且∠AOC=∠BOC=∠EOF=90°，则∠AOE的余角有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
13、∠1的两边与∠2的两边分别垂直，则∠1与∠2（ ）
A、相等 B、互余
C、互补 D、相等或互补
考点：余角和补角；垂线。
分析：根据垂直的定义，互补的性质，和四边形内角和定理结合图形可知．
解答：解：∵∠1的两边与∠2的两边分别垂直，
由四边形的内角和为360°可得，∠1+∠2=360°﹣90°﹣90°=180°；
又∠3+∠2=180°，
∴∠1=∠3，且两边分别垂直．
∴两角的两边分别垂直，它们相等或互补．
故选D．
点评：本题利用垂直的定义，互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．
14、如图所示，AO⊥OC，BO⊥DO，则下列结论正确的是（ ）
A、∠1=∠2 B、∠2=∠3
C、∠1=∠3 D、∠1=∠2=∠3
考点：余角和补角；垂线。
分析：由AO⊥OC可得∠2+∠3=90°；由BO⊥DO可得∠1+∠2=90度．于是可得到∠1=∠3．
解答：解：∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°（垂直定义）；
∴∠1=∠3．（同角的余角相等）．
故选C．
点评：把图中的信息转化成互余问题，即可迎刃而解．
15、如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，则图中∠1与∠2的关系是（ ）
A、相等 B、互余
16、下列正确的是：①所有直角都相等；②所有的余角都相等；③等角的余角都相等；④相等的角都是直角
（ ）
A、①和② B、①和③
C、②和③ D、③和④
考点：余角和补角；垂线。
分析：根据角的性质可以判断出正确的，而判断错误只要找出反例即可．
解答：解：①∵直角=90°恒成立，∴①正确；
②不妨设∠α=60°，∠β=70°，则它们的余角分别为30°和20°，显然不相等，因此②错误；
③两角相等，它们与余角的和为90°，所以等角的余角相等，③正确；
④∠α=30°，∠β=30°，∠α=∠β≠90°，所以④错误．
故选B．
点评：此题考查的是角的性质，两角互余和为90°，互补和为180°，相等角的补角相等，余角也相等．
17、直线AB上有一点O，OM⊥AB于O，另有直角∠COD在平角∠AOB内绕O点左右摆动（OC与OA、OD与OB不重合），在摆动时，始终与∠MOD保持相等的角是（ ）
A、∠BOD B、∠AOC
C、∠COM D、没有
考点：余角和补角；垂线。
分析：根据垂直的定义，得∠AOM=∠BOM=90°，再结合图形和同角的余角相等可得始终与∠MOD保持相等的角．
解答：解：∵OM⊥AB，
∴∠AOM=∠BOM=90°．
∴∠AOC+∠MOC=90°．
∵∠COD是直角，
∴∠DOM+∠MOC=90°．
∴∠DOM=∠AOC．
故选B．
点评：本题利用垂直的定义和同角的余角相等，要注意领会由垂直得直角这一要点．
18、如图，直线AB、MN相交于一点O，OC⊥AB，则∠1的邻补角是（ ）
A、∠2 B、∠AOC
C、∠NOC D、∠MOB
考点：对顶角、邻补角；垂线。
分析：相邻且互补的两个角互为邻补角．
解答：解：由图知，∠1与∠NOC相邻且互补，所以互为邻补角．
故选C．
点评：熟记邻补角的定义是解题的关键．
19、如图，AB⊥CD于点O，直线EF过点O，则∠1的邻补角是（ ）
A、∠2 B、∠COE
C、∠BOF D、∠BOC
20、下面的语句中，不正确的是（ ）
A、对顶角相等 B、相等的角是对顶角
C、线段AB和线段BA表示同一条线段 D、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
考点：对顶角、邻补角；直线、射线、线段；垂线。
专题：推理填空题。
分析：根据对顶角的性质、线段的表示方法和垂线的基本性质逐项进行分析，即可得出答案．
解答：解：A、根据对顶角的性质可知，对顶角相等，故本选项正确；
B、相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；
C、线段AB和线段BA表示同一条线段，只是表示方法不同，故本选项正确；
D、根据垂线的基本性质可知在同一平面内，过直线上或直线外的一点，
有且只有一条直线和已知直线垂直．故本选项正确．
故选B．
点评：此题主要考查学生对对顶角的性质、垂线的性质和线段等知识点的理解和掌握，要求学生应熟练掌握对顶角和垂线的性质，为今后学习打下基础．
二、填空题（共5小题）
21、如图，OA⊥OB，∠BOC=30°，OD平分∠AOC，则∠BOD= 30 度．
22、如图，已知DE⊥DB于D，∠ADE=60°，DC是∠ADB的平分线，则∠ADC= 15 °．
23、如图，O是直线BF上的一点，OA⊥OE，OE平分∠FOC，∠AOF=130°，则∠AOC= 50 °．
考点：角平分线的定义；角的计算；垂线。
专题：计算题。
分析：根据邻补角的定义，可求得∠AOB的度数，进而可以求得∠EOF的度数，即可得到∠COE的度数．
解答：解：∵∠AOB=180°﹣∠AOF=180°﹣130°=50°，
∴∠EOF=180°﹣∠AOB﹣∠AOE=180°﹣50°﹣90°=40°；
又∵OE平分∠FOC，
∴∠COE=∠EOF=40°，
∴∠AOC=90°﹣∠COE=90°﹣40°=50°．
点评：根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
24、如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠1=50°，则∠2= 40 度．
考点：角的计算；垂线。
专题：计算题。
分析：根据图示，找出这几个角的关系．注意点O在直线AB上，∠AOB=180°，OC⊥OD，∠COD=90°，从而求出∠2的度数．
解答：解：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∵∠1=50°，
∴∠2=180°﹣∠COD﹣∠1=180°﹣90°﹣50°=40°．
故填40．
点评：两直线相互垂直，夹角为直角．
25、如图，已知AO⊥CO，BO⊥DO，且∠BOC=50°，则∠AOD= 130 度．
三、解答题（共5小题）
26、平面上有A，B，C三点，如图．
（1）画线段BC，射线AC，直线AB；
（2）在射线AC上取D点，使AC=CD；
（3）取AB中点E；
（4）过A作BC的垂线AH，H是垂足；
（5）连接BD；
（6）量AH，CE及BD的长，你有何判断？
（7）量∠ACE，∠ADB的度数，你有何判断？
考点：直线、射线、线段；垂线。
专题：应用题；作图题。
分析：根据题目的描述，画出图形，然后进行度量．
解答：解：（1）～（5）图如右边所示：
（6）测量可得AH=CE=BD；
（7）量得∠ACE=∠ADB．
证明：∵E、C分别为AB、AD中点，
∴EC为△ABD的中位线，
∴EC∥BD，
