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【期末优化训练】浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质 测试卷2
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，直线l与半径为5cm的⊙O相交于A、B两点，且与半径OC垂直，垂足为H．若AB=8cm，l要与⊙O相切，则l应沿OC所在直线向下平移（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED．若线段AB＝3，则BE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD、CB、AC，∠DOB＝60°，EB＝2，那么CD的长为（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
4．如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（ ）
A．6个 B．7个 C．9个 D．10个
5．如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
6．如图，将 绕点A逆时针旋转80°，得到 ，若点D在线段BC的延长线上，则 的度数为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB=40°，BC∥OA，则∠ADC的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，的弦垂直于，为垂足，，，且，则圆心到的距离是（ ）
A．2 B． C． D．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD2+AC2＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
10．如图，AB是半圆O的直径，点C、E是半圆上的动点（不与点A、B重合），且＝，射线AE，BC交于点F，M为AF中点，G为CM上一点，作∠GON＝，交BC于点N，则点C在从点A往点B运动的过程中，四边形CGON的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．保持不变 D．一直减小
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在圆内接四边形ABCD中， 、 、 的度数之比为 ，则 .
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．将△ABC绕点B逆时针旋转45°，得△A′BC′，则阴影部分的面积为 ．
13．如图，已知在⊙O 中，半径 OA= ，弦 AB=2，∠BAD=18°，OD 与AB 交于点 C，则∠ACO= 度．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB=4，CD=2，则BE的长度是
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则 的度数为 .
16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4 ，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题每题12分，第24题14分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形内接于圆，，
（1）证明：圆中存在“爪形D”；
（2）若，求证：
18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF=4，AC=16，求⊙O的直径．
19．如图，为的直径，弦于点E，连接并延长交于点F，连接，．
（1）求证： ；
（2）连接，若，求的长．
20．如图，点D是△ABC的外接圆⊙O上一点，且 ，连接BD交AC于点E，
（1）求证AC=BD；
（2）若BD平分∠ABC，BC=1，求BD的长；
（3）已知圆心O在△ABC内部（不包括边上），⊙O的半径为5．
①若AB=8，求△ABC的面积；
②设 =x，BC·AC=y，求y关于x的函数关系式，并求出y的取值范围。
21．如图1，四边形 内接于 ， 为直径， 上存在点E，满足 ，连结 并延长交 的延长线于点F， 与 交于点G.
（1）若 ，请用含 的代数式表列 .
（2）如图2，连结 .求证； .
（3）如图3，在（2）的条件下，连结 ， .
①若 ，求 的周长.
②求 的最小值.
22．如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在BC上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB-∠BFD=∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE=FG，连结BD，DG．设∠ACB=α．
（1）用含α的代数式表示∠BFD．
（2）求证：△BDE≌△FDG．
（3）如图2，AD为⊙O的直径．
①当 的长为2时，求 的长．
②当OF：OE=4：11时，求cosα的值．
23．如图
如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法如图2.
1.作直径AF.
2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.
3.连结AM，MN，NA.
（1）求∠ABC的度数.
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由.
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值.
24．如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．
（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．
（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：
（3）如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求 的值．
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【期末优化训练】浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质 测试卷2
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，直线l与半径为5cm的⊙O相交于A、B两点，且与半径OC垂直，垂足为H．若AB=8cm，l要与⊙O相切，则l应沿OC所在直线向下平移（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【解析】连接OB，
∴OB=5cm，
∵直线l⊙O相交于A、B两点，且与AB⊥OC，AB=8cm，
∴HB=4cm，
∴OH=3cm，
∴HC=2cm．
故答案为：B．
2．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED．若线段AB＝3，则BE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由旋转可知AE=AB=3，∠BAE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴BE=AB=3．
故答案为：B．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD、CB、AC，∠DOB＝60°，EB＝2，那么CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，
∴，
∵∠DOB＝60°，
∴，
∵EB＝2，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D．
4．如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（ ）
A．6个 B．7个 C．9个 D．10个
【答案】B
【解析】∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每个内角为 ，如下图所示：
∴∠O=360°-3×108°=36°，
∵围成一圈，O处的周角为360°，
∴共需要正五边形的个数为：360°÷36°=10个，
故还需要10-3=7个，
故答案为：B．
5．如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B
【解析】∵OA=OC，BO⊥AC，∠AOC＝100°，
∴∠BOC＝∠AOC＝50°，
∴∠BDC＝∠BOC＝25°，
∵OC=OB，
∴∠OCD=∠ODC=25°，
故答案为：B.
