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5.4一次函数的图像
一、一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.
（为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.
要点：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.
二、一次函数的图象与性质
1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线：
当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；
当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.
2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：
正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，）的一条直线；
一次函数图象和性质如下：
3. 、对一次函数的图象和性质的影响：
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行；
三、待定系数法求一次函数解析式
一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
要点：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
四、分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
要点：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
一、单选题
1．已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一次函数的图象经过点，且平行于直线，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．4
3．关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．随的增大而增大
C．当时， D．图象经过第一、二、三象限
4．已知一次函数的图像经过，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．三个正比例函数的表达式分别为①；②③，其在平面直角坐标系中的图像如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．a C． D．a
6．将直线向下平移2个单位长度后，得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（ ）
A．与轴交于点 B．与轴交于点
C．随的增大而减小 D．与两坐标轴围成的三角形的面积为
7．如图中表示一次函数与正比例函数（m、n是常数，mn≠0）图象的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知一次函数（），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
x … 0 1 2 …
y … 6 4 2 0 …
A．y随x的增大而增大
B．函数的图象向上平移4个单位长度得到的图象
C．函数的图象不经过第三象限
D．若，两点在该函数图象上，且，则
9．如图，直线l：交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上，已知M是x轴上的动点．当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
10．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则直线的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．正比例函数的图象过第一、三象限，则的取值范围是______．
12．已知直线：，则直线关于轴对称的直线的函数解析式是______．
13．如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，当时，___________（填“>”或“＜”）
14．已知、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是______．
15．在平面直角坐标中，点、，直线与线段AB有交点，则k的取值范围为______．
16．直线与直线分别交轴于，两点，两直线相交于轴上同一点．
（1）________
（2）若，点的坐标是______________
17．已知一次函数的图象经过点A(3，0)，与轴交于点B，O为坐标原点． 若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为______．
三、解答题
19．已知一次函数．
(1)当为何值时，图像与直线的交点在轴上？
(2)当为何值时，图像平行于直线？
(3)当为何值时，随的增大而减小？
20．如图，直线OA经过点．
(1)求直线OA的函数的表达式；
(2)若点和点在直线OA上，直接写出的大小关系；
(3)将直线OA向上平移m个单位后经过点，求m的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，将直线绕点逆时针旋转，再向上平移2个单位长度得到直线．求直线与的解析式．
22．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．直线经过，与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)判断的形状，并说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点，，垂足为点M．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求的长；
(3)存在直线上的点N，使得，请求出所有符合条件的点N的坐标．
24．当m，n为实数，且满足时，就称点为“和谐点”，已知点在直线l：，点B，C是“和谐点”，且B在直线l上．
(1)求b的值及判断点是否为“和谐点”；
(2)求点B的坐标；
(3)若，求点C的横坐标．
25．对于函数，小明探究了它的图象及部分性质．下面是他的探究过程，请补充完整：
(1)自变量x的取值范围是 ；
(2)令b分别取0，1和，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中m的值是 ，n的值是 ．
x … 0 1 2 3 …
… 3 2 1 0 1 2 3 …
… 4 m 2 1 2 3 4 …
… 1 0 n 0 1 …
(3)根据表中数据，补全函数，，的图象；
(4)结合函数，，的图象，写出函数中y随x的变化的增减情况；
(5)点和点都在函数的图象上，当时，若总有，结合函数图象，直接写出和大小关系．
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5.4一次函数的图像
一、一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.
（为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.
要点：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.
二、一次函数的图象与性质
1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线：
当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；
当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.
