第五章 一次函数单元测试卷（标准难度）（含答案）

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浙教版初中数学八年级上册第五章《一次函数》单元测试卷
考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图所示的图象折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离千米与行驶时间时之间的关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
汽车共行驶了千米；汽车在行驶途中停留了小时；汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米时；汽车出发后小时至小时之间行驶的速度在逐渐减小．其中正确的说法共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
根据如图所示的计算程序计算的对应值，若输入变量的值为，则输出的结果为( )
A. B. C. D.
在矩形中，动点从出发，沿运动，速度为，同时动点从点出发，以相同的速度沿路线运动，设点的运动时间为，的面积为，与的函数关系的图象如图所示，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
学枝组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动．师生队伍从学校出发，匀速行走分钟到达烈士陵园，用小时在烈主陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行分钟返校．设师生队伍离学校的距离为米，离校的时间为分钟，则下列图象能大致反映与关系的是( )
A. B.
C. D.
小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为米，所经过的时间为分钟．下列选项中的图象，能近似刻画与之间关系的是( )
A. B.
C. D.
下列函数中，一次函数是( )
A. B.
C. D. 是常数
函数，，，中，是一次函数的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列函数： 中，是一次函数的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
一次函数不经过第象限．( )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
如图，已知直线：与直线：在第一象限交于点若直线与轴的交点为，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
如图，直线与轴、轴分别交于、两点，、分别为线段、的中点，为上一动点，当的值最小时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
甲、乙两人在一条长米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离米与乙出发的时间秒之间的函数关系如图所示，则下列结论中正确的个数是( )
乙的速度为米秒；
离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米；
甲、乙两人之间的距离为米时，甲出发的时间为秒和秒；
乙到达终点时，甲距离终点还有米．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
一根长为的蜡烛，每分钟燃烧，蜡烛剩余长度厘米与燃烧时间分之间的关系式为______不必写出自变量的取值范围．
某公司生产一种产品，前期投资成本为万元，在此基础上，每生产一吨又要投入万元成本，那么生产的总成本万元与产量吨之间的数量关系是______．
新定义：为一次函数为实数的“关联数”若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则关于的方程的解为 ．
如图，直线与分别交轴于点，，则不等式的解集为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
某厂生产一种零件，每一个零件的成本为元，销售单价为元个该厂为了鼓励客户购买，决定当一次性购买零件超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，但不能低于元．
当一次性购买多少个零件时，销售单价恰为元
设一次性购买零件个时，销售单价为元，求关于的函数表达式
当客户一次性购买个零件时，该厂获得的利润为多少当客户一次性购买个零件时，利润又为多少利润售价成本
某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：
方案 方案 方案
每月基本费用元
每月免费使用流量兆 无限
超出后每兆收费元
，，三种方案每月所需的费用元与每月使用的流量兆之间的函数关系如图所示．
请直接写出，的值．
在方案中，当每月使用的流量不少于兆时，求每月所需的费用元与每月使用的流量兆之间的函数关系式．
在这三种方案中，当每月使用的流理超过多少兆时，选择方案最划算？
为了了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表
汽车行驶时间
油箱剩余油量
根据上表的数据，请写出与的之间的关系式：______；
如果汽车油箱中剩余油量为，则汽车行驶了多少小时？
如果该种汽车油箱只装了汽油，汽车以的速度在一条全长公里的高速公路上匀速行驶，请问它在中途不加油的情况下能从高速公路起点开到高速公路终点吗？为什么？
