中小学教育资源及组卷应用平台
浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式（解析版）
1.3 二次根式的运算（1）
【知识重点】
一、二次根式的运算法则：
（1）乘法法则：(a≥0，b≥0)；
（2）除法法则： (a≥0，b＞0).
二、分母有理化
1.定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
2.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式；②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如与，，分别互为有理化因式.
3．分母有理化的方法与步骤：
（1）先将分子、分母化成最简二次根式；
（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
【经典例题】
【例1】（1） × .
解：原式＝ ＝ ＝ .
（2） ÷ .
解：原式＝ ＝ ＝ ＝3
（3） ÷ × .
解：原式＝ ＝
＝ ＝1.
（4） × ÷ .
解：原式＝ ＝ ＝ ＝8
【知识点】二次根式的乘除法
【例2】
（1）下列把有理数与二次根式的乘积化成一个二次根式，其中正确的有 ． (填序号)
①
② ；
③ ；
④ ．
（2）比较大小： ． (填“>”“<”或“=”)
【答案】（1）③
（2）<
【知识点】最简二次根式；二次根式的应用
【解析】（1）① ，故①不正确；
② ，故②不正确 ；
③ ，故③正确；
④ ，故④不正确．
故答案为：③.
（2）∵
又∵20>18
∴
∴
∴
故答案为：<
【例3】像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①= ；②= ．
（2）计算：．
【答案】（1）；
（2）解：∵，∴===2021．
【知识点】分母有理化
【解析】（1）①，故答案为：；②=，故答案为：．
【分析】（1）利用分母有理化的计算方法求解即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可。
【例4】
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
=
【知识点】二次根式的混合运算
（3）
【答案】解：∵，
∴同号，且，
，
，
，
，
；
∴当 时，原式；当 时，原式．
【知识点】二次根式的乘除法
【例5】求代数式的值，其中a＝3，b＝2．
【答案】解：==，
将a＝3，b＝2代入原式得：=．
【知识点】二次根式的化简求值
【基础训练】
1.列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、∵，，∴，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
2．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故答案为：D．
3．下列二次根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、 ，不是最简二次根式，不符合题意，
B、，是最简二次根式，符合题意，
C、，不是最简二次根式，不符合题意，
D、，不是最简二次根式，不符合题意，
故答案为：B．
4．
（1） ；（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：.
5．计算：①×＝ ，②＝ ，③＝ ．
【答案】；5；
【解析】①；
②；
③．
故答案为：；5；．
6．计算
【答案】解：
7．设矩形的面积为S，相邻两边长分别为a、b，对角线长为l，已知S=2，b＝，求a和l．
【答案】解：，
，
又由勾股定理：，
．
8．若正三角形的边长为2cm，则这个正三角形的面积是多少cm2。
【答案】解：正三角形的高为： 三角形面积=
9．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
= = ；（一）
= = （二）
= = = ﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
化简： ．
【答案】解：原式= + +…+
= （ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ ）
= （ ﹣1）．
10．阅读下列运算过程：
①，
②
数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．模仿上述运算过程，完成下列各题：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式
＝＝=9．
【培优训练】
11．下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A.；
B.；
C.是最简二次根式，符合题意；
D..
故答案为：C.
12．化简二次根式得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意得：
，∵a＜0，∴b3＜0，∴b＜0，
∴，
故答案为：A．
13．下列式子中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，当时，成立，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意．
故答案为：C.
14．已知a= ，b= ，则a与b的关系是( )
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
【答案】C
【解析】；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
15．已知 的小数部分是a，则 的值是 .
【答案】
【解析】∵，
∴ 的整数部分为3，
∴
∴.
故答案为：.
16．已知，，则 ．
【答案】6
【解析】 ， ，
， ，
， ，
原式 ．
故答案为：6.
17．观察下列各式： ， ， ，…，请你将发现的规律用含自然数 的形式表示出来，并证明.