∴∠ACE=∠ADB（两直线平行同位角相等）．
点评：本题考查了同学们的作图能力，而阅读题目是一个难点，目前，多数同学阅读能力不高，应加强这方面的练习．
27、如图，在表盘上请你画出时针与分针，使时针与分针恰好互相垂直，且此时恰好为整点．
（1）此时表示的时间是 3或9 点．
（2）一天24小时，时针与分针互相垂直 44 次．
（2）1﹣3时之间，时针在90角内移动，分针超过时针构成垂直，即时针角度加90度和270度均为垂直状态，且在360度一圈内，故每圈垂直两次；3﹣4时之间，从垂直开始，分针超过时针，时针加90度垂直1次，加270即超过了360度盘面，故该圈垂直1次；5﹣9时之间，时针超过了120度，分针先在后面和时针构成垂直，即分针角度加90度垂直一次，后分针超过时针，即时针角度加90度垂直1次，故每圈垂直2次；9﹣10时之间，从垂直开始，分针在后面追赶时针构成垂直1次，时针角度加90度超过360度盘面，故垂直1次；10﹣12时，分针在后面追赶时针时构成垂直2次．
可见12小时构成垂直22次，故一昼夜构成垂直44次．
点评：本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
28、小明坐在学校的凉亭（A）中，绘制了学校的一张简图（如图所示），体育馆在凉亭的正北方向．测得：∠DAE=109°35′，∠EAF=61°35′，且AE平分∠FAC，AB⊥AC．
问：图书馆、实验楼、教学楼、校门相对凉亭在什么方向？（要求有相应的运算过程）
29、如图，直线AB与CD相交于点0，射线OE平分∠BOF，∠AOD+∠COB=40°，∠DOF：∠FOB=1：7．
（1）求∠AOD和∠EOB的度数；
（2）你发现射线OD是一条什么特殊的线？请说明理由；
（3）你发现射线OE与直线CD有什么位置关系？请说明理由．
30、知：如图，①、②，解答下面各题：
（1）图①中，∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，求∠EPF的度数．
（2）图②中，点P在∠AOB外部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，那么∠P与∠O有什么关系？为什么？
（3）通过上面这两道题，你能说出如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？
点到直线的距离
一、选择题（共20小题）
1、下列说法中正确的是（ ）
A、一条射线把一个角分成两个角，这条射线是这个角的角平分线 B、点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线的长度
C、若MN=2MC，则点C是线段MN的中点 D、有AB=MA+MB，AB＜NA+NB，则点M在线段AB上，点N在线段AB外
2、下列说法：
（1）有且只有一条直线垂直于已知直线；
（2）两条直线相交时，如果对顶角的和是180°，那么这两条直线互相垂直；
（3）过直线a外一点P作PD⊥a，垂足为D，则线段PD是点P到直线a的距离；
（4）在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．
其中正确的说法有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
3、下列说法中，正确的是（ ）
A、一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线 B、P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P到l的距离一定是1
C、相等的角是对顶角 D、钝角的补角一定是锐角
4、点P为直线L外一点，A，B，C为直线L上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则P到直线L的距离是（ ）
A、不小于2cm B、小于2cm
C、不大于2cm D、不小于5cm
5、下列说法中正确的是（ ）
A、有且只有一条直线垂直于已知直线 B、从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C、互相垂直的两条线段一定相交 D、直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm
6、如图，能表示点到直线的距离的线段共有（ ）
A、2条 B、3条
C、4条 D、5条
7、点到直线的距离是指这点到这条直线的（ ）
A、垂线段 B、垂线
C、垂线的长度 D、垂线段的长度
8、点到直线的距离是（ ）
A、点到直线上一点的连线 B、点到直线的垂线
C、点到直线的垂线段 D、点到直线的垂线段的长度
9、若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，且PA=5cm，PB=4cm，PC=3cm，则点P到直线L的距离（ ）
A、等于3cm B、大于3cm而小于4cm
C、不大于3cm D、小于3cm
10、如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（ ）
A、2条 B、3条
C、4条 D、5条
11、下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（ ）
A、 B、
C、 D、
12、点到直线的距离是指（ ）
A、从直线外一点到这条直线的垂线 B、从直线外一点到这条直线的垂线段
C、从直线外一点到这条直线的垂线的长 D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长
13、已知线段AB=10cm，点A，B到直线l的距离分别为6cm，4cm．符合条件的直线l有（ ）
A、1条 B、2条
C、3条 D、4条
14、如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有（ ）个．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
15、如图，点C到直线AB的距离是指（ ）
A、线段AC的长度 B、线段CD的长度
C、线段BC的长度 D、线段BD的长度
16、直线l外有一点A，点A到l的距离是5cm，点P是直线l上任意一点，则（ ）
A、AP＞5cm B、AP≥5cm
C、AP=5cm D、AP＜5cm
17、若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（ ）
A、10cm B、4cm
C、10cm或4cm D、至少4cm
18、如图，AB⊥BC，BD⊥AC于点D，则B到AC的距离是下列哪条线段的长度？（ ）
A、AB B、BC
C、BD D、CD
19、如图，OA⊥AB于点A，点O到直线AB的距离是（ ）
A、线段OA B、线段OA的长度
C、线段OB的长度 D、线段AB的长度
