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【期末优化训练】浙教版2022-2023学年九上数学第1章 二次函数 测试卷1
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知二次函数的部分图象如图所示， 若， 则的取值的范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
（第1题） （第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
2．已知(-3，y1)，(-2，y2)，(1，y3)是二次函数y=-2x2-8x+m图象上的点，则( )
A．y2>y1>y3 B．y2>y3>y1 C．y13．已知，二次函数y=ax2+bx-1(a，b是常数，a≠0)的图象经过A(2，1)，B(4，3)，C(4，-1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的( )
A．最大值为-1 B．最小值为-1 C．最大值为 D．最小值为
4．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润y元，则y与x的函数关系为（ ）
A．y＝（6﹣x）（500+x） B．y＝（13.5﹣x）（500+200x）
C．y＝（6﹣x）（500+200x） D．以上答案都不对
5．将函数的图像绕原点O旋转180°，得到新的二次函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知如图， 在正方形中， 点的坐标分别是， 点在抛物线 的图像上， 则的值是( )
A． B． C． D．
7．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，抛物线y=ax2+bx+c，下列结论：①a＞0：②b2-4ac＞0：③4a+b=0；④不等式ax2+（b-1）x+c<0的解集为1A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，抛物线y＝x2 2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是AB，BM的中点，若△DEB与△ACD的面积比为9：10，则c的值为（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．﹣ D．﹣3
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，1），（﹣1，﹣4），且AD平行于x轴，当函数y＝x2+2mx﹣2（x≤0）的图象在矩形ABCD内部的部分均为y随x的增大而减小时，下列选项中符合条件的m的取值范围为（ ）
A．1≤m≤ B．0≤m≤
C．﹣1＜m≤1或≤m＜ D．﹣1＜m≤0或1≤m＜
（第10题） （第12题） （第13题） （第16题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 .
12．如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x轴，拱桥的拱点O为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数表示（单位：m）．已知目前桥下水面宽4m，若水位下降1.5m，则水面宽为 m．
13．如图，二次函数与一次函数的图像相交于点，则使成立的x的取值范围是
14．已知关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝m，x2＝8﹣m，若点P是二次函数y＝x2+bx﹣c的图象与y轴的交点，过P作PQ⊥y轴交抛物线于另一交点Q，则PQ的长为 ．
15．已知抛物线y＝（x﹣3）2+4，当1≤x≤4时，函数值y的取值范围是 .
16．如图，正方形ABCD中，AD=4,AE=3DE,点P在AB上运动（不与A、B重合），过点P作PQ EP，交CB于点Q，则BQ的最大值是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题每题12分，第24题14分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式，并求出的最大值．
18．已知抛物线 经过点 .
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标.
（2）直线 交抛物线于点 ， ， 为正数.若点 在抛物线上且在直线 下方（不与点 ， 重合），分别求出点 横坐标与纵坐标的取值范围，
19．小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径 ，且点A，B关于y轴对称，杯脚高 ，杯高 ，杯底MN在x轴上.
（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）.
（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体 所在抛物线形状不变，杯口直径 ，杯脚高CO不变，杯深 与杯高 之比为0.6，求 的长.
20．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
21．在直角坐标系中，设函数 （ ， 是常数， ）。
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a、b的值，使函数y=ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由.
（3）已知 ，当 ， （ ， 是实数， ）时，该函数对应的函数值分别为P，Q。若 ，求证：P+Q>6 。
22．随州某药店经销甲、乙两种口罩，若甲种口罩每包利润10元，乙种口罩每包利润20元，则每周能卖出甲种口罩40包，乙种口罩20包.突如其来的新冠病毒严重影响人们生活，口罩成为人们防疫的必须品，为了解决人们所需，药店决定把甲、乙两种口罩的零售单价都降价x元，回报顾客.经调查，甲、乙两种口罩零售单价分别每降1元，这两种口罩每周可各多销售10包.
（1）直接写出甲、乙两种口罩每周的销售量 ， （包）与降价x（元）之间的函数关系式；
（2）药店每周销售甲、乙两种口罩获得的总利润为W（元）；
①如果每周甲种口罩的销售量不低于乙种口罩的销售量的 ，求W的最大值；
②若每周总利润W（元）不低于1340元，求x的范围.
