浙教版八年级上册第1章《三角形的初步知识》单元卷（含解析）

浙教版数学八年级上册 第1章《三角形的初步知识》
一、选择题(每小题 4 分，共 32 分)
1. 下列图形中，能说明∠1>∠2 的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列各组线段中，能组成三角形的是( )
A. a＝6.3，b＝6.3，c＝12.6
B. a＝1，b＝2，c＝3
C. a＝2.5，b＝3，c＝5
D. a＝5，b＝7，c＝15
3. 如图①，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，把△ADE 沿线段 DE 向下折 叠，使点 A 落在 BC 上的点 A′处，得到图②，则下列四个结论中，不一定成立的是( )
A DB＝DA B. ∠B＋∠C＋∠1＝180°
C. BA＝CA D. △ADE≌△A′DE
4. 如图,∠ABC=∠DCB=70°, ∠ABD=40°, AB=DC , 则∠BAC= （ ）
A. 70° B. 80° C. 100° D. 90°
5. 下列命题中，属于假命题的是( )
A. 定义都真命题
B. 单项式－系数是－4
C. 若|x－1|＋(y－3)2＝0，则 x＝1，y＝3
D. 线段垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等
6. 下列条件中，不能判断△ABC≌△DEF 的是( )
A. ∠A＝∠E，BA＝EF，AC＝FD
B. ∠B＝∠E，BC＝EF，高 AH＝DG
C. ∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠E＝30°，AC＝DF
D. ∠A＝∠D，AB＝DE，AC＝DF
7. 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO( )
A. 1∶1∶1 B. 9∶10∶11 C. 10∶11∶12 D. 11∶12∶13
8. 定义运算符号“*”的意义为：a*b＝ (其中a，b均不为0)．下面有两个结论：①运算“*”满足交换律；②运算“*”满足结合律．其中( )
A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①和②都正确 D. ①和②都不正确
二、填空题(每小题 4 分，共 24 分)
9. 把命题“互为倒数的两数之积为 1”改成“如果……那么……”的形式：___________________
10. 如图，李叔叔家凳子坏了，于是他给凳子加了两个木条，这样凳子就比较牢固，他这样做的数学原理是：三角形具有_______________
11. 如图，∠A=50°，∠ABO=28°，∠ACO=32°，则∠BDC=____，∠BOC=____
12. 如图，在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，AB=3，AC＝4，DF＝1.5，则 DE=_______．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=50°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，则∠BCD的度数是________．
14. 如图，在△ABC 中，AD 是∠A 外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，设 PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则 m＋n_____b＋c(填“＞”“＜”或“＝”)．
三、解答题(共 44 分)
15. 如图，已知线段 a，b，h(h16. 已知，如图，，，，，求证：．
17. 如图，AD 是一段斜坡，AB 是水平线，现为了测斜坡上一点 D 的铅直高度(即 垂线段 DB 的长度)，小亮在点 D 处立上一竹竿 CD，并保证 CD＝AB，CD⊥AD，然后在竿顶 C 处垂下一根细绳(细绳末端挂一重锤，以使细绳与水平线垂直)，细绳与斜坡 AD 交于点E，此时他测得 CE＝8 m，AE＝6 m，求 BD 的长度．
18. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
浙教版数学八年级上册 第1章《三角形的初步知识》测试题
一、选择题(每小题 4 分，共 32 分)
1. 下列图形中，能说明∠1>∠2 的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对顶角、直角三角形的性质、直角三角形中的等角的余角相等、三角形的内角和外角的关系等分析．
【详解】A、根据对顶角相等，得∠1=∠2；故本选项错误；
B、根据直角三角形的两锐角互余，得 故本选项错误；
C、由同角的余角相等，知∠1=∠2；故本选项错误；
D、由于三角形的任何一个外角＞和它不相邻的内角，所以∠1＞∠2；故本选项正确；
故选D．
【点睛】考查对顶角、直角三角形的性质、直角三角形中的等角的余角相等、三角形的内角和外角的关系，比较基础，难度不大.
2. 下列各组线段中，能组成三角形的是( )
A. a＝6.3，b＝6.3，c＝12.6
B. a＝1，b＝2，c＝3
C. a＝2.5，b＝3，c＝5
D. a＝5，b＝7，c＝15
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角形三边关系判断即可，两边之和＞第三边＞两边之差．
【详解】A.，故不能组成三角形；
B.1+2=3，故不能组成三角形；
C. ，故能组成三角形．
D.，故不能组成三角形．
故选:C
【点睛】考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键.
