浙教版初中数学八年级上册第四章4.2平面直角坐标系（含解析）

浙教版初中数学八年级上册第四章4.2平面直角坐标系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共0分)
1．若点到y轴的距离为2，且，则点P的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
2．如图，点都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．若点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标有可能是（ ）
A．（3，4） B．（4，3） C．（-3，-4） D．（3，-4）
4．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．(﹣1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(3，0)
7．在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则a的取值可以是（ ）
A．1 B． C． D．4或-4
8．如图，等边的边长为2，则点的坐标为(　　)
A． B． C． D．
9．如图，A（8，0），B（0，6），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点C的坐标为（ ）
A．（10，0） B．（0，10） C．（-2，0） D．（0，-2）
10．在平面直角坐标系中，对于点我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共0分)
11．如图，“遵”，“道”两字的坐标分别为，，则“义”字的坐标为________．
12．点在第______象限．
13．观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 _____．
14．在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是______．
15．在平面直角坐标系xOy中，若点P在第四象限，且点P到x轴和y轴距离分别为5和4，则点P的坐标为________________．
16．如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点的坐标为__________．
三、解答题(共0分)
17．在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（-6，7）、（-3，0）、（0，3）．
(1)画出△ABC；
(2)在△ABC中，点C经过平移后的对应点为C′（5，4），将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′，画出平移后的△A′B′C′，并写出点 A′的坐标 ；
(3)P（-3，m）为△ABC 中一点，将点P 向右平移4个单位后，再向下平移7个单位得到点Q（n，-3），则 m＝ ，n＝ ．
18．如图，已知．
（1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）；
（2）直接写出，，三点的坐标：（______，______），（______，______），（______，______）．
19．如图，在直角坐标平面内，已知点A(8，0)，点B的横坐标是2，AOB的面积为12．
(1)求点B的坐标；
(2)如果P是直角坐标平面内的点，那么点P在什么位置时，？
20．已知△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
(1)画出把△ABC先向右平移4个单位，再向下平移3个单位后所得到的△A'B'C'；
(2)写出点C'坐标；
(3)在第四象限内的格点上找点M，使得△B'C'M与△A'B'C'的面积相等，直接写出点M的坐标．
21．如图所示，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（2，-2），B（1，2），C（-2，-1）．求三角形ABC的面积．
22．在平面直角坐标系中，已知点．
(1)若点M在y轴上，求m的值．
(2)若点M在二、四象限的角平分线上，求点M的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，点（1，1），（3，1），（3，5），连接，，．
(1)特例感知：分别找到线段，，的中点，并依次标记为，，，它们的坐标为
（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）．
(2)观察猜想：仔细观察上述三条线段中点的横坐标与纵坐标，分别与对应的线段，，的两端点的横坐标与纵坐标进行比较，看看它们之间有什么关系，并根据你的猜想完成下列问题．
①若点（-5，1.5），（-1，-3.5），则线段的中点坐标为_________；
②若点（a，b），（c，d），则线段的中点坐标为_________．
(3)拓展应用：若，分别是三角形中，的中点，请直接写出与的位置关系及数量关系．
24．如图①，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥CA的延长线点E，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD，得△ABC≌△DAE进而得到AC=DE，BC=AE， 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型．
请应用上述“一线三等角”模型，解决下列问题：
（1）如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AH于点H，DE与直线AH交于点G，求证：点G是DE的中点．
（2）如图③，在平面直角坐标系中，点A为平面内任意一点，点B的坐标为（4，1），若△AOB是以OB为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A的坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据点到y轴的距离为2，且，列出绝对值方程即可求解．
【详解】解：∵点到y轴的距离为2，
∴，
，
当时，
当时，
即点P的坐标为或
故选B
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．
2．D
【分析】根据点的坐标建立平面直角坐标系，由此即可得出答案．
【详解】解：由点的坐标建立平面直角坐标系如下：
则点的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查了求点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
3．B
【分析】根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可．
【详解】解：∵点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，
∴点P的横坐标为4或-4，纵坐标为3或-3，
∴点P的坐标可能为（4，3）或（4，-3）或（-4，3）或（-4，-3），
故选B．
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟知点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键．
4．B
【分析】过点作轴于点，则点到轴的距离为，通过证明得到，利用点，的坐标可求，的长，则结论可求．
【详解】解：过点作轴于点，如图，
则点到轴的距离为．
点的坐标为，点的坐标为，
，．
轴，
．
．
四边形是正方形，
，．
．
．
在和中，
，
．
．
．
点到轴的距离是5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的坐标与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
5．D
【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可．
【详解】解：设点M的坐标为（x，y），
∵点M到x轴的距离为4，
∴，
∴，
∵点M到y轴的距离为5，
∴，
∴，
∵点M在第四象限内，
∴x=5，y=-4，
即点M的坐标为（5，-4）．
故选：D．
【点睛】此题考查平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离，象限内点的坐标的符号特点等，其中要牢记第四象限内的点的坐标符号特点为（+，-）．
6．D
【分析】根据勾股定理求得AB，然后根据图形推知AC＝AB，则OC＝AC﹣OA，所以由点C位于x轴的负半轴来求点C的坐标．
【详解】解：如图，∵A（3，0）、B（0，2），
∴OA＝3，OB＝2，
∴在直角△AOB中，由勾股定理得AB．
又∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，
∴AC＝AB＝，
∴OC＝AC﹣OA3．
又∵点C在x轴的负半轴上，
∴C（3，0）．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形的性质．解题时，注意点C位于x轴的负半轴，所以点C的横坐标为负数．
7．B
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数即可判断．
【详解】解：∵点是第二象限内的点，
∴，
四个选项中符合题意的数是，
故选：B
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
8．B
【分析】过点作于点，由勾股定理求出BH的长，即可求出点B的坐标.