23．如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）.
①求这个二次函数的表达式；
②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围.
24．定义：若抛物线与x轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.
（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），则此抛物线的顶点为 ；
（2）若抛物线y＝x2﹣bx（b＞0）是“美丽抛物线”，求b的值；
（3）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，此抛物线顶点为B（1，2），与轴交与A，C，AB与y轴交于点D，连接OB，在抛物线找一点Q，使得∠QCA＝∠ABO，求Q点的横坐标.
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【期末优化训练】浙教版2022-2023学年九上数学第1章 二次函数 测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知二次函数的部分图象如图所示， 若， 则的取值的范围是（ ）
A． B． 或
C． D．
【答案】D
【解析】由图知抛物线的对称轴是直线x=-1，与x轴一个交点横坐标是-3，
抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为1，
，
，
故答案为：D．
2．已知(-3，y1)，(-2，y2)，(1，y3)是二次函数y=-2x2-8x+m图象上的点，则( )
A．y2>y1>y3 B．y2>y3>y1 C．y1【答案】A
【解析】∵ y=-2x2-8x+m=-2（x+2）2+m+8，抛物线的开口向下，
∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
∴点(1，y3) 关于直线x=-2对称的点的坐标为（-5，y3），
∵-5＜-3＜-2，当x＜-2时，y随x的增大而增大，
∴y2>y1>y3.
故答案为：A
3．已知，二次函数y=ax2+bx-1(a，b是常数，a≠0)的图象经过A(2，1)，B(4，3)，C(4，-1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的( )
A．最大值为-1 B．最小值为-1
C．最大值为 D．最小值为
【答案】C
【解析】∵当x=2时y=2-1=1，当x=4时y=4-1=3，
∴点A，B在直线y=x-1上，
∴点A或点B是抛物线的顶点，
∵ B(4，3)，C(4，-1) 的横坐标相同，
∴抛物线不会同时经过点B，C，
∴抛物线经过点A，C，
解之：，
∴二次函数解析式为，
∵平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，
∴抛物线向左，向下平移的距离相同，
∴平移后的抛物线的解析式为，
当x=0时，，
当m=1时y的最大值为.
故答案为：C
4．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润y元，则y与x的函数关系为（ ）
A．y＝（6﹣x）（500+x）
B．y＝（13.5﹣x）（500+200x）
C．y＝（6﹣x）（500+200x）
D．以上答案都不对
【答案】D
【解析】由题意得y＝（x﹣7.5）×[500+200×（13.5﹣x）]，
故答案为：D．
5．将函数的图像绕原点O旋转180°，得到新的二次函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵函数y=-（x-2）2+3图象绕原点旋转180°，
∴新图象与原图象关于原点中心对称，
∴新的二次函数图象开口向上，顶点坐标为（-2，-3），
∴新的二次函数解析式为y=（x+2）2-3.
故答案为：B.
6．已知如图， 在正方形中， 点的坐标分别是， 点在抛物线 的图像上， 则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点D作FE⊥x轴于点F，过点A作AE⊥EF于点E，
∴∠E=∠CFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=90°，∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF
在△ADE和△DCF中
∴△ADE≌△DCF（AAS）
∴DE=CF，AE=DF，
设点D（a，b），
∵点A（-3，9），点C（2，0），
∴AE=a+3，DF=b，DE=9-b，CF=a-2，
解之：
∴点D（4，7），
∵点在抛物线 的图像上，
∴
解之：.
故答案为：A
7．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE，
又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°，
∴∠CPD+∠BPE=90°，
又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°，
∴∠BEP=∠CPD，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CDP，
∴，即，则y=﹣x2+x，y是x的二次函数，且开口向下．
故选：C．
8．如图，抛物线y=ax2+bx+c，下列结论：①a＞0：②b2-4ac＞0：③4a+b=0；④不等式ax2+（b-1）x+c<0的解集为1A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，
∴a＞0，故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点，
∴ b2-4ac＜0，故②错误：
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x==1，
∴2a+b=0，故③错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x 的交点为（1，1），（3，3），
∴当1∴ 不等式ax2+（b-1）x+c<0的解集为1故答案为：B.
