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【期末优化训练】浙教版2022-2023学年九下数学第1章 解直角三角形 测试卷2
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在直角三角形中，若各边的长度都缩小5倍，那么锐角∠A的正弦值 ( )
A．扩大5倍 B．缩小5倍 C．没有变化 D．不能确定
2．在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA= ，则BC等于（ ）
A．45 B．5 C． D．
3．如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E满足AE∶CE= 2∶3，则tan∠ADE的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( )
A． B． C． D．
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题） （第7题）
5．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，OM=，则sin∠CBD的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．无法求得
8．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC， = ，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
（第8题） （第9题）
9．如图，在 中， ，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形.连结CD，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形 中， ，以 为圆心，3为半径作 ， 为 上一动点，连接 ，以 为直角边作 ，使 ， ，则点 与点 的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
（第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是 m．
12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为 米（精确到米）．（参考数据：，，）
13．如图1为某智能洗拖一体扫地机，它正常工作及待机充电时的示意图如图2所示，四边形ABCD为它的手柄，OE为支撑杆，OM为拖把支架，且点O始终在AB的延长线上，当待机时，，已知，，，，则 cm；OE绕点O逆时针旋转一定角度，机器开始工作，当，，M在同一直线上时，点A，B分别绕O点旋转到点，，且高度分别下降了21.6cm和18cm，则此时点到OM距离为 cm.
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 ．
15．矩形纸片ABCD中，BC=2AB，将纸片对折，使顶点A与顶点C重合，得折痕EF，将纸片展开铺平后再进行折叠，使顶点B与顶点D重合，得折痕MN，展开铺平后如图所示.若折痕EF与MN较小的夹角记为θ，则sinθ= .
16．如图，在中，，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形.连接CD，若，则tan∠CDB的值为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题每题12分，第24题14分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算
（1） （2）
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：
（1）线段BE的长；
（2）∠ECB的余切值．
19．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1： ．
（1）求新坡面的坡角a；
（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由．
20．阅读下面材料：
小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，则tan22.5°=
小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD=CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：
（1）tan22.5°= ．
（2）参考小天思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，请借助△ABC，构造出15°的角，并求出该角的正切值．
21．如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．
（1）求出此时点A到岛礁C的距离；
（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）
22．【阅读学习】
刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tanα= ，求sin2α的值．
（1）小娟是这样解决的：
如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，∠BAC=α，所以∠ACB=90°，tanα= = ．
易得∠BOC=2α．设BC=x，则AC=3x，则AB= x．作CD⊥AB于D，求出CD= （用含x的式子表示），可求得sin2α= = ．
（2）【问题解决】
已知，如图2，点M、N、P为圆O上的三点，且∠P=β，tanβ= ，求sin2β的值．
23．如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ．
（1）①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF AD；
（2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ．
24．已知，在 中， ， ，D是AB上的一点 不与点A，B重合 ，连接CD，以点C为中心，把CD顺时针旋转 ，得到CE，连接AE．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 ，点G为BC上一点，连接GD并延长，与EA的延长线交于点H，且 ，连接DE与AC相交于点F，请写出图2中所有正切值为2的角．
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【期末优化训练】浙教版2022-2023学年九下数学第1章 解直角三角形 测试卷2
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在直角三角形中，若各边的长度都缩小5倍，那么锐角∠A的正弦值 ( )
A．扩大5倍 B．缩小5倍
C．没有变化 D．不能确定
【答案】C
【解析】根据题意，分析在变化中，Rt△ABC中的锐角A的大小不变，则它的各个三角函数值均不变．
故选C．