如图所示，在一个边长为的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．
在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请写出与的关系式；
当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积是怎样变化的？
如图，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，其余各边均与坐标轴平行，平行于的直线沿轴的负方向以每秒个单位的速度平移，平移过程中，直线被正方形的边所截得的线段长为，平移时间为秒，与的函数图象如图，求图中、的值．
一个水池有水立方米，现要将水池的水排出，如果排水管每小时排出的水量为立方米．
写出水池中余水量立方米与排水时间时之间的函数关系式；
写出自变量的取值范围．
已知．当，取何值时，是的一次函数？
当，取何值时，是的正比例函数？
如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，与直线交于点，点与点关于原点对称，点的坐标为．
求直线的解析式；
连接，求的面积．
在一条公路上依次有，，三地，甲车从地出发，驶向地，同时乙车从地出发驶向地，到达地停留小时后，按原路原速返回地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚小时到达地．两车距各自出发地的路程千米与时间小时之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
甲车行驶速度是______千米时，，两地的路程为______千米；
求乙车从地返回地的过程中，千米与小时之间的函数关系式不需要写出自变量的取值范围；
出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是千米？请你直接写出答案．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用图象解决实际问题，正确理解图象横轴、纵轴表示的意义是解题的关键．
根据图象可以得到：首先从出发点匀速行驶小时，走了千米，然后在第小时到小时时停止运动，从小时到小时，继续沿原来的方向走了小时，走了千米到达目的地，然后匀速返回出发点，在出发小时后返回出发点．据此即可判断．
【解答】
解：汽车从出发地到目的地走了千米，又回到出发地因而共行驶了千米，故错误；
汽车在行驶途中停留了小时，故正确；
汽车在整个行驶过程中的平均速度为：千米时，故错误；
汽车出发后小时至小时之间行驶的速度不变，离出发地的距离在减小，故错误．
综上所述，正确的只有．
故选A．
2.【答案】
【解析】解：若输入变量的值为，则相应的关系式是，
所以，当时，．
故选：．
直接利用的值代入相应的关系式进而得出答案．
此题主要考查了用关系式表示的变量间关系，正确得出对应关系式是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：由与的函数关系图象可知，在矩形中，，，
当时，点在边上，点在边上，如图所示：
由题意得：，，，
，
，，
当时，有最大值．
面积的最大值是．
故选：．
由与的函数关系的图象可知，当时，面积的最大，然后根据题意求出时对应的与的函数关系，然后求时，对应的的值即可．
本题考查了动点的函数图象问题、二次函数的性质，解题的关键是能从图象和题目条件中挖掘到有用的信息和数形结合思想的应用．
4.【答案】
【解析】解：根据已知时，随的增大而增大，
当时，是一个定值，
当时，随的增大而减小，
能大致反映与关系的是，
故选：．
根据已知，结合各选项与的关系图象即可得到答案．
本题考查函数图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知：小聪某次从家出发，米表示他离家的路程，所以，D错误；
小聪在凉亭休息分钟，所以A正确，B错误．
故选：．
根据函数图象可知，小聪从家出发，则图象从原点开始，在分钟休息可解答．
本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：．右边不是整式，不是一次函数，不符合题意；
B.是一次函数，符合题意；
C.中自变量的次数为，不是一次函数，不符合题意；
D.是常数中时，不是一次函数，不符合题意；
故选：．
根据一次函数的定义：形如、是常数的函数，叫做一次函数逐一判断即可．
本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握形如、是常数的函数，叫做一次函数．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一次函数的定义根据一次函数定义解答．
【解答】
解：符合一次函数的特点，是一次函数；
不符合一次函数的特点，不是一次函数．
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查一次函数的定义，根据定义逐一判定即可．
【解答】
解：，符合一次函数的一般形式，故、正确；
是反比例函数；，是二次函数，故、、错误．
故选C．
9.【答案】
【解析】解：，
直线经过一，二，三象限，
故选：．
先将解析式化简，然后通过一次项系数和常数项符号进行判断．
本题考查一次函数的性质，解题关键是熟练掌握一次函数中，与的符号与图象的对应关系．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了两条直线的相交问题，以及一次函数图象上点的特征．首先根据直线与轴的交点为，求出、的关系；然后求出直线、直线的交点坐标，根据直线、直线的交点横坐标、纵坐标都大于，求出的取值范围即可．
