6.4 线段的和差培优训练卷（含解析）

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6.4 线段的和差 培优训练卷
一、选择题
1．如图，C是的中点，D是的中点，下列等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点C，D为线段AB上两点，AC+BD＝10，，设CD＝t，则方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
3．若C，D是线段上任意两点，M，N分别是，的中点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．以上均不对
4．已知线段，点C为直线上一点，且，点D为线段的中点，则线段的长为（　　）
A． B． C．或 D．或
5．己知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（ ）
A． B． C．1或 D．或2
6．已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
7．如图，是线段的中点，在线段上，，则的长是___________．
8．已知线段AB的长为12，M为线段AB的中点，若C点将线段MB分成MC：CB=1：2，则线段AC的长为________________．
9．如图，C是线段的中点，D是上一点，E是线段DB的中点，，且，则线段的长为______．
10．如图，已知AB和CD的公共部分，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10cm，则AB的长是______．
11．在一条直线上顺次取A、B、C三点，已知，点O是线段的中点，且，则的长是___________．
12．如图（1）．点在线段上．图中共有三条线段： 线段， 线段， 线段， 若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两掊， 则称点为线段的 “奇分点”．若， 如图（2）， 点从点开始以每秒3cm的速度向A运动，当点M到达A点时停止运动，运动的时间为t秒．当t=_____________秒，M是线的“奇分点" （写出一种情况即可）， 如果同时点从点A的位置开始以每秒2cm的速度向点B运动， 如图（3）所示， 井与点同时停止， 则当___________秒，M是线段AN的“奇分点”．
三、解答题
13．如图，已知点D是线段上一点，点C是线段的中点，且，若，求线段的长．
14．已知线段上有两点C、D，使得，M是线段的中点，点N是线段上的点，且满足，，求的长．
15．已知，点在线段上，
(1)试说明和有怎样的关系？
(2)若，求的长
16．已知点D为线段的中点，点C在线段上．
(1)如图1，若，求线段的长；
(2)如图2，若，点E为中点，，求线段的长．
17．如图，已知点C为线段上一点，，，分别是、的中点．求：
(1)求的长度；
(2)求的长度；
(3)若M在直线上，且，求的长度．
18．如图，已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点
(1)如图1，若，，求的长；
(2)若，求的值；
(3)若，，取的中点G，的中点H，的中点P，求的长(用含a的式子表示)．
19．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝30cm，AB＝90cm，BC＝15cm，点P从点O出发，沿OM方向
以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动．
(1)若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？
(2)当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度；
(3)当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值．
20．如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足，点M，N分别为AB，CD中点．
(1)求线段AB，CD的长；
(2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长；
(3)若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．
参考答案
1．C
【分析】根据C是的中点，D是的中点，得到，结合线段的和与差，计算判断选择即可．
【详解】解：C是的中点，D是的中点，
，
A、，此选项正确，故不符合题意；
B、，此选项正确，故不符合题意；
C、，此选项错误，故符合题意；
D、，此选项正确，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是掌握线段的中点把线段分成相等的两条线段．
2．D
【分析】先根据线段的和差运算求出t的值，再代入，解一元一次方程即可得．
【详解】解：∵AD+BC＝AC+CD+CD+BD＝AC+BD+2CD，
AB＝AC+CD+BD，
AC+BD＝10．
∴AB＝10+CD，AD+BC＝10+2CD，
∵AD+BC＝AB，设CD＝t，
∴10+2t＝(10+t)，
解得t＝2.5，
把t＝2.5代入，得
3x﹣7x+7＝2×2.5﹣2x﹣6，
3x﹣7x+2x＝5﹣6﹣7，
﹣2x＝﹣8，
x＝4．
故选：D．
【点睛】此题考查了线段的和差、一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握方程的解法．
3．D
【分析】分两种情况讨论，当点C在点D的左侧时，当点C在点D的右侧时，根据图象，分别求解即可．
【详解】由题意得，
当点C在点D的左侧时，如图，
；
当点C在点D的右侧时，如图，
