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【期末优化训练】浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图：，，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】∵AB∥CD∥EF，
∴，
，
即，
∴CE＝3，
故答案为：A.
2．如图，在△ABC中，点D、E和点F、G分别是边AB、AC的三等分点，△ABC的面积为18，则四边形DEGF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【解析】∵点D、E、F、G分别是边AB、AC的三等分点，
∴，AD：AE：AB＝1：2：3，
∴△ADF∽△AEG∽△ABC，
∴S△ADF：S△AEG：S△ABC＝1：4：9，
∵△ABC的面积为18，
∴S△ADF＝2，S△AEG＝8，
∴四边形DEGF的面积为8﹣2＝6．
故答案为：C．
3．如图，G为的重心，点D在延长线上，且，过D、G的直线交于点E，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，连接CG并延长，交AB于F，连接AG并延长，交BC于H，连接FH交DE于N，
∵G为△ABC的重心，
∴是△ABC的中位线，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴ ，即，
∴ ，
∴
故答案为：D.
4．已知，如果，，那么与的周长比为（ ）
A．3：2 B．3：4 C．2：5 D．5：2
【答案】C
【解析】∵ ， ， ，
∴ 与 的相似比为 ，
∴ 与 的周长比为 ；
故答案为：C.
5．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（ ）
A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点
C．CE CD＝CA CB D．＝
【答案】D
【解析】∵CE⊥CD，
∴∠EDC＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCE＝∠DCA＝90°-∠BCD，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴DC＝DB＝DA，
∴∠DAC＝∠A，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠A，
∵∠CBA＝2∠A，∠CBA+∠A＝90°，
∴∠A＝∠BCE＝∠DCA＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠E＝∠CBA-∠BCE＝30°，
∴∠BCE＝∠DCA＝∠E＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴A不符合题意；
∵点B是DE的中点，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠BCE＝∠E＝∠DCA＝∠A，
∴△CEB∽△CAD，
∴B不符合题意；
∵CE CD＝CA CB，
∴．
∵∠BCE＝∠DCA，
∴△CEB∽△CAD，
∴C不符合题意；
由，由于∠E和∠A不能判断相等，故不能判断△CEB与△CAD相似，
∴D符合题意.
故答案为：D．
6．如图，等边中，点E是的中点，点D在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵是等边三角形，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B.
7．如图所示，已知矩形的边长为8cm，边长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ）
A．21cm2 B．24cm2 C．27cm2 D．30cm2
【答案】C
【解析】∵矩形与矩形相似，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
故答案为：C．
8．如图，，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，∠ACB=∠ECD，
∴∴，∠ACE=∠BCD，
∴，
∴=，
∵，，
∴，
∴即，
∴=，
∴=，
故答案为：C．
9．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：5
【答案】A
【解析】作DH∥AC交BF于H，如图，
∵DH∥AF，
∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，
∵DE＝AE，
∴△EDH≌△EAF（AAS），
∴DH＝AF，
∵点D为BC的中点，DH∥CF，
∴DH为△BCF的中位线，
∴CF＝2DH＝2AF，
∴AF：FC＝1：2，
故答案为：A．
10．如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，作 垂直 于H，延长 和 交于点M，
∵ ，
∴ ， ，
菱形 的边长为4，
， ，
是 的中点，
，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ， ， ，
由 ，
，
∴ ，
，
解得 .
