2.3用频率估计概率 教案
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教育实习教学设计
上课日期： 2022.10.31
学科 数学 课题 2.3 用频率估计概率
学情分析 本节课学生已经初步学会求简单事件的概率，在此基础上继续学习简单事件的概率及计算方法，由于本班学生学习能力差，对知识难以掌握，解题不规范等不良的学习习惯，教师针对该班情况，放低要求，引导启发。
教学目标 知识与技能 了解随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性，但随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐趋于稳定; 2. 通过试验，认识大量重复试验所得的频率可作为概率的估计值；3. 会运用大量重复试验所取得的事件发生的频率估计概率。
过程与方法 通过自主学习，探究让学生经历体验求简单事件概率的过程，培养学生的分析能力和解决问题的能力。
情感态度价值观 学生通过游戏、实验观察过程，使学生养成动手能力，激发学习兴趣，体会数学与实际生活的联系。
教学重点 用事件发生的频率来估计概率。
教学难点 对大量重复试验频率的趋势、稳定性的理解，学生不易接受。
教学方法 启发引导 自主探究 师生互动
教学准备 硬币 课件 多媒体
教学设计（详细设计）
一、创设情境，引出问题 引入：2007年奥斯卡最佳影片《无间道风云》剧照（4张） 提问：大家知道影片的两位男主角是如何决定自己所演的角色的呢？猜猜看。 下面请看记者的文字采访 记者：你们俩是怎么决定谁演哪个角色的？ 达蒙：我们真的扔了硬币，我就是靠它决定的。我和莱昂纳多都认为这是些了不起的角色。最终的结果真是不错，现在我已经无法想像扮演另一个人。 提问：为什么抛硬币的方法可行呢？ 猜想：硬币是正面向上，还是反面向上？它们出现的可能性相等吗？ 设疑：既然抛一枚质量均匀的硬币，正面向上的概率等于反面向上的概率，均为1/2。 提问：“我拋两次硬币，必然有一次正面向上，有一次反面向上，对吗？为什么？” 设计意图：学生的猜测具有随机性，感受随机事件的偶然性。问题的提出似乎顺理成章，实际上却是一种混淆频率和概率的说法，这样便于激发矛盾，引起共鸣。 二、合作交流，巩固提高 合作探究：整个实验分四大步： 第一步：学生各自抛硬币两次 师：以举手的方式统计“正面向上”的频率。 “正面向上”的频率出现的三种结果：1，1/2，0。 提问：从实验结果来看，我们最初的猜想是不正确的，那么造成猜想错误的原因是什么呢？ 猜想：可能是抛的时候变量没有控制好。实验次数太少，所以实验结果就有了偶然性。“那么我加大抛硬币的次数，现在我抛30次硬币，正面向上的次数应该等于反面向上的次数，各等于15次。” 提问：请大家预测实验结果。 此时，教师因势利导，提出：小组合作，动手做抛一元硬币的实验。用实验的方法验证教师的说法正确与否。 设计意图：学生数学学习内容应该是现实的，有意义的，富有挑战的。设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的学习热情。引导学生预测实验结果，提升学生课堂的参与度、投入程度，接下来用自己动手实验的方式检验自己的猜想。 第二步：小组实验活动 布置活动注意事项： ①分组（按照组间同质，组内异质的合作学习原则） 将全班同学分成8组，组内成员分工，一位同学抛硬币，一位同学数抛硬币的次数，一位同学作硬币正面向上的记录，最后一位同学观察实验是否在同一条件下进行。 ②任务 每组抛掷30次，本着一丝不苟，严谨求实的态度认真记录好“正面向上”出现的频数和计算“正面向上”出现的频率。附记录单 抛掷次数 30正面向上的频数正面向上的频率
学生以小组为单位，开展实验，注意在同一条件下进行（控制变量），记录硬币正面向上的频数，计算向上频率。 设计意图：学生充分讨论的基础上，启发学生分析产生差异的原因，使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性。 第三步：汇总、分析数据 教师收集、汇总各组实验数据，板书在黑板上。 请同学们以小组为单位。根据实验数据想一想正面向上的频率有什么规律。 提问：观察这些实验数据，你有什么发现？ 师：从原来的只抛两次，到现在的抛30次，我们似乎发现了一些规律。那么，继续增加抛硬币的次数，会不会规律更明显呢？我们采用叠加各组数据的方法来看看。 次数306090120150180210240正面向上的频数频率