6．如图，将 绕点A逆时针旋转80°，得到 ，若点D在线段BC的延长线上，则 的度数为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】B
【解析】∵将 绕点A逆时针旋转80°，得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB=40°，BC∥OA，则∠ADC的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【解析】∵∠AOB=40°，OA=OB，
∴∠ABO=70°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=40°，
∴∠ABC=110°，
∴∠ADC=180°-110°=70°
故答案为：C
8．如图，的弦垂直于，为垂足，，，且，则圆心到的距离是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，过点，分别作于，于，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
（HL），
，
则，
，
，
，
．
故答案为：A．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD2+AC2＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
【答案】B
【解析】∵AB是⊙O直径，
∴∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2＝4，
由条件不能证明AD＝BC，
故①不符合题意；
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDO，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠ADO+∠DBC＝90°，
故②符合题意；
∵AC＝BD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵OD⊥AC，
∴ ＝ ，
∴ 度数是 ×180°＝60°，
∵AO＝DO，
∴△AOD是等边三角形，
∵AE⊥OD，
∴DE＝OE，
故③符合题意；
∵PD＝PB，∠C＝∠DEP＝90°，∠DPE＝∠BPC，
∴△PDE≌△PBC（AAS），
∴DE＝BC，
∵AO＝BO，AE＝EC，
∴BC＝2OE，
∴DE＝2OE，
故④符合题意，
故答案为：B．
10．如图，AB是半圆O的直径，点C、E是半圆上的动点（不与点A、B重合），且＝，射线AE，BC交于点F，M为AF中点，G为CM上一点，作∠GON＝，交BC于点N，则点C在从点A往点B运动的过程中，四边形CGON的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．保持不变 D．一直减小
【答案】A
【解析】如图，连接OC，AC，OM．
∵AB是直径，
∴∠ACF＝90°，
∵AM＝FM，
∴CM＝AM＝FM，
∵OA＝OC，OM＝OM，MA＝MC，
∴△OMA≌△OMC（SSS），
∴∠OAM＝∠OCG，
∵＝，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴∠OCG＝∠OBN，
∵∠GON的度数等于的度数，
∴∠GON＝∠COB，
∴∠COG＝∠BON，
∵OC＝OB，
∴△COG≌△BON（ASA），
∴S△COG＝S△BON，
∴S四边形CGON＝S△BOC，
∵点C在从点A往点B运动的过程中，△OBC的面积先变大后变小，
∴四边形CGON的面积先变大后变小.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在圆内接四边形ABCD中， 、 、 的度数之比为 ，则 .
【答案】100°
【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D=∠A+∠C=180°，
∵∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，
∴∠A=180°× =40°，∠C=180°× =140°，
∠B=180°× =80°，
∴∠D=180°﹣80°=100°，
故答案为：100°.
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．将△ABC绕点B逆时针旋转45°，得△A′BC′，则阴影部分的面积为 ．
【答案】2π
【解析】在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，
由勾股定理得：BC=，
∴阴影部分的面积S=△A′BC′的面积+扇形C′BC的面积-扇形A′BA的面积-△ABC的面积
==2π，
故答案为：2π．
13．如图，已知在⊙O 中，半径 OA= ，弦 AB=2，∠BAD=18°，OD 与AB 交于点 C，则∠ACO= 度．
【答案】81
【解析】∵OA= ，OB= ，AB=2，
∴OA2+OB2=AB2，OA=OB，
∴△AOB 是等腰直角三角形，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°，
∵∠BAD=18°，
∴∠BOD=36°，
∴∠ACO=∠OBA+∠BOD=45°+36°=81°， 故答案为：81．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB=4，CD=2，则BE的长度是
【答案】
【解析】∵CD⊥AB，AB=4，CD=2，
∴BO=OC=2，CE=，
由勾股定理得：OE=
∴BE=OB-OE= ．
故答案：．
15．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则 的度数为 .
【答案】72°
【解析】∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD= ，
∴∠BAC=∠BCA=∠CBD=∠CDB=（180° 108°）÷2=36°，
∴∠ABF=∠ABC-∠FBC=108° 36°=72°，
∴∠AFB =180°-∠BAF-∠ABF=180°-36°-72°=72°.
故答案为：72°.
