3.2三角形的内切圆[下学期]
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课件21张PPT。7.9 三角形的内切圆例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切．（1）作圆的关键是什么?提出以下几个问题进行讨论：（2）假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三
角形三边都相切，圆心I应满足什么
条件?（3）这样的点I应在什么位置? （4）圆心I确定后半径如何找？结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个．ABCIMND例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆. 1、 如图1，△ABC是⊙O的 三角形。
⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC的 ，
它是三角形 的交点。13、如图2，△DEF是⊙I的 三角形， ⊙I是
△DEF的 圆，点I是 △DEF的 心，它是三角
形 的交点。2、定义：和三角形各边都相切的圆
叫做 ，内切圆
的圆心叫做三角形的 ，这
个三角形叫做 。三角形的内切圆内心圆的外切三角形外切内切内角平分线三角形内心的性质：1、三角形的内心到三角形各边的距离相等；
2、三角形的内心在三角形的角平分线上； 1、三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等；
2、三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上； 三角形外心的性质：（三角形外接圆的圆心）定义：和多边形各边都相切的圆
叫做 ，这个
多边形叫做 。
多边形的内切 圆圆的外切多边形内切外切如上图，四边形DEFG是⊙O的 四
边形，⊙O是四边形DEFG的 圆， 判断题：
1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3、等边三角形的内心和外心重合； （ ）
4、三角形的内心一定在三角形的内部（ ）
5、菱形一定有内切圆（ ）
6、矩形一定有内切圆（ ）
错错对对 错 对
（2）若∠A=80 °，则∠BOC= 度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A= 度。
解（1）∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠OBC= ∠OBA= ∠ABC= 25 °
同理 ∠OCB= ∠OCA= ∠ACB=35 °
∴ ∠BOC=180 °－ （∠OBC＋ ∠OCB） = 180 °－60 °=120 ° 13020（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样
的数量关系？请说明理由。
理由： ∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠OBC= ∠ABC， ∠OCB= ∠ACB
∴ ∠OBC＋ ∠OCB = （∠ABC+ ∠ACB）
= （180 ° － ∠A ）= 90 ° － ∠A
在△ABC中， ∠BOC =180 °－（ ∠OBC＋ ∠OCB ）
= 180 °－（ 90 ° － ∠A ）= 90 °+ ∠A
答： ∠BOC =90 ° + ∠A
例2：如图，设△ABC的边BC=a，CA=b，AB=c， s=（a+b+c）/2，内切圆O和各边分别相切于D，E，F。 求证：AD=AF=s-a，BE=BD=s-b，CF=CE=s-c。（三）、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：ABCOIabc直角三角形外接圆、内切圆半径的求法 思考题： 如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？
解： ∵雕塑中心M到道路三边的距离相等
∴点M是△ABC的内心，连结AM、BM、CM，设⊙M的半径为r米，⊙M分别切AC、BC、AB于点D、E、F，则MD⊥AC， ME ⊥BC， MF ⊥AB，则MD= ME= MF=r，
∵在Rt △ABC 中，AC=40，BC=30， ∴AB=50
∵ △ABC的面积为 AC·BC= × 40×30= 600，又∵ △ABC
的面积为 （AC·MD+BC ·ME+AB ·MF）=20 r+15 r+25 r=60 r
∴60 r= 600， r=10
答：镇标雕塑中心离道路三边的距离为10米。
课堂小结：
1、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 .
