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【期末优化训练】浙教版2022-2023学年九上数学第1章 二次函数 测试卷2
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知抛物线与轴只有一个交点，且过点，，则的值为（ ）
A．-9 B．-16 C．-18 D．-27
【答案】D
【解析】∵抛物线过点，，
∴对称轴为x=，
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴抛物线的顶点坐标为，
则，
∴b=6m+6，
∴
把和分别代入得
故n=②-①=-27
故答案为：D．
2．若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足（ ）
A．a＝ B．a≤
C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝
【答案】D
【解析】①函数为二次函数，y=ax2﹣x+1（a≠0），
∴Δ=1﹣4a=0，
∴a=；
②函数为一次函数，
∴a=0，
∴a的值为或0；
故答案为：D.
3．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，
∴，
∵，
∴，抛物线的对称轴为直线，
∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，
∴，
∴，
作点D关于y轴的对称点，点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点G，交y轴于点F，如图，
则，，，，
此时，
∴此时四边形EDFG周长最小，
延长，它们交于点H，如图，
则，
∴，
∴四边形EDFG周长的最小值为，
故答案为：B.
4．二次函数y=x2-2mx+10图象上一点4（a，b），当3≤a≤5时，存在b=0，则m的取值范围为（ ）
A．3≤m≤ B． ≤m≤
C． ≤m≤ D． ≤m≤
【答案】C
【解析】令y=x2-2mx+10=0，
∵当3≤a≤5时，存在b=0，
∴=b2-4ac=4m2-40≥0，
解得：m≥或m≤-，
∵点（a，b）在抛物线上，
∴a=3时，y=19-6m，
a=5时，y=35-10m，
①当m≤-时，即抛物线的对称轴x=m在y轴的左侧，
∵抛物线开口方向向上，
∴时存在b=0，
解得：≤m≤，
∴①情况不符合，舍去；
②当m≥，抛物线的对称轴x=m在y轴的右侧，
∵抛物线开口方向向上，
∴（无解，舍去）或或时，存在b=0，
∴≤m≤或m≤，
又∵m≥，
∴≤m≤.
故答案为：C.
5．已知非负数a，b，c，满足a-b=2且c+3a=9，设y=a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】∵a-b=2，c+3a=9，
∴b=a-2，c=9-3a，
∵b，c都是非负数，
∴，
∴2≤a≤3，
∴ y=a2+b+c=a2+2+a+9-3a=a2-2a+11=（a-1）2+10，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线a=1，在抛物线的右侧y随a的增大而增大，
∴当a=2时，y取最小值为11，当a=3时，y取最大值为14，
∴m=14，n=11，
∴m-n=3.
故答案为：C.
6．已知抛物线 与 轴交于点A、B，与 轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形抛物线的条数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】 ∵y=k(x+1)(x-)=(x+1)(kx-3);
∴抛物线经过点A(-1，0),C(0，-3）；
∴AC== = ，
∴点B坐标为（ ，0）,
①k＞0时，点B在x轴正半轴上，
若AC=BC,则=；解得k=3;
若AC=AB,则+1=;解得k==;
若 AB=BC，+1=,解得k=;
②k＜0时,点B在x轴负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB;
∴-1-=,解得k=-=-;
∴能使 ΔABC为等腰三角形的抛物线共有4条。
故选B。
7．如图，抛物线y=﹣ x2+ x+ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（5， ）
C．（4， ） D．（5，3）
【答案】B
【解析】连接PC、PO、PA，
设点P坐标（m，﹣ ）
令x=0，则y= ，点C坐标（0， ），
令y=0则﹣ x2+ x+ =0，解得x=﹣2或10，
∴点A坐标（10，0），点B坐标（﹣2，0），
∴S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC= × ×m+ ×10×（﹣ ）﹣ × ×10=﹣ （m﹣5）2+ ，
∴x=5时，△PAC面积最大值为 ，
此时点P坐标（5， ）．
故点P坐标为（5， ）．
8．已知点 A（a，2）、B（b，2）、C（c，7）都在抛物线 上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】∵抛物线y＝（x 1）2 2，a＞0
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，
当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x 1）2 2上，点A在点B左侧，
∴a＜b
若c＜0，则c＜a＜b，故A、B均不符合题意；
若c＞0，则a＜b＜c，故C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D..
