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5.5一次函数的简单应用
一、数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
二、正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
要点：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
三、选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
一、单选题
1．小苏现已存款180元．为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款10元，则存款总金额（元）与时间（月）之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据存款总数=已存款180元+x个月的存款数，可以写出存款总金额y（元）与时间x（月）之间的函数关系式，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，．
故选：D．
【点睛】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出其中的函数关系式．
2．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ）
A．正方形的面积S随着边长x的变化而变化
B．正方形的周长C随着边长x的变化而变化
C．水箱有水10L，以的流量往外放水，水箱中的剩水量随着放水时间的变化而变化
D．面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化
【答案】B
【提示】先依据题意列出函数关系式，然后依据函数关系式进行判断即可．
【解答】解：A、正方形的面积S随着边长x的变化而变化的关系式，关系式为S＝x2，不是正比例函数，故错误；
B、正方形的周长C随着边长x的变化而变化，关系式为C＝4x，是正比例函数，故正确；
C、水箱有水10L，以的流量往外放水，水箱中的剩水量随着放水时间的变化而变化，关系式为V＝10 0.5t，不是正比例函数，故错误；
D、面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化的关系式为a＝，不是正比例函数，故错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义：形如y=kx（k≠0）的函数为正比例函数是解题的关键．
3．小张加工某种机器零件，工作一段时间后，提高了工作效率．小张加工的零件总数m（单位：个）与工作时间t（单位：时）之间的函数关系如图所示，则小张提高工作效率前每小时加工零件（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【提示】此题只要能求出3时之后的一次函数解析式，从而求出当x=3时的纵坐标，除以3即可．
【解答】解：从图象可知3时之后的函数图象为一次函数且经过，
设该时段的一次函数解析式为：，
可列出方程组：，求解得：
一次函数解析式为：，
当时，，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握求解一次函数解析式和掌握图象中的关键拐点含义是解题的关键．
4．食用油沸点的温度远高于水的沸点温度（）．小明为了用刻度不超过的温度计测量出某种食用油沸点的温度，在锅中倒人一些这种食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表：
时间 0 10 20 30 40
油温 10 30 50 70 90
而且，小明发现，烧了时，油沸腾了．你估计这种油沸点的温度是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【提示】由表中数据发现油温与时间成一次函数关系，根据表中数据，求出一次函数解析式，然后把x=110代入即可．
【解答】解：设油温与时间的函数关系是y=kx+b，
则，解得
∴y=2x+10，
当x=110时，y=2×110+10=230．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的应用，关键是根据表中数据，求出一次函数解析式．
5．八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园，莱园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边的长为m，边的长为m．则与之间的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】根据菜园的三边的和为12m，即可得出一个与的关系式．
【解答】解：根据题意得，菜园三边长度的和为12m，
，
，
，，
，
解得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，理解题目中的数量关系，即菜园三边的长度和为12m，列出关于，的方程是解决问题的关键．
6．某油箱容量为的汽车，加满汽油后开了时，油箱中的汽油大约消耗了．如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中的剩油量为，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】根据题意列出一次函数解析式，即可求得答案．