16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4 ，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为 ．
【答案】4或8或4
【解析】如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心画⊙O交CD于P3．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵BF＝2，BE＝2 ，AF＝4，AD＝4 ，
∴tan∠FEB＝tan∠ADF＝ ，
∴∠ADF＝∠FEB＝30°，
易知EF＝OF＝OD＝4，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠EP1F＝∠FP2F＝∠FP3E＝30°，
∴FP1＝4，FP2＝8，FP3＝4 ，
故答案为：4或8或4 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题每题12分，第24题14分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形内接于圆，，
（1）证明：圆中存在“爪形D”；
（2）若，求证：
【答案】（1）证明：∵，
∴
∴，
∴平分圆周角，
∴圆中存在“爪形D” ．
（2）证明：如图：延长至点E，使得，连接，
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，即．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF=4，AC=16，求⊙O的直径．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴ ＝ ，
即点D为 的中点；
（2）解：OF⊥AC，
∴AF＝ AC＝8，
∵DF＝4，
∴OF＝OD DF＝OA 4，
∵OA2＝AF2＋OF2，
∴OA2＝82＋(OA 4)2，
∴OA＝10，
∴⊙O的直径为20．
19．如图，为的直径，弦于点E，连接并延长交于点F，连接，．
（1）求证： ；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
20．如图，点D是△ABC的外接圆⊙O上一点，且 ，连接BD交AC于点E，
（1）求证AC=BD；
（2）若BD平分∠ABC，BC=1，求BD的长；
（3）已知圆心O在△ABC内部（不包括边上），⊙O的半径为5．
①若AB=8，求△ABC的面积；
②设 =x，BC·AC=y，求y关于x的函数关系式，并求出y的取值范围。
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴AC=BD.
（2）解：∵，
∴∠ABD=∠BAC=∠ACB，
又∵∠BEC=∠ABD+∠BAC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE=AE=1，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴△CBE∽△CAB，
∴BC2=CE·AC，
设AC=BD=x，则CE=x-1，
∴12=（x-1）x，
整理，解得：x=（舍去）或 ，
∴BD=.
（3）解：如图，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于点F，过点B作BG⊥AC于点G，
∴∠AFO=∠BGC=90°，
∵OA=OB=5，
∴AF=BF=AB=4，∠AOF=∠AOB，
又∵∠C=∠AOB，
∴∠AOF=∠C，
①∴△AFO∽△BGC，
∴CG：BG：BC=3：4：5，
设CG=3x，BG=4x，BC=5x，
由（2）可知：BE=AE=BC=5x，
∴EG=CG=3x，
∴AG=8x，
在Rt△AGB中，AB2=BG2+AG2，
∴64=16x2+64x2，
解得：x=或x=-（舍去），
∴BG=，AC=AG+GC=11x=，
∴S△ABC=AC·BG=××=；
②由①可知：BE=AE=BC，
设BE=AE=BC=a，
∵=x，
∴AC=BD=ax，
∴CG=EG=，AG=，
∵BC·AC=y，
∴y=a2x，
∵BG2=AB2-AG2=BC2-CG2，即AB2-（）2=a2-（）2，
∴AB2=a2（x+1），
∴AF=，
由①可知：△AFO∽△BGC，
∴OF=，
在Rt△AFO中，OA2=25=AF2+OF2，即25=+，
整理，得：a2=-25（x-3），
∴y=-25x（x-3）=-25（x2-3x）=-25（x-）2+，
当圆心O在AB边上时，点C、D、E重合，即=1，
当圆心O在AC边上时，=2，
∴1＜x＜2，
∵-25＜0，1＜＜2，
∴50＜y＜.
21．如图1，四边形 内接于 ， 为直径， 上存在点E，满足 ，连结 并延长交 的延长线于点F， 与 交于点G.
（1）若 ，请用含 的代数式表列 .
（2）如图2，连结 .求证； .
（3）如图3，在（2）的条件下，连结 ， .
①若 ，求 的周长.
②求 的最小值.
【答案】（1）解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴
（3）解：①如图，连结 .
∵ 为 的直径，
∴ .
在 中， ， ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵在 中， ，
∴ ，
∴ .
∵在 中， ，
∴ .
在 中， ，
∴ ，
∴ 的周长为 .
②如图，过点C作 于H.
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ ，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
设 ，
∴ ，
∴ .
