代数式的求值技巧[下学期]

求绝对值问题的方法与技巧
一、教学目标：
1、知识、能力目标：
通过这堂课的学习使学生了解绝对值的一些运算性质，并学会各种绝对值问题的求解方法与一些常用的技巧。
2、情感目标：
使学生初步感受数学中的化归思想与分类讨论的思想。
二、重、难点：
重点是绝对值的运算性质在解各种绝对值问题中的灵活运用；难点是一类特殊的分类讨论，零点分区间讨论法在去多个绝对值中的应用。
三、教学过程：
实数的绝对值是这样定义的：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。即：
任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，这个点与原点的距离就是这个实数的绝对值。因此，实数绝对值的几何意义就是指数轴上表示这个数的点到原点的距离。
绝对值具有如下一些运算性质：
①； ②； ③；
④若，则； ⑤；
⑥当时，则：； ；
⑦； ⑧。
解含有绝对值符号数学题的关键是设法去掉绝对值符号，使它转化为不含绝对值符号的问题解决。去绝对值符号常用的方法是：①根据绝对值的定义，对绝对值符号内的解析式进行讨论，这时通常要把变数字母的取值范围适当地分段，并逐段进行讨论。②也可以利用平方法，达到去掉绝对值的目的这是因为。但这样做往往容易扩大变量的取值范围。因此，如果是解方程的话就可能产生增根，对这一点要特别注意。除了上述两种常用的方法之外，还有反求法、分类讨论法、几何意义法、零点分区间法等等。
1、求解含有绝对值的代数式的化简问题
（1）直接脱去法
例1、计算。
分析：当绝对值符号内代数式的值的符号能唯一确定时，要先确定符号，再依据绝对值的定义直接脱去绝对值。由于。
解：∵
∴原式=。
（2）零点分区间讨论法
例2、计算。
分析：当绝对值符号内代数式的符号不能唯一确定时，要对字母的取值范围恰当地分段，然后分别在每一段上确定符号，本题分成如下三个步骤：
①确定分点：令；
②分段：的取值范围的全体被分为三段，即；
③分别在每一段上确定符号：
当时，；
当时，；
当时，。
解：①当时，，
原式=。
②当时，，
原式=。
③当时，，
原式= 。
例3、化简。
解：由；
①当时，，
原式=。
②当时，，
原式=。
③当时，，
原式=。
④当时，，
原式=。
(3)看图定性去符号法
例4、实数在数轴上的对应点如图所示，试化简：。
分析：应根据实数在数轴上对应点的位置来判断
绝对值符号内代数式的值的正、负，再去绝对值化简。
解：由图可知：，
∴
。
（4）平方脱去法
例5、若实数满足，那么______________ 。
解：条件等式两边平方得，，
∴。
（5）定义法
例6、设，其中，对于满足的来说，的最小值是多少？
解：由绝对值的定义及已知条件得，
，显然，当取最大值时，有最小值30-15=15。
(6)分类讨论法
例7、若均为非零实数，则的所有可能值是什么？
解：①当同时为正时：。
②当两正一负时，不妨设，则。
③当一正两负时，不妨设，则。
④当同时为负时：。
因此，所有可能值是。
注意：在分类讨论时要既不重复也不遗漏。
（7）运用绝对值的非负性求解法：
例8、已知，求。
解：∵，有绝对值的非负性知，，即，
∴。
例9、已知，求。
解：
即： 或 。（注意：此题不能写成。）
2、求解含绝对值符号的方程
在计算中有时会遇到象这一类方程，它们的特点是绝对值符号内含有未知数。解这类方程的基本思想是去掉绝对值符号，把它化为不含绝对值符号的方程来解。
例10、解方程：。
解法1：分和两种情况讨论去绝对值。
①当时，，原方程可变为，解这个方程得：，应舍去。（问学生：为什么要舍去？）
②当时，，原方程可变为，解这个方程得：。
∴原方程的解为。（让学生再次体会分类讨论的即不重复也不遗漏。）
解法2：原方程可变形为，由绝对值的定义可知，或，分别解这两个方程得：或。经检验是原方程的解。
解法3：原方程可变形为，两边平方得：，展开整理可得：，经检验是原方程的解。（问学生：解法2和解法3为什么会产生增根？）
例11、解方程：。
解：原方程可化为，
解方程得；方程无解。
经检验都是原方程的根。
例12、解方程：。
解：①当时，原方程可化为：；
②当时，原方程可化为：，应舍去；
③当时，原方程可化为：，应舍去。
∴原方程的解为。
注意：对于两个或两个以上的绝对值符号的方程，采用零点分区间讨论法脱去绝对值符号，各个击破，解决。
例13、解方程：。
解：①当时，原方程可化为：
是原方程的解，是增根应舍去；
②当时，原方程可化为：是原方程的根，，是增根应舍去。
所以原方程的解为或。
3、解含有绝对值符号的综合问题
例14、如果（1） 且（2），则________ 。
解：①当时，则由（1）得，代入（2）得矛盾，故；所以（1）式即； （3）
②当时，则由（2）得，代入（1）得矛盾，故；所以2）式即 （4）
联立（3）（4）解得，从而得。
例15、设，则的最小值是________。
解：已知函数的图象为一条折线，使每一绝对值为0的值是该折线的一个折点的横坐标，所以的最小值只能在折点处取得，由，=
0，可得函数的零点（即折点）分别为。
①当时，；
②当时，；
③当时，。
故的最小值是。
注意：本题也可以利用零点分区间法，求出函数的表示式。