20、如图，点P在直线AB外，在过P点的四条线段中表示点P到直线AB距离的是线段（ ）
A、PA B、PB
C、PC D、PD
二、填空题（共5小题）
21、下列四个说法：①线段AB是点A与点B之间的距离；②线段AB与线段BA表示同一条线段；③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中正确的序号是 _________ ．
22、在测量跳远成绩时，从落地点拉向起跳线的皮尺，应当与起跳线 _________ ．
23、如图，AC⊥L1，AB⊥L2，垂足分别为点A、B，则A点到直线L2的距离是线段 _________ 的长．
24、如图，AC⊥BC，AC=3，BC=4，AB=5，则点B到AC的距离为 _________ ．
25、如图，AC⊥BC，CD⊥AB于D，图中共有 _________ 个直角，图中线段 _________ 的长表示点C到AB的距离，线段 _________ 的长表示点A到BC的距离．
三、解答题（共5小题）
26、如图所示：
（1）过点P画直线MN∥AB；
（2）连接PA、PB；过B画AP、MN的垂线，垂足为C、D；
（3）过点P画AB的垂线，垂足为E；
（4）量出P到AB的距离≈ _________ （厘米），（精确到0.1厘米）
量出B到MN的距离≈ _________ （厘米）；（精确到0.1厘米）
（5）由（4）知P到AB的距离 _________ B到MN的距离．（填“＜”或“=”或“＞”）
27、已知点C在直线a外，点A在直线a上，且AC=2厘米．
（1）设d是点C到直线a的距离，求d的取值范围；
（2）若直线BD垂直于直线a，垂足为B．则直线BD与直线AC有怎样的位置关系，请画示意图表示（每种位置关系画一个示意图）．
28、如图，AC⊥BC，AC=9，BC=12，AB=15．
（1）试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；
（2）点C到直线AB的距离是多少？你是怎样求得的？
29、如图，
①过点Q作QD⊥AB，垂足为D，
②过点P作PE⊥AB，垂足为E，
③过点Q作QF⊥AC，垂足为F，
④连P、Q两点，
⑤P、Q两点间的距离是线段 _________ 的长度，
⑥点Q到直线AB的距离是线段 _________ 的长度，
⑦点Q到直线AC的距离是线段 _________ 的长度，
⑧点P到直线AB的距离是线段 _________ 的长度．
30、如图，过点A作BC的垂线，并指出那条线的长度是表示点A到BC的距离？
点到直线的距离
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列说法中正确的是（ ）
A、一条射线把一个角分成两个角，这条射线是这个角的角平分线 B、点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线的长度
C、若MN=2MC，则点C是线段MN的中点 D、有AB=MA+MB，AB＜NA+NB，则点M在线段AB上，点N在线段AB外
考点：角平分线的定义；线段的性质：两点之间线段最短；点到直线的距离。
专题：应用题。
分析：本题需要明确角平分线、点到直线的距离、线段中点的定义，利用这些知识逐一判断得出结论．
解答：解：A、从顶点发出，在角内部的一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫这个角的平分线．故一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线．错误．
B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，错误．
C、若MN=2MC，则点C是线段MN的中点，当点C不在线段MN上时不成立，错误．
D、有AB=MA+MB，AB＜NA+NB，则点M在线段AB上，点N在线段AB外，正确．
故答案为D．
点评：本题主要考查了角平分线的定义、点到直线的距离的定义、线段中点的定义，需要熟记，难度不大．
2、下列说法：
（1）有且只有一条直线垂直于已知直线；
（2）两条直线相交时，如果对顶角的和是180°，那么这两条直线互相垂直；
（3）过直线a外一点P作PD⊥a，垂足为D，则线段PD是点P到直线a的距离；
（4）在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．
其中正确的说法有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
3、下列说法中，正确的是（ ）
A、一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线 B、P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P到l的距离一定是1
C、相等的角是对顶角 D、钝角的补角一定是锐角
考点：点到直线的距离；角平分线的定义；余角和补角；对顶角、邻补角。
分析：根据角平分线的定义及点到直线的距离的概念及对顶角的概念等定义分析．
解答：解：A、一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．故此选项错误；
B、P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P到l的距离不大于1．故此选项错误；
C、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
D、钝角的补角一定是锐角．此选项正确．
故选D．
点评：本题主要考查了一些概念性的知识，要求学生对基础知识一定要牢固掌握．
4、点P为直线L外一点，A，B，C为直线L上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则P到直线L的距离是（ ）
A、不小于2cm B、小于2cm
C、不大于2cm D、不小于5cm
考点：点到直线的距离。
专题：计算题。
分析：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长度．
解答：解：因为在PA、PB、PC三条线段中，PC最小，根据垂线段最短，所以P到直线L的距离不大于2cm．
故选C．
点评：此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质．
5、下列说法中正确的是（ ）
A、有且只有一条直线垂直于已知直线 B、从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C、互相垂直的两条线段一定相交 D、直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm
考点：点到直线的距离。
分析：对照垂线的两条性质逐一判断．