2．在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA= ，则BC等于（ ）
A．45 B．5
C． D．
【答案】B
【解析】∵sinA==，AB=15，
∴BC=5．
故选B．
3．如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E满足AE∶CE= 2∶3，则tan∠ADE的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图设AD=3a，因为AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，得BD=DC=4a 所以AB=5a
进而AC=5a 又AE∶CE= 2∶3故AE=2a EC=3a
过E点作EF∥BC
EF与底边BC上的高AD相交与G，
因为EF∥BC 所以AG∶AD=EG∶DC=AE∶AC=2∶5
所以EG=a
a
故GD=a
在Rt△EGD中，tan∠ADE==
故选B
4．如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，延长CA交⊙A与点D，连接OD ，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠OBC=∠ODC，
∵CD是⊙A的直径，
∴∠COD=90°，
∴cos∠ODC=，
∴cos∠OBC=，
即∠OBC的余弦值为．
故选：C．
5．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，OM=，则sin∠CBD的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接AO，
∵OM⊥AB于点M，AO=BO，
∴∠AOM=∠BOM，
∵∠AOB=2∠C
∴∠MOB=∠C，
∵⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM=，
∴sin∠CBD=sin∠OBM===
则sin∠CBD的值等于．
故选：B．
6．如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】过C点作CE⊥AB，
∵
∴CE=BD=am，
在Rt△BCE中，BE=CEtan=
在Rt△ACE中，AE=CEtan=
∴=+
故答案为：A．
7．如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．无法求得
【答案】B
【解析】如图，过A作AD⊥BC于D点
在Rt△BCE中，
∴AC=BC=
∴CH⊥AB，且CH=3
∵
∴
在Rt△ADC中，
故答案为：B．
8．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC， = ，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，
∴ = ，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴ = = ，
设AD=2a，则AC=5a，
根据勾股定理得到CD= a，
因而sinA= = ．
故答案为：B．
9．如图，在 中， ，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形.连结CD，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，过点C作CG⊥BD交延长线于点G，
∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，
∴sin∠BCD=，
∴sin∠BCE==，
设BE=3，BC=5，
∴CE==4，
设AC=x，AB=y，
在Rt△ABC中，
∵AB2-AC2=BC2，
∴y2-x2=25，
∵S△ABC=AB×CF=AC×BC，
∴y×CF=5x，
∴CF=，
在Rt△BCF中，
BF===，
∴BF=CG=，
在正方形ABDH中，AB=BD=y，
在Rt△BDE中，DE==，
∵S△CBD=CD·BE=BD·CG，
∴CD·BE=BD·CG，
∴（4+）×3=y×，
∴=，
∴ .
故答案为：D.
10．如图，矩形 中， ，以 为圆心，3为半径作 ， 为 上一动点，连接 ，以 为直角边作 ，使 ， ，则点 与点 的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ， ，DE.
∵ ， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴点 的运动轨迹是以 为圆心1为半径的圆，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 .
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是 m．
【答案】20
【解析】解：∵迎水坡的坡比是，
∴
∴
∴
∴AB=2BC=20m，
故答案为：20．
12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为 米（精确到米）．（参考数据：，，）
【答案】1614
【解析】解：在Rt△AOB中，由勾股定理得，
（米），
，
，，
∴△CDE是等腰直角三角形，
，
设米，
则米，米，
．
∴，
解得，
米，
故答案为：．
13．如图1为某智能洗拖一体扫地机，它正常工作及待机充电时的示意图如图2所示，四边形ABCD为它的手柄，OE为支撑杆，OM为拖把支架，且点O始终在AB的延长线上，当待机时，，已知，，，，则 cm；OE绕点O逆时针旋转一定角度，机器开始工作，当，，M在同一直线上时，点A，B分别绕O点旋转到点，，且高度分别下降了21.6cm和18cm，则此时点到OM距离为 cm.
【答案】10；89
【解析】解：过点D作DF⊥AB于F，如图，
∵DF⊥AB，∴∠BFD=∠AFD=90°，
∵，∴四边形BCDF是矩形，∴DF=BC=15cm，BF=CD，
设CD=xcm，
∴AF=AB-BF=AB-CD=(18-x)cm，
∵，
∴AD=(27-x)cm，
在Rt△AFD中，则勾股定理，得
(18-x)2+152=(27-x)2，
解得：x=10，即CD=10cm；
再过点A′作A′P⊥OM交MO延长线于P，点B′作B′N⊥OM交MO延长线于N，点D′作D′G⊥OM交MO延长线于G，点O作OH⊥C′M于H，如图，
设OB=ycm，
由旋转可得，OB′=OB=ycm，A′B′=AB=18cm，B′C′=BC=15cm，C′D′=CD=10cm，
由题意，得A′P=AB+OB-21.6=18+y-21.6=(y-3.6)cm，B′N=(y-18)cm，
∵=sin∠A′OP==sin∠B′ON=，
即，
解得：y=90，即O B′=OB=90cm，
∵OH⊥C′M，
∴∠OHC′=∠OHM=90°，
∵C′MOB′，
∴∠B′OH=90°，
∵∠C′B′O=90°，
∴四边形B′C′HO是矩形，
∴C′H=O B′=90cm，OH= B′C′=15cm，
∵C′MOB′，
∴∠OMH=∠NOB′，
∴=sin∠OMH=sin∠NOB′=，
∴，
∴OM=，
在Rt△OHM中，由勾股定理，得
MH==，
∴MD′=MH+C′H+D′C′=10+90+=，
在Rt△GMD′中，=sin∠GMD′=sin∠NOB′=，
即，
∴D′G=89，
∴此时点到OM距离为89cm.
