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浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式
1.2 二次根式的性质（2）
【知识重点】
一、二次根式的性质：
1. (a≥0，b≥0)
2. (a≥0，b>0)
二、最简二次根式
像、、这样，(1)被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式或有理式.
【经典例题】
【例1】下列二次根式中，最简二次根式（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知 ，那么 可化简为（ ）
A． B． C． D．
【例3】观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你发现的规律，计算：
其结果为
【基础训练】
1．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列化简错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列二次根式中，最简二次根式的个数有（ ）
①② (a>0)③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4． = ； = .
5．在下列二次根式 ， ， ， 中，最简二次根式有 .
6．计算： = 。
7．计算： .
8．王聪学习了二次根式性质公式 = 后，他认为该公式逆过来 = 也应该成立的，于是这样化简下面一题： = = = =3，你认为他的化简过程对吗？请说明理由.
9．观察下列式子：
=2 ； =3 ； =4 ； =5
你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．
10．求代数式的值，其中a＝3，b＝2．
【培优训练】
11．下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
12．已知b＞0，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
13．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．－3
14．若k，m，n都是整数，且＝k，＝15，＝6，则下列关于k，m，n的大小关系，正确的是( )
A．m＜k＜n B．m＝n＞k C．m＜n＜k D．k＜m＝n
15．已知，，，则的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．无法确定
16．记，则（ ）
A． B． C． D．
17．已知a为实数，化简 = ．
18．借助于计算器可以求得
＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ，
……
仔细观察上面几道题的结果，试猜想 ＝ .
19．已知 ，且x为偶数，求（1+x） 的值.
20．若a=3+ ，b=3- ，求a2b-ab2的值
【直击中考】
21．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
22．化简 的正确结果是（ ）
A．4 B．±4 C． D．
23．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
24．计算： ．
25．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 .
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浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式（解析版）
1.2 二次根式的性质（2）
【知识重点】
一、二次根式的性质：
1. (a≥0，b≥0)
2. (a≥0，b>0)
二、最简二次根式
像、、这样，(1)被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式或有理式.
【经典例题】
【例1】下列二次根式中，最简二次根式（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】A．被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【例2】已知 ，那么 可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】 ，
而 ，
，
原式 ．
故答案为：C．
【例3】观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你发现的规律，计算：
其结果为
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】∵，
......
依此类推，可得：
∴......
=
=
=
=
=
故答案为：.
【基础训练】
1．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、 ，原式不是最简二次根式，不符合题意；
B、 是最简二次根式，符合题意；
C、 不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，原式不是最简二次根式，不符合题意.
故答案为：B.
2．下列化简错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
3．下列二次根式中，最简二次根式的个数有（ ）
①② (a>0)③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】根据最简二次根式的定义，
可得出最简二次根式是：.
故答案为：B.
4． = ； = .
【答案】4；72
【解析】 = =4，
=
=
=8×9
=72
故答案为：4；72.
5．在下列二次根式 ， ， ， 中，最简二次根式有 .
【答案】 ，
【解析】 ， ，故最简二次根式有 ， ．
故答案为： ，
6．计算： = 。
【答案】2
【解析】原式=
故答案为：2.
7．计算： .
【答案】
【解析】；
故答案为：.
8．王聪学习了二次根式性质公式 = 后，他认为该公式逆过来 = 也应该成立的，于是这样化简下面一题： = = = =3，你认为他的化简过程对吗？请说明理由.
【答案】解：因为 = ， 有意义，而 中的二次根式无意义，因此该种化简过程不对
9．观察下列式子：
=2 ； =3 ； =4 ； =5
你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．
【答案】解：用字母表示规律是 =n （n≥2），
证明如下： = = = =n ．
10．求代数式的值，其中a＝3，b＝2．
【答案】解：==，
将a＝3，b＝2代入原式得：=．
【培优训练】
11．下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A.；
B.；
C.是最简二次根式，符合题意；
D..
故答案为：C.
12．已知b＞0，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵b＞0，﹣a3b≥0，∴a≤0，∴原式=﹣a ．故答案为：C．
13．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．－3
【答案】C
【解析】 ∵n是正整数，是整数，
∴符合n的最小值是3．
故答案为：C．
14．若k，m，n都是整数，且＝k，＝15，＝6，则下列关于k，m，n的大小关系，正确的是( )
A．m＜k＜n B．m＝n＞k C．m＜n＜k D．k＜m＝n
【答案】A
【解析】∵＝3，＝15，＝6，
∴k=3，m=2，n=5，
∴m＜k＜n，
故答案为：A．
15．已知，，，则的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．无法确定
【答案】B
【解析】∵，
，
c=2021×2020-2019×2021=2021×（2020-2019）=2021，
∴a-b＜0，b-c=1，
∴（a-b）（b-c）＜0，
故答案为：B．
16．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则
故答案为：D.
17．已知a为实数，化简 = ．
【答案】
【解析】由二次根式的性质可知， ，
∴
=
=
= ；
故答案为： ．
18．借助于计算器可以求得
＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ，
……
仔细观察上面几道题的结果，试猜想 ＝ .
【答案】5；55；555；5 555；
【解析】根据式子规律得到第一个空是5，第二个空是55，第三个空是555，第四个空是5555，根据规律，第五个空是2011个5.
19．已知 ，且x为偶数，求（1+x） 的值.
【答案】由已知得
解得
∵ 为偶数,
当 时，
【解析】先根据已知条件得出 的取值范围,再根据 为偶数求出 具体的值,最后将得到的 的值代入化简后的代数式中求出最后结果.
20．若a=3+ ，b=3- ，求a2b-ab2的值
【答案】解：a2b-ab2=ab（a-b）=（3+ ）（3- ）×（3+ -3+ ）=7×2 =14 ．
【解析】先提公因式得出a2b-ab2=ab（a-b），再把a，b的值代入，然后再根据二次根式的混合运算法则进行计算，即可得出答案.
【直击中考】
21．（2021·桂林）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、 被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确.
故答案为：D.
22．（2021·湖州）化简 的正确结果是（ ）
A．4 B．±4 C． D．
【答案】C
【解析】.
故答案为：C.
23．（2020·绥化）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A. ,本选项不成立；
B. ，本选项不成立；
C. = ，本选项不成立；
D. ，本选项成立.
故答案为：D.
24．（2020·山西）计算： ．
【答案】5
【解析】原式=2+2 +3 2 =5.
故答案为5.
25．（2022·随州）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 .
【答案】3；75
【解析】∵，是大于1的整数，
∴.
∵n为正整数
∴n的值可以为3、12、75，
n的最小值是3，最大值是75.
故答案为：3；75.
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