①从直线外一点引这条直线的垂线，垂线段最短；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
解答：解：A、和一条直线垂直的直线有无数条，错误；
B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度，错误；
C、互相垂直的两条线段不一定相交，线段有长度限制，错误；
D、直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段就是垂线段，可表示点A到直线c的距离，正确．
故选D．
点评：本题考查的是垂线的相关定义及性质，只要记住并理解即可正确答题．
6、如图，能表示点到直线的距离的线段共有（ ）
A、2条 B、3条
C、4条 D、5条
7、点到直线的距离是指这点到这条直线的（ ）
A、垂线段 B、垂线
C、垂线的长度 D、垂线段的长度
考点：点到直线的距离。
分析：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．对照定义进行判断．
解答：解：根据定义，点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段的长度．故选D．
点评：此题主要考查了点到直线的距离的定义．
8、点到直线的距离是（ ）
A、点到直线上一点的连线 B、点到直线的垂线
C、点到直线的垂线段 D、点到直线的垂线段的长度
考点：点到直线的距离。
分析：根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，直接判断．
解答：解：点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，故选D．
点评：此题主要考查了点到直线的距离的定义．
9、若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，且PA=5cm，PB=4cm，PC=3cm，则点P到直线L的距离（ ）
A、等于3cm B、大于3cm而小于4cm
C、不大于3cm D、小于3cm
考点：点到直线的距离。
分析：根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”可知垂线段的长度不能超过PC的长．
解答：解：根据点到直线的距离的定义，点P到直线L的距离即为点P到直线L的垂线段的长度，垂线段的长度不能超过PC的长．故选C．
点评：本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质．
10、如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（ ）
A、2条 B、3条
C、4条 D、5条
11、下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：点到直线的距离。
分析：利用点到直线的距离的定义分析可知．
解答：解：利用点到直线的距离的定义可知：线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是A图．
故选A．
点评：本题考查了点到到直线的距离的定义．
12、点到直线的距离是指（ ）
A、从直线外一点到这条直线的垂线 B、从直线外一点到这条直线的垂线段
C、从直线外一点到这条直线的垂线的长 D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长
考点：点到直线的距离。
分析：根据点到直线的距离的定义解答本题．
解答：解：A、垂线是直线，没有长度，不能表示距离，错误；
B、垂线段是一个图形，距离是指垂线段的长度，错误；
C、垂线是直线，没有长度，不能表示距离，错误；
D、符合点到直线的距离的定义，正确．
故选D．
点评：此题主要考查了从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的定义．
13、已知线段AB=10cm，点A，B到直线l的距离分别为6cm，4cm．符合条件的直线l有（ ）
A、1条 B、2条
C、3条 D、4条
考点：点到直线的距离。
分析：根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．画出图形进行判断．
解答：解：在线段AB的两旁可分别画一条满足条件的直线；作线段AB的垂线，将线段AB分成6cm，4cm两部分，所以符合条件的直线l有3条，故选C．
点评：此题主要考查了从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的定义．
14、如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有（ ）个．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
15、如图，点C到直线AB的距离是指（ ）
A、线段AC的长度 B、线段CD的长度
C、线段BC的长度 D、线段BD的长度
考点：点到直线的距离。
分析：根据点到直线的距离的定义，结合图形易得线段CD就是C到AB的垂线段，即可得到答案．
解答：解：根据题意，点C到直线AB的距离即点C到AB的垂线段的长度，
已知CD⊥AB，则点C到直线AB的距离就是线段CD的长度．
故选B．
点评：本题考查点到直线的距离，根据题意找到垂线段即可得到答案．
16、直线l外有一点A，点A到l的距离是5cm，点P是直线l上任意一点，则（ ）
A、AP＞5cm B、AP≥5cm
C、AP=5cm D、AP＜5cm
17、若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（ ）
A、10cm B、4cm
C、10cm或4cm D、至少4cm
考点：点到直线的距离。
专题：计算题。
分析：应结合题意，分类画图．根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可得线段AB的长度至少为4cm．
解答：解：从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB的长为7﹣3=4cm，其它情况下大于4cm，故选D．
点评：此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
18、如图，AB⊥BC，BD⊥AC于点D，则B到AC的距离是下列哪条线段的长度？（ ）
A、AB B、BC
C、BD D、CD
考点：点到直线的距离。
分析：利用点到直线的距离的定义分析．
解答：解：根据点到直线的距离即是点到直线的垂线段的长度，可知选C．
故选C．
点评：本题主要考查了点到直线的距离的定义．
19、如图，OA⊥AB于点A，点O到直线AB的距离是（ ）
A、线段OA B、线段OA的长度
C、线段OB的长度 D、线段AB的长度
考点：点到直线的距离。
分析：根据点到直线的距离是这一点到这条直线的垂线段的长度作答．