2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：
正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，）的一条直线；
一次函数图象和性质如下：
3. 、对一次函数的图象和性质的影响：
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行；
三、待定系数法求一次函数解析式
一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
要点：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
四、分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
要点：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
一、单选题
1．已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】将选项各点坐标代入，即可判断．
【解答】A．当时，，故点在函数图象上，A项符合题意；
B．当时，，故点不在函数图象上，B项不符合题意；
C．当时，，故点不在函数图象上，C项不符合题意；
D．当时，，故点不在函数图象上，D项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，掌握正比例函数的定义是解题的关键．
2．已知一次函数的图象经过点，且平行于直线，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】C
【提示】根据两直线平行，一次项系数相等求出k的值，再利用待定系数法求解即可．
【解答】解：∵一次函数与直线平行，
∴一次函数解析式为，
∵一次函数经过点，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，求一次函数解析式，正确求出是解题的关键．
3．关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．随的增大而增大
C．当时， D．图象经过第一、二、三象限
【答案】C
【提示】根据一次函数的性质可进行排除选项．
【解答】解：由函数可知：，，则y随x的增大而减小，且该函数图象经过第二、三、四象限，故B、D选项错误；
当时，则，所以函数图象经过点，故A选项错误；
当时，，所以当时，说法正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
4．已知一次函数的图像经过，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据一次函数的增减性判断即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴y随x的增大而减小，
又∵点，，均在一次函数的图像上，
∵,
∴，
∴,
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，无理数的估算，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
5．三个正比例函数的表达式分别为①；②③，其在平面直角坐标系中的图像如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．a C． D．a
【答案】C
【提示】先根据函数图象经过的象限得出，，，再根据直线越陡，越大得出答案．
【解答】解：∵和的图象经过一、三象限，的图象经过二、四象限，
∴，，，
∵直线比直线陡，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象，当时，函数图象经过一、三象限；当时，函数图象经过二、四象限；直线越陡，越大．
6．将直线向下平移2个单位长度后，得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（ ）
A．与轴交于点 B．与轴交于点
C．随的增大而减小 D．与两坐标轴围成的三角形的面积为
【答案】B
【提示】首先根据函数图像平移法则，向下平移2个单位，则给函数解析式右端减2，即可得到平移后的直线方程；接下来根据一次函数图像的性质分析与坐标轴围成面积，交点坐标以及随的变化关系，即可得解．
【解答】解：将直线向下平移2个单位长度后得到直线，
A、直线与轴交于，故本选项不合题意；
B、直线与轴交于，故本选项，符合题意；
C、直线，随的增大而增大，故本选项不合题意；
D、直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数的平移及性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
7．如图中表示一次函数与正比例函数（m、n是常数，mn≠0）图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论m、n的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：①当，过一，三象限，m，n同号，同正时过一，二，三象限，同负时过二，三，四象限；
②当时，过二，四象限，m，n异号，则过一，三，四象限或一，二，四象限．
观察图象，只有选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：
①当，函数的图象经过第一、二、三象限；
②当，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当时，函数的图象经过第二、三、四象限．
8．已知一次函数（），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
x … 0 1 2 …
y … 6 4 2 0 …
A．y随x的增大而增大
B．函数的图象向上平移4个单位长度得到的图象
C．函数的图象不经过第三象限
D．若，两点在该函数图象上，且，则
【答案】C
【提示】首先把、分别代入解析式，解方程组，即可求得一次函数的解析式，再根据一次函数的性质即可解答．
【解答】解：把、分别代入解析式，
得
解得
故该一次函数的解析式为，
故该函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故C正确；
，
y随x的增大而减小，故A错误；
若，两点在该函数图象上，且，则，故D错误；
将该函数的图象向上平移4个单位长度得到的图象，故B错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键．
9．如图，直线l：交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上，已知M是x轴上的动点．当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【提示】根据题意，可以求得点A点B和点P的坐标，设出点M的坐标再根据分类讨论的方法结合勾股定理即可求得点M的坐标．
【解答】解：∵直线l：交x轴于点A，交y轴于点
∴当， ，，
解得，，
∴点A坐标为，
∵点在直线l上
∴当，，
解得，即
设M点坐标为
当 时，此时点P与点M横坐标相同，即 ，
∴；
②当时，此时 ， ， ，根据勾股定理得
，解得，，
∴；
综上所述∴或；
故选B．
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，动点中的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
10．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则直线的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】先求出点的坐标，从而得出的长度，运用勾股定理求出的长度，然后根据折叠的性质可知，，则，，运用勾股定理列方程得出的长度，即点的坐标已知，运用待定系数法求一次函数解析式即可．
【解答】解：当时，，即，
当时，，即，
所以，即，
设，则，，
∴在中，，
即，
解得：，
∴，
又，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出的坐标是解本题的关键．
二、填空题
11．正比例函数的图象过第一、三象限，则的取值范围是______．
【答案】##
【提示】根据正比例函数的图象经过第一、三象限，得k>0，即，计算即可得解．
【解答】解：由正比例函数的图象经过第一、三象限，
可得：，则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数y=kx（k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
12．已知直线：，则直线关于轴对称的直线的函数解析式是______．
【答案】##
【提示】直接根据关于x轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数进行解答即可．
【解答】解：∵关于x轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数，
∴直线：y=2x-6与直线关于x轴对称，
则直线的解析式为-y=2x-6，即y=-2x+6．
故答案为：y=-2x+6．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
13．如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，当时，___________（填“>”或“＜”）
【答案】＜
【提示】根据两函数图象及交点坐标，即可解答．
【解答】解：正比例函数和一次函数的图象相交于点，
由图象可知：当时，，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了利用函数图象比较函数值的大小，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
14．已知、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是______．
【答案】
【提示】根据 两点在 上求出k得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可．
【解答】将点 与点 代入 ，得： ，
两式相减，得： ，
，
y随x的增大而减小，
当 时，，
当m＞3时，t＜-，
故答案为：t＜-.