【解答】
解：直线与轴的交点为，
，
解得
直线：与直线：的交点在第一象限，
解得．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图．
令中，则，
点的坐标为；
令中，则，解得：，
点的坐标为．
点、分别为线段、的中点，
点，点．
点和点关于轴对称，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
直线过点，，
，解得：，
直线的解析式为．
令，则，解得：，
点的坐标为．
故选：．
根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．
本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
12.【答案】
【解析】解：由图象可知，乙秒到达终点，
米秒，
乙的速度为米秒，
故正确；
由图象可知，甲秒行米，
米秒，
甲的速度是米秒，
甲、乙两人第一次相遇，则，
解得，
米，
甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米，
故正确；
当时，两人第一次相遇，即；
当时，乙行米，甲行米，
米，
此时两人的距离是米，
即当时，，
设当时，，
则，
解得，
，
当时，则，
解得，
秒，
当甲距离终点米时，则，
解得，
秒，
甲、乙两人之间的距离为米时，甲出发的时间为秒和秒，
故正确；
由图象可知，乙秒到达终点，行米，
此时甲跑的距离为米，
米，
乙到达终点时，甲距离终点还有米，
故错误．
故选：．
由图象可知，乙秒到达终点，行米，可以求得乙的速度为乙的速度为米秒，可判断正确；
由甲秒行米求得甲的速度为米秒，甲、乙两人第一次相遇，可列方程，求得的值为，则，说明此时距离起点米，可判断正确；
先求出当时与之间的函数关系式，求出当时的的值，即可求出乙到达终点前两人相距米的值，这是乙出发的时间，再加上即得出甲出发的时间，再计算出甲距离终点米时的值，即得到乙到达终点后两人相距米的值，再加上即得到甲出发的时间，可判断正确；
乙到达终点时，此时甲跑步的时间为秒，距离为米，甲距离终点米，可判断错误．
此题考查一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、图象信息题的求解等知识与方法，正确理解在不同取值范围内的函数图象表示实际意义是解题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据题意可得燃烧的长度为，根据题意可得等量关系：蜡烛剩余长度原长度燃烧的长度，根据等量关系再列出函数关系式即可．
【解答】
解：由题意得：，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：依题意可得生产的总成本万元与产量吨之间的数量关系是．
故答案为：．
根据生产的总成本产量吨每生产一吨要投入成本前期投资成本即可得到生产的总成本万元与产量吨之间的数量关系．
考查了函数关系式，关键是根据题意得到等量关系即可求解．
15.【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义以及分式方程的解法，理解新定义知识是解决本题的关键结合新定义以及正比例函数的定义，可以，得到，求出，然后代入分式方程，解分式方程即可求解．
【解答】解：根据“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，
得到为正比例函数，即，
解得．
故分式方程为，
去分母，得．
去括号，得．
解得．
经检验，是分式方程的解．
故答案为．

16.【答案】
【解析】解：直线与直线分别交轴于点、，
，
两个正数或两个负数的积为正数，
不等式的解集为，
故答案为：．
看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．
本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
17.【答案】解：设当一次购买个零件时，销售单价为元，则
，
解得：．
答：当一次购买个零件时，销售单价为元；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，利润为元，
当时，利润为元．
答：当一次购买个零件时，该厂获得利润为元；当一次购买个零件时，该厂获得利润元．
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，以及一次函数的应用，解本题时应注意自变量的取值范围，根据自变量的取值范围将函数关系式分段表示出来．
关键描述语：当一次购买零件超过个时，多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，但不能低于元，可列出方程进行求解；
应分情况进行讨论，当购买零件不超过时，销售单价不变；当购买零件超过，但销售单价大于等于时，可将与之间的函数关系式表示出来；当购买零件使销售单价小于时，销售单价为元；
将，分别代入所求的函数关系式，可将利润求出．
18.【答案】解：根据题意，，
；
设在方案中，每月所需的费用元与每月使用的流量兆之间的函数关系式为，
把，代入，得：
，解得，
关于的函数关系式为；
兆，
由图象得，当每月使用的流理超过兆时，选择方案最划算．
【解析】根据题意，结合题意可得，；
利用待定系数法解答即可；
利用方案每月免费使用流量兆加上达到方案所超出的兆数即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】