解答：解：因为OA⊥AB，根据点到直线的距离的定义知，点O到直线AB的距离是线段OA的长度．
故选B．
点评：注意点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段．
20、如图，点P在直线AB外，在过P点的四条线段中表示点P到直线AB距离的是线段（ ）
A、PA B、PB
C、PC D、PD
二、填空题（共5小题）
21、下列四个说法：①线段AB是点A与点B之间的距离；②线段AB与线段BA表示同一条线段；③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中正确的序号是 ② ．
考点：直线、射线、线段；点到直线的距离。
分析：根据线段的概念，平行公里和点到直线的距离分别进行判断即可．
解答：解：①应是线段AB的长度是点A与点B之间的距离，故错误；
②线段AB与线段BA表示同一条线段，正确；
③应是经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
④应是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故错误．
故应填：②．
点评：本题主要考查了直线、射线、线段的有关概念，以及点到直线的距离的概念，熟记定义是解决此类问题的关键．
22、在测量跳远成绩时，从落地点拉向起跳线的皮尺，应当与起跳线 垂直 ．
考点：点到直线的距离。
专题：应用题。
分析：根据距离的定义解答即可．
解答：解：∵点到直线的垂线段的长叫点到直线的距离，
∴在测量跳远成绩时，从落地点拉向起跳线的皮尺，应当与起跳线垂直．
点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟知点到直线距离的定义．
23、如图，AC⊥L1，AB⊥L2，垂足分别为点A、B，则A点到直线L2的距离是线段 AB 的长．
考点：点到直线的距离。
分析：找表示A点到直线L2的距离的线段，要看准点A和直线L2，再过A点作直线L2的垂线，垂足应在直线L2上．
解答：解：点到直线的距离就是这一点到直线的垂线段的长度，所以是AB的长．
点评：本题主要考查了点到直线的距离的定义．
24、如图，AC⊥BC，AC=3，BC=4，AB=5，则点B到AC的距离为 4 ．
25、如图，AC⊥BC，CD⊥AB于D，图中共有 3 个直角，图中线段 CD 的长表示点C到AB的距离，线段 AC 的长表示点A到BC的距离．
考点：点到直线的距离。
分析：运用垂直的定义和点到直线的距离，结合图形作答．
解答：解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，即图中共有3个直角．
图中线段CD的长表示点C到AB的距离，线段AC的长表示点A到BC的距离．
故空中应填：3，CD，AC．
点评：点到直线的距离是过直线外一点作直线的垂线，垂线段的长度．
三、解答题（共5小题）
26、如图所示：
（1）过点P画直线MN∥AB；
（2）连接PA、PB；过B画AP、MN的垂线，垂足为C、D；
（3）过点P画AB的垂线，垂足为E；
（4）量出P到AB的距离≈ 2.2 （厘米），（精确到0.1厘米）
量出B到MN的距离≈ 2.2 （厘米）；（精确到0.1厘米）
（5）由（4）知P到AB的距离 = B到MN的距离．（填“＜”或“=”或“＞”）
考点：点到直线的距离；作图—基本作图。
专题：应用题；作图题。
分析：根据平行线的定义，画出（1），根据垂线的性质，画出（2）（3），根据点到直线的距离得出（4）（5）．
解答：解：（1）如图：
（2）如图
（3）如图：
（4）点P到AB的距离即为PE的距离，用直尺量出约为2.2，
点B到MN的距离即为BD的距离，用直尺量出约为2.2，
（5）∵MN∥AB，
∴PE=BD．
故答案为：=．
点评：本题考查了平行以及垂线的定义，以及点到直线的距离，须图形结合，难度适中．
27、已知点C在直线a外，点A在直线a上，且AC=2厘米．
（1）设d是点C到直线a的距离，求d的取值范围；
（2）若直线BD垂直于直线a，垂足为B．则直线BD与直线AC有怎样的位置关系，请画示意图表示（每种位置关系画一个示意图）．
28、如图，AC⊥BC，AC=9，BC=12，AB=15．
（1）试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；
（2）点C到直线AB的距离是多少？你是怎样求得的？
考点：点到直线的距离。
专题：计算题。
分析：（1）点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
（2）利用三角形的面积公式求出点C到直线AB的距离．
解答：解：（1）∵AC⊥BC，AC=9，BC=12，∴点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离分别是：9，12．
（2）设点C到直线AB的距离为h，
△ABC的面积=BC?AC=AB?h，
∴15h=12×9，
∴h=．
∴点C到直线AB的距离为．
点评：掌握好点到直线距离的定义以及灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键．
29、如图，
①过点Q作QD⊥AB，垂足为D，
②过点P作PE⊥AB，垂足为E，
③过点Q作QF⊥AC，垂足为F，
④连P、Q两点，
⑤P、Q两点间的距离是线段 PQ 的长度，
⑥点Q到直线AB的距离是线段 QD 的长度，
⑦点Q到直线AC的距离是线段 QF 的长度，
⑧点P到直线AB的距离是线段 PE 的长度．
考点：点到直线的距离；两点间的距离；作图—基本作图。
专题：应用题；作图题。
分析：①②③④根据题目要求即可作出图示，
⑤⑥⑦⑧根据两点之间距离及点到直线的距离的定义即可得出答案．
解答：解：①②③④作图如图所示：
⑤根据两点之间距离即可得出P、Q两点间的距离是线段PQ的长度，
⑥根据点到直线的距离可得出点Q到直线AB的距离是线段QD的长度，
⑦根据点到直线的距离可得出点Q到直线AC的距离是线段QF的长度，
⑧根据点到直线的距离可得出点P到直线AB的距离是线段PE的长度，
故答案为PQ，QD，QF，PE．
点评：本题主要考查了基本作图、两点之间距离及点到直线的距离，难度适中．
30、如图，过点A作BC的垂线，并指出那条线的长度是表示点A到BC的距离？
相交线
一、选择题（共20小题）
1、下列说法正确的是（ ）
A、0.720有两个有效数字 B、3.6万精确到十分位
C、三条直线两两相交有三个交点 D、35.12°＜35°12′
2、两条相交直线所成的角中（ ）
A、必有一个钝角 B、必有一个锐角
C、必有一个不是钝角 D、必有两个锐角
3、两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（ ）
A、一定有一个锐角 B、一定有一个钝角
C、一定有一个直角 D、一定有一个不是钝角
4、在一个平面上任意画3条直线，最多可以把平面分成的部分是（ ）
