第四章 图形与坐标单元测试卷（困难）（含答案）

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浙教版初中数学八年级上册第四章《图形与坐标》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点、、、在轴上，，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A. B. C. D.
我们把，，，，，，，，这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作圆弧，，，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结，，，得到螺旋折线如图，已知点，，，则该折线上的点的坐标为( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，已知，，点为线段外一动点，且，以为边作等边，则线段的最大值为( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到，，第次移动到则的面积是( )
A. B. C. D.
点到轴的距离是( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个动点，点是轴正半轴上的点，于点已知，点到原点的最大距离为( )
A. B. C. D.
如图，点的坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为 ( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴在正半轴、轴正半轴分别交、两点，在的延长线上，平分，平分，则的度数是( )
A. B. C. D.
已知，则关于轴对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，已知，要在坐标轴上找一点，使得为等腰三角形，这样的点有几个( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
已知等边三角形的高是边长的倍，在平面坐标系中，点的坐标为，点为轴上一个动点，以为边构造等边，且、、按逆时针排列，若长度为，则最小时的坐标是______．
如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边在轴正半轴上，点在第一象限，且，将绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的倍即，得到同理，将绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的倍，得到，，依此规律，得到，则点的纵坐标为________．
在平面直角坐标系中，点到原点的距离是___________．
点在第一象限，则的取值范围是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知直角的顶点，，是直角顶点，斜边长为，求顶点的坐标．
本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，将进行平移，平移后点，，的对应点分别是点，，，点，点，点，点．
若，求的值；
若点，其中直线交轴于点，且的面积为，试探究和的数量关系，并说明理由．
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速移动．
直接写出点的坐标______；的坐标______；的坐标______．
当，分别在线段，上时，连接，，当时，求出点的坐标；
在，运动的过程中，当时，请直接写出和的数量关系．
本小题分
综合与探究
在平面直角坐标系中，点在第四象限，将线段平移至线段的位置，点的对应点是点，点的对应点是点．
如图，点的坐标是，点的坐标是，连接若在轴上存在一点，使得三角形的面积是三角形的面积的倍，求点的坐标．
如图，当点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，且时，试猜想与的数量关系，并说明理由．
本小题分
已知：在平面直角坐标系中，等腰直角顶点、分别在轴、轴上，且，．
如图，当，，点在第四象限时，先写出点的坐标，并说明理由．
如图，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点，试判断，，之间的关系，请证明你的结论．
本小题分
在平面直角坐标系中，我们规定：点关于“的衍生点”，其中为常数且，如：点关于“的衍生点”，即．
求点关于“的衍生点”的坐标；
若点关于“的衍生点”，求点的坐标；
若点在轴的正半轴上，点关于“的衍生点”，点关于“的衍生点”，且线段的长度不超过线段长度的一半，请问：是否存在值使得到轴的距离是到轴距离的倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动．
直接写出点的坐标，和位置关系是______；
如图当、分别在线段，上时，连接，，使，求出点的坐标；
在、的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系．
本小题分
阅读下列一段文字，然后回答问题．
已知在平面内两点，，两点间的距离当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴时，两点间的距离公式为或已知，，试求，两点间的距离；
已知点，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为，点的纵坐标为，试求，两点间的距离．
已知一个三角形各顶点坐标为、、，请写出此三角形的形状______．
在的条件下，平面直角坐标系中，若为动点，请写出使为等腰直角三角形的点坐标______．
本小题分
长方形在平面直角坐标系内位置如图所示，点，分别在轴，轴上，点在上，点在 上，沿折叠，使点与点重合，点与点重合．
求点坐标；
若点在坐标轴上，且面积是，请直接写出点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．
根据第四象限内点的坐标特点列出关于的不等式组，求出的取值范围，并在数轴上表示出来即可．
【解答】
解：点在第四象限，