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，AC与DF交于点N．
（1）当AB＝4时，AN＝ ．
（2）S△ANF：S四边形CNFB＝ ．（S表示面积）
【答案】（1）
（2）1：11
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB=CD
∴ ，
∵AF：FB＝1：2，
∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，
∴ ，
∴ ，
∵ACAB，
∴ ，
∴ANAB；
∵AB=4
∴AN=
故答案为 ；
（2）设△ANF的面积为m，
∵AF∥CD，
∴ ，△AFN∽△CDN，
∴△AFN和△CDN高的比=
∴△AFN和△ADN高的比=
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，
∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，
12．四边形ABCD是一张矩形纸片，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠，使点A落在矩形的对角线BD上，连接CF，若DE＝1，请探究下列问题：
（1）如图1，当F恰好为BD的中点时，AE＝ ；
（2）如图2，当点C、E、F在同一条直线上时，AE＝ ．
【答案】（1）
（2）
【解析】(1)当点F恰好为中点时，由折叠的性质得，
，
，
由折叠的性质得，
，
又，
，
，，
，
．
故答案为：；
(2)当点C、E、F在同一直线上时，
根据翻折的性质可知：
，，，
，
，
设，可得，
，，
，
，
，
解得：或（舍去负值），
，
故答案为：．
13．如图，矩形 中， ，E为 的中点，连接 、 交于点P，过点P作 于点Q，则 ．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，∠BAD=90°，
∵E为CD的中点，
∴DE= CD= AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴ ，
∵CD=2，
∴PQ= ，
故答案为： ．
14．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD =OA，BD分别与AC，OC交于点E、F，连接AD、CD，则OG：BC的值为 ；若CE=CF，则CF：OF的值为
【答案】；
【解析】①∵为的中点，∠ACB=90°，
∴OB=OA=OC，
∵OD平分∠AOC交AC于点G，
∴点G为的中点，
∴OG为△ABC的中位线，
，且，即；
②
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，即，
是等腰直角三角形，
；
由（1）知，
，
．
故答案为：；．
15．如图，是的中线，E是上一点，且．连接并延长交于点F，过点A作//交的延长线于点G，则 ．
【答案】
【解析】∵AG//BC，AD= 4AE，
∴
∵D为BC的中点，
∴BD=DC=BC，
∵AG// BC，
∴，
∴BE= 3(GF+ FE)， BF= 6GF，
∴6GF- EF= 3GF+ 3EF，
∴EF= GF，
∴GF： BE=4： 21，
故答案为：．
16．如图，在中，，，，半径为2，P为圆上一动点，连接，，的最小值为 .
【答案】
【解析】如图，
在CB上取点D，使，则有，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
要使最小，只要最小，
当点A，P，D在同一条直线时，最小，
即：最小值为AD，
在中，，，
∴，
的最小值为.
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题每题12分，第24题14分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠BCD=∠A，求证：BC2=BD AB
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD平分∠ACB，若BC=1，求AB的长．
【答案】（1）解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B
∴△BDC∽△BCA
∴
∴
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC=36°
∴∠B＝∠ACB＝72°
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD＝∠BCD＝36°＝∠A
∴∠BDC＝72°＝∠ACB
∵∠B＝∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
∵∠BDC＝∠B＝72°
∴BC=CD=1
∵∠ACD＝∠A＝36°
∴AD=BC=CD=1
设BD=x，则AB=x+1
∴
即
解得：（负值舍去）
∴
∴
18．已知：如图，在 中， ， 于 ， 为直角边 的中点，射线 交 的延长线于点 ．
（1）若 ， ，求 长；
（2）求证： ．
【答案】（1）解：在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵∠B=∠B，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ 是 斜边 边上的中线，
∴ ，
∴∠EAD=∠EDA，∠C=∠CDE，
∵∠CDA=∠CAF=90°，
∴∠CDE=∠FAD=∠C，
∴∠FDB=∠FAD，
∵∠F=∠F，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ．
19．已知，如图，AB//DC，∠ABC+∠ADB=180°.