【点睛】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等题．
15．在平面直角坐标中，点、，直线与线段AB有交点，则k的取值范围为______．
【答案】##
【提示】因为直线y＝kx（k≠0）与线段AB有交点，所以当直线y＝kx（k≠0）过时，k值最大；当直线y＝kx（k≠0）过A（﹣3，﹣2）时，k值最小，然后把B点和A点坐标代入y＝kx（k≠0）可计算出对应的k的值，从而得到k的取值范围．
【解答】解：∵直线y＝kx（k≠0）与线段AB有交点，
∴当直线y＝kx（k≠0）过B（﹣1，﹣2）时，k值最大，则有﹣k＝﹣2，解得k＝2；
当直线y＝kx（k≠0）过A（﹣3，﹣2）时，k值最小，则﹣3k＝﹣2，解得k＝，
∴k的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉一次函数图象的性质．
16．直线与直线分别交轴于，两点，两直线相交于轴上同一点．
（1）________
（2）若，点的坐标是______________
【答案】 或
【提示】根据两直线相交同一点，则横坐标相同，即可；设的坐标为：，根据，则，解出，即可．
【解答】∵直线和直线相交轴上同一点
∴，
∴直线与轴的交点为，直线与轴的交点为
∴
∴；
设的坐标为：
∵
∴
∵直线与直线分别交轴于，两点
∴点，
∴
∴
∴
∴点的坐标为或．
故答案为：；或．
【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数图象与性质．
17．已知一次函数的图象经过点A(3，0)，与轴交于点B，O为坐标原点． 若△AOB的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．
【答案】或
【提示】分两种情况：当点B在y轴正半轴时，当点B在y轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．
【解答】解：点，
，
的面积为6，
，
，
，
或，
将，代入得：
，解得：，
一次函数的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
一次函数的解析式为：，
综上所述：一次函数的解析式为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为______．
【答案】
【提示】由点的运动确定的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小．
【解答】解：由已知可得，
三角形是等腰直角三角形，
，
，
又是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转，
在线段上运动，所以的运动轨迹也是线段，
当在点时和在点时分别确定的起点与终点，
的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，
当线段与垂直时，线段的值最小，
在中，，，
，
又是等腰直角三角形，
，
．
故答案为．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
三、解答题
19．已知一次函数．
(1)当为何值时，图像与直线的交点在轴上？
(2)当为何值时，图像平行于直线？
(3)当为何值时，随的增大而减小？
【答案】(1)
(2)
(3)
【提示】（1）先求出直线与轴的交点坐标，把此点坐标代入所求一次函数的解析式即可求出的值；
（2）根据两直线平行时其自变量的系数相等，列出方程，求出的值即可；
（3）根据比例系数时，数列出不等式，求出的取值范围即可．
【解答】（1）解：当时，，
∴直线与轴的交点坐标为，
∵一次函数的图像与直线的交点在轴上，
∴，
解得：；
（2）解：∵一次函数的图像平行于直线，
即直线向上或向下平移个单位后的图像与一次函数的图像重合，
∴且，，
解得：．
（3）解：∵随的增大而减小，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征及函数性质，图形平移等知识点．熟练掌握一次函数的性质是题的关键．
20．如图，直线OA经过点．
(1)求直线OA的函数的表达式；
(2)若点和点在直线OA上，直接写出的大小关系；
(3)将直线OA向上平移m个单位后经过点，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)m=3
【提示】（1）设函数解析式为，将代入函数解析式中，可求出k的值；
（2）根据函数的增减性分析即可；
（3）先求出平移后的函数解解析式，由此可求出m的值．
(1)
解：设函数解析式为，
将代入函数解析式中得：，，
故函数解析式为：；
(2)
解：∵，
∴y随x的增大而增大，
∵，中，2＜5，
∴；
(3)
解：设平移后函数解析式为：，
将代入函数解析式中得：，
解得：，
故函数的解析式为：，
故m=3．
【点睛】本题考查根据函数图象求正比例函数的解析式，求函数的增减性，函数图象的平移．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，将直线绕点逆时针旋转，再向上平移2个单位长度得到直线．求直线与的解析式．
【答案】直线的解析式是；直线的解析式是
【提示】根据A点坐标，利用待定系数法求直线的解析式；同理求出旋转后的直线解析式，再根据“上加下减”求出向上平移2个单位后的解析式．
【解答】解：由图象可知：点A的坐标是，点A逆时针旋转后得到点的坐标是，
