浙教版八上数学第1章三角形的初步 知识单元试卷（含解析）

第1章三角形的初步知识
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)
1. 下列各组线段中，能组成三角形的是(　　)
A. 4，6，10 B. 3，6，7 C. 5，6，12 D. 2，3，6
2. 在△ABC中，∠A－∠C＝∠B，那么△ABC(　　)
A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形
3. 如图所示，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（ ）
A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°
4. 如图所示，AB⊥AD，AB⊥BC，则以AB为一条高线的三角形共有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图，点P在BC上，于点B，于点C，，其中，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示，点F，C在AD上，在△ABC和△DEF中，若BC＝EF，AF＝CD，添加下列四个条件中一个，能判定这两个三角形全等的是(　　)
A. ∠B＝∠E B. AC＝DF C. ∠A＝∠D D. ∠ACB＝∠EFD
7. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 垂直于同一直线的两条直线平行
B. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
C. 三角形三个内角中，至少有2个锐角
D. 有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
8. 如图所示，点C，E分别在AD，AB上，BC与DE相交于点F，若△ABC与△ADE全等，则图中全等的三角形共有(　　)
A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对
9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DEB的周长是( )
A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm
10. 如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE相交于点H，已知EH＝EB＝6，AE＝8，则CH长是(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)
11. 已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=
12. 如图，已知∠B=∠C．添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是______；
13. 如图所示，两个直角三角形叠放在一起，∠B＝30°，∠E＝42°，则∠α＝________°.
14. 如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，且∠DAE＝15°，∠B＝35°，则∠C＝________°.
15. 已知三角形三边长分别是3，x，9，则化简|x－5|＋|x－13|＝___．
16. 如图，点D，E，F，B在同一条直线上，AB∥CD，AE∥CF且AE=CF，若BD=10，BF=3.5，则EF=____．
三、解答题(本题共8小题，共66分)
17. 有一块不完整的三角形玻璃，如图所示，请将它补全，并用尺规画出最小角的平分线和最长边的垂直平分线(不写作法，只保留作图痕迹)．
18. 如图所示，已知AD是△ABC的中线，AB＝8 cm，AC＝5 cm，求△ABD和△ACD的周长差．
19. 证明命题“全等三角形对应边上的高相等”是真命题．
解：已知：如图，△ABC≌△EFG，AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高．
求证：AD＝EH.
20. 如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．
（1）从图中任找两组全等三角形；
（2）从（1）中任选一组进行证明．
21. 在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的△ABD和△ACE两个三角形，并写出四个条件：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④∠B=∠C.请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明.
题设：___________；结论：_______.（均填写序号）
证明：
22. 如图所示，已知AB＝DC，DB＝AC
(1)求证：∠ABD＝∠DCA；
(2)在(1)的证明过程中需要作辅助线，它的意图是什么？
23. 如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，E为AC上一点，AE＝AB,连接DE.
（1）求证：△ABD≌△AED；
（2）已知BD=5，AB=9，求AC长．
24. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为D，E.
(1)求证：①∠BAD＝∠ACE；②BD＝AE.
(2)请写出BD，CE，DE三者间的数量关系式，并证明．
第1章三角形的初步知识测试题
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)
1. 下列各组线段中，能组成三角形的是(　　)
A. 4，6，10 B. 3，6，7 C. 5，6，12 D. 2，3，6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，进行判断即可得.
【详解】A、4+6=10，不能组成三角形；
B、3+6>7，能组成三角形；
C、5+6<12，不能组成三角形；
D、2+3<6，不能组成三角形，
故选B.
【点睛】本题考查了三角形三边关系，对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2. 在△ABC中，∠A－∠C＝∠B，那么△ABC是(　　)
A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
由于∠A－∠C＝∠B，再结合∠A+∠B+∠C=180°，易求∠A，进而可判断三角形的形状．
【详解】∵∠A-∠C=∠B，
∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选D.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，求出∠A的度数是解题的关键.
3. 如图所示，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（ ）
A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．
【详解】解：∵∠B=67°，∠C=33°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
4. 如图所示，AB⊥AD，AB⊥BC，则以AB为一条高线的三角形共有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形高线的定义进行判断即可得.
【详解】由AB⊥AD，AB⊥BC，可知AB是△ABE、△ABC、△ACE、△ABD的高线，
即以AB为一条高线的三角形共有4个，
故选D.
【点睛】本题考查了三角形的高线，熟知三角形高线的定义是解题的关键.
5. 如图，点P在BC上，于点B，于点C，，其中，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵△ABP≌△PCD，
∴∠APB=∠D，AP=PD，AB=PC，∠A=∠CPD，
∴∠A+∠CPD=90°是错误的，
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边和对应角相等是解题的关键．
6. 如图所示，点F，C在AD上，在△ABC和△DEF中，若BC＝EF，AF＝CD，添加下列四个条件中的一个，能判定这两个三角形全等的是(　　)
A. ∠B＝∠E B. AC＝DF C. ∠A＝∠D D. ∠ACB＝∠EFD
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可知两三角形有两对边相等，要想添加条件，只能添加边可两边夹角，据此逐项进行判断即可.