【解答】解：因为油箱容量为50 L的汽车，加满汽油后行驶了200 km时，油箱中的汽油大约消耗了，可得：×50÷200＝0.0625L/km，50÷0.0625＝800（km），
所以y与x之间的函数解析式和自变量取值范围是：y＝50 0.0625x，0≤x≤800，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．
7．已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①甲每分钟走100米；②2分钟后，乙每分钟走50米；③甲比乙提前3分钟到达B地；④当x=2或6时，甲乙两人相距100米．其中，正确的是( )
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②
【答案】C
【提示】根据函数图像中的信息，逐一解答即可判定．
【解答】解：由图像可得：
①甲图像是正比例函数，甲每分钟走600÷6=100(米)，故①正确；
②两分钟后，乙每分钟走(米)，故②正确；
③甲到达B地所用的时间是6分钟，
乙前2分钟走300米，2分钟之后速度为50米/分，
2分钟之后所用的时间为 (分)，
所以甲比乙提前2分钟到达B地，故③不正确；
④当x=2时，甲路程为100×2=200(米)，乙路程为300米，则甲乙两人相距100米；
当x=6时，甲路程为600米，乙路程为500米，则甲乙两人相距100米，故④正确；
故正确的有①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，准确识图并根据函数图像的变化情况获取信息是解题的关键．
8．“吉祥物趣事”，某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速行走3600米、当墩墩领先容融1000米时，墩墩停下来休息，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，在整个行走过程中，墩墩和容融之间的距离（米）与它们出发时间（分钟）的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．容融的速度为40米/分钟 B．墩墩休息了23分钟
C．第85分钟时，墩墩到达终点 D．领先者到达终点时，两者相距200米
【答案】B
【提示】根据题意和图象中的数据，可以计算出各个选项中的结果是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由图象可得，
容融的速度为：（米分钟），故选项A正确，不符合题意；
墩墩休息了：（分钟），故选项B错误，符合题意；
墩墩的速度为：（米分钟），
（分钟），
即第85分钟时，墩墩到达终点，故选项C正确，符合题意；
（米），
即领先者到达终点时，两者相距200米，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．牛奶配送员小吴从县城出发，骑配送车到米村配送牛奶，途中遇到在县城上学的外甥张聪从米村步行返校上学，小吴在米村配送牛奶后，在返回县城途中又遇到张聪，便用配送车载上张聪一起返回县城，结果小吴比预计时间晚到5分钟．二人与县城间的距离y（km）和小吴从县城出发后所用的时间x（min）之间的关系如图，假设两人之间的交流时间忽略不计，则下列说法正确的有（ ）个．
①小吴到达米村后配送牛奶所用时间为25min．
②小吴从县城出发，最后回到县城用时100min．
③两人第一次相遇时，小吴距离米村2km．
④张聪从米村到县城步行速度为0.05km/min．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【提示】从图中可以看出小吴和张聪并不是同时出发的，小吴还有在A村停留时间30分钟，小吴去A村和返回速度不一样，这些都可以从图中看出来．
小吴到达米村后配送牛奶所用时间为停留时间即65与35的差可对①判断；小吴从县城出发到返回县城所用时间，从图中可以看出包括去时用的时间加在A村待的时间加上返回遇张聪的时间加上原计划时间再加上晚到1分钟，即可对②进行判断；由图象可知，小吴35分钟后离县城7千米，所以两人第一次相遇即25分钟时小王距县城25×=5千米，进一步可对③判断；求出两次相遇时的距离及间隔时间即可求出张聪从米村到县城步行速度，从而对④进行判断
【解答】①小吴到达米村后配送牛奶所用时间为60-35=25min，故①正确；
②从图中可以看出小吴从离城7千米到2千米用时85分钟
小吴返回的速度=（7-2）÷（85-60）=0.2（千米/分钟），
小吴原计划返回用时7÷0.2=35分钟，
结果小吴比预计时间晚到5分钟．
故小吴从县城出发，最后回到县城用时为35+25+25+10+5=100min．故②正确；
③由图象可知，小吴35分钟后离县城7千米，
所以两人第一次相遇即25分钟时小吴距米村：7-25×=7-5=2千米，故③正确；
④两次相遇时张聪走的路程为5-2=3千米，用时为85-25=60分钟，
所以步行速度为：3÷60=0.05千米/分钟，故④正确．
正确的结论有4个，
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，注意数形结合以及行程问题的解决方法．
10．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①，两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当甲、乙两车相距千米时，或或或．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【提示】直接根据函数图像可判断①②；分别求出两条直线的解析式，令可判断③；令，结合先出发的时间内以及乙到达目的地的时间进行计算可得结论④．