设直线的解析式是，
则可得：，
解得：，
故直线的解析式是．
设直线绕点逆时针旋转后的直线解析式是，
把点代入，得，
解得，即．
故可得直线的解析式是．
【点睛】本题考查一次函数的旋转与平移，解题的关键是能够利用待定系数法求函数解析式，并掌握函数图象平移的规律．
22．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．直线经过，与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形，理由见解析
【提示】（1）先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）先求出点A的坐标，进而求出的长即可得到答案．
【解答】（1）解：∵直线经过，与直线交于点，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
对于，当时，，
∴点A的坐标为，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的判定，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点，，垂足为点M．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求的长；
(3)存在直线上的点N，使得，请求出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)A，B；
(2)；
(3)N或．
【提示】（1）利用坐标轴上点的特点直接得出点A，B坐标；
（2）利用三角形的面积的计算即可求出；
（3）设出点N的坐标，利用三角形的面积列方程求解即可．
【解答】（1）解：令，
∴，
∴B，
令，
∴，
∴，
∴A；
（2）解：由（1）知，A，B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，，，
∵直线上的点N，
∴设N，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴N或．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，绝对值方程的求解，列出方程是解本题的关键，是一道比较简单的基础题目．
24．当m，n为实数，且满足时，就称点为“和谐点”，已知点在直线l：，点B，C是“和谐点”，且B在直线l上．
(1)求b的值及判断点是否为“和谐点”；
(2)求点B的坐标；
(3)若，求点C的横坐标．
【答案】(1)，点是“和谐点”
(2)
(3)点C的横坐标为1或
【提示】（1）将点代入直线l：，可得b的值，根据“和谐点”的定义即可判断；
（2）点B是“和谐点”，所以设出点B的横坐标，表示出纵坐标，因为点B在直线l：上，把点B代入解析式中求得横坐标，进而求得点B的坐标；
（3）点C是“和谐点”，所以设出点C的横坐标为c，表示出纵坐标，根据勾股定理即可得出当时对应的点C的横坐标．
【解答】（1）解：∵点A在直线上，
∴把代入，
∴，
∵点，，
∴点是“和谐点”；
（2）解：∵点B是“和谐点”，
∴设点B的横坐标为p，则纵坐标为，点B的坐标为，
∵点B在直线l：上，
∴把点代入y=x+7得，，
∴，
∴；
（3）解：设点C的横坐标为c，
∵点C是“和谐点”，
∴纵坐标，
当时，，
解得或1，
∴点C的横坐标为1或．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，根据定义判断一个点是不是“和谐点”，勾股定理等知识，理解新定义是解题的关键．
25．对于函数，小明探究了它的图象及部分性质．下面是他的探究过程，请补充完整：
(1)自变量x的取值范围是 ；
(2)令b分别取0，1和，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中m的值是 ，n的值是 ．
x … 0 1 2 3 …
… 3 2 1 0 1 2 3 …
… 4 m 2 1 2 3 4 …
… 1 0 n 0 1 …
(3)根据表中数据，补全函数，，的图象；
(4)结合函数，，的图象，写出函数中y随x的变化的增减情况；
(5)点和点都在函数的图象上，当时，若总有，结合函数图象，直接写出和大小关系．
【答案】(1)任意实数
(2)3，
(3)见解析
(4)当时，函数y随x的增大而增大，当时，函数y随x的增大而减小
(5)或
【提示】（1）根据解析式即可确定自变量取值范围；
（2）把代入，求得，把代入，求得；
（3）根据表格数据补全函数，，的图像即可；
（4）观察图像即可求得；
（5）根据图像即可得到结论．
【解答】（1）解：函数中，自变量可以是全体实数，
故答案为：全体实数；
（2）解：把代入，得，
把代入，得，
∴，
故答案为：3，；
（3）解：补全函数，，的图像如下：
（4）解：由图知，当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小；
故答案为：当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小；
（5）解：∵点和点都在函数的图像上，当时，
∴点和点在轴的同一侧，
观察图像，当时，若总有，即或．
【点睛】本题考查了通过列表法和解析式法对函数的性质进行分析，画出函数图像，并研究和总结函数的性质；数形结合是解题的关键．
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