；
综上，的长为或，
故选：D．
【点睛】本题考查了表示线段的长短，能够利用中点性质转化线段之间的关系并运用分类讨论的思想是解题的关键．
4．D
【分析】根据题意画出图形，再分点C在线段上或线段的延长线上两种情况进行讨论．
【详解】解：如图1所示，
∵线段，，
∴，
∵点D为线段的中点，
∴，
∴，
如图2所示，
∵线段，，
∴，
∵点D为线段的中点，
∴，
∴；
综上所述，线段的长为或，
故选：D．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
5．C
【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题．
【详解】当N在射线BA上时，，不合题意
当N在射线AB上时，，此时
当N在线段AB上时，
由图可知
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查线段和差计算，解题的关键是画出图形根据图像找到线段直接的和差关系．
6．D
【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．
【详解】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AM﹣AC==．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．
∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC+AM==．
综上所述：MC的长为或（a＞b）或（a＜b），即MC的长为或．
故选D．
【点睛】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．
7．
【分析】根据线段的中点的性质，得出，根据即可求解．
【详解】解：∵是线段的中点，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段的中点的性质，，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
8．8
【分析】先根据线段中点的定义求出AM与BM的长，再根据MC与CB的数量关系求出MC的长即可求出AC的长．
【详解】解：∵M是线段AB的中点，AB=12，
∴，
∵MC：CB=1：2，
∴，
∴AC=AM+MC=8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，正确求出AM，MC的长是解题的关键．
9．
【分析】利用，，求得,再根据C是线段的中点即可求得的长,利用即可求解．
【详解】解：∵，，
∴,
∵C是线段的中点，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查两点间距离，线段的中点的定义、线段的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于基础题．
10．12cm
【分析】设BD=x，则AB=3x，CD=4x，根据线段中点定义可得BE =，DF =2x，根据EF=BE－BD+DF求得x，即可求得AB的长．
【详解】解：∵，
∴设BD=x，则AB=3x，CD=4x，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴BE=AB=，DF=CD=2x，
∵EF=BE－BD+DF=－x+2x=10，
∴x=4，
∴AB=3x=12（cm），
故答案为：12cm．
【点睛】本题考查与线段中点有关的计算、解一元一次方程，利用方程思想解决线段之间的数量关系是解答的关键．
11．3或9##9或3
【分析】分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，根据线段中点的定义、线段的和差进行计算即可得．
【详解】解：①如图，当点在点的左侧时，
，，
，
点是线段的中点，
，
；
②如图，当点在点的右侧时，
，，
，
点是线段的中点，
，
；
综上，的长是或，
故答案为：3或9．
【点睛】本题考查了线段的中点、以及线段的和差，正确分两种情况讨论是解题关键．
12． 或或； 或或
【分析】画出图形根据“奇分点”定义列出三个等式即可求解．
【详解】根据题意：，，，
（1）当M是线段的“奇分点"时
①AM=2BM，此时，解得；
②BM=2AM，此时，解得；
③AB=2BM，此时，解得；
∴当M是线段的“奇分点"时，t的值为或或；
（2）∵M是线段AN的“奇分点”．
∴M点在线段AN上，即,
∴，
①AN=2MN，此时M为AN中点，，解得；
②AM =2MN，此时，解得；
③MN=2AM，此时，解得；
∴当M是线的“奇分点"时，t的值为或或；
【点睛】本题考查了线段和差关系、列代数式，解决本题的关键是分情况讨论思想的利用．
13．线段的长为
【分析】根据得出的长度，从而得出的长度，然后根据点C是线段的中点可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵点C是线段的中点，
∴，
答：线段的长为．
【点睛】本题考查了线段的和差倍分，线段中点的计算，熟练掌握线段中点的计算是解本题的关键．
14．7或
【分析】设，则，，根据题意得，计算得，即可得，，，，根据点M是线段的中点得，根据，得，分以下两种情况：①当点N在线段上时， ②当点N在线段上时，进行计算即可得．
【详解】解：设，则，，
∵，
∴，
解得，
∴，，，，
∵点M是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
分以下两种情况：
①当点N在线段上时，，
②当点N在线段上时，，
综上所述，线段的长度为7或．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的计算，线段的中点的性质，解题的关键是掌握线段中点的性质，分类讨论．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据，即可求解．