【解答】由图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，
①②都正确；
设甲车离开城的距离与的关系式为，
把代入可求得，
，
设乙车离开城的距离与的关系式为，
把和代入可得，
解得，
，
令可得：，
解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，
③正确；
令，可得，即，
当时，可解得，
当时，可解得，
又当时，，此时乙还没出发，
当时，乙到达城，；
综上可知当的值为或或或时，两车相距千米，
④正确；
综上可知正确的有①②③④共个，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图像上读取信息，读懂题意，理清甲乙两车的行驶情况，运用数形结合思想解题是关键．
二、填空题
11．已知，两地相距千米，小黄从地到地，平均速度为千米时．若用时表示行走的时间，千米表示余下的路程，则关于的函数解析式是______．
【答案】
【提示】先求出小黄从地到地所需的时间，从而可得的取值范围，再利用余下的路程等于3减去已走的路程即可得．
【解答】解：小黄从地到地所需的时间为（时），
则，
由题意得：，
则关于的函数解析式是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，找准等量关系，并正确求出自变量的取值范围是解题关键．
12．公民的月收入超过5000元时，超过部分须依法缴纳个人所得税，当超过部分在3000 元以内（含3000元）时税率为3%．根据已知信息，公民每月所缴纳税款y（元）与月收入x（元）之间的函数关系式是__________，自变量的取值范围是__________．
【答案】 5000＜x≤8000
【提示】超过部分在3000元以内（含3000元）时税率为3%，所以必须从收入中减去5000后，再去考虑缴税多少，即可解答．
【解答】解：根据题意可知y与x之间的函数关系式为：
，（5000＜x≤8000）．
故答案为：；5000＜x≤8000．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的实际问题，理解题意，根据题意得出需要缴税的部分为元，是解题的关键．
13．在槐荫区“勾股数学”杯初中校际联赛中，小明的队伍在第一轮中获得积分50分，第二轮共10道题，每答对一道题得10分，则两轮总积分y（分）与第二轮答对题目数量x（道）之间的关系式为__________（，x为正整数）．
【答案】
【提示】根据“两轮总积分y（分）等于第一轮积分与第二轮积分的和”，用含有x的代数式表示第二轮的积分即可．
【解答】解：由题意得，
；
故答案为：；
【点睛】本题考查函数关系式，理解“两轮总积分y（分）”的意义，掌握“积分=每题得分×答对的题目数”是正确解答的关键．
14．某公司准备和A、B两家出租车公司中的一家签订合同．设A、B两出租车公司收费y（元）与行程x（每千米）的关系分别是l1，l2，若行驶大于2500km，则选择 _____出租车公司较合算．
【答案】A
【提示】根据函数图象作出判断即可．
【解答】解：由图象可知：
当时，；当时，；
∵行驶大于2500km，即，
∴选择A出租车公司较合算，
故答案为：A．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据图象越高费用也越高判断出图象各部分的费用高低，再作出选择是解答本题的关键．
15．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为____方．
月用水量 不超过12方部分 超过12方不超过18方部分 超过18方部分
收费标准（元/方） 2 2.5 3
【答案】20
【提示】根据题意可知：先判断出该用户用的水与18方的关系，再设用水x方，水费为y元，继而求得关系式为y=39+3（x-18）；将y=45时，代入上式即可求得所用水的方数．
【解答】解：∵45＞12×2+6×2.5=39，
∴用户5月份交水费45元可知5月用水超过了18方，
设用水x方，水费为y元，则关系式为y=39+3（x-18）．
当y=45时，x=20，
即用水20方．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，用待定系数法求函数的解析式和根据自变量的值求函数值．弄清对应的水费是解决问题的关键．
16．某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是__________小时．
【答案】
【提示】当时，设，把（2，6）代入计算即可得，当时，设，把点（2，6），（10，3）代入计算即可得，把代入中得，把代入中得，进行计算即可得．
【解答】解：当时，设，把（2，6）代入得，
，
解得，，
∴当，，
当时，设，把点（2，6），（10，3）代入得，
解得，，
∴当时，，
把代入中，得，
把代入中，得，
则（小时），
即该药治疗的有效时间是3小时，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的性质．
17．2022年4月7日，许昌市首批新能源出租车上路，新车空间更大，舒适度更高，受到大众欢迎．新车的收费方式也做了调整，新车的打车费用y（单位：元）与行驶里程x（单位：千米）的函数关系如图所示．老款出租的收费方式为：不超过2千米收费5元，超过2千米部分收费1.5元/千米，同时，每次再加收1元的燃料附加费．小明爸爸从家到公司打车上班的行驶里程为22千米，则他上班乘坐新车的打车费用比老款车多______元．