A、4个 B、6个
C、7个 D、8个
5、在同一个平面内，四条直线的交点个数不能是（ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
6、在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有（ ）
A、7个 B、6个
C、5个 D、4个
7、平面内有两两相交的三条直线，若最多有m个交点，最少有n个交点，则m+n等于（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
8、任意画三条直线，交点的个数是（ ）
A、1 B、1或3
C、0或1或2或3 D、不能确定
9、平面内两条直线相交有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，若有20条直线相交，交点个数最多有（ ）个．
A、380 B、190
C、400 D、200
10、平面内三条两两相交的直线（ ）
A、有一个交点 B、有一个或三个交点
C、有三个交点 D、上述都不对
11、平面内有4条相交直线，它们的交点最多有m个，最少有n个，则m﹣n=（ ）
A、7 B、5
C、4 D、3
12、平面上三条直线相互间的交点个数为（ ）
A、3个 B、1个或3个
C、1个或2个或3个 D、不一定，有可能是0个或1个或2个或3个
13、平面内有两两相交的4条直线，如果最多有m个交点，最少有n个交点，那么m﹣n=（ ）
A、3 B、4
C、5 D、6
14、平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（ ）
A、24条 B、21条
C、33条 D、36条
15、公园里准备修五条甬道，并在甬道交叉路口处设一个报亭，这样的报亭最多设（ ）
A、9个 B、10个
C、11个 D、12个
16、平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
A、n（n﹣1） B、n2﹣n+1
C、 D、
17、如图两条非平行的直线AB，CD被第三条直线EF所截，交点为PQ，那么这3条直线将所在平面分成（ ）
A、5个部分 B、6个部分
C、7个部分 D、8个部分
18、过平面上三点可以作几条直线？（ ）
A、1条 B、2条
C、3条 D、1条或3条
19、小明在生日宴会上，要把一个大蛋糕分成七块，问他最少要切几次（切割成的蛋糕面积不一定相等）（ ）
A、3次 B、4次
C、5次 D、6次
20、平面上画三条直线，交点的个数最多有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
二、填空题（共5小题）
21、三条直线两两相交的交点个数为 _________ ，平面上三个点，过任意两点可以画直线可以画 _________ 条．
22、如图，已知AB、CD、EF相交于点O，EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，OH为∠DOG的平分线，若∠AOC：∠COG=4：7，则∠GOH= _________ ．
23、一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成 _________ 块．
24、平面内两直线相交有 _________ 个交点，两平面相交形成 _________ 条直线．
25、三条直线相交，最多有 _________ 个交点．
三、解答题（共5小题）
26、甲港和乙港间新开辟一条航线，每天正午分别从两港相对开出一艘船，若所有船的船速相同，且从甲港到乙港要航行7昼夜，则通航的第4天（通航日为第一天）从甲港开出的那只船在航线上遇到乙港开来的船（不包括在港口的相遇的）共有多少只？
27、平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？
28、如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？
29、我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．
30、（1）1条直线，最多可将平面分成1+1=2个部分；
（2）2条直线，最多可将平面分成1+1+2=4个部分；
（3）3条直线，最多可将平面分成 _________ 个部分；
（4）4条直线，最多可将平面分成 _________ 个部分；
（5）n条直线，最多可将平面分成 _________ 个部分．
相交线
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列说法正确的是（ ）
A、0.720有两个有效数字 B、3.6万精确到十分位
C、三条直线两两相交有三个交点 D、35.12°＜35°12′
考点：近似数和有效数字；度分秒的换算；相交线。
专题：综合题。
分析：A、根据有效数字的定义，解答即可；B、根据近似数的定义，解答即可；C、画出图形，分析解答即可；D、根据度、分、秒之间的换算，解答即可．
解答：解：A、0.720有三个有效数字，分别为7、2、0；故本项错误；
B、3.6万精确到了千位；故本项错误；
C、三条直线两两相交有三个交点或一个交点；故本项错误；
D、35.12°=35°7.2′＜35°12′；故本项正确．
故选D．
点评：本题考查了近似数和有效数字、度分秒的换算和相交线，本题考查的知识点比较多，掌握好基础知识，是解答本题的基础．
2、两条相交直线所成的角中（ ）
A、必有一个钝角 B、必有一个锐角
C、必有一个不是钝角 D、必有两个锐角
考点：角的计算；相交线。
分析：本题涉及相交线知识考点，要注意垂直是相交的一种特殊情形．
解答：解：当两条直线互相垂直时所成的角都是直角，所以A、B、D都不对．故选C．
点评：本题的关键是注意垂直相交，可以用排除法解决．
3、两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（ ）
A、一定有一个锐角 B、一定有一个钝角
C、一定有一个直角 D、一定有一个不是钝角
4、在一个平面上任意画3条直线，最多可以把平面分成的部分是（ ）
A、4个 B、6个
C、7个 D、8个
考点：相交线。
分析：把平面分成的部分最多时，三条直线两两相交，且交点各不相同．
解答：解：如图所示，
任意三条直线最多把平面分成7个，
故选C．
点评：按照条件，真正解决本题的关键是作图．
5、在同一个平面内，四条直线的交点个数不能是（ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
6、在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有（ ）
A、7个 B、6个
C、5个 D、4个
考点：相交线。
专题：分类讨论。
分析：在平面上画出4条直线，当这4条直线经过同一个点时，有1个交点；当3条直线经过同一个点，第4条不经过该点时，有4个交点；当4条直线不经过同一点时，有6个交点．故可得出答案．