9．如图，抛物线y＝x2 2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是AB，BM的中点，若△DEB与△ACD的面积比为9：10，则c的值为（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．﹣ D．﹣3
【答案】C
【解析】S△DEB＝ DB |yE|，S△ADC＝ AD |yC|，
∵D为AB中点，
∴AD＝DB，
又∵△DEB与△ACD的面积比为9：10，
∴ ＝ ，
又∵E为BM的中点，
∴|yE|＝ |yM|，
将x＝0代入解析式得，yC＝c，
∴|yE|＝| c|，
∴|yM|＝| c|，
∵yM＜0，c＜0，
∴yM＝ c，
∵M是抛物线的顶点，
∴xM＝﹣ ＝﹣ ＝2，
把x＝2代入解析式得：yM＝ ×2×2﹣2×2+c＝c﹣2＝ c，
解得c＝﹣ .
故答案为：C.
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，1），（﹣1，﹣4），且AD平行于x轴，当函数y＝x2+2mx﹣2（x≤0）的图象在矩形ABCD内部的部分均为y随x的增大而减小时，下列选项中符合条件的m的取值范围为（ ）
A．1≤m≤ B．0≤m≤
C．﹣1＜m≤1或≤m＜ D．﹣1＜m≤0或1≤m＜
【答案】C
【解析】∵y＝x2+2mx﹣2＝（x+m）2﹣m2﹣2，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝﹣m，顶点坐标为（﹣m，﹣m2﹣2），
∴抛物线顶点在抛物线y＝﹣x2﹣2上，
由题意得点D坐标为（﹣1，1），点B坐标为（﹣4，﹣4），
如图，当抛物线对称轴与CD重合时符合题意，
此时﹣m＝﹣1，
解得m＝1，
将点D（﹣1，1）代入y＝x2+2mx﹣2得1＝1﹣2m﹣2，
解得m＝﹣1，
∴﹣1＜m≤1时符合题意.
将点C（﹣1，﹣4）代入y＝x2+2mx﹣2得﹣4＝1﹣2m﹣2，
解得m＝ ，
将点B（﹣4，﹣4）代入y＝x2+2mx﹣2得﹣4＝16﹣8m﹣2，
解得m＝ ，
∴ ≤m＜ 符合题意，
综上所述，﹣1＜m≤1或 ≤m＜ .
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可知二次函数的对称轴为直线 ，二次函数图象的开口向下，
∵当 时，y随x的增大而减小，
∴ ，
解得： ；
故答案为： .
12．如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x轴，拱桥的拱点O为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数表示（单位：m）．已知目前桥下水面宽4m，若水位下降1.5m，则水面宽为 m．
【答案】8
【解析】目前桥下水面宽4m，
即x=2时，
当水位下降1.5m，即
此时水面的宽为8m
故答案为：8.
13．如图，二次函数与一次函数的图像相交于点，则使成立的x的取值范围是
【答案】x＜-2或x＞8
【解析】∵抛物线与直线交点坐标为，
∴或时，抛物线在直线的上方，
∴使成立的x的取值范围是x＜-2或x＞8
故答案为：x＜-2或x＞8.
14．已知关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝m，x2＝8﹣m，若点P是二次函数y＝x2+bx﹣c的图象与y轴的交点，过P作PQ⊥y轴交抛物线于另一交点Q，则PQ的长为 ．
【答案】8
【解析】∵方程x2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝m，x2＝8﹣m，
∴x1+x2＝m+8﹣m=-b，m（8-m）=c，
∴b=-8，
∴抛物线y＝x2+bx﹣c的对称轴为直线x=4，
∵点P，Q关于对称轴对称，
∴PQ=8.
故答案为：8.
15．已知抛物线y＝（x﹣3）2+4，当1≤x≤4时，函数值y的取值范围是 .
【答案】4≤x≤8
【解析】∵y＝（x﹣3）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（3，4），
∴当x＝3时有最小值是4；
当x＝1时，y＝8，
当x＝4时，y＝5，
∴当1≤x≤3时，函数值y的取值范围为4≤x≤8；
故答案为4≤x≤8.