【答案】3
【提示】待定系数法求出x≥2时y关于x的函数解析式，再求出x=22时y的值可求得新车的费用，根据老款车的收费标准进行计算求得老款车的费用，比较即可求解．
【解答】解：当行驶里程x≥2时，设新车的打车费用为y=kx+b，
将（2，7）、（7，15）代入，
得：，
解得：，
∴y=x+，
当x=22时，y=×22+=39，
即新车的打车费用为39（元），
老款车的费用为：5+1.5×(22-2)+1=36（元），
39-36=3（元）．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键．
18．已知A，C两地之间有一站点B，甲从A地匀速跑步去C地，2分钟后乙以50米/分钟的速度从站点B走向C地，两人到达C地后均原地休息．甲、乙两人与站点B的距离y(米)与甲所用的时间x(分钟)之间的关系如图所示．
（1）站点B到C地的距离为_____米；
（2）当x=_____时，甲、乙两人相遇．
【答案】 800 10
【提示】（1）由图象可知乙从站点B到C地所用时间，再用时间×速度=路程得出结论；
（2）先求出甲的速度，再根据追击问题写出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意，站点B到C地的距离为：50×(18-2)=800(米)，
故答案为：800；
（2）由图象可知甲的速度：400÷5=80(米/分)，
设经过x分钟，甲、乙两人相遇，
则80x=400+50(x-2)，
解得x=10，
∴甲出发10分钟，甲、乙两人相遇，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的实际含义，并根据题意列方程是解题的关键．
三、解答题
19．某种气体在时的体积为，温度每升高，它的体积增加．
(1)写出气体体积与温度之间的函数表达式
(2)求当温度为时气体的体积．
(3)当气体的体积为时，温度为多少摄氏度？
【答案】(1)
(2)
(3)
【提示】（1）根据题意，直接写出函数表达式即可，气体体积=时的体积+增加的体积；
（2）将代入（1）中的函数表达式即可；
（3）将代入（1）中的函数表达式即可．
【解答】（1）解：根据题意得：
．
（2）当时，，
∴当温度为时，气体的体积为．
（3）当时，，
解得：，
∴气体的体积为时，温度为．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，写出一次函数的表达式．
20．在某一段时期，一年期定期储蓄的年利率为，规定储蓄利息应付个人所得税的税率为．设按一年期定期储蓄存入银行的本金为元，到期支取时扣除个人所得税后实得本利和为元．
(1)求关于的函数表达式．
(2)把元钱按一年期定期储蓄存入银行．问：到期支取时，扣除个人所得税后实得本利和为多少元？
【答案】(1)
(2)元
【提示】（1）根据利息本金利率时间列式计算求出本金；根据税率为利息的可得扣除个人所得税后实际利息=利息；
（2）将代入（1）的解析式进行计算即可求解．
【解答】（1）解：依题意，
即：，
（2）当时，
到期支取时，扣除个人所得税后实得本利和为元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系是解题的关键．
21．“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．若要对某地特色花生与茶叶两种产品助销，已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
(1)求每千克花生、茶叶的售价；
(2)已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，计划两种产品共助销600千克，若花生销售m千克，花生和茶叶的销售总利润为w元，求w的最大值．
【答案】(1)每千克花生10元，每千克茶叶50元
(2)当花生销售120千克，茶叶销售480千克时利润最大，w的最大值为7200
【提示】（1）设每千克花生元，每千克茶叶元，列出一元一次方程求解即可；
（2）设花生销售千克，茶叶销售千克，先根据总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍求出的取值范围，再根据利润之和求出函数解析式，根据函数的性质求出最大值．
【解答】（1）解：设每千克花生元，每千克茶叶元，
根据题意得：，
解得：，
（元），
答：每千克花生10元，每千克茶叶50元；
（2）解：设花生销售千克，茶叶销售千克获利最大，利润元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
，
当时，利润最大，
此时花生销售120千克，茶叶销售（千克），（元），
当花生销售120千克，茶叶销售480千克时利润最大，的最大值为7200．
【点睛】本题考查一次函数的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式进行求解．
22．某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费元，另外，通话费按元/min计；B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按元/min计．按照此类收费标准完成下列各题：
(1)直接写出每月应缴费用（元）与通话时长（分）之间的关系式：