解答：解：如图所示：
①当4条直线经过同一个点时，
有1个交点；
②当3条直线经过同一个点，第4条不经过该点时，
有4个交点；
③当4条直线不经过同一点时，
有6个交点．
综上所述，4条直线相交最多有6个交点．
故选B．
点评：此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验能力．
7、平面内有两两相交的三条直线，若最多有m个交点，最少有n个交点，则m+n等于（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：相交线。
专题：计算题。
分析：平面内两两相交的三条直线，有两种情况：（1）三条直线相交于同一点，（2）三条直线相交于不同的三点．
解答：解：平面内两两相交的三条直线，最多有3个交点，最少有1个交点，即m=3，n=1，
∴m+n=4．
故选D．
点评：本题考查直线的相交情况，平面内两两相交的n条直线最多有个交点．
8、任意画三条直线，交点的个数是（ ）
A、1 B、1或3
C、0或1或2或3 D、不能确定
9、平面内两条直线相交有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，若有20条直线相交，交点个数最多有（ ）个．
A、380 B、190
C、400 D、200
考点：相交线。
专题：规律型。
分析：画出图形，根据具体图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时的交点个数，总结出规律，即可计算出20条直线相交时的交点个数．
解答：解：如图：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2个交点；
4条直线相交有1+2+3个交点；
5条直线相交有1+2+3+4个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；
…
n条直线相交有个交点；
∴20条直线相交有=190个交点．
故选B．
点评：此题考查了直线相交的交点个数，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，可以激发同学们的学习兴趣．
10、平面内三条两两相交的直线（ ）
A、有一个交点 B、有一个或三个交点
C、有三个交点 D、上述都不对
考点：相交线。
分析：作出简单的图形，则一目了然．
解答：解：如图，
三条直线两两相交时，共有3个交点；三条直线相交于一点时，有一个交点．
故选B．
点评：能够利用图形求解平面内交线的交点问题．
11、平面内有4条相交直线，它们的交点最多有m个，最少有n个，则m﹣n=（ ）
A、7 B、5
C、4 D、3
考点：相交线。
专题：规律型。
分析：四条直线相交，有5种情况，当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点；当两两直线平行时，有4个交点；当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点；当四条直线同交于一点时，只有一个交点；当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点．
解答：解：如图四条直线相交时，共有五种情况，
故m=6，n=1，
m﹣n=6﹣1=5．
故选B．
点评：本题属规律性题目，解答此题的关键是画出图形，分别表示出四条直线相交是的各种情况，再进行解答．
12、平面上三条直线相互间的交点个数为（ ）
A、3个 B、1个或3个
C、1个或2个或3个 D、不一定，有可能是0个或1个或2个或3个
13、平面内有两两相交的4条直线，如果最多有m个交点，最少有n个交点，那么m﹣n=（ ）
A、3 B、4
C、5 D、6
考点：相交线。
专题：分类讨论。
分析：可根据题意，画出图形，找出交点最多和最少的个数，求m﹣n．
解答：解：如图所示：
4条直线两两相交，有3种情况：4条直线经过同一点，有一个交点；3条直线经过同一点，被第4条直线所截，有4个交点；4条直线不经过同一点，有6个交点．
故平面内两两相交的4条直线，最多有6个交点，最少有1个交点；即m=6，n=1，则m﹣n=5．
故选C．
点评：一般地：n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=个交点，最少即交点为1个．
14、平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（ ）
A、24条 B、21条
C、33条 D、36条
考点：相交线；直线、射线、线段。
专题：数形结合。
分析：先根据题意画出6条符合直线，再找出每条直线上不相交的线段，再把所得线段相加即可．
解答：解：AE上共有不重合的线段4条，
AM上共有不重合的线段4条，
BM上共有不重合的线段3条，
CL上共有不重合的线段3条，
DK上共有不重合的线段3条，
EF上共有不重合的线段4条．
共计21条．
故选B．
点评：本题考查的是相交线的有关知识，此题的易错点在于“不重叠线段”而不是所有的线段．
15、公园里准备修五条甬道，并在甬道交叉路口处设一个报亭，这样的报亭最多设（ ）
A、9个 B、10个
C、11个 D、12个
16、平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
A、n（n﹣1） B、n2﹣n+1
C、 D、
考点：相交线。
专题：规律型。
分析：分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线…的交点个数，找出规律即可解答．
解答：解：如图：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2个交点；
4条直线相交有1+2+3个交点；
5条直线相交有1+2+3+4个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；
…
n条直线相交有1+2+3+5+…+（n﹣1）=个交点．
所以a=，而b=1，
∴a+b=．
故选D．
点评：本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是n条直线相交时最少有一个交点．
17、如图两条非平行的直线AB，CD被第三条直线EF所截，交点为PQ，那么这3条直线将所在平面分成（ ）
A、5个部分 B、6个部分
18、过平面上三点可以作几条直线？（ ）
A、1条 B、2条
C、3条 D、1条或3条
考点：相交线。
分析：先画图，分两种情况讨论①三点共线，②三点不共线，由此可得出答案．
解答：解：如图所示：三点在一条直线上时可画一条，不在一条直线上时可画三条．
故选D．
点评：本题考查了相交线，此题较简单，解题时要根据过平面上两点有且只有一条直线进行解答，体现了数形结合的思想．