故答案为：10；89.
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 ．
【答案】
【解析】解：过P作PE⊥BC所在直线于E，过M作MF⊥BC于F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC=10，
∴AB=BC=AB=AD=CD=10，
∴△ABC与△ACD均为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADC=60°，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴ BD平分∠ABC，
∴∠CBO=，
∴PE=BP，
∴PM+BP=PM+PE≤MF，
∵点P在BD上，
∴当M，P，E三点共线时最短，MP+PB最小=MF，
∵AM=3，
∴CM=AC-AM=10-3=7，
在Rt△MFC中，∠MCF=60°，
∴sin∠MCF=，
∴MF=MCsin60°=，
∴MP+PB最小=MF=．
故答案为：.
15．矩形纸片ABCD中，BC=2AB，将纸片对折，使顶点A与顶点C重合，得折痕EF，将纸片展开铺平后再进行折叠，使顶点B与顶点D重合，得折痕MN，展开铺平后如图所示.若折痕EF与MN较小的夹角记为θ，则sinθ= .
【答案】
【解析】解：如图，连接AC、BM、DN、CE，过点M作 于点G，
由折叠可知： ， ，
， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ， ，
，
设 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： .
16．如图，在中，，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形.连接CD，若，则tan∠CDB的值为 .
【答案】
【解析】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，
∵，
∴sin∠BCE=，
设BE=3，BC=5，
∴CE=，
过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，
∴BF=CG，
设AC=x，AB=y，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB2-AC2=BC2，
∴y2-x2=25，
∵S△ABC=，
∴y CF=5x，
∴CF=，
在Rt△BCF中，根据勾股定理，得
BF=，
∴BF=CG=
在正方形ABDH中，AB=BD=y，
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得
DE=，
∴CD=CE+ED=4+，
∵S△CBD=×CD BE=×BD CG，∴CD BE=BD CG，
（4+）×3=，∴tan∠CDB=tan∠EDB=
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题每题12分，第24题14分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
；
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：
（1）线段BE的长；
（2）∠ECB的余切值．
【答案】（1）解：∵AD=2CD，AC=3，
∴AD=2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴∠A=∠B=45°，AB= = =3 ，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，
∴AE=AD cos45°=2× = ，
∴BE=AB﹣AE=3 ﹣ =2 ，
即线段BE的长为2
（2）解：过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：
∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，∴EH=BH=BE cos45°=2 × =2，∵BC=3，∴CH=1，在Rt△CHE中，cot∠ECB= = ，即∠ECB的余切值为
19．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1： ．
（1）求新坡面的坡角a；
（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由．
【答案】（1）解：∵新坡面的坡度为1： ，
∴tanα=tan∠CAB= = ，
∴∠α=30°．
答：新坡面的坡角a为30°
（2）解：
文化墙PM不需要拆除．
过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6，
∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1： ，
∴BD=CD=6，AD=6 ，
∴AB=AD﹣BD=6 ﹣6＜8，
∴文化墙PM不需要拆除．
20．阅读下面材料：
小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，则tan22.5°=
小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD=CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：
（1）tan22.5°= ．
（2）参考小天思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，请借助△ABC，构造出15°的角，并求出该角的正切值．