提问：观察叠加后的频数汇总表。随着抛掷次数的增加，正面向上的频率在哪个常数附近摆动，摆动的幅度有何变化？ 师：请同学们把上述实验数据以描点的形式画在学习单上的统计图内。 图1 设计意图：通过上面的步步紧逼，主要让学生体验随机事件的随机性，另一方面感受到随着实验次数越来越大时，随机事件又显现出它的规律性。 绘制统计图，通过实践进一步直观地感受刚才得出的规律。 综合探究，能力拓展 师：接下来，我们将继续增加实验次数看看有什么新的发现。历史上有许多数学家为了弄清其中的规律，曾坚持不懈的做了成千上万次抛掷硬币的实验，请看他们的实验结果。 师：请同学们观察表中频率，有何发现？ 追问：造成这个结果的原因是什么？ 对比：展现教材中的统计图，与学生自己实验得到的统计图比较。 师：请同学们分析，两个折线统计图所反映的规律是否相同？如果不同，不同在哪里？ 追问：是什么原因造成了不同？ 设计意图：随着实验次数的不断增加，学生深入分析数据，进一步探究规律。小组讨论，合作交流，小组代表发言，组间交流，提高数学交流水平。 师：通过以上的大量重复实验，随机事件发生的频率和概率之间到底有怎样的关系？频率等于概率吗？ 师：因此，我们可以得出，在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近。即通过大量的重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 追问：那么用频率估计概率有何前提条件？ 师：由频率可以估计概率的方法，是由瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明的，因而他被公认为是概率论的先驱之一 设计意图：显然，该问题的设计意在点出课题，突出教学重点。同时为进入揭示新知的环节起到了承上启下的作用。介绍数学史诗，拓展学生的数学知识背景，激发学生学习数学的热情。 探究性质，深化认知 例：小麦是三大谷物之一，我国也是世界最早种植小麦的国家之一。那么，小麦在长成麦苗的过程中，需经历“发芽”和“成秧”两个阶段，且在这两个过程中，均有一定几率被淘汰。问题：现知播种某品种小麦每公顷所需麦苗数为4181818棵，种子发芽后的成秧率为87％，那么播种3公顷该种小麦估计约需麦种多少千克？（精确到千克，千粒质量为35g） 生：题目似乎缺少条件，两个环节都有几率淘汰，可只给出了种子发芽后的成秧率为87％，却不知道种子的发芽率。 追问：那么同学们觉得可以怎么获取该麦种的发芽率呢？ 教师展示实验数据，学生计算得到频率。 提问：这组数据能够用以估计发芽率吗？ 生：因为数量够多，有3000粒种子，且在相同条件下，所以可以用来估计。 教师引导学生用自己估计得到的发芽率解决实际问题。 设计意图：改编例题，在问题中隐去已知条件，通过学生自主思考发现问题，加深对问题的认识以及对本节新知的运用。该题的设计具有梯度，既很好的考察了频率和概率之间的关系，又提出了更高的要求，即学会运用频率估计概率来解决某些实际问题，体现了数学来源于生活，又运用于生活的理念。 综合探究，能力拓展 问题1：中国男篮主力易建联在一场比赛中罚篮5次，罚中4次。能否说易建联罚一次篮，罚中的概率为4/5？为什么？ 追问：那么我该通过用什么方法去估计他罚中的概率？ 问题2：任意抛一枚均匀的骰子，朝上面的点数为1的概率为1/6.下列说法正确吗？ ①任意抛一枚均匀的骰子12次，朝上面的点数为1的次数为2次. ②任意抛一枚均匀的骰子1200次，朝上面的点数为1的次数大约为200次. 设计意图：问题的设计层层递进，目的只有一个，即为了深化对概率的理解，从错误辨析，频率与概率的区别和联系等方面对概率进行多角度，多侧面，多层次的深入理解。 六、自我评价，感悟提升 尽管随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性，但只要保持实验条件不变，那么这一事 件出现的频率就会随着实验次数的增大而趋于稳定,这个稳定值就可以作为该事件发生概率 的估计值。 设计意图：引导学生自主总结，既让学生体会到了成功的乐趣，又善于发现自己的不足。