19、小明在生日宴会上，要把一个大蛋糕分成七块，问他最少要切几次（切割成的蛋糕面积不一定相等）（ ）
A、3次 B、4次
C、5次 D、6次
考点：相交线。
专题：计算题。
分析：由题意可知，由于至少多少刀，隐含着切得每刀切面必两两相交．假设切n次，则切得块数是 ．
解答：解：设切n次，
则≥7，
解得：n≥3，
故选：A．
点评：此题考查的知识点是相交线，关键理清如何切法，找出关系式，求解．
20、平面上画三条直线，交点的个数最多有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
二、填空题（共5小题）
21、三条直线两两相交的交点个数为 1或3 ，平面上三个点，过任意两点可以画直线可以画 1或3 条．
考点：直线的性质：两点确定一条直线；相交线。
分析：（1）在平面上画出三条直线，当这三条直线经过同一个点时，则可以知道有一个交点；当这三条直线不经过同一点时，则可以知道有三个交点．
（2）在平面上画出三个点，当这三个点在同一条直线上时，可以画一条直线；当这三个点不在同一条直线上时，可以画三条直线．
解答：解：三条直线两两相交的交点个数为1或3，平面上三个点，过任意两点可以画直线可以画1或3条．
故应填：1或3，1或3．
点评：本题考查了直线的性质和相交线，要注意分情况讨论，对基本的性质要很好的理解．
22、如图，已知AB、CD、EF相交于点O，EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，OH为∠DOG的平分线，若∠AOC：∠COG=4：7，则∠GOH= 72.5° ．
考点：角的计算；角平分线的定义；相交线。
专题：几何图形问题。
分析：遇到比例问题，一般设一份为x，表示出∠AOC=4x，∠COG=7x，因为OG为∠COF的平分线，得到∠COG=∠GOF=7x，又因为EF⊥AB，根据垂直的定义得出角AOF为90°，而角AOF等于角AOC，角COG及角GOF三角之和等于90°，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即得到角COG的度数，根据邻补角的定义得出角GOD的度数，又因为OH为角GOD的平分线，所以得到角GOH等于角GOD的一般，即可求出角GOH的度数．
解答：解：设一份为x，由∠AOC：∠COG=4：7得到：∠AOC=4x，∠COG=7x，
∵OG平分∠COF，
∴∠COG=∠GOF=7x，
又∵AB⊥EF，
则4x+7x+7x=90°，
解得x=5°，
∴∠COG=7x=35°，则∠GOD=180°﹣35°=145°，
又OH为∠DOG的平分线，所以∠GOH=∠GOD=72.5°．
故答案为：72.5°
点评：此题考查了角平分线的定义及邻补角的性质，考查了垂直的定义，是一道综合题．
23、一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成 8 块．
考点：相交线。
专题：规律型。
分析：一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成23=8块．
解答：解：长方体橡皮可以想象为立体图形，第一次最多切2块，第二次在第一次的基础上增加2倍，第三次在第二次的基础上又增加2倍，故最多能被分成8块．
点评：本题考查了学生的空间想象能力，分清如何分得到的块数最多是解决本题的关键．
24、平面内两直线相交有 1 个交点，两平面相交形成 1 条直线．
25、三条直线相交，最多有 3 个交点．
考点：相交线。
分析：三条直线相交，有三种情况，即：两条直线平行，被第三条直线所截，有两个交点；三条直线经过同一个点，有一个交点；三条直线两两相交且不经过同一点，有三个交点．故可得答案．
解答：解：三条直线相交时，位置关系如图所示：
判断可知：最多有3个交点．
点评：解决本题的关键是画出三条直线相交时的三种情况，找出交点．
三、解答题（共5小题）
26、甲港和乙港间新开辟一条航线，每天正午分别从两港相对开出一艘船，若所有船的船速相同，且从甲港到乙港要航行7昼夜，则通航的第4天（通航日为第一天）从甲港开出的那只船在航线上遇到乙港开来的船（不包括在港口的相遇的）共有多少只？
考点：一元一次方程的应用；相交线。
专题：应用题；图表型；数形结合。
分析：由于学生看题后，感到无从下手，但是画图直观，因而根据题意，构造相交线段，如图利用相交线段的交点个数即可判定解决问题．
解答：解：∵学生看题后，感到无从下手，而画图直观，因而根据题意，构造相交线段，
如图：
27、平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？
考点：相交线。
专题：规律型。
分析：（1）画出图形，数出交点个数即可；
（2）从规律看，4条平行线第一条直线和每条相交将会多出4+1个平面，第二条直线和每条相交将会多出5+1个平面依次类推．
解答：解：如图，图中共有33个交点．
4条平行线5部分，
加一条线10部分，
再加一条16部分，
可以看出规律 5→10→16，
先加5再加6，
所以答案是5+5+6+7+8+9+10=50．
点评：此题考查了图形的变化规律，画出图形是解题的关键．先根据具体数值得出规律，即可计算出正确结果．
28、如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？
考点：相交线。
专题：规律型。
分析：识别图中的对顶角应从这个较复杂的图形中分解出三个基本图形（即定义图形）即直线AB、CD相交于O；直线AB，EF相交于O；直线CD，EF相交于O．由于两条直线相交组成对顶角，所以上述图中共有6对对顶角．
解答：解：图中共有6对对顶角，它们是：∠AOC和∠BOD，∠AOD和∠BOC；∠AOF和∠BOE，∠AOE和∠BOF；∠COF和∠DOE，∠COE和∠DOF．
∵两条直线相交出现 2?（2﹣1）=2对对顶角，
三条直线相交出现 3?（3﹣1）=6对对顶角，
四条直线相交出现 4?（4﹣1）=12对对顶角，
∴依次类推，n条直线相交于一点有n?（n﹣1）对对顶角．
点评：此题考查了对顶角的概念，但需要同学们总结规律，这也是这道题的难点，体现了从一般到特殊的解题思路．
29、我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．
30、（1）1条直线，最多可将平面分成1+1=2个部分；
（2）2条直线，最多可将平面分成1+1+2=4个部分；
（3）3条直线，最多可将平面分成 7 个部分；
（4）4条直线，最多可将平面分成 11 个部分；
（5）n条直线，最多可将平面分成 个部分．
考点：相交线。
专题：规律型。
分析：先分别求得3条、4条直线两两相交最多可将平面分割成的区域个数，总结规律，进而求解．
解答：解：1条直线，将平面分为两个区域；
2条直线，较之前增加1条直线，增加1个交点，增加了2个平面区域；
3条直线，与之前两条直线均相交，增加2个交点，增加了3个平面区域；
4条直线，与之前三条直线均相交，增加3个交点，增加了4个平面区域；
…