当时，，
解得：，
即汽车行驶了小时；
小时，
，
，
在中途不加油的情况下不能从高速公路起点开到高速公路终点．
【解析】
解：由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶小时，油量减少，
所以，
故答案为：．
，见答案
【分析】
由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶小时，油量减少，据此可得与的关系式；
求汽车油箱中剩余油量为，则汽车行使了多少小时即是求当时的值；
先求出汽车以的速度在一条全长公里的高速公路上匀速行驶需要的时间，乘以求出用油量，再与比较大小即可判断．
本题主要考查了函数关系式，由表格中数据求函数解析式可以根据等量关系列出或者利用待定系数法去求，理清汽车以的速度在一条全长公里的高速公路上匀速行驶需要的时间小时，是第四个问题的突破点．
20.【答案】解：当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，
小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量；
由题意可得：．
由知：，
当小正方形的边长由变化到时，增大，也随之增大，则随着的增大而减小，所以随着的增大而减小，
当时，有最大值，；
当时，有最小值，
当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积由变到．
【解析】本题考查了函数关系式，解决本题的关键是列出函数关系式．
根据当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，则小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量；
根据阴影部分的面积大正方形的面积个小正方形的面积，即可解答；
根据当小正方形的边长由变化到时，增大，也随之增大，则随着的增大而减小，所以随着的增大而减小．
21.【答案】解：直线与直线平行，
直线沿轴的负方向平移时，同时经过，两点，
由图可得，时，直线经过点，时，直线经过点，
当时，直线经过，两点，
，
等腰直角中，，
即当时，．
【解析】由直线与直线平行，即直线沿轴的负方向平移时，同时经过，两点，再根据的长即可得到的值．
本题考查了动点问题的函数图象，一次函数图象与几何变换，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．解决问题的关键是掌握正方形的性质以及平移的性质．
22.【答案】解：由已知条件知，每小时放立方米水，
则小时后放水立方米，
而水池中总共有立方米的水，
那么经过时后，剩余的水为，
故剩余水的体积立方米与时间时之间的函数关系式为：；
根据题意得：，
解得：．
【解析】根据余水量就是总量立方米减去排除的水量即可列出函数解析式；
根据水池中的水量不少于，即可列出不等式求解．
本题考查了一次函数的应用，理解余水量、排水量以及放水时间的关系是关键．
23.【答案】解：根据一次函数的定义，得：，
解得．
又即，
当，为任意实数时，这个函数是一次函数；
根据正比例函数的定义，得：，，
解得，，
又即，
当，时，这个函数是正比例函数．
【解析】本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，比较简单．一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为；常数项可以为任意实数．正比例函数的解析式中，比例系数是常数，，自变量的次数为．
根据一次函数的定义：一般地，形如、是常数的函数，叫做一次函数，据此求解即可；
根据正比例函数的定义：一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数，据此求解即可．
24.【答案】解：把代入中，得．
．
点与点关于原点对称，
．
设直线的解析式为，
把，分别代入中，得
，
解得．
直线的解析式为；
根据题意，得，
解得．
．
当时，．
解得．
．
，，
，，，．
．
【解析】由一次函数图象上点的坐标特征求得点坐标；根据点的对称性质求得点的坐标；然后利用待定系数法确定函数解析式；
．
主要考查了待定系数法求直线解析式，一次函数图象与几何变换，解本题的关键是求出直线的解析式，是一道比较简单的题目．
25.【答案】
【解析】解：由题意可得：
，
甲车的行驶速度是：千米时，
的纵坐标为，
，两地之间的距离为千米，
故答案为：；；
甲车比乙车晚小时到达地，
点，
乙的速度为千米小时，
则，
，，
设表达式为，将和代入，
，解得：，
千米与小时之间的函数关系式为：；
设出发小时，行驶中的两车之间的路程是千米，
在乙车到地之前时，
，即，
解得：，
小时，小时，
甲乙同时到达地，
当乙在地停留时，
小时；
当乙车从地开始往回走，追上甲车之前，
小时；
当乙车追上甲车并超过时，
小时；
当乙车回到地时，甲车距离地千米时，
小时．
综上：行驶中的两车之间的路程是千米时，出发时间为小时或小时或小时或小时或小时．
根据点坐标可求出甲车速度，根据纵坐标可得，两地之间距离；
根据甲车比乙车晚小时到达地得出点坐标，再求出点坐标，利用待定系数法求解即可；
根据运动过程，分五种情况讨论：在乙车到地之前时，当乙在地停留时，当乙车从地开始往回走，追上甲车之前，当乙车追上甲车并超过时，当乙车回到地时，甲车距离地千米时．
本题考查了一次函数的实际应用行程问题，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义．
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