【答案】 ﹣1,解: 如图3，延长BA到D，使AD=AB，则AB=AD=AC，∴∠D=∠ACD，∵∠CAB=∠D+∠ACD=30°， ∴∠D=15°，作CH⊥AB于H，设CH=x，则AC=2x，AH= x，∴AD=AC=2x，∴DH=AD+AH=（2+ ）x，在Rt△DCH中，tanD= ，即tan15°=2﹣
（1） ﹣1
（2）解：如图3，延长BA到D，使AD=AB，则AB=AD=AC，
∴∠D=∠ACD，
∵∠CAB=∠D+∠ACD=30°，
∴∠D=15°，作CH⊥AB于H，设CH=x，则AC=2x，AH= x，
∴AD=AC=2x，
∴DH=AD+AH=（2+ ）x，
在Rt△DCH中，tanD= ，即tan15°=2﹣
【解析】如图2，设CD=CA=a，则AD= a，
∵∠B=22.5°，∠ADC=45°，
∴∠DAB=22.5°，
∴∠DAB=∠B，
∴DB=DA= a，
∴BC=BD+CD=（ +1）a，
在Rt△ABC中，tanB= ，
即tan22.5°= ﹣1；
21．如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．
（1）求出此时点A到岛礁C的距离；
（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）
【答案】（1）解：如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，
由题意可得：∠CBD=30°，BC=120海里，
则DC=60海里，
故cos30°= = ，
解得：AC=40 ，
答：点A到岛礁C的距离为40 海里．
（2）解：如图所示 ：过点A′作A′N⊥BC于点N，
可得∠1=30°，∠BA′A=45°，A′N=A′E，
则∠2=15°，即A′B平分∠CBA，
设AA′=x，则A′E= x，
故CA′=2A′N=2× x= x，
∵ x+x=40 ，
∴解得：x=20（ ﹣1），
答：此时“中国海监50”的航行距离为20（ ﹣1）海里．
22．【阅读学习】
刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tanα= ，求sin2α的值．
（1）小娟是这样解决的：
如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，∠BAC=α，所以∠ACB=90°，tanα= = ．
易得∠BOC=2α．设BC=x，则AC=3x，则AB= x．作CD⊥AB于D，求出CD= （用含x的式子表示），可求得sin2α= = ．
（2）【问题解决】
已知，如图2，点M、N、P为圆O上的三点，且∠P=β，tanβ= ，求sin2β的值．
【答案】（1） x；
（2）解：如图，连接NO，并延长交⊙O于Q，连接MQ，MO，作MH⊥NO于H．
在⊙O中，∠NMQ=90°．
∵∠Q=∠P=β，OM=ON，
∴∠MON=2∠Q=2β．
∵tanβ= ，
∴设MN=k，则MQ=2k，
∴NQ= ．
∴OM= NQ= ．
∵ ，
∴ ．
∴MH= ．
在Rt△MHO中，sin2β=sin∠MON= ．
【解析】解：（1）∵S△ABC= AB CD= AC BC，
∴CD= = = x．
∵AB= x，
∴OC= AB= x，
∴sin2α= = = ．
故答案为 x， ；
23．如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ．
（1）①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF AD；
（2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ．
【答案】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠PBC+∠CBQ=90°∴∠ABP=∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；②∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°，
∵∠PQB=45°，∠CEP=∠QEB，∴∠CBQ=∠CPQ，
由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP=∠CBQ
∵∠CPQ=∠APF，∴∠APF=∠ABP，∴△APF∽△ABP，
(本题也可以连接PD，证△APF∽△ADP)
（2）证明：由①得△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ=∠BAC=45°，∵∠ACB=45°，∴∠PCQ=45°+45°=90°
∴tan∠CPQ= ，
由①得AP=CQ，
又AP：PC=1：3，∴tan∠CPQ= ，
由②得∠CBQ=∠CPQ，
∴tan∠CBQ=tan∠CPQ= .
24．已知，在 中， ， ，D是AB上的一点 不与点A，B重合 ，连接CD，以点C为中心，把CD顺时针旋转 ，得到CE，连接AE．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 ，点G为BC上一点，连接GD并延长，与EA的延长线交于点H，且 ，连接DE与AC相交于点F，请写出图2中所有正切值为2的角．
【答案】（1）证明：如图1中，
， ，
，
，
，
， ，
≌ ，
，
（2）解：如图2中，取DE的中点O，连接AO，CO，作 于H， 于M．
， ，
，
，D，C，E四点共圆，
，
， ，
．
，设 ，则 ， ， ， ，
， ，
， ， ，
， ，
满足条件的角有 ， ， ．
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