【详解】由AF=CD可得AC=DF，又已知BC=EF，
添加A、形成SSA，不能判定△ABC与△DEF全等；
B、只有两组边对应相等，不能判定△ABC与△DEF全等；
C、形成SSA，不能判定△ABC与△DEF全等；
D、构成SAS，能判定△ABC与△DEF全等，
故选D.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
7. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 垂直于同一直线的两条直线平行
B. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
C. 三角形三个内角中，至少有2个锐角
D. 有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
【答案】C
【解析】
【分析】
利用垂线的性质、全等三角形的判定、锐角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A. 同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，故错误，为假命题；
B. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，故错误，为假命题；
C. 三角形的三个角中，至少有两个锐角，故正确，为真命题；
D. 有两边和其中一个角对应相等的两个三角形全等，错误，为假命题，
故选C.
【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握各性质定义.
8. 如图所示，点C，E分别在AD，AB上，BC与DE相交于点F，若△ABC与△ADE全等，则图中全等的三角形共有(　　)
A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质以及全等三角形的判定方法进行求解即可得.
【详解】∵△ABC与△ADE全等，
∴AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠B=∠D，∠ACB=∠AEB，
∴CD=BE，∠DCB=∠BED，
在△BEF和△DCF中，
，
∴△BEF≌△DCF（ASA），
∴BF=DF，EF=CF，
在△ACF和△AEF中，
，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
在△ADF和△ABF中，
，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
所以全等三角形共有4对，
故选A.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DEB的周长是( )
A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得到DC=DE，AC=AE，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】∵AD是∠CAB的角平分线,DE⊥AB,∠C=90°，
∴DC=DE，AC=AE，
∴△DEB的周长=DE+BE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=6cm，
故选B.
【点睛】此题考查角平分线的性质，等腰直角三角形，解题关键在于掌握计算公式.
10. 如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE相交于点H，已知EH＝EB＝6，AE＝8，则CH的长是(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=EC，由EC-EH即可求出HC的长．
【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEH=90°，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠BAD=∠BCE，
∵在△HEA和△BEC中，
，
∴△HEA≌△BEC（AAS），
∴EC=AE=8，
则CH=EC-EH=8-6=2，
故选B.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)
11. 已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=
【答案】6.
【解析】
【分析】
直接根据线段垂直平分线性质进行解答即可．
【详解】∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，
∴PB=PA=6．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质．熟记线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是关键.
12. 如图，已知∠B=∠C．添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是______；
【答案】AB=AC（答案不唯一）．
【解析】
已知∠B=∠C．加上公共角∠A=∠A．要使△ABD≌△ACE，只要添加一条对应边相等即可．故可添加
AB=AC或AD=AE或BD=CE或BE=CD等，答案不唯一．
考点：开放型，全等三角形的判定．
13. 如图所示，两个直角三角形叠放在一起，∠B＝30°，∠E＝42°，则∠α＝________°.
【答案】72
【解析】
【分析】
由∠EFD=90°，∠E=42°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠EDF=48°，再根据三角形外角的性质可求得∠BAD=∠EDF-∠B=18°，由∠BAC=90°，根据∠α=∠BAC-∠BAD即可得.
【详解】∵∠EFD=90°，∠E=42°，
∴∠EDF=90°-∠E=48°，
∴∠BAD=∠EDF-∠B=48°-30°=18°，
∵∠BAC=90°，
∴∠α=∠BAC-∠BAD=72°，
故答案为72.
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.
14. 如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，且∠DAE＝15°，∠B＝35°，则∠C＝________°.
【答案】65
【解析】
【分析】
由∠DAE=15°，∠ADE=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠AED=90°-∠DAE=75°，再根据三角形外角的性质可得∠BAE=∠AED-∠B=40°，再根据角平分线的定义求得∠BAC=2∠BAE=80°，再由三角形内角和定理即可求得∠C的度数.
【详解】∵∠DAE=15°，∠ADE=90°，
∴∠AED=90°-∠DAE=75°，
∴∠BAE=∠AED-∠B=75°-35°=40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=80°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=65°，
故答案为65.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余，熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.
15. 已知三角形的三边长分别是3，x，9，则化简|x－5|＋|x－13|＝___．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据三边关系得到x的取值范围，再化简.
【详解】∵三角形的三边长分别是3、x、9，
∴6∴x 5>0，x 13<0，
∴|x 5|+|x 13|=x 5+13 x=8，
故答案为8.
【点睛】本题考查三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
16. 如图，点D，E，F，B在同一条直线上，AB∥CD，AE∥CF且AE=CF，若BD=10，BF=3.5，则EF=____．
【答案】3
【解析】
∵AB∥CD，AE∥CF，
∴∠B=∠D，∠AEB=∠CFD，
∴在△ABE和△CDF中： ，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∴BE-EF=DF-EF，即BF=DE=3.5，
∴EF=BD-BF-DE=10-3.5-3.5=3.