（1）求证：△ABD∽△BDC；
（2）若AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，且BF=2AE，S△ABD=3，求S△BDC
【答案】（1）证明：∵AB//DC，
∴∠ABD=∠BDC，∠ABC+∠C=180°，
∵∠ABC+∠ADB=180°，
∴∠C=∠ADB，
在△ABD和△BDC中；
∠ABD=∠BDC，∠C=∠ADB，
∴△ABD∽△BDC；
（2）解：∵△ABD∽△BDC，
∴DC：BD=BF：AE=2：1；
∴S△BDC：S△ABD =（DC：BD）=4：1；
∴S△BDC=12；
20．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，
．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证： ．
【答案】（1）证明：∵ ， ∴ ． 又∵∠AFG=∠EFA， ∴△FAG∽△FEA．
∴∠FAG=∠E．
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC．
∴∠EBC =∠FAG．
又∵∠ACD=∠BCG， ∴△CAD ∽△CBG．
（2）证明：∵△CAD ∽△CBG，
∴ ．
又∵∠DCG=∠ACB，
∴△CDG ∽△CAB，
∴ ．
∵AE∥BC，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
21．在四边形ABCD中，．点E在AB上，过点E作交CD于点F．
（1）若，如图1，则EF的长 ；
（2）若，如图2，则EF的长 ；
（3）若，如图3，则EF的长 ；
……
（4）根据上述规律，若，则EF的长 ，并证明你的猜想．
【答案】（1）3
（2）
（3）
（4）解：证明如下：如图，过点A作，分别交EF，BC于点M，N，易知四边形ADFM，MFCN为平行四边形，，．，，，即，，，即．
【解析】(1)由题意，
∵四边形ABCD中，
∴四边形ABCD是梯形，
∵，
∴点E是AB的中点，
∵，
∴EF是梯形的中位线，
∵，
∴；
∴；
故答案为：3．
(2)根据题意，过点A作，分别交EF，BC于点M，N，如图：
易知四边形ADFM，MFCN为平行四边形，
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
(3)与（2）同理，可得，
∵，
∴
∴
∴；
22．中，，，点E为边上一点，点D为延长线上一点，，连接、，并延长交于F，设．
（1）求证：；
（2）若F恰好是中点，求x的值；
（3）设，当时，求y的值．
【答案】（1）证明：在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：，则，
，，
，
，
，
，
恰好是中点，
垂直平分，
，
即，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
当时，．
23．如图1，△ABC≌△DAE，∠BAC=∠ADE=90°。
（1）连接CE，若AB=1，点B、C、E在同一条直线上，求AC的长；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，如图2，BC与AD交于点F，BC的延长线与AE交于点N，过点D，作交BC于点M，求证：①BM=DM；②MN2=NF·NB.
【答案】（1）解：∵△ABC≌△DAE，
∴AD＝AB＝1，AC＝DE，
∵∠BAC＝∠ADE＝90°，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△DEC，
，
∴，
解得；
（2）证明：①连接BD，
∵△ABC≌△DAE，
∴∠ABC＝∠DAE，AB＝DA，
∵DM∥AE，
∴∠MDA＝∠DAE，
∴∠ABC＝∠MDA，
∵AB＝DA，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD﹣∠ABC＝∠ADB﹣∠MDA，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴BM＝DM；
②连接MA，
由①知，BM＝DM，AB＝DA，
∵AM＝AM，
∴△AMB≌△AMD（SSS），
∴∠BAM＝∠DAM，
由①知，∠ABC＝∠DAE，
∴∠ABC+∠BAM＝∠DAE+∠DAM，
∴∠AMN＝∠NAM，
∴MN＝AN，
∵∠BNA＝∠ANF，∠ABC＝∠DAE，
∴△ANF∽△BNA，
∴，
∴AN2＝BN NF，
∴MN2＝NF NB．
24．如图①，在正方形ABCD中，B为边BC上一点，连接AE，过点D作DN⊥AE交AE、AB分别于点F、N．
（1）求证：△ABE≌△DAN；
（2）若E为BC中点，
①如图②，连接AC交DP于点M，求CM：AM的值；
②如图③，连接CF，求tan∠CFE的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠B＝∠DAN＝90°，
∵DN⊥AE，
∴∠AFN＝90°，
∴∠FAN+∠ANF＝90°．
∵∠ADN+∠ANF＝90°，
∴∠FAN＝∠AND，即∠BEA＝∠AND，
∴在△ABE和△DAN中，，
∴△ABE≌△DAN（AAS）；
（2）解：(2)①∵四边形ABCD是正方形，
∴，AB＝BC＝CD．
∵E为BC中点，
∴BE＝CE＝BC，
同（1）得：△ABE≌△DAN（AAS），
∴BE＝AN＝BC，∴AN＝AD＝CD，
∵，∴△CDM∽△ANM，∴；
②过点C作CM⊥DN于M，如图所示：
设AB＝AD＝CD＝2a，则BE＝a，
在中，由勾股定理得：，
同（1）得：△ABE≌△DAN（AAS），
∴BE＝AN＝a，AE＝DN＝．
∵∠DAN＝90°，DN⊥AE，
∴，
∴．
∵CM⊥DN，
∴∠CMD＝90°＝∠DAN，∴∠DCM+∠CDM＝90°．
∵∠CDM+∠NDA＝90°，∴∠DCM＝∠NDA，∴△CDM∽△DNA，