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上课日期： 2022.10.31
学科 数学 课题 2.3 用频率估计概率
学情分析 本节课学生已经初步学会求简单事件的概率，在此基础上继续学习简单事件的概率及计算方法，由于本班学生学习能力差，对知识难以掌握，解题不规范等不良的学习习惯，教师针对该班情况，放低要求，引导启发。
教学目标 知识与技能 了解随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性，但随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐趋于稳定; 2. 通过试验，认识大量重复试验所得的频率可作为概率的估计值；3. 会运用大量重复试验所取得的事件发生的频率估计概率。
过程与方法 通过自主学习，探究让学生经历体验求简单事件概率的过程，培养学生的分析能力和解决问题的能力。
情感态度价值观 学生通过游戏、实验观察过程，使学生养成动手能力，激发学习兴趣，体会数学与实际生活的联系。
教学重点 用事件发生的频率来估计概率。
教学难点 对大量重复试验频率的趋势、稳定性的理解，学生不易接受。
教学方法 启发引导 自主探究 师生互动
教学准备 硬币 课件 多媒体
教学设计（详细设计）
一、创设情境，引出问题 引入：2007年奥斯卡最佳影片《无间道风云》剧照（4张） 提问：大家知道影片的两位男主角是如何决定自己所演的角色的呢？猜猜看。 下面请看记者的文字采访 记者：你们俩是怎么决定谁演哪个角色的？ 达蒙：我们真的扔了硬币，我就是靠它决定的。我和莱昂纳多都认为这是些了不起的角色。最终的结果真是不错，现在我已经无法想像扮演另一个人。 提问：为什么抛硬币的方法可行呢？ 猜想：硬币是正面向上，还是反面向上？它们出现的可能性相等吗？ 设疑：既然抛一枚质量均匀的硬币，正面向上的概率等于反面向上的概率，均为1/2。 提问：“我拋两次硬币，必然有一次正面向上，有一次反面向上，对吗？为什么？” 设计意图：学生的猜测具有随机性，感受随机事件的偶然性。问题的提出似乎顺理成章，实际上却是一种混淆频率和概率的说法，这样便于激发矛盾，引起共鸣。 二、合作交流，巩固提高 合作探究：整个实验分四大步： 第一步：学生各自抛硬币两次 师：以举手的方式统计“正面向上”的频率。 “正面向上”的频率出现的三种结果：1，1/2，0。 提问：从实验结果来看，我们最初的猜想是不正确的，那么造成猜想错误的原因是什么呢？ 猜想：可能是抛的时候变量没有控制好。实验次数太少，所以实验结果就有了偶然性。“那么我加大抛硬币的次数，现在我抛30次硬币，正面向上的次数应该等于反面向上的次数，各等于15次。” 提问：请大家预测实验结果。 此时，教师因势利导，提出：小组合作，动手做抛一元硬币的实验。用实验的方法验证教师的说法正确与否。 设计意图：学生数学学习内容应该是现实的，有意义的，富有挑战的。设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的学习热情。引导学生预测实验结果，提升学生课堂的参与度、投入程度，接下来用自己动手实验的方式检验自己的猜想。 第二步：小组实验活动 布置活动注意事项： ①分组（按照组间同质，组内异质的合作学习原则） 将全班同学分成8组，组内成员分工，一位同学抛硬币，一位同学数抛硬币的次数，一位同学作硬币正面向上的记录，最后一位同学观察实验是否在同一条件下进行。 ②任务 每组抛掷30次，本着一丝不苟，严谨求实的态度认真记录好“正面向上”出现的频数和计算“正面向上”出现的频率。附记录单 抛掷次数 30正面向上的频数正面向上的频率
学生以小组为单位，开展实验，注意在同一条件下进行（控制变量），记录硬币正面向上的频数，计算向上频率。 设计意图：学生充分讨论的基础上，启发学生分析产生差异的原因，使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性。 第三步：汇总、分析数据 教师收集、汇总各组实验数据，板书在黑板上。 请同学们以小组为单位。根据实验数据想一想正面向上的频率有什么规律。 提问：观察这些实验数据，你有什么发现？ 师：从原来的只抛两次，到现在的抛30次，我们似乎发现了一些规律。那么，继续增加抛硬币的次数，会不会规律更明显呢？我们采用叠加各组数据的方法来看看。 次数306090120150180210240正面向上的频数频率