【详解】过点作于点，∵是等边三角形，
∴，．
∴点的坐标为．
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理以及图形与坐标，正确作出辅助线是解答本题的关键.
9．C
【分析】利用勾股定理求出AB=10，再结合圆的性质得出AC=AB=10，进而求出点C的坐标．
【详解】解：∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
在Rt△AOB中
AB===10，
∵AC长为半径，交y轴正半轴于点B，
∴AB=AC=10，
∴OC=2，
∴点C为（-2，0）．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理求边长，圆的性质等知识，题目简单．
10．A
【分析】据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2022除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可．
【详解】观察发现：、、、、、
依此类推，可以发现每4个点为一个循环组依次循环，
∵2022÷4=505余2，
∴点的坐标与的坐标相同为，
故选：A．
【点睛】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
11．（1，-2）
【分析】首先由“遵”和“道”的坐标得出原点位置，从而得到“义”的坐标．
【详解】解：∵“遵”的坐标为（-2，1），“道”的坐标为（-1，-1），
∴原点（0，0）位于“行”处，
∴“义”的坐标为（1，-2），
故答案为：（1，-2）．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是正确建立坐标系．
12．二
【分析】根据平面直角坐标系中，各象限内的点坐标的符号规律即可得．
【详解】解：因为点的横坐标为，纵坐标为，
所以点在第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查了点所在的象限，熟练掌握各象限内的点坐标的符号规律是解题关键．
13．（4，1）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
“帅”所在的位置：（4，1），
故答案为：（4，1）．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．
14．
【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标．
【详解】解：设点M的坐标是（x，y）．
∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，
∴|y|＝5，|x|＝4．
又∵点M在第二象限内，
∴x＝ 4，y＝5，
∴点M的坐标为（ 4，5），
故答案是：（ 4，5）．
【点睛】本题考查了点的坐标，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；第二象限（ ，＋）．
15．（4，﹣5）
【分析】根据点的坐标的几何意义及第四象限内的点的坐标符号的特点即可得出．
【详解】解：∵点P在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为5，4，
∴点P的横坐标是4，纵坐标是﹣5，即点P的坐标为（4，﹣5）．
故答案为：（4，﹣5）．
【点睛】本题主要考查了点在第四象限时点的坐标的符号，以及横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．
16．
【分析】根据A，两点的坐标分别为，，可以判断原点的位置，然后确定C点坐标即可．
【详解】解：∵，两点的坐标分别为，，
∴B点向右移动3位即为原点的位置，
∴点C的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标．
17．(1)见解析
(2)见解析，A′（﹣1，8）
(3)4，1
【分析】（1）在坐标系中找到A、B、C的位置，即可作图解答；
（2）将C点向右平移5个单位，再向上平移一个单位即可得到，按相同的轨迹找到、，即可解答；
（3）根据平移的性质，再结合P、Q两点的坐标即可分别求出m、n．
（1）
如图，△ABC即为所求；
（2）
如图，△A′B′C′即为所求，A′（﹣1，8）；
（3）
∵P(-3,m)为△ABC中一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移7个单位得到点Q(n,-3)，
∴n=﹣3+4=1，m-7=﹣3，
∴n=1，m=4．
故答案为：4，1．
【点睛】本题主要考查了作图---平移变换，熟知图形的平移不变性的性质是解答此题的关键．
18．（1）见解析；（2），，．
【分析】（1）根据关于轴对称的特点，对称前后，坐标到轴的距离相等，分别表示出点，，，连接起来即可；
（2）根据所表示出来的，，，直接写出坐标即可．
【详解】解：（1）如图，即为所求．
（2），，．
【点睛】本题主要考查了图形的对称变化，平面直角坐标系坐标的表示法，熟悉掌握图形对称的性质是解题的关键．
19．(1)(2，3)或(2，﹣3)
(2)点P在直线y＝6或直线y＝﹣6上
【分析】（1）设点B的纵坐标为y，根据△AOB的面积为12列等式求出y的值，写出点B的坐标；
（2）设点P的纵坐标为h，先求出△AOP的面积，再列等式求出h的值，因为横坐标没有说明，所以点P在直线y＝6或直线y＝﹣6上．