【答案】解：上述式子的规用含自然数n（n为正整数）的代数式可表示为
∵左边= =右边
∴ ．
18．观察下列一组等式，解答后面的问题：
(＋1)(－1)＝1，
(＋)(－)＝1，
(＋)(－)＝1，
(＋)(－)＝1，
（1）根据上面的规律：
①＝ ；
②＝ ；
（2）计算：（＋＋＋…＋）×(＋1)．
（3）若a＝，则求的值．
【答案】（1）；
（2）解：原式
；
（3）解：∵，
∴，
∴，即，
∴
．
【解析】（1）①原式
；
②原式
；
19．我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数.在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，，可得或
根据小明发现的规律，解决下列问题：
（1） ， 为正整数）
（2）若，则
（3）求的值.
【答案】（1）；
（2）
（3）解：
．
【解析】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
即，
∴，
故答案为：；
20．阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab= -3 ，求．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：；
（2）m 是正整数， a =，b =且．求 m．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）解：原式
，
（2）解：∵a =，b =，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）解：由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【直击中考】
21．（2022·桂林）化简的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
【答案】A
【解析】＝2.
故答案为：A.
22．（2022·河北）下列正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A. ，故不符合题意；
B. ，故符合题意；
C. ，故不符合题意；
D. ，故不符合题意；
故答案为：B．
23．（2020·包头）计算： ．
【答案】
【解析】
=
=
= ．
故答案为 ．
24．（2022·随州）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 .
【答案】3；75
【解析】∵，是大于1的整数，
∴.
∵n为正整数
∴n的值可以为3、12、75，
n的最小值是3，最大值是75.
故答案为：3；75.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式
1.3 二次根式的运算（1）
【知识重点】
一、二次根式的运算法则：
（1）乘法法则：(a≥0，b≥0)；
（2）除法法则： (a≥0，b＞0).
二、分母有理化
1.定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
2.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式；②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如与，，分别互为有理化因式.
3．分母有理化的方法与步骤：
（1）先将分子、分母化成最简二次根式；
（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
【经典例题】
【例1】（1） × . （2） ÷ .
（3） ÷ × . （4） × ÷ .
【例2】
（1）下列把有理数与二次根式的乘积化成一个二次根式，其中正确的有 ． (填序号)
①
② ；
③ ；
④ ．
（2）比较大小： ． (填“>”“<”或“=”)
【例3】像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①= ；②= ．
（2）计算：．
【例4】
（1）； （2）．
（3）
【例5】求代数式的值，其中a＝3，b＝2．
【基础训练】
1．下列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列二次根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
4．
（1） ；
（2） ．
5．计算：①×＝ ，②＝ ，③＝ ．
6．计算
7．设矩形的面积为S，相邻两边长分别为a、b，对角线长为l，已知S=2，b＝，求a和l．
8．若正三角形的边长为2cm，则这个正三角形的面积是多少cm2。
9．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
= = ；（一）
= = （二）
= = = ﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
化简： ．
10．阅读下列运算过程：
①，
②
数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．模仿上述运算过程，完成下列各题：
（1）
（2）
【培优训练】
11．下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
12．化简二次根式得（ ）
A． B． C． D．
13．下列式子中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知a= ，b= ，则a与b的关系是( )
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
15．已知 的小数部分是a，则 的值是 .
16．已知，，则 ．
17．观察下列各式： ， ， ，…，请你将发现的规律用含自然数 的形式表示出来，并证明.
18．观察下列一组等式，解答后面的问题：
(＋1)(－1)＝1，
(＋)(－)＝1，
(＋)(－)＝1，
(＋)(－)＝1，
（1）根据上面的规律：
①＝ ；
②＝ ；
（2）计算：（＋＋＋…＋）×(＋1)．
（3）若a＝，则求的值．
19．我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数.在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，，可得或
根据小明发现的规律，解决下列问题：
（1） ， 为正整数）
（2）若，则
（3）求的值.
20．阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab= -3 ，求．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：；
（2）m 是正整数， a =，b =且．求 m．
（3）已知，求的值．
【直击中考】
21．化简的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
22．下列正确的是（）
A． B． C． D．
23．计算： ．
24．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