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标的变化规律，理解题意，求出“凸”形的周长是解题关键先根据已知点的坐标，求出凸形的周长为，根据的余数为，即可得出答案．
【解答】
解：，，，，，
“凸”形的周长为：，
，余数为，
细线另一端所在位置的点在处上面个单位的位置，坐标为．
故选A．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了图形规律的问题和点的坐标的确定，观察图象，推出的位置，即可解决问题．本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定的位置．
【解答】
解：由题意，在的正上方，推出在的正上方，且到的距离，
所以的坐标为，
故选B．
4.【答案】
【解析】解：如图所示，
是等边三角形，点在圆心为，半径为的上运动，
点的运动轨迹也是圆，
当点时，点与重合，当时，点与重合，点所在的的直径，
，当点在的延长线上时，的值最大，最大值为，
故选：．
是等边三角形，点在圆心为半径为的上运动，推出点的运动轨迹也是圆，当点时，点与重合，当时，点与重合，点所在的的直径，利用点与圆的位置关系即可解决问题．
本题考查旋转变换、动点问题、等边三角形的性质、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用特殊位置解决轨迹问题中的直径的长，属于中考选择题中的压轴题．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】解：，
点到轴距离为．
故选：．
纵坐标的绝对值就是点到轴的距离．
本题考查了点的坐标的几何意义：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值．
7.【答案】
【解析】解：点关于原点对称点的坐标是．
故选C．
根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，，，如图，
为的中点，，
．
，
．
当，，三点不在一条直线上时，，
当，，三点在一条直线上时，，
当，，三点在一条直线上时，点到原点的最大距离为．
故选：．
取的中点，连接，，，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，利用勾股定理求得，利用三角形两边之和大于第三边，可知当，，三点在一条直线上时，点到原点的距离取得最大值，结论可求．
本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边之间的关系定理，利用当，，三点在一条直线上时，点到原点的距离取得最大值解答是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：线段最短，说明此时为点到的距离．
过点作垂直于直线的垂线，
直线与轴的夹角，
为等腰直角三角形，
过作垂直轴，垂足为，
则为中垂线，
则作图可知在轴下方，轴的左方．
点的横坐标为负，纵坐标为负，
当线段最短时，点的坐标为
故选：．
过点作垂直于直线的垂线，此时线段最短，因为直线的斜率为，所以，为等腰直角三角形，过作垂直轴垂足为，则因为在第三象限，所以点的坐标为
本题考查了动点坐标的确定，还考查了学生的动手操作能力，本题涉及到的知识点为：垂线段最短．
10.【答案】
【解析】解：，
，．
平分，
．
平分，
，
．
故选：．
由即可得出、，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出的度数．
本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了关于轴对称点的性质，非负性有关知识，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案．
【解答】
解：，，
，
点，
点关于轴的对称点的坐标为：
故选A．
12.【答案】
【解析】解：如图所示，使得为等腰三角形，这样的点有个．
故选B．
建立平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点的位置，即可得解．
本题考查了等腰三角形的判定，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
13.【答案】
【解析】解：如图，在轴上取点，连接，，
，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
即点在的直线上运动，
当时，最小，
，，
，
，
故答案为：
在轴上取点，连接，，首先可得为等边三角形，再利用说明≌，得，即点在的中线上运动，从而解决问题．
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，确定点的运动路径是解题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了点的坐标变化规律，旋转的性质，得出点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案．
【解答】
解：是直角三角形，，，
，，
，
将绕原点逆时针旋转得到直角三角形，且，
再将绕原点逆时针旋转得到，且，依此规律，
每次循环一周，，，，，，
，
点与同在一个象限内，
点的纵坐标，点的纵坐标，，
点的纵坐标为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两点间的距离公式，解题的关键是正确运用两点距离公式，本题属于基础题型．根据两点间的距离公式即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：到坐标原点的距离：，
故答案为．

16.【答案】
【解析】解：点在第一象限，
，
解得，
故答案为．
在第一象限内的点的横纵坐标均为正数，列式求值即可．
本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，此特点常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．
17.【答案】解：如图所示：
易知是直角顶点，斜边长为，可得则点在轴．
当点在点左边时，点的横坐标为，点；
当点在点右边时，点的横坐标为，点．