（1）
解：设点B的纵坐标为y，
∵A（8，0），
∴OA＝8，
则S△AOB＝OA |y|＝12，
解得：，
∴y＝±3，
∴点B的坐标为（2，3）或（2，﹣3）．
（2）
设点P的纵坐标为h，
S△AOP＝2S△AOB＝2×12＝24，
∴OA |h|＝24，
×8|h|＝24，
，
∴h＝±6，
∴点P在直线y＝6或直线y＝﹣6上．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题的关键是要明确一个点的坐标到两坐标轴的距离：到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；其次是根据面积公式列等式求解．
20．(1)见解析
(2)C'（2，-2）；
(3)见解析，M（1，-4）．
【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据图形可直接得出结果；
（3）找出点A'关于点C'的对称点M，则点M即为所求，点M的坐标由图形可直接得出．
【详解】（1）解：如图所示，△A'B'C'即为所求；
（2）解：由图形知，C'（2，-2）；
（3）解：如图所示，点M即为所求；M（1，-4）．
【点睛】本题考查了平移变换的性质，三角形面积公式，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
21．三角形ABC的面积为7.5．
【分析】利用割补法即可求解．
【详解】过点A，C分别作平行于y轴的直线，过点A，B分别作平行于x轴的直线，它们的交点为D，E，F，得到正方形ADEF，则该正方形的面积为4×4＝16．
三角形ABD、三角形BCE、三角形ACF的面积分别是：，，．
所以三角形ABC的面积为16-2-4.5-2＝7.5．
【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知割补法的运用．
22．(1)
(2)
【分析】（1）若点在y轴上，则M的横坐标为0，即m-1=0；
（2）若点M在第二、四象限的角平分线上，则点M的横纵坐标互为相反数，即m-1=-2m-3．
(1)
解：∵在y轴上，
∴，
解得：．
(2)
解：∵点M在二、四象限的角平分线上，
∴，
∴，
所以．
【点睛】本题考查的知识点是象限及点坐标的特点，掌握以上知识点是解题的关键．
23．(1)（2，1），（3，3），（2，3）．
(2)①（-3，-1）；②（，）．
(3)，．
【分析】（1）根据所给的条件结合图像可以直接得到找到线段，，的中点的坐标．
（2）由（1）可以归纳出一个“已知线段两个端点的坐标，求线段中点的坐标”的结论，然后根据结论求出答案即可．
（3）将三角形放在平面直角坐标系中，表示出M，N的坐标，然后根据坐标得出结论．
【详解】（1）根据图中的方格直接得到线段，，的中点分别为：（2，1），（3，3），（2，3）．
（2）根据（1）可以猜想出一个结论：已知线段的两个端点A、B的坐标，线段AB中点的横坐标和纵坐标分别为A、B的横坐标和的一半和纵坐标和的一半．
所以①（-5，1.5），（-1，-3.5），线段的中点坐标为（-3，-1）；
②（a，b），（c，d），线段的中点坐标为（，）．
（3）如图，将三角形放在平面直角坐标系中，点和点O重合，在x轴的正半轴上，则，设，，
所以，，
M、N纵坐标相同，所以，
，MN=，所以，
∴，．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系相关知识，前两问需要学生认真归纳总结，第三问方法不唯一，需要学生认真探索方法，能够正确理解题意并归纳出相关结论是解决本题的关键．
24．（1）见解析；（2）A(，)或(，-)．
【分析】（1）过点D作DM⊥AM交AG于点M，过点E作EN⊥AG于点N．根据“K字模型”即可证明AH=DM 和AH=EN，即EN=DM，再根据全等三角形的判定和性质即可证明DG=EG，即点G是DE的中点．
（2）分情况讨论①当A点在OB的上方时，作AC垂直于y轴，BE垂直于x轴，CA和EB的延长线交于点D．根据“K字模型”即可证明，再利用B点坐标即可求出A点坐标．②当A点在OB的下方时，作AP垂直于y轴，BM垂直于x轴，PA和BM的延长线交于点Q．同理即能求出A点坐标．
【详解】（1）如图，过点D作DM⊥AM交AG于点M，过点E作EN⊥AG于点N，则∠DMA=90°，∠ENG=90°．
∵∠BHA=90 ，
∴∠2+∠B=90°．
∵∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠B=∠1 ．
在△ABH和△DAM中，
∴△ABH△DAM（AAS），
∴AH=DM．
同理 △ACH△EAN（AAS），
∴ AH=EN．
∴EN=DM．
在△DMG和△ENG中 ，
∴△DMG△ENG（AAS）．
∴DG=EG．
∴点G是DE的中点．
（2）根据题意可知有两种情况，A点分别在OB的上方和下方．
①当A点在OB的上方时，如图，作AC垂直于y轴，BE垂直于x轴，CA和EB的延长线交于点D．
利用“K字模型”可知，
∴，
设，则，
∵，
∴，
又∵，即，
解得，
∴，．
即点A坐标为(，)．
②当A点在OB的下方时，如图，作AP垂直于y轴，BM垂直于x轴，PA和BM的延长线交于点Q．
根据①同理可得：，．
即点A坐标为(，)．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质．熟练利用三角形的判定方法是解答本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页