∴，即，
解得：，，
∴，
∴．
∵DN⊥AE，CM⊥DN，∴，
∴∠CFE＝∠MCF，
∴tan∠CFE＝tan∠MCF＝．
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【期末优化训练】浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 测试卷1
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图：，，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在△ABC中，点D、E和点F、G分别是边AB、AC的三等分点，△ABC的面积为18，则四边形DEGF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
3．如图，G为的重心，点D在延长线上，且，过D、G的直线交于点E，则为（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第5题）
4．已知，如果，，那么与的周长比为（ ）
A．3：2 B．3：4 C．2：5 D．5：2
5．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（ ）
A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点
C．CE CD＝CA CB D．＝
6．如图，等边中，点E是的中点，点D在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，已知矩形的边长为8cm，边长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ）
A．21cm2 B．24cm2 C．27cm2 D．30cm2
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：5
10．如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，AC与DF交于点N．
（1）当AB＝4时，AN＝ ．
（2）S△ANF：S四边形CNFB＝ ．（S表示面积）
（第11题） （第12题） （第13题）
12．四边形ABCD是一张矩形纸片，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠，使点A落在矩形的对角线BD上，连接CF，若DE＝1，请探究下列问题：
（1）如图1，当F恰好为BD的中点时，AE＝ ；
（2）如图2，当点C、E、F在同一条直线上时，AE＝ ．
13．如图，矩形 中， ，E为 的中点，连接 、 交于点P，过点P作 于点Q，则 ．
14．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD =OA，BD分别与AC，OC交于点E、F，连接AD、CD，则OG：BC的值为 ；若CE=CF，则CF：OF的值为
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，是的中线，E是上一点，且．连接并延长交于点F，过点A作//交的延长线于点G，则 ．
16．如图，在中，，，，半径为2，P为圆上一动点，连接，，的最小值为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题每题12分，第24题14分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠BCD=∠A，求证：BC2=BD AB
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD平分∠ACB，若BC=1，求AB的长．
18．已知：如图，在 中， ， 于 ， 为直角边 的中点，射线 交 的延长线于点 ．
（1）若 ， ，求 长；
（2）求证： ．
19．已知，如图，AB//DC，∠ABC+∠ADB=180°.
（1）求证：△ABD∽△BDC；
（2）若AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，且BF=2AE，S△ABD=3，求S△BDC
20．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，
．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证： ．
21．在四边形ABCD中，．点E在AB上，过点E作交CD于点F．
（1）若，如图1，则EF的长 ；
（2）若，如图2，则EF的长 ；
（3）若，如图3，则EF的长 ；
……
（4）根据上述规律，若，则EF的长 ，并证明你的猜想．
22．中，，，点E为边上一点，点D为延长线上一点，，连接、，并延长交于F，设．
（1）求证：；
（2）若F恰好是中点，求x的值；
（3）设，当时，求y的值．
23．如图1，△ABC≌△DAE，∠BAC=∠ADE=90°。
（1）连接CE，若AB=1，点B、C、E在同一条直线上，求AC的长；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，如图2，BC与AD交于点F，BC的延长线与AE交于点N，过点D，作交BC于点M，求证：①BM=DM；②MN2=NF·NB.
24．如图①，在正方形ABCD中，B为边BC上一点，连接AE，过点D作DN⊥AE交AE、AB分别于点F、N．
（1）求证：△ABE≌△DAN；
（2）若E为BC中点，
①如图②，连接AC交DP于点M，求CM：AM的值；
②如图③，连接CF，求tan∠CFE的值．
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