A类：________；B类：______．
(2)若每月平均通话时长为分钟，选择类收费方式较少．
(3)求每月通话多长时间时，按A，B两类收费标准缴费，所缴话费相等．
【答案】(1)；
(2)选择A收费方式较少
(3)分钟
【提示】（1）根据题目中收费标准可列出函数关系式；
（2）根据两种收费方式，计算结果比较得出答案即可；
（3）设每月通话时间分钟，按、两类收费标准缴费，所缴话费相等列出方程解答即可．
【解答】（1）解：根据题意，得
类：，
类：；
故答案为：；．
（2）解：类收费：元；
类收费：元；
，
所以选择类收费方式；
（3）解：设每月通话时间分钟，根据题意，得
，
解得：．
答：每月通话时间30分钟，按、两类收费标准缴费，所缴话费相等
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，由条件列出相应的函数关系式是解题的关键．
23．某移动公司设了两类通讯业务，类收费标准为不管通话时间多长使用者都应缴元月租费，然后每通话分钟，付元，类收费标准为用户不缴月租费，每通话分钟，付话费元，若一个月通讯分钟，两种方式费用分别是，元．
(1)分别写出，与之间的函数关系式．
(2)某人估计一个月通话时间为分钟，应选哪种通讯方式合算些，请书写计算过程．
(3)小明用的卡，他计算了一下，若是卡，他本月话费将会比现在多元，请你算一下小明实际话费是多少元？
【答案】(1)，
(2)选择类
(3)元
【提示】（1）类应缴元月租费，每通话分钟，付元，则费用是月租费加上通话费；类不缴月租费，每通话分钟，付话费元，则费用是通话费与时间的乘积，通讯分钟，由此即可求解；
（2）由（1）的结论可知，当时，元，元，由此即可求解；
（3）由题意可知选择卡的费用比选择卡的费用少元，由此可列出等量关系，由此即可求解．
【解答】（1）解：根据题意得，类的费用是月租费加上通话费，即；
类的费用是通话费与时间的乘积，即，
∴，．
（2）解：通话时间为分钟，根据（1）中的结论得，
（元），（元）
∵，
∴选择类．
（3）解：根据题意得，，
∴，解方程得，，即小明打电话的时间为分钟，
∴（元），
∴小明实际话费是元．
【点睛】本题主要考查一次函数在实际中的运用，解题的关键是理解两类缴费的方式，类的费用是月租费加上通话费，类的费用是通话费与时间的乘积．
24．如图，有80名师生要到离学校若干千米的大剧院参加演出，学校只有一辆能做40人的汽车，学校决定采用步行和乘车相结合的办法：先把一部分人送到大剧院，车按原路返回接到步行的师生后开往大剧院，其中车和人的速度保持不变．（学生上下车，汽车掉头的时间忽略不计）．表示车离学校的距离（千米），表示汽车所行驶的时间（小时）．请结合图象解答下列问题：
(1)学校离大剧院相距 千米，汽车的速度为 千米小时；
(2)求线段所在直线的函数表达式；
(3)若有一名老师因临时有事晚了0.5小时出发，为了赶上学生，该老师选择从学校打车前往，已知出租车速度为80千米小时，请问该老师能在学生全部达到前赶到大剧院吗？并画出相关图象．
【答案】(1)15，60
(2)
(3)该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，图象见解析
【提示】（1）由图象直接可得学校与大剧院的距离，由路程除以时间可得汽车的速度；
（2）设步行速度为千米小时，可得：，即可解得，，从而可得，，用待定系数法得线段所在直线的函数表达式为；
（3）由学生全部达到大剧院时，，出租车到达大剧院时，，知该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，再画出图象即可．
【解答】（1）解：由图象可得，学校与大剧院相距15千米，
汽车的速度为（千米小时），
故答案为：15，60；
（2）设步行速度为千米小时，
根据题意得：，
解得，
步行的路程为（千米），
，，
，
，，
设线段所在直线的函数表达式为，
将，，，代入得：
，
解得，
线段所在直线的函数表达式为；
（3）该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，理由如下：
由（2）知，学生全部达到大剧院时，，
出租车到达大剧院时，，
该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，图象如下：
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，结合图象，学会利用函数的思想求解问题．
25．如图，一次函数与x轴交于点，点C在直线上且横坐标为3．
(1)求k的值和点C的坐标；
(2)点D为x轴上一点，，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上的动点，问在直线上，是否存在点N(点N与点C不重合)，使与全等？若存在，请直接写出点N的坐标，并写出其中一种情况的解答过程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在，点N的坐标为或或
【提示】（1）把点代入一次函数y＝kx＋4中，即可求出k；然后令，代入一次函数解析式，即可求得即可求得y，从而得出点C坐标；
（2）设，根据利用，利用勾股定理求解即可；
（3）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可．
【解答】（1）解：点代入，得
，
解得：，
，
当时，则，
；
（2）解：令，则，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
；