16．如图，正方形ABCD中，AD=4,AE=3DE,点P在AB上运动（不与A、B重合），过点P作PQ EP，交CB于点Q，则BQ的最大值是 .
【答案】
【解析】在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，
且PQ⊥EP
∴∠AEP+∠APE=90°， ∠QPB+∠APE=90°
∴∠AEP=∠BPQ
又∠A=∠B=90°
∴△APE∽△BQP
∴ ，
又AD=4，AE=3DE，
∴AE= ，DE=4-3=1，
设BQ=y，AP=x，则BP=4-x，
∴
化简得： ，
整理得： ，
∴当x=2时，y有最大值为 ，即BQ的最大值是 ，
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式，并求出的最大值．
【答案】（1）解：把A（-4，0），C（2，0）代入y=x2+bx+c得，
，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-4
（2）解：如图，过点M作MN⊥AC，垂足为N，
抛物线y=x2+x-4与y轴的交点B坐标为（0，-4），即OB=4，
又∵M（m，m2+m-4），
∴ON=-m，MN=-m2-m+4，AN=4-（-m）=4+m，
∴S△ABM=S△ANM+S梯形MNOB-S△AOB
=（4+m）（-m2-m+4）+（-m2-m+4+4）（-m）-×4×4
=-m2-4m
=-（m+2）2+4，
∴当m=-2时，S最大=4，
答：S与m的函数关系式为S=-m2-4m，S的最大值为4．
18．已知抛物线 经过点 .
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标.
（2）直线 交抛物线于点 ， ， 为正数.若点 在抛物线上且在直线 下方（不与点 ， 重合），分别求出点 横坐标与纵坐标的取值范围，
【答案】（1）解：把 代入 ，得 ，
解得 ，
抛物线的函数表达式为 ，
配方得 ，
顶点坐标为
（2）解：当 时， .
当 时， ，解得 ， .
为正数，
.
点 在抛物线上且在直线 的下方（不与点 ， 重合），
.
∵ ＞0
∴开口向上，当x=1时函数取得最小值=-9
∴当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，
当x=-4时，y=16，当x=5时y=7，
19．小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径 ，且点A，B关于y轴对称，杯脚高 ，杯高 ，杯底MN在x轴上.
（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）.
（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体 所在抛物线形状不变，杯口直径 ，杯脚高CO不变，杯深 与杯高 之比为0.6，求 的长.
【答案】（1）解：设 ，
∵杯口直径 AB=4 ，杯高 DO=8 ，
∴
将 ， 代入，得 ，
（2）解： ，
，
， ，
当 时， ，
或 ，
，
即杯口直径 的长为
20．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
【答案】（1）解：y=-x2 +6x-5=-(x-3)2+4，
∴顶点坐标为(3，4)；
（2）解：∵顶点坐标为(3, 4)，∴当x=3时，y最大 =4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，当x=1时，y最小值=0，
:当3∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0.
（3）解：当 t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3<3时，即t<0，y随着x的增大而增大，
当x=t+3时，m=-(t+3) +6(t+3)-5=-t2+4，
当x=t时，n=-t2+6t-5，
∴m-n=-t2 +4-(-t2+6t-5)=-6t+9，
∴-6t+9=3，解得t=1 (不合题意，舍去)；
②当0≤t<3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m=4，
ⅰ）当0≤t≤时，在x=t时，n=-t2+6t-5，
∴m-n=4-(-t2+6t-5)=t2-6t+9，
解得t1=3-，t2=3+(不合题意，舍去) .
ⅱ)当m-n=4-(-t2 +4)=t2 ，
∴t2 =3，解得t1=，t2=- (不合题意，舍去) ；
③当t≥3时，y随着x的增大而减小，
当x=t时，m=-t2 +6t-5，
当x=t+3时，n=-(t+3)2 +6(t+3)-5=-t2 +4，
∴ m-n=-t2+6t-5-(-t2 +4)=6t-9，
∴6t-9=3，解得t=2 (不合题意，舍去)，
综上所述，1=3-或.