提问：观察叠加后的频数汇总表。随着抛掷次数的增加，正面向上的频率在哪个常数附近摆动，摆动的幅度有何变化？ 师：请同学们把上述实验数据以描点的形式画在学习单上的统计图内。 图1 设计意图：通过上面的步步紧逼，主要让学生体验随机事件的随机性，另一方面感受到随着实验次数越来越大时，随机事件又显现出它的规律性。 绘制统计图，通过实践进一步直观地感受刚才得出的规律。 综合探究，能力拓展 师：接下来，我们将继续增加实验次数看看有什么新的发现。历史上有许多数学家为了弄清其中的规律，曾坚持不懈的做了成千上万次抛掷硬币的实验，请看他们的实验结果。 师：请同学们观察表中频率，有何发现？ 追问：造成这个结果的原因是什么？ 对比：展现教材中的统计图，与学生自己实验得到的统计图比较。 师：请同学们分析，两个折线统计图所反映的规律是否相同？如果不同，不同在哪里？ 追问：是什么原因造成了不同？ 设计意图：随着实验次数的不断增加，学生深入分析数据，进一步探究规律。小组讨论，合作交流，小组代表发言，组间交流，提高数学交流水平。 师：通过以上的大量重复实验，随机事件发生的频率和概率之间到底有怎样的关系？频率等于概率吗？ 师：因此，我们可以得出，在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近。即通过大量的重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 追问：那么用频率估计概率有何前提条件？ 师：由频率可以估计概率的方法，是由瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明的，因而他被公认为是概率论的先驱之一 设计意图：显然，该问题的设计意在点出课题，突出教学重点。同时为进入揭示新知的环节起到了承上启下的作用。介绍数学史诗，拓展学生的数学知识背景，激发学生学习数学的热情。 探究性质，深化认知 例：小麦是三大谷物之一，我国也是世界最早种植小麦的国家之一。那么，小麦在长成麦苗的过程中，需经历“发芽”和“成秧”两个阶段，且在这两个过程中，均有一定几率被淘汰。问题：现知播种某品种小麦每公顷所需麦苗数为4181818棵，种子发芽后的成秧率为87％，那么播种3公顷该种小麦估计约需麦种多少千克？（精确到千克，千粒质量为35g） 生：题目似乎缺少条件，两个环节都有几率淘汰，可只给出了种子发芽后的成秧率为87％，却不知道种子的发芽率。 追问：那么同学们觉得可以怎么获取该麦种的发芽率呢？ 教师展示实验数据，学生计算得到频率。 提问：这组数据能够用以估计发芽率吗？ 生：因为数量够多，有3000粒种子，且在相同条件下，所以可以用来估计。 教师引导学生用自己估计得到的发芽率解决实际问题。 设计意图：改编例题，在问题中隐去已知条件，通过学生自主思考发现问题，加深对问题的认识以及对本节新知的运用。该题的设计具有梯度，既很好的考察了频率和概率之间的关系，又提出了更高的要求，即学会运用频率估计概率来解决某些实际问题，体现了数学来源于生活，又运用于生活的理念。 综合探究，能力拓展 问题1：中国男篮主力易建联在一场比赛中罚篮5次，罚中4次。能否说易建联罚一次篮，罚中的概率为4/5？为什么？ 追问：那么我该通过用什么方法去估计他罚中的概率？ 问题2：任意抛一枚均匀的骰子，朝上面的点数为1的概率为1/6.下列说法正确吗？ ①任意抛一枚均匀的骰子12次，朝上面的点数为1的次数为2次. ②任意抛一枚均匀的骰子1200次，朝上面的点数为1的次数大约为200次. 设计意图：问题的设计层层递进，目的只有一个，即为了深化对概率的理解，从错误辨析，频率与概率的区别和联系等方面对概率进行多角度，多侧面，多层次的深入理解。 六、自我评价，感悟提升 尽管随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性，但只要保持实验条件不变，那么这一事 件出现的频率就会随着实验次数的增大而趋于稳定,这个稳定值就可以作为该事件发生概率 的估计值。 设计意图：引导学生自主总结，既让学生体会到了成功的乐趣，又善于发现自己的不足。
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