（3）解：∵，，，
∴，，
∵点M是x轴上的动点，点N在直线上，
设且与点C不重合，
分两种情况：①当时，则
，即，
解得：，，
∴或，
∴或；
②当时，则，
，即，
解得：，，
或，
∵点N与点C不重合，
，
综上，存在点N(点N与点C不重合)，使与全等，点N的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，一次函数与坐标轴的交点，两点间的距离，勾股定理，全等三角形的判定和性质、分类讨论思想，是一次函数与全等三角形的综合题，解答本题的关键在分类讨论．
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5.5一次函数的简单应用
一、数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
二、正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
要点：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
三、选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
一、单选题
1．小苏现已存款180元．为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款10元，则存款总金额（元）与时间（月）之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
2．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ）
A．正方形的面积S随着边长x的变化而变化
B．正方形的周长C随着边长x的变化而变化
C．水箱有水10L，以的流量往外放水，水箱中的剩水量随着放水时间的变化而变化
D．面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化
3．小张加工某种机器零件，工作一段时间后，提高了工作效率．小张加工的零件总数m（单位：个）与工作时间t（单位：时）之间的函数关系如图所示，则小张提高工作效率前每小时加工零件（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
4．食用油沸点的温度远高于水的沸点温度（）．小明为了用刻度不超过的温度计测量出某种食用油沸点的温度，在锅中倒人一些这种食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表：
时间 0 10 20 30 40
油温 10 30 50 70 90
而且，小明发现，烧了时，油沸腾了．你估计这种油沸点的温度是（ ）A． B． C． D．
5．八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园，莱园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边的长为m，边的长为m．则与之间的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
6．某油箱容量为的汽车，加满汽油后开了时，油箱中的汽油大约消耗了．如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中的剩油量为，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①甲每分钟走100米；②2分钟后，乙每分钟走50米；③甲比乙提前3分钟到达B地；④当x=2或6时，甲乙两人相距100米．其中，正确的是( )
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②
8．“吉祥物趣事”，某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速行走3600米、当墩墩领先容融1000米时，墩墩停下来休息，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，在整个行走过程中，墩墩和容融之间的距离（米）与它们出发时间（分钟）的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．容融的速度为40米/分钟 B．墩墩休息了23分钟
C．第85分钟时，墩墩到达终点 D．领先者到达终点时，两者相距200米
9．牛奶配送员小吴从县城出发，骑配送车到米村配送牛奶，途中遇到在县城上学的外甥张聪从米村步行返校上学，小吴在米村配送牛奶后，在返回县城途中又遇到张聪，便用配送车载上张聪一起返回县城，结果小吴比预计时间晚到5分钟．二人与县城间的距离y（km）和小吴从县城出发后所用的时间x（min）之间的关系如图，假设两人之间的交流时间忽略不计，则下列说法正确的有（ ）个．
①小吴到达米村后配送牛奶所用时间为25min．
②小吴从县城出发，最后回到县城用时100min．
③两人第一次相遇时，小吴距离米村2km．
④张聪从米村到县城步行速度为0.05km/min．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①，两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当甲、乙两车相距千米时，或或或．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
