第一章检测卷
班级：__________ 姓名：__________ 分数：__________
一、选择题(每题3分，共30分)
1．如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是( )
A．120° B．90° C．100° D．30°
2．下列各组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾相连能摆成三角形的是( )
A．3 cm ,4 cm,8 cm B．4 cm,4 cm,8 cm C．5 cm,6 cm,8 cm D．5 cm,5 cm,12 cm
3．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是( )
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4．如图，△ABC≌△A′B′C′，则∠C的度数是( )
A．56° B．51° C．107° D．73°
5．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC于点D，连结AD.若AB＝7,BC＝8,AC＝5,则△ADC的周长为( )
A．12 B．13 C．15 D．16
6．下列命题是假命题的是( )
A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c B．锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．同角或等角的补角相等
7．如图，点B，E在线段FC上，且CE＝BF，AB＝DE，增加以下条件能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．∠A＝∠D B．∠C＝∠F C．BC＝EF D．AC＝DF
8．在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别为( )
A．2 cm,2 cm,2 cm B．3 cm,3 cm,3 cm C．4 cm,4 cm,4 cm D．2 cm,3 cm,5 cm
9．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，若△ABC的面积为16，则图中阴影部分的面积为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
10．已知△ABC中，AB＝BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出( )
A．3个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题(每题3分，共24分)
11．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式为___________________________________．
12．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝___________．
13．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是__________．
14．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，若a＝3，b＝4，则c的取值范围是_________________，设△ABC的周长是l，则l的取值范围是____________．
15．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝82°，则∠OBC＝______________．
16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为________．
17．如图，要测量河两岸相对的两点A，B间的距离(AB垂直于河岸BF)，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再作出BF的垂线DE，且使A，C，E三点在同一条直线上，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED＝AB.因此测得ED的长就是AB的长．判定△EDC≌△ABC的理由是____________．
18．在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用的图形如图所示，该图中，四边形ABCD是长方形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝24°，则∠ECD的度数是________．
三、解答题(19，20题每题6分，21，22，23题每题8分，24题10分，共46分)
19．写出下列命题的条件和结论．
(1)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(2)如果两个三角形全等，那么它们对应边上的高相等．
答：（1）
（2）
20.如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D.求证：AB＝CD.
(写上证明的依据)
21．已知a，b，c为△ABC的三边长，且b，c满足(b－5)2＋＝0，a为方程|a－3|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
22．如图，AB∥CD，AM平分∠CAB，交CD于点M.
(1)过点C作AM的垂线，垂足为N；(要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法)
(2)求证：△MCN≌△ACN.
23．在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.
(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论．
(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
24．如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连结AC，BD，我们把这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D.
(2)如图②，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，AP与CD交于点M，AB与DP交于点N.
①以线段AC为边的“8字型”有________个，以点O为交点的“8字型”有________个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并说明理由．
1答案
一、1.C 2.C 3.A 4.D 5.B
6．C 7.D 8.A 9.C 10.D
二、11.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
12．120° 13.4：3
14．1＜c＜7；8＜l＜14 15.8°
16．5 点拨：由已知可得∠ADC＝∠BDF＝∠BEC＝90°，易得∠DAC＝∠DBF.又因为AC＝BF，所以△ADC≌△BDF.所以AD＝BD＝8，DC＝DF＝3.所以AF＝AD－DF＝8－3＝5.
17．ASA
18．22° 点拨：∵四边形ABCD是长方形，∴AB∥CD.∴∠ECD＝∠BEC.∵∠FAE＝∠FEA，∴∠ACF＝∠AFC＝2∠BEC，∴∠ACD＝∠ACF＋∠ECD＝3∠ECD.∵∠ACB＝24°，∴∠ACD＝90°－24°＝66°，
∴∠ECD＝∠ACD＝22°.