（2）根据求得，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵．
【点睛】本题考查了线段和差，数形结合是解题的关键．
16．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用线段的和差关系可以先求出的长，再利用中点的定义求出，即可求出的长；
（2）根据线段中点的定义结合已知求出，进而可得和的长，然后根据求出即可解决问题．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵点D为线段的中点，
∴，
∴；
（2）解：∵点E为中点，
∴，
∵点D为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查线段的和差计算，熟练掌握中点的定义和线段的和差关系是解题的关键．
17．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）直接根据是的中点可得答案；
（2）先求出的长，然后根据是的中点求出，做好应即为的长；
（3）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可．
【详解】（1）解： 由线段中点的性质，
；
（2）由线段的和差，
得，
由线段中点的性质，
得，
由线段的和差，得
；
（3）当M在点B的右侧时，
；
当M在点B的左侧时，
，
∴的长度为或．
【点睛】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据线段中点的性质，进行线段的和差运算，即可求得；
(2)设，，则，，根据线段中点的性质，进行线段的和差运算，可得，据此即可求得；
(3)设，，即，则，，根据线段中点的性质，进行线段的和差运算，即可求得．
【详解】（1）解：为的中点，E为的中点，
，，
，
为的中点，
∴，
；
（2）解：设，，则，，
，
为的中点，
，
∴；
，
，
，
，
即的值为；
（3）解：如图，
设，，即，则，，
的中点为G，的中点为H，
，，
，
的中点为P，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了线段中点的有关运算，线段的和差运算，熟练掌握和运用线段中点的有关运算是解决本题的关键．
19．(1)经过45s后P、Q两点相遇
(2)v＝cm/s或v＝cm/s
(3)2
【分析】（1）根据题意的路程和为的长，据此列出方程，解方程即可求解；
（2）设Q的速度为vcm/s，经过ts后，若点O对应数轴上的0，则点A对应数轴上的30，点B对应数轴上的120，点C对应数轴上的135，根据点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，可得＝135﹣vt，根据PA＝2PB，建立绝对值方程，解方程并检验即可求解；
（3）设经过ts时，点P在AB之间，根据题意点E对应数轴上的数是t，点F对应数轴上的数是＝75，进而用含的式子表示，代入即可求解．
（1）
解：设经过ts，P、Q两点相遇，
∴2t+t＝30+90+15，
解得：t＝45，
答：经过45s后P、Q两点相遇．
（2）
设Q的速度为vcm/s，经过ts后，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，
若点O对应数轴上的0，则点A对应数轴上的30，点B对应数轴上的120，点C对应数轴上的135，
∴点P对应数轴上的数是t，点Q对应数轴上的135﹣vt，
∵点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，
∴＝135﹣vt，
∴vt＝75，
∵PA＝2PB，
∴|t﹣30|＝2|t﹣120|，
∴解得：t＝90或t＝210，
当t＝90s时，90v＝75，
∴v＝，
而点Q到达O点所需要时间为＝142s＞90s，
当t＝210时，210v＝75，
∴v＝，
而点Q到达O点所需要的时间为＝378＞210s，
综上所述，v＝cm/s或v＝cm/s；
（3）
设经过ts时，点P在AB之间，
点O对应数轴上的数是0，点A对应数轴上的数是30，点B对应数轴上的数是120，点C对应数轴上的数是135，
∴点P对应数轴上的数是t，
∵OP和AB的中点E，F，
∴点E对应数轴上的数是t，点F对应数轴上的数是＝75，
∴EF＝75﹣t，AP＝t﹣30，OB＝120，
∴＝＝2．
【点睛】本题考查了线段中点的性质，一元一次方程的应用，列代数式以及代数式求值，解题的关键是熟练运用两点间的距离公式，转化为数轴上的动点问题．
20．(1)线段AB的长是4，线段CD的长是8
(2)16或8
(3)当时，MN+AD为定值，定值为6
【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求出m和n的值即可；
（2）分在的左侧和在的右侧两种情况，根据线段的和差关系列出方程，即可求解；
（3）由题意，运动t秒后，，，分段讨论即可求解．
（1）
解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
即线段AB的长是4，线段CD的长是8；
（2）
解：∵，，
∴，，
设运动后点M对应点为，点N对应点为，分两种情况，
若6秒后，在的左侧时：，
∴，
即，
解得．
若6秒后，在的右侧时：，
∴，
即，
解得．
即线段BC的长为16或8；
（3）
解：∵BC＝24，，，
∴，，
∵线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，
∴运动t秒后，，，
当时，；
当时，；
当时，；
故当时，MN+AD为定值，定值为6．
【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想．