【解析】解决本题的关键是根据勾股定理得到直角三角形的另一直角边，需注意点的位置的两种情况可在坐标系内画出草图分析求解．
18.【答案】解：当时，由平移得到，
，的对应点分别为，，
可得，解得
故的值为；
．
理由如下：由平移得到，
点，点的对应点分别为，点，
可得
由得，
把代入，得，
，即点与点的纵坐标相等，
轴，
点，
的面积，
，
，，
，
，
，，．
又在平移中点与点是对应点，
，
，，
．
【解析】本题考查了坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积，有一定难度．
当时，得出、、、四点的坐标，再根据平移的规律得到，即可求出的值；
由平移的规律得出，变形整理得到，那么轴，根据三角形的面积，求出，，，根据点与点是对应点，得出，然后求出与的值即可．
19.【答案】
【解析】解：，，，，
，，，
解得：，，，
的坐标，的坐标，的坐标，
故答案为：，，；
过点作，垂足为点，
由题意可得，，，，
设运动时间经过秒，则，，
，
，，
，
，
解得：，
，
，
点的坐标为；
或，理由：
过点作轴，交直线与点，
的坐标，的坐标；
，
，，
，
，，
如图，当在的下方时，，
，
当时，，即；
如图，当在的上方时，
，
，
，
，即，
综上所述：和的数量关系是或．
根据算术平方根和偶次方的非负性求出、、的值，从而得到点、、的坐标；
表示出秒时点和点的坐标，用含的式子表示出和的面积，根据题意列出关于的方程，求出即可确定的坐标；
分在的上方、在的下方两种情况，过点作轴，交与点，根据平行线的性质即可确定和的数量关系；
本题考查的是平行线的性质、非负数的性质、平面直角坐标系和三角形的面积公式，解题的关键是能利用非负数的性质求出和的值，确定点，，的坐标，灵活运用分情况讨论思想也是解答此题的关键．
20.【答案】解：设．
由题意，，
，
，
则有，
，
或
猜想：．
理由：如图中，设交于点．
，
，
，
．
【解析】设，构建方程求解；
利用平行线的性质以及三角形的外角的性质证明即可．
本题考查坐标与图形的变化平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：点的坐标为．
理由如下：作轴于，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，，
，
在第四象限，
点的坐标为；
．
证明：作轴于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
轴于，
轴，
轴于点，轴于点，
，
，
，
．
【解析】过点作轴于，利用同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求出，再根据点在第四象限写出点的坐标即可；
过点作轴于，利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后代入、、整理即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
22.【答案】解：点关于“的衍生点”的坐标为：，
即；
设，
点关于“的衍生点”，
，
解得：，
点的坐标为；
点在轴的正半轴上，
设，
点关于“的衍生点”，则，
即，
点关于“的衍生点”，则，
即，
线段的长度不超过线段长度的一半，
，
，
，
，
到轴的距离是到轴距离的倍，即，
，
，
到轴的距离是到轴距离的倍与没关系，
．
【解析】由衍生点的定义即可得出结果；
设，由点关于“的衍生点”，得出，解方程即可得出结果；
设，求出，，由线段的长度不超过线段长度的一半，得出，，解得，由到轴的距离是到轴距离的倍，即，得出，到轴的距离是到轴距离的倍与没关系，即．
本题是三角形综合题，主要考查了图形与坐标的性质、新概念衍生点、解二元一次方程组、一元一次不等式等知识，熟练掌握衍生点的定义是解题的关键．
23.【答案】平行
【解析】解：，
，，
，，
，，，
，
故答案为：平行；
过点作于，设时间经过秒，，则，，，，，
，，
，
，
解得，，
，
，
点的坐标为；
或．
理由如下：
当点在点的上方时，过点作，如图所示，
，
，，
，
，
，
，即；
当点在点的下方时；过点作 如图所示，
，
，，
，
，
，
，
即，
综上所述，或．
根据非负数的性质分别求出、，得到点的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系；
过点作于，根据三角形的面积公式求出，得到点的坐标；
分点在点的上方、点在点的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．
本题属于三角形综合题，考查的是三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
24.【答案】等腰直角三角形 ；；；；；
【解析】解：，，
；
平行轴，
、两点的横坐标相同，
点的纵坐标为，点的纵坐标为，
；
、、，
，，，
，
是等腰三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
、，，
当以为顶点时，等腰直角三角形中的点坐标为，；
当以为顶点时，等腰直角三角形中的点坐标为，；
当以为底边时，等腰直角三角形中的点坐标为，；
使为等腰直角三角形的点坐标为；；；；；．
故答案为：；；；；；．
由公式即可求解；
根据与坐标轴平行的点的坐标的特征可得、两点的横坐标相同，结合，两点坐标可求解；
用公式分别求出，，，即可判断的形状；
可分三种情况：当以为顶点时，当以为顶点时，当以为底边时，结合等腰直角三角形的性质可求解点坐标．
本题考查平面内两点间距离，熟练掌握平面直角坐标系中两点距离的求法，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
25.【答案】解：作于点，
由已知条件得：，， ，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，，，．
【解析】
【分析】
本题考查轴对称的性质，勾股定理，三角形的面积和等腰三角形的性质．
作于点，由面积法求的的值，再由勾股定理的方程，解方程即可．
分两种情况讨论当在轴上和轴上分别求出点的坐标即可．
【解答】
解：见答案；
当在轴上时，连接交轴于，由面积是得，
所以或
当在轴上时，由面积是得，
所以或，
综上所述点坐标为，，，
．
故答案为，，，．
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