3. 如图①，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，把△ADE 沿线段 DE 向下折 叠，使点 A 落在 BC 上的点 A′处，得到图②，则下列四个结论中，不一定成立的是( )
A. DB＝DA B. ∠B＋∠C＋∠1＝180°
C. BA＝CA D. △ADE≌△A′DE
【答案】C
【解析】
【分析】
根据折叠的性质明确对应关系，易得∠A=∠1，≌，所以易得B、D答案正确，D是AB中点，所以DB=DA，故A正确．
【详解】D是AB中点，所以DB=DA，故A正确．
根据折叠性质，可知∠A=∠1，,则,故B正
确．
无法判断BA，CA的关系，故C错误.
根据折叠的性质，可知≌，故D正确.
故选C.
【点睛】考查折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握折叠的性质是解题的关键.
4. 如图,∠ABC=∠DCB=70°, ∠ABD=40°, AB=DC , 则∠BAC= （ ）
A. 70° B. 80° C. 100° D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件先证明△ABC≌△DCB就可以得出∠ACB=∠DBC=30°，由三角形的内角和定理就可以求出∠BAC的度数．
【详解】在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠ACB=∠DBC，
∵∠ABD=40°，∠ABC=70°，
∴∠DBC=30°，
∴∠ACB=30°，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC=80°，
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形内角和定理的运用，解答时证明△ABC≌△DCB是关键．
5. 下列命题中，属于假命题的是( )
A. 定义都是真命题
B. 单项式－的系数是－4
C. 若|x－1|＋(y－3)2＝0，则 x＝1，y＝3
D. 线段垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等
【答案】B
【解析】
【分析】
根据单项式的系数，非负数的性质以及线段的垂直平分线的性质对所给选项一一判断，判断为假的就是假命题.
【详解】A. 定义都是真命题,是真命题.
B. 单项式－的系数是是假命题.
C. 若，则 x=1，y=3, 是真命题.
D. 线段垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等,是真命题.
【点睛】考查真命题，假命题的判断，能够判断真假的陈述句就是命题，判断为真的就是真命题，判断为假的就是假命题.
6. 下列条件中，不能判断△ABC≌△DEF 的是( )
A. ∠A＝∠E，BA＝EF，AC＝FD
B. ∠B＝∠E，BC＝EF，高 AH＝DG
C. ∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠E＝30°，AC＝DF
D. ∠A＝∠D，AB＝DE，AC＝DF
【答案】A
【解析】
【分析】
三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等，要满足全等三角形所要求的条件．
【详解】A无法判定△ABC≌△DEF；
B中可首先根据AAS定理判定△AHB≌△DGE,再根据SAS定理判定△ABC≌△DEF；
C中, 可根据ASA定理判定△ABC≌△DEF；
D中可根据SAS定理判定△ABC≌△DEF.
故选:A
【点睛】考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
7. 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO( )
A. 1∶1∶1 B. 9∶10∶11 C. 10∶11∶12 D. 11∶12∶13
【答案】C
【解析】
过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF，
∵AB=100，BC=110，AC=120，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO= 10∶11∶12，
故选C.
8. 定义运算符号“*”的意义为：a*b＝ (其中a，b均不为0)．下面有两个结论：①运算“*”满足交换律；②运算“*”满足结合律．其中( )
A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①和②都正确 D. ①和②都不正确
【答案】A
【解析】
∵a*b＝ ，b*a＝ ，∴a*b＝b*a，即①正确．
∵(a*b)*c＝ ，
a*(b*c)＝，
∴(a*b)*c≠a*(b*c)，即②不正确．
故选A.
点睛：本题考查新定义运算，结合题中给出的新定义运算法则，分别计算比较即可，解决这类问题的关键是准确运用所给的新定义运算法则．
二、填空题(每小题 4 分，共 24 分)
9. 把命题“互为倒数的两数之积为 1”改成“如果……那么……”的形式：___________________
【答案】如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为 1
【解析】
【分析】
找出命题题设与结论，进行改写即可.
【详解】命题“互为倒数的两数之积为 1”改成“如果……那么……”的形式为：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1
故答案为如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1
【点睛】考查命题，熟练找出命题的题设和结论是进行改写的关键.