11．已知，两地相距千米，小黄从地到地，平均速度为千米时．若用时表示行走的时间，千米表示余下的路程，则关于的函数解析式是______．
12．公民的月收入超过5000元时，超过部分须依法缴纳个人所得税，当超过部分在3000 元以内（含3000元）时税率为3%．根据已知信息，公民每月所缴纳税款y（元）与月收入x（元）之间的函数关系式是__________，自变量的取值范围是__________．
13．在槐荫区“勾股数学”杯初中校际联赛中，小明的队伍在第一轮中获得积分50分，第二轮共10道题，每答对一道题得10分，则两轮总积分y（分）与第二轮答对题目数量x（道）之间的关系式为__________（，x为正整数）．
14．某公司准备和A、B两家出租车公司中的一家签订合同．设A、B两出租车公司收费y（元）与行程x（每千米）的关系分别是l1，l2，若行驶大于2500km，则选择 _____出租车公司较合算．
15．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为____方．
月用水量 不超过12方部分 超过12方不超过18方部分 超过18方部分
收费标准（元/方） 2 2.5 3
16．某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是__________小时．
17．2022年4月7日，许昌市首批新能源出租车上路，新车空间更大，舒适度更高，受到大众欢迎．新车的收费方式也做了调整，新车的打车费用y（单位：元）与行驶里程x（单位：千米）的函数关系如图所示．老款出租的收费方式为：不超过2千米收费5元，超过2千米部分收费1.5元/千米，同时，每次再加收1元的燃料附加费．小明爸爸从家到公司打车上班的行驶里程为22千米，则他上班乘坐新车的打车费用比老款车多______元．
18．已知A，C两地之间有一站点B，甲从A地匀速跑步去C地，2分钟后乙以50米/分钟的速度从站点B走向C地，两人到达C地后均原地休息．甲、乙两人与站点B的距离y(米)与甲所用的时间x(分钟)之间的关系如图所示．
（1）站点B到C地的距离为_____米；
（2）当x=_____时，甲、乙两人相遇．
三、解答题
19．某种气体在时的体积为，温度每升高，它的体积增加．
(1)写出气体体积与温度之间的函数表达式
(2)求当温度为时气体的体积．
(3)当气体的体积为时，温度为多少摄氏度？
20．在某一段时期，一年期定期储蓄的年利率为，规定储蓄利息应付个人所得税的税率为．设按一年期定期储蓄存入银行的本金为元，到期支取时扣除个人所得税后实得本利和为元．
(1)求关于的函数表达式．
(2)把元钱按一年期定期储蓄存入银行．问：到期支取时，扣除个人所得税后实得本利和为多少元？
21．“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．若要对某地特色花生与茶叶两种产品助销，已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
(1)求每千克花生、茶叶的售价；
(2)已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，计划两种产品共助销600千克，若花生销售m千克，花生和茶叶的销售总利润为w元，求w的最大值．
22．某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费元，另外，通话费按元/min计；B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按元/min计．按照此类收费标准完成下列各题：
(1)直接写出每月应缴费用（元）与通话时长（分）之间的关系式：
A类：________；B类：______．
(2)若每月平均通话时长为分钟，选择类收费方式较少．
(3)求每月通话多长时间时，按A，B两类收费标准缴费，所缴话费相等．
23．某移动公司设了两类通讯业务，类收费标准为不管通话时间多长使用者都应缴元月租费，然后每通话分钟，付元，类收费标准为用户不缴月租费，每通话分钟，付话费元，若一个月通讯分钟，两种方式费用分别是，元．
(1)分别写出，与之间的函数关系式．
(2)某人估计一个月通话时间为分钟，应选哪种通讯方式合算些，请书写计算过程．
(3)小明用的卡，他计算了一下，若是卡，他本月话费将会比现在多元，请你算一下小明实际话费是多少元？
24．如图，有80名师生要到离学校若干千米的大剧院参加演出，学校只有一辆能做40人的汽车，学校决定采用步行和乘车相结合的办法：先把一部分人送到大剧院，车按原路返回接到步行的师生后开往大剧院，其中车和人的速度保持不变．（学生上下车，汽车掉头的时间忽略不计）．表示车离学校的距离（千米），表示汽车所行驶的时间（小时）．请结合图象解答下列问题：
(1)学校离大剧院相距 千米，汽车的速度为 千米小时；
(2)求线段所在直线的函数表达式；
(3)若有一名老师因临时有事晚了0.5小时出发，为了赶上学生，该老师选择从学校打车前往，已知出租车速度为80千米小时，请问该老师能在学生全部达到前赶到大剧院吗？并画出相关图象．
25．如图，一次函数与x轴交于点，点C在直线上且横坐标为3．
(1)求k的值和点C的坐标；
(2)点D为x轴上一点，，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上的动点，问在直线上，是否存在点N(点N与点C不重合)，使与全等？若存在，请直接写出点N的坐标，并写出其中一种情况的解答过程，若不存在，请说明理由．
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