三、19.解：(1)条件：两条直线被第三条直线所截；结论：同旁内角互补．
(2)条件：两个三角形全等；结论：它们对应边上的高相等．
20．证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠B＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(AAS)
∴AB＝CD(全等三角形的对应边相等)．
21．解：∵(b－5)2＋＝0，
∴解得
∵a为方程|a－3|＝2的解，
∴a＝5或a＝1.
当a＝1，b＝5，c＝7时，1＋5＜7，
不能组成三角形，
故a＝1不符合题意．
当a＝5，b＝5，c＝7时，
5＋5＞7，
能组成三角形，
∴a＝5.
∴△ABC的周长为5＋5＋7＝17.
∵a＝b＝5，
∴△ABC是等腰三角形．
22．(1)作图略．
(2)证明：∵CN⊥AM，
∴∠CNA＝∠CNM＝90°.
∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠MAB.
∵AM平分∠CAB，
∴∠MAB＝∠CAM.∴∠CMA＝∠CAM.
在△MCN和△ACN中，
∵
∴△MCN≌△ACN(AAS)．
23．解：(1)BD＝CE，BD⊥CE.
(2)BD＝CE，BD⊥CE.
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC.∴∠BAD＝∠CAE.在△ABD与△ACE中， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.延长BD交AC于点F，交CE于点H.在△ABF与△HCF中，∵∠ABF＝∠HCF，∠AFB＝∠HFC，∴∠CHF＝∠BAF＝90°，∴BD⊥CE.
24．(1)证明：∵∠A＋∠C＝180°－∠AOC，∠B＋∠D＝180°－∠BOD，∠AOC＝∠BOD，
∴∠A＋∠C＝∠B＋∠D.
(2)解：①3；4
②∵以M为交点的“8字型”中，有∠P＋∠CDP＝∠C＋∠CAP，
以N为交点的“8字型”中，有∠P＋∠BAP＝∠B＋∠BDP，
∴2∠P＋∠BAP＋∠CDP＝∠B＋∠C＋∠CAP＋∠BDP.
∵AP，DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B＋∠C.
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝(∠B＋∠C)＝×(100°＋120°)＝110°.
③3∠P＝∠B＋2∠C，理由：
∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB.
∵以M为交点的“8字型”中，有∠P＋∠CDP＝∠C＋∠CAP，
以N为交点的“8字型”中，有∠P＋∠BAP＝∠B＋∠BDP，
∴∠C－∠P＝∠CDP－∠CAP＝(∠CDB－∠CAB)，
∠P－∠B＝∠BDP－∠BAP＝(∠CDB－∠CAB)，
∴2(∠C－∠P)＝∠P－∠B，
∴3∠P＝∠B＋2∠C.
答案
一、1.D 2.A
3．A 【点拨】利用等积法解答．根据勾股定理求得AB＝15，设点C到AB的距离是x，可列方程×9×12＝×15x，解之即可．
4．A 5.C
6．C 【点拨】由题意可得AB2＝AC2＋BC2，所以△ABC为直角三角形，AB所对的角为直角，所以∠C＝90°.
7．C
8．B 【点拨】由题意知△ABC是等腰三角形，因为AD是其底边上的中线，所以AD也是底边上的高线，所以∠ACB＝90°－∠CAD＝70°.又因为CE是∠ACB的平分线，所以∠ACE＝∠ACB＝35°.
9．B 【点拨】本题不能直接求出S1，S2，S3，S4，但我们可以利用三角形全等和勾股定理求出S1＋S2＋S3＋S4.根据“AAS”很容易证明△ABC≌△CDE，所以AB＝CD.又因为CD2＋DE2＝CE2，AB2＝S3，CE2＝3，DE2＝S4，所以S3＋S4＝3.同理可得S1＋S2＝1，所以S1＋S2＋S3＋S4＝1＋3＝4.
10．D 【点拨】∵△ABD，△BCE为等边三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，
∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°.