10. 如图，李叔叔家凳子坏了，于是他给凳子加了两个木条，这样凳子就比较牢固，他这样做的数学原理是：三角形具有_______________
【答案】稳定性
【解析】
【分析】根据三角形的稳定性进行解答．
【详解】给凳子加了两根木条之后形成了三角形，所以“这样凳子就比较牢固了”的数学原理是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的知识．
11. 如图，∠A=50°，∠ABO=28°，∠ACO=32°，则∠BDC=____，∠BOC=____
【答案】 (1). 78° (2). 110°
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：观察图形可知∠BDC是△ABD的外角∵∠A=50°，∠ABO=28°，∴∠BDC=∠A+∠ABO=78°
又∵∠BOC是△DOC的外角 ∴∠BOC=∠BDC+∠ACO=110°．
考点：三角形的外角
12. 如图，在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，AB=3，AC＝4，DF＝1.5，则 DE=_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求．
【详解】∵△ABC中，AD为中线，
∴BD=DC,∴
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=3，AC=4，DF=1.5，
∴
∴
∴DE=2.
故答案为2.
【点睛】考查三角形中线的性质以及三角形的面积公式，掌握三角形的中线可以把三角形的面积等分是解题的关键.
13. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=50°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，则∠BCD的度数是________．
【答案】10
【解析】
试题分析：先根据三角形的内角和求得∠ACB的度数，再根据垂直平分线的性质可得AD=CD，则可得∠A=∠ACD=40°，从而求得结果.
∵∠B=90°，∠A=40°
∴∠ACB=50°
∵MN是AC的垂直平分线
∴AD=CD
∴∠A=∠ACD=40°
∴∠BCD＝∠ACB-∠ACD=10°.
考点：本题考查的是垂直平分线的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
14. 如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，设 PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则 m＋n_____b＋c(填“＞”“＜”或“＝”)．
【答案】>
【解析】
【分析】
在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE=PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n>b+c．
【详解】在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，
∵AD是∠A的外角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACP和△AEP中,
∴△ACP≌△AEP(SAS)，
∴PE=PC，
在△PBE中，PB+PE>AB+AE，
∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，
∴m+n>b+c.
故答案为
【点睛】考查全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，作出辅助线是解题的关键.
三、解答题(共 44 分)
15. 如图，已知线段 a，b，h(h【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据基本尺规作图的方法，作出不同情况的三角形即可．
【详解】作法如下：①作直线 PQ，在直线 PQ 上任意取一点 D，作 DM⊥PQ.
②在 DM 上截取线段 DA＝h.
③以点 A 为圆心，b 为半径画弧交射线 DP 于点 B，连结 AB.
④以点 B 为圆心，a 为半径画弧分别交射线 BP 和射线 BQ 于点 C1 和 C2，连结 AC1，AC2. 则△AB C1 和△AB C2 即为所求作的三角形(如解图)
.
【点睛】考查作图-复杂作图，熟练掌握过直线上一点作垂线是解题的关键.
16. 已知，如图，，，，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
连接AC、AD，利用“边角边”证明△ABC和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AD，根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
【详解】如图，连接AC、AD．
在△ABC和△AED中，∵，
∴△ABC≌△AED(SAS)，
∴AC=AD．
∵CF=FD，
∴AF⊥CD(等腰三角形三线合一)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解答本题的关键．
17. 如图，AD 是一段斜坡，AB 是水平线，现为了测斜坡上一点 D 的铅直高度(即 垂线段 DB 的长度)，小亮在点 D 处立上一竹竿 CD，并保证 CD＝AB，CD⊥AD，然后在竿顶 C 处垂下一根细绳(细绳末端挂一重锤，以使细绳与水平线垂直)，细绳与斜坡 AD 交于点E，此时他测得 CE＝8 m，AE＝6 m，求 BD 的长度．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
延长CE交AB于F，根据等角的余角相等求出∠A=∠C，再利用“角角边”证明△ABD和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DB=DE．
【详解】延长 CE 交 AB 于点 F.
∵∠A＋∠1=90°，∠C＋∠2=90°，∠1=∠2，
∴∠A=∠C
在△ABD 和△CDE 中，
∴△ABD≌△CDE(AAS)．
∴AD=CE=8 m.
∴BD=DE=AD－AE=2 m.
【点睛】考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
18. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE=BE﹣AD．
【解析】
【分析】
（1）根据同角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，即可证明△ADC≌△CEB；
（2）根据全等三角形的性质得到AD=CE，DC=EB，即可证明DE=AD﹣BE；
（3）与（1）的证明方法类似，证的△ADC≌△CEB，得出AD=CE，DC=EB，即可得出DE、AD、BE的等量关键.
【详解】（1）∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°
又∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠BCE+∠CBE=90°
∴∠ACD=∠CBE
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，DC=BE
∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，DC=EB
∴DE=CE﹣DC=AD﹣EB；
（3）DE=BE﹣AD．
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，DC=BE
∴DE=DC﹣CE=BE﹣AD．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、直角三角形，关键是仔细观察图形得出线段的等量关系.