三、解答题(本题共8小题，共66分)
17. 有一块不完整的三角形玻璃，如图所示，请将它补全，并用尺规画出最小角的平分线和最长边的垂直平分线(不写作法，只保留作图痕迹)．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据作一角等于已知角的方法，利用ASA得出全等三角形的方法作出△ABC，然后确定出最小角，最长边，再根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作出角平分线以及垂直平分线即可.
【详解】如图所示，△ABC即为所求作的三角形，∠BAC是最小角，AB是最长边，AD平分∠BAC，EF垂直平分AB.
【点睛】本题考查了复杂作图，熟练掌握作一个角等于已知角、角平分线、线段的垂直平分线的作法是解题的关键.
18. 如图所示，已知AD是△ABC的中线，AB＝8 cm，AC＝5 cm，求△ABD和△ACD的周长差．
【答案】3cm
【解析】
【分析】
根据三角形的周长的计算方法得到，△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【详解】∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝DC，
∴△ABD和△ACD的周长差为
（AB+BD+AD）-(AC+CD+AD)=AB－AC＝8－5＝3(cm)．
【点睛】本题考查了三角形的中线定义以及三角形的周长，熟练掌握三角形中线的定义以及三角形周长的计算方法是解题的关键.
19. 证明命题“全等三角形对应边上的高相等”是真命题．
解：已知：如图，△ABC≌△EFG，AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高．
求证：AD＝EH.
【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据△ABC≌△EFG，可得AB＝EF，∠B＝∠F，再根据∠ADB＝∠EHF＝90°，利用AAS证明△ABD≌△EFH即可得.
试题解析：∵△ABC≌△EFG，
∴AB＝EF，∠B＝∠F，
∵AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高，
∴∠ADB＝∠EHF＝90°，
在△ABD和△EFH中，，
∴△ABD≌△EFH(AAS)，
∴AD＝EH.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等．
20. 如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．
（1）从图中任找两组全等三角形；
（2）从（1）中任选一组进行证明．
【答案】（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB(2)略
【解析】
试题分析：（1）根据题目所给条件可分析出△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；（2）根据已知条件易得∠ACD=∠CAB，AE=FC，再由∠ABE=∠CDF，根据AAS可判定△ABE≌△CDF．
试题解析：解：（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，
即AE=FC，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
考点：全等三角形的判定．
21. 在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的△ABD和△ACE两个三角形，并写出四个条件：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④∠B=∠C.请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明.
题设：___________；结论：_______.（均填写序号）
证明：
【答案】①②③，④.
【解析】
【分析】
【详解】根据全等三角形的判定方法进行组合、证明，答案不唯一.
解；答案不唯一.如：
已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.
求证：∠B=∠C.
证明：∵∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）；
故答案为①②③，④.
∵∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
22. 如图所示，已知AB＝DC，DB＝AC.
(1)求证：∠ABD＝∠DCA；
(2)在(1)的证明过程中需要作辅助线，它的意图是什么？
【答案】(1)证明见解析； (2)作辅助线的意图是通过作两个三角形的公共边构造全等三角形．
【解析】
【分析】
（1）连接AD，证明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到结论；
（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形．
【详解】(1)如图所示，连结AD，
在△BAD和△CDA中，
∵ ，
∴△BAD≌△CDA(SSS)，
∴∠ABD＝∠DCA(全等三角形的对应角相等)；
(2)作辅助线的意图是通过作两个三角形的公共边构造全等三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接AD是解决本题的关键.
23. 如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，E为AC上一点，AE＝AB,连接DE.
（1）求证：△ABD≌△AED；
（2）已知BD=5，AB=9，求AC长．
【答案】（1）证明见解析； （2）AC=14
【解析】
试题分析：（1）由AD是∠BAC的平分线，得出∠BAD=∠DAC，根据已知条件可证△ABD≌△AED；
（2）由△ABD≌△AED 得BD=DE，∠B=∠AED，再利用三角形外角的性质求证CE=DE，然后问题可解．
试题解析：（1）∵∠BAC的平分线AD交BC边于点D，
∴∠BAD=∠DAC，
在△ABD与△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS）；
（2）∵△ABD≌△AED
∴BD=DE，∠B=∠AED，
∵∠B=2∠C，∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠AED=2∠C，
∴∠C=∠EDC，
∴CE=DE，
∴CE=BD，
∴AC=AE+EC=AB+BD．
∵BD=5，AB=9
∴AC=14.
24. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为D，E.
(1)求证：①∠BAD＝∠ACE；②BD＝AE.
(2)请写出BD，CE，DE三者间的数量关系式，并证明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
（1）①由直角三角形两锐角互余可得∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ACE＋∠CAE＝90°，从而即可证得∠BAD＝∠ACE；
②通过证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等即可得BD＝AE；
（2）BD＝CE＋DE，由△ABD≌△CAE，利用全等三角形对应边相等可得BD＝AE，AD＝CE，由AE＝AD＋DE，即可得到BD＝CE＋DE.
【详解】(1)证明：①∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∵CE⊥MN，∴∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE；
②∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE；
(2)BD＝CE＋DE证明如下：
∵△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，AD＝CE
∵AE＝AD＋DE，
∴BD＝CE＋DE
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．