21．在直角坐标系中，设函数 （ ， 是常数， ）。
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a、b的值，使函数y=ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由.
（3）已知 ，当 ， （ ， 是实数， ）时，该函数对应的函数值分别为P，Q。若 ，求证：P+Q>6 。
【答案】（1）解：把点 和 代入得： ，
解得 ，
∴ ，则化为顶点式为 ，
∴该函数图象的顶点坐标是 ；
（2）解：例如 ， ，此时 ；
∵ ，
∴函数 图象与 轴有两个不同的交点；
（3）证明：由题意，得 ， ，
∵ ，
∴
，
由题意，知 ，
所以 .
22．随州某药店经销甲、乙两种口罩，若甲种口罩每包利润10元，乙种口罩每包利润20元，则每周能卖出甲种口罩40包，乙种口罩20包.突如其来的新冠病毒严重影响人们生活，口罩成为人们防疫的必须品，为了解决人们所需，药店决定把甲、乙两种口罩的零售单价都降价x元，回报顾客.经调查，甲、乙两种口罩零售单价分别每降1元，这两种口罩每周可各多销售10包.
（1）直接写出甲、乙两种口罩每周的销售量 ， （包）与降价x（元）之间的函数关系式；
（2）药店每周销售甲、乙两种口罩获得的总利润为W（元）；
①如果每周甲种口罩的销售量不低于乙种口罩的销售量的 ，求W的最大值；
②若每周总利润W（元）不低于1340元，求x的范围.
【答案】（1） ，
（2）解：①甲的利润为 ，乙的利润为
∴
∵每周甲种口罩的销售量不低于乙种口罩的销售量的 ，
∴
∴
∵当 时 随x的增大而增大
∴当 时W的最大，此时
∴最大值是1440元；
②当 时
解得
∵
∴
【解析】（1）∵甲、乙两种口罩零售单价分别每降1元这两种口罩每周可各多销售10包
∴ ，
23．如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）.
①求这个二次函数的表达式；
②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围.
【答案】（1）解：①把(3，1)代入y=a(x-2)2-1，解得a=2，
∴y=2(x-2)2-1
②由①可得y=2(x-2)2-1，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，-1).
∵x2-x1=3，y1=y2，
∴MN∥x轴，
∴根据图象的对称性得
∴
∴
∴顶点到MN的距离为 .
（2）解：①如图1，
若点M，N在对称轴异侧，
∴
由(1)得 .
∴
最大值： ，最小值：-1，
∴
∴
∵在 范围内有： ，
∴ .
②如图2，
若点M，N在对称轴异侧， ，由(1)得 .
∴
最大值： ，最小值： ，.
∵
∴
∵在 范围内有 ，
∴
综上所述， .
24．定义：若抛物线与x轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.
（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），则此抛物线的顶点为 ；
（2）若抛物线y＝x2﹣bx（b＞0）是“美丽抛物线”，求b的值；
（3）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，此抛物线顶点为B（1，2），与轴交与A，C，AB与y轴交于点D，连接OB，在抛物线找一点Q，使得∠QCA＝∠ABO，求Q点的横坐标.
【答案】（1）（3，2）或（3，-2）
（2）∵抛物线的解析式为 ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（b，0），抛物线的顶点坐标为（ ， ）
∴由“美丽抛物线的”定义可知
∴解得 ；
∵ ，
∴ ；
（3）如图，过点B作BE⊥AC于E，过点O作OM⊥AB于M，
由题意得△ABC为等腰直角三角形，AB=BC，∠ABC=90°，
∴AE=CE=BE，
∵B（1，2），
∴AE=CE=BE=2，OE=1，
∴AO=1，OC=3，
∴A（-1，0），C（3，0）
∴抛物线解析式为 ，
把B（1，2）代入抛物线解析式得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为
∵ ， ，
，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
设Q（m， ），
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去）或 或 ，
∴Q点的横坐标为 或 .
【解析】（1）∵抛物线与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），
∴抛物线的对称轴为 ，
∴由“美丽抛物线的”定义可知，抛物的顶点到x轴的距离
∴抛物线顶点的坐标为（3，2）或（3，-2），
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