在 中， ，
∴ ，
当 时， 的最小值为3，
∴ 的最小值为
22．如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在BC上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB-∠BFD=∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE=FG，连结BD，DG．设∠ACB=α．
（1）用含α的代数式表示∠BFD．
（2）求证：△BDE≌△FDG．
（3）如图2，AD为⊙O的直径．
①当 的长为2时，求 的长．
②当OF：OE=4：11时，求cosα的值．
【答案】（1）解：∵∠AFB-∠BFD=∠ACB=α，①
又∵∠AFB+∠BFD=180°，②
②-①，得2∠BFD=180°-α，
∴∠BFD=90°-
（2）证明：由(1)得∠BFD=90°- ，
∵∠ADB=∠ACB=α，
∴∠FBD=180°-∠ADB-∠BFD=90°-
∴DB=DF．
∵FG∥AC，
∴∠CAD=∠DFG．
∵∠CAD=∠DBE，
∴∠DFG=∠DBE．
∵BE=FG，
∴△BDE≌△FDG (SAS) ．
（3）解：①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG=∠BDE=α，
∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α．
∵DE=DG，
∴∠DGE= (180°-∠FDG)=90°- ，
∴在△BDG中，∠DBG= 180°-∠BDG-∠DGE= 90°-
∵AD为⊙O的直径，
∵∠ABD=90°．
∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=
∴ 与 的度数之比为3：2．
∴ 与 的长度之比为3：2，
∵ =2，
∴ =3．
②如图，连结BO．
∵OB= OD，
∴∠OBD=∠ODB=a，
：∠BOF=∠OBD+∠ODB=2α．
∴∠BDG= 2α，
∴∠BOF=∠BDG．
∵∠BGD=∠BFO= 90°- ，
∴△BDG∽△BOF，
设△BDG与△BOF的相似比为k，
∴ =k．
∵
∴设OF=4x，则OE=11x，DE=DG= 4kx，
∴OB=OD=OE+DE=11x+4kx，
BD=DF=15x+4kx，
∴
由 =k，得4k2+7k-15=0，
解得k1= ，k2=-3(舍)，
∴OD= 11x+4kx=16x，BD=15x+4kx=20x，
∴AD=2OD=32x，
在Rt△ABD中，cos∠ADB=
∴cosα=
23．如图
如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法如图2.
1.作直径AF.
2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.
3.连结AM，MN，NA.
（1）求∠ABC的度数.
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由.
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值.
【答案】（1）解：∵正五边形ABCDE.
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：△AMN是正三角形，理由如下：
连结ON，FN，由作图知：FN=FO
∵ON=OF，
∴ON=OF=FN
∴△OFN是正三角形，
∴∠F=60°.
∴∠AMN=∠F=60°.
同理，∠ANM=60°.
∴∠MAN=60°，即∠AMN=∠ANM=∠MAN
∴△AMN是正三角形.
（3）解：∵△AMN是正三角形，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
24．如图1，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，FH交于点E，已知CF=CH．
（1）线段AC与FH垂直吗？请说明理由．
（2）如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证：
（3）如图3，在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求 的值．
【答案】（1）解：线段AC与FH垂直，理由如下：
∵正方形ABCD，
∴∠B=∠D=90°，CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，
∵CF=CH，
∴Rt△CBH≌Rt△CDF（HL），
∴∠BCH=∠DCF，
∴∠HCA=∠FCA，
∴AC⊥FH.
（2）解：如图2，过点K作KM⊥AB于点M，
∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B，
∴MK∥BC，
∴△AMK∽△ABC，
∴AK：AC=MK：BC①，
∵四边形AFPH为圆内接四边形，
∴∠PHA=∠DFC，
又∵∠DFC=∠BHC，
∴∠PHA=∠BHC，即∠KHM=∠BHC，
∴△HMK∽△HBC，
∴KH：CH=KM：CB②，
由①和②得：KH：CH=AK：AC，
即.
（3）解：如图3，
由（2）结论可得：，△HMK∽△HBC，
∵k为AC中点，
∴=，
∴MH：BH=1：2，
设MH=m，则BH=2m，
∵KM=BC=AB，AM=MB=AB，
∴KM=AM=MB=3m，AH=4m，
∴BC=AB=6m，FH=4m，
∴CH=CF==m，EH=AH=2m，
∵∠FAH=90°，
∴∠FPH=90°，
又∵∠PFH=∠EHC，
∴△PFH∽△EHC，
∴PF：EH=FH：HC，即PF：2m=4m：m，
∴PF=m，
∴CP=CF-PF=m-m=m，∴.
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