2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出
三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的
内切圆、圆的外切多边形的概念。
3、学习 时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与
“外心”的区别，
4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运
用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。
谢谢, 再见 ！
2003年12月17日 例3 三条公路AB、AC、BC两两相交与A、B、C三点（如图所示）。已知AC⊥BC，BC=3千米，AC=4千米。现想在△ABC内建一加油站M，使它到三条公路的距离相等，请你帮助计算一下，加油站M应建在离公路多远的地方？读句画图：①以点O为圆心，1cm为半径画⊙O
②作直线m与⊙O相切于点D，作直线n与⊙O相切于点E，
直线m和直线n相交于点A
③作直线l与圆O相切于点F，直线l分别与直线m、直线n相交于点A、B
O．lF
二、填空：如图， △ABC的顶点在⊙O上， △ABC的各边与
⊙I都相切，则△ABC是⊙I的 三角形；
△ABC是⊙O的 三角形； ⊙I叫△ABC的 圆；
⊙O叫△ABC的 圆，点I是△ABC的 心，点O是
△ABC的 心
I外切内接内切外接．．O内外
角形三边都相切，圆心I应满足什么
条件?（3）这样的点I应在什么位置? （4）圆心I确定后半径如何找？结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个．ABCIMND例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆. 1、 如图1，△ABC是⊙O的 三角形。
⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC的 ，
它是三角形 的交点。13、如图2，△DEF是⊙I的 三角形， ⊙I是
△DEF的 圆，点I是 △DEF的 心，它是三角
形 的交点。2、定义：和三角形各边都相切的圆
叫做 ，内切圆
的圆心叫做三角形的 ，这
个三角形叫做 。三角形的内切圆内心圆的外切三角形外切内切内角平分线三角形内心的性质：1、三角形的内心到三角形各边的距离相等；
2、三角形的内心在三角形的角平分线上； 1、三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等；
2、三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上； 三角形外心的性质：（三角形外接圆的圆心）定义：和多边形各边都相切的圆
叫做 ，这个
多边形叫做 。
多边形的内切 圆圆的外切多边形内切外切如上图，四边形DEFG是⊙O的 四
边形，⊙O是四边形DEFG的 圆， 判断题：
1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3、等边三角形的内心和外心重合； （ ）
4、三角形的内心一定在三角形的内部（ ）
5、菱形一定有内切圆（ ）
6、矩形一定有内切圆（ ）
错错对对 错 对
（2）若∠A=80 °，则∠BOC= 度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A= 度。
解（1）∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠OBC= ∠OBA= ∠ABC= 25 °
同理 ∠OCB= ∠OCA= ∠ACB=35 °
∴ ∠BOC=180 °－ （∠OBC＋ ∠OCB） = 180 °－60 °=120 ° 13020（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样
的数量关系？请说明理由。
理由： ∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠OBC= ∠ABC， ∠OCB= ∠ACB
∴ ∠OBC＋ ∠OCB = （∠ABC+ ∠ACB）
= （180 ° － ∠A ）= 90 ° － ∠A
在△ABC中， ∠BOC =180 °－（ ∠OBC＋ ∠OCB ）
= 180 °－（ 90 ° － ∠A ）= 90 °+ ∠A
答： ∠BOC =90 ° + ∠A
例2：如图，设△ABC的边BC=a，CA=b，AB=c， s=（a+b+c）/2，内切圆O和各边分别相切于D，E，F。 求证：AD=AF=s-a，BE=BD=s-b，CF=CE=s-c。（三）、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：ABCOIabc直角三角形外接圆、内切圆半径的求法 思考题： 如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？
解： ∵雕塑中心M到道路三边的距离相等
∴点M是△ABC的内心，连结AM、BM、CM，设⊙M的半径为r米，⊙M分别切AC、BC、AB于点D、E、F，则MD⊥AC， ME ⊥BC， MF ⊥AB，则MD= ME= MF=r，
∵在Rt △ABC 中，AC=40，BC=30， ∴AB=50
∵ △ABC的面积为 AC·BC= × 40×30= 600，又∵ △ABC
的面积为 （AC·MD+BC ·ME+AB ·MF）=20 r+15 r+25 r=60 r
∴60 r= 600， r=10
答：镇标雕塑中心离道路三边的距离为10米。
课堂小结：
1、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 .
2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出
三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的
内切圆、圆的外切多边形的概念。
3、学习 时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与
“外心”的区别，
4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运
用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。
谢谢, 再见 ！
2003年12月17日 例3 三条公路AB、AC、BC两两相交与A、B、C三点（如图所示）。已知AC⊥BC，BC=3千米，AC=4千米。现想在△ABC内建一加油站M，使它到三条公路的距离相等，请你帮助计算一下，加油站M应建在离公路多远的地方？读句画图：①以点O为圆心，1cm为半径画⊙O
②作直线m与⊙O相切于点D，作直线n与⊙O相切于点E，
直线m和直线n相交于点A
③作直线l与圆O相切于点F，直线l分别与直线m、直线n相交于点A、B
O．lF
二、填空：如图， △ABC的顶点在⊙O上， △ABC的各边与
⊙I都相切，则△ABC是⊙I的 三角形；
△ABC是⊙O的 三角形； ⊙I叫△ABC的 圆；
⊙O叫△ABC的 圆，点I是△ABC的 心，点O是
△ABC的 心
I外切内接内切外接．．O内外