9．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【答案】D
【解析】y＝a（x 1）2 a
∴此抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1， a），
当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a，
∵y的最小值为 4，
∴ a＝ 4，
∴a＝4；
当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a a＝ 4，
解得a＝ ；
综上所述：a的值为4或 .
故答案为：D.
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，DE是正三角形ABC的中位线.动点M，N分别从D、E出发，沿着射线DE与射线EB方向移动相同的路程，连结AM，DN交于P点.则下列结论：①ac=-3；②AM=DN；③无论M，N处何位置，∠APN的大小始终不变.其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
∵△ABC是等边三角形，OC⊥AB，
∴AO=OB，∠ACO=∠BCO=30°，
∴OC是抛物线对称轴，
∴b=0，
∴抛物线解析式为y=ax2+c，
∴点B坐标 ，
∵tan∠BCO= ，
∴c= ，
∴c2= ，
∵c≠0，
∴ac=-3，故①正确.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= AB= AC=AD，DE∥AB，
∴∠CDE=∠CAB=60°，∠CED=∠CBA=60°，
∴∠ADM=∠DEN=120°，
在△ADM和△DEN中，
，
∴△ADM≌△DEN，
∴AM=DN，∠M=∠N，故②正确.
设AM交EN于K，∵∠EKM=∠PKN，∴∠MEK+∠EKM+∠M=180°，∠KPN+∠PKN+∠N=180°，
∴∠MEK=∠NPK，
∵∠MEK=∠CED=60°，
∴∠NPK=60°，
∴∠APN=180°-∠NPK=120°，
∴∠APN的大小不变，故③正确.
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在-2， ， ，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数 中 的值，则该二次函数图象开口向上的概率是
【答案】
【解析】当a大于0时，二次函数 图象开口向上，
-2， ， ，2，3中大于0的数有3个，
所以该二次函数图象开口向上的概率是 ，
故答案为： ．
12．已知二次函数y=ax2﹣4ax+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，y的值为
【答案】4
【解析】∵y= ，当x分别取 两个不同的值时，函数值相等，∴ ，
∴当x取 时，
y= ，
故答案为：4．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为 ．
【答案】3
【解析】当y=0时，x2+mx=0，解得x1=0，x2=﹣m，则A（﹣m，0），
∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴抛物线解析式为y=x2+x，
当x=1时，y=x2+x=2，则A′（1，2），
当y=2时，x2+x=2，解得x1=﹣2，x2=1，则C（﹣2，1），
∴A′C的长为1﹣（﹣2）=3，
故答案为3．
14．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）.若h1＝2h2，则t1：t2＝ .
【答案】
【解析】由题意得，图1中的函数图象解析式为：h＝v1t 4.9t2，令h=0， 或 （舍去）， ，
图2中的函数解析式为：h＝v2t 4.9t2， 或 （舍去）， ，
∵h1＝2h2，
∴ =2 ，即： = 或 =- （舍去），
∴t1：t2= ： = ，
故答案是： .
15．如图，已知在边长为6的正方形 中， 为 的中点，点 在边 上，且 ，连接 ， 是 上的一动点，过点 作 ， ，垂足分别为 ， ，则矩形 面积的最大值是 .
【答案】24
【解析】以FE为x轴，以FC为y轴，建立平面直角坐标系，
∵边长为6的正方形 中， 为 的中点， ，
∴A（3，0），B（0，2），C（0，6），E（6，0），
设A B的解析式为 ，则
，解得 ，
∴ （ ），
设P（a， ）（ ），则PM=6-a，PN=6-（ ），
∴ ，
∴当a=0时，矩形 面积的最大值是24.
故答案为：24.
16．如图所示，二次函数 （ ， ， ， 为实数）的图象过点 ，对称轴为直线 ，给出以下结论：① ；② ；③ ；④若 、 为函数图象上的两点，则 .其中正确的有 .（填写序号即可）
【答案】①②③
【解析】①由图象可知：a<0， c>0，由对称轴可知:- >0，
∴b>0
∴ abc<0，故①正确；
②由对称轴可知：- =1，
∴b=-2a，
∵抛物线过点（3，0），
∴0=9a+3b+c，
∴9a-6a+c=0，
∴3a+c=0，故②正确；
③当x=1时，y取最大值，y的最大值为a+b+c，
当x取全体实数时，
a +bx+c≤a+b+c，
即a +bx≤a+b，故③正确；
④（-0.5， ）关于对称轴x=1的对称点为（2.5，y），
∴ =y，
∵ 离对称轴比 离对称轴远，开口向下，离对称轴越远越小，
∴ ＞ ，
故④错误.