在△ABE和△DBC中，
∴△ABE≌△DBC(SAS)．
∴①正确．
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC.
∵∠BDC＋∠BCD＝∠ABD＝60°，
∴∠DMA＝∠BAE＋∠BCD＝∠BDC＋∠BCD＝60°.
∴②正确．
易证△ABP≌△DBQ(ASA)，
∴BP＝BQ.又∵∠PBQ＝60°，
∴△BPQ为等边三角形．
∴③正确．
二、11.等边三角形的三个角都相等
12．75°或15° 13.20
14．等腰直角三角形
15．3 【点拨】△OPE≌△OPF，△OPA≌△OPB，△AEP≌△BFP，所以共有3对全等三角形．
16. 【点拨】在网格中求三角形的高，应借助三角形的面积求解．以AC，AB，BC为斜边的三个直角三角形的面积分别为1，1，，因此△ABC的面积为2×2－1－1－＝.用勾股定理计算出BC的长为，因此BC 边上的高为.
17．3
18．100° 【点拨】连结OB，OC.
易得△AOB≌△AOC(SAS)．
∴∠ACO＝∠ABO.
又∵OD垂直平分AB，∴OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO＝∠BAC＝25°.
∴∠ACO＝25°.
在△ABC中，∵∠BAC＝50°，AB＝AC，
∴∠ACB＝×(180°－50°)＝65°.
∴∠ECO＝∠ACB－∠ACO＝40°.
由折叠可知，OE＝EC.
∴∠EOC＝∠ECO＝40°.
∴∠OEC＝100°.
三、19.解：(1)两边上的高相等的三角形是等腰三角形．
(2)真命题．
已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，
CD⊥AB于D，且CD＝BE.
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BEA＝∠CDA＝90°.
又∵∠A＝∠A，BE＝CD，
∴△ABE≌△ACD，∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
20．证明：∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE.∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，∴BF＝CE.
在△ACE和△ABF中，
∴△ACE≌△ABF(SAS)，
∴AB＝AC.
21．证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠DFE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵EG，FG分别是∠BEF和∠DFE的平分线，
∴∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠DFE，
∴∠GEF＋∠GFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°，
∴△EGF是直角三角形．
22．解：(1)△BDF和△CEF是等腰三角形．
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵DF∥BC，∴∠FBC＝∠DFB，
∴∠DFB＝∠DBF，∴DB＝DF，
∴△BDF是等腰三角形．
同理，△CEF也是等腰三角形．
(2)BD＝DE＋CE.理由：由(1)知△CEF是等腰三角形，且EC＝EF，
∴BD＝DF＝DE＋EF＝DE＋CE.
【点拨】“平行线＋角平分线”是等腰三角形中常见的基本图形之一，应注意在其他图形中的发掘与应用．
23．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC＝DE.
又∵DF＝DB，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．
∴CF＝EB.
(2)由(1)可知DE＝DC，又∵AD＝AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE.∴AC＝AE.
∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
【点拨】(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE，再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB.
(2)利用(1)中结论证明Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，再将线段AB进行转化．
24．(1)证明：∵△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴BD＝CD，∠BDC＝∠CDA＝90°.
在△FBD和△ACD中，
∴△FBD≌△ACD(SAS)．
(2)证明：∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝∠BEC＝90°.
∵BF平分∠DBC，∴∠ABE＝∠CBE，
又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(ASA)，
∴AE＝CE.∴CE＝AC.
由(1)知△FBD≌△ACD，
∴BF＝AC，∴CE＝BF.
(3)解：BG2＝GE2＋CE2.
证明：连结CG，
∵H是BC边的中点，BD＝CD，
∴DH垂直平分BC，∴BG＝CG(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)．∵BE⊥AC，∴CG2＝GE2＋CE2，∴BG2＝GE2＋CE2.
【点拨】本题综合考查全等三角形的判定与性质，以及通过添加辅助线利用勾股定理解决问题．