故答案为： ①②③.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题每题12分，第24题14分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，二次函数 （a为常数）的图象的对称轴为直线 .
（1）求a的值.
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
【答案】（1）解： .
∵图象的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴二次函数的表达式为 ，
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点，
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为
18．2022年北京冬奥会召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
【答案】（1）解：由题意可知抛物线C2：y=-x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：，
解得：，
∴抛物线C2的函数解析式为：y=-x2+x+4
（2）解：设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，
依题意得：-m2+m+4-（-m2+m+1）=1，
整理得：（m-12）（m+4）=0，
解得：m1=12，m2=-4（舍去），
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．
19．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润=销售价-进价）
【答案】（1）解：设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：
，
解得： ，
故函数的表达式为：y=-2x+220；
（2）解：设药店每天获得的利润为W元，由题意得：
w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，
∵-2＜0，函数有最大值，
∴当x=80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元.
20．如图，已知抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式，并求出的最大值．
【答案】（1）解：把A（-4，0），C（2，0）代入y=x2+bx+c得，
，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-4
（2）解：如图，过点M作MN⊥AC，垂足为N，
抛物线y=x2+x-4与y轴的交点B坐标为（0，-4），即OB=4，
又∵M（m，m2+m-4），
∴ON=-m，MN=-m2-m+4，AN=4-（-m）=4+m，
∴S△ABM=S△ANM+S梯形MNOB-S△AOB
=（4+m）（-m2-m+4）+（-m2-m+4+4）（-m）-×4×4
=-m2-4m
=-（m+2）2+4，
∴当m=-2时，S最大=4，
答：S与m的函数关系式为S=-m2-4m，S的最大值为4．
21．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
【答案】（1）解：①∵正方形OABC的边长为3，
∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)，
②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别y=-x2+bx+c，
得，
解得.
（2）解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCM，
∴
∴
整理，得n= m2+m，
即n= (m- )2+
∴当m= 时，n的值最大，最大值是
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A、C，且C(2，0)，与y轴交于点B(0，4)，直线y＝x+5与x轴交于点D、与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接PE，将线段PE绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，过点F作FM⊥x轴于点M，设P点横坐标为t，FM的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当t＝﹣时，过E点作EH⊥DE交MF的延长线于点H，Q是AC的中点，连接PQ、DH交于点G，求G点坐标．
【答案】（1）解：把B（0，4），C（2，0）代入y＝ax2+2ax+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+4
（2）解：如图，分别过P、F向y轴作垂线，垂足分别为P′、F′，
∴∠EP′P＝∠EF′F＝90°，
由旋转可知，PE＝EF，∠PEF＝90°，
由直线DE的解析式为：y＝x+5，则E（0，5），
∴OE＝5，
∵∠PEO+∠OEF＝90°，∠PEO+∠EPP′＝90°，
∴∠EPP′＝∠OEF，
∴△PEP′≌△EFF′（AAS），
∴PP′＝EF′＝﹣t，
则d＝FM＝OF′＝OE﹣EF′＝5﹣（﹣t）＝5+t；
（3）解：如图，由直线DE的解析式为：y＝x+5，
∵EH⊥ED，
∴直线EH的解析式为：y＝﹣x+5，
∵令y＝﹣x2﹣x+4＝0，
∴x＝﹣4或x＝2，
∴A（﹣4，0）．
∵t＝，
∴P（，+1），
∴EP′＝5﹣（+1）＝4﹣，
∴FF′＝OM＝EP′＝4﹣，
∴H（4﹣，+1），
∴P与H的纵坐标相等，
∴PH∥x轴，PH＝4，
∴∠PHD＝∠HDQ，∠QPH＝∠PQD，
∵点Q是AC的中点，
∴Q（﹣1，0），
∴DQ＝4，
∴DQ＝PH＝4，
∴△PGH≌△QGD（AAS），
∴PG＝GQ，即点G是PQ的中点，
作GI⊥x轴于I，作PR⊥x轴于R，
∴GI∥PR，
∴△QGI∽QPR，
∴，
∴，，
∴，
∴G（，）．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线过A，B两点，与x轴的另一个交点为C，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P为抛物线的顶点，求四边形的面积；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：在直线中，当时，，
当时，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设抛物线的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为
（2）解：∵，
∴顶点，
连接、，过点B作轴交于D，
设直线解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴，
∵，，
∴
；
（3）解：存在．
设点Q．
①当点A为直角顶点时，过点A作，交y轴于点M，交抛物线于点Q1，过点Q1作轴，垂足为N．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，
∴．
即．，
解得，（舍去）．
∴，
∴．
②当点B为直角顶点时，过点B作，交抛物线于点，过点作轴，垂足为G．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
即，
解得，（舍去），
，
∴点．
∴点Q的坐标为或．
24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将B（4，0）代入y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m，
∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0，
解得m＝2，
∴y＝﹣＋x＋4；
A（﹣2，0）；C（0，4）
（2）解：存在点M使AM＋OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点，连接A交BC于点M，连接B，
由对称性可知，OM＝M，
∴AM＋OM＝AM＋MA，
当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠BM＝45°，
∴B⊥BO，
∴（4，4），
设直线A的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x＋，
设直线BC的解析式为，
∴4＋4＝0，
∴＝﹣1，
∴y＝﹣x＋4，
联立方程组，
解得，
∴M（）；
（3）解：存在点P，使得最大，理由如下：
连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G，
设P（t，﹣＋t＋4），则G（t，﹣t＋4），
∴PG＝﹣＋2t，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝4，
∴S△BCP＝×4×（﹣＋2t）＝﹣＋4t＝×4×PF，
∴PF＝﹣＋t，
∵CD⊥BC，PF⊥BC，
∴PFCD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵B、D两点关于y轴对称，
∴CD＝4，
∴＝﹣（﹣4t）＝﹣＋，
∵P点在第一象限内，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时，有最大值，
此时P（2，4）．
【解析】（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣＋x＋4＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
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【期末优化训练】浙教版2022-2023学年九上数学第1章 二次函数 测试卷2
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知抛物线与轴只有一个交点，且过点，，则的值为（ ）
A．-9 B．-16 C．-18 D．-27
2．若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足（ ）
A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝
3．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
（第3题） （第7题） （第10题）
4．二次函数y=x2-2mx+10图象上一点4（a，b），当3≤a≤5时，存在b=0，则m的取值范围为（ ）
A．3≤m≤ B． ≤m≤
C． ≤m≤ D． ≤m≤
5．已知非负数a，b，c，满足a-b=2且c+3a=9，设y=a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知抛物线 与 轴交于点A、B，与 轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形抛物线的条数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．如图，抛物线y=﹣ x2+ x+ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（5， ）
C．（4， ） D．（5，3）
8．已知点 A（a，2）、B（b，2）、C（c，7）都在抛物线 上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
9．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，DE是正三角形ABC的中位线.动点M，N分别从D、E出发，沿着射线DE与射线EB方向移动相同的路程，连结AM，DN交于P点.则下列结论：①ac=-3；②AM=DN；③无论M，N处何位置，∠APN的大小始终不变.其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在-2， ， ，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数 中 的值，则该二次函数图象开口向上的概率是
12．已知二次函数y=ax2﹣4ax+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，y的值为
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为 ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）.若h1＝2h2，则t1：t2＝ .
15．如图，已知在边长为6的正方形 中， 为 的中点，点 在边 上，且 ，连接 ， 是 上的一动点，过点 作 ， ，垂足分别为 ， ，则矩形 面积的最大值是 .
16．如图所示，二次函数 （ ， ， ， 为实数）的图象过点 ，对称轴为直线 ，给出以下结论：① ；② ；③ ；④若 、 为函数图象上的两点，则 .其中正确的有 .（填写序号即可）
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题每题12分，第24题14分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，二次函数 （a为常数）的图象的对称轴为直线 .
（1）求a的值.
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
18．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
19．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润=销售价-进价）
20．如图，已知抛物线经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式，并求出的最大值．
21．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A、C，且C(2，0)，与y轴交于点B(0，4)，直线y＝x+5与x轴交于点D、与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接PE，将线段PE绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，过点F作FM⊥x轴于点M，设P点横坐标为t，FM的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当t＝﹣时，过E点作EH⊥DE交MF的延长线于点H，Q是AC的中点，连接PQ、DH交于点G，求G点坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线过A，B两点，与x轴的另一个交点为C，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P为抛物线的顶点，求四边形的面积；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
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