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浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式（解析版）
1.1 二次根式
【知识重点】
一、二次根式的概念：
一般地，把形如()的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.
二、二次根式的非负性
二次根式的实质是一个正数的算术平方根，它具有非负性，即当时，≥0.
【经典例题】
【例1】下列式子是二次根式的有（ ）
① ；② （a≥0）；③ （m，n同号且n≠0）；④ ；⑤ ．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】② （a≥0）；③ （m，n同号且n≠0）；④ ；是二次根式，
故选D
【分析】根据二次根式的定义即可求出答案
【例2】若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】二次根式在实数范围内有意义，
，解得.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，求解即可.
【例3】已知实数 ， 满足 ，则 的值为 ．
【答案】-1
【知识点】代数式求值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵ 与 都有意义，
∴x=3，则y=2，
故（y-x）2011=-1．
故答案为：-1．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，求出x=3，再将x的值代入可得y的值，最后将x、y的值代入计算即可。
【基础训练】
1．下列各式中，不是二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、C、D中的被开方数都是非负数，故都是二次根式；
B、被开方数是负数，根式无意义，故不是二次根式.
故答案为：B.
2．下列二次根式中，的取值范围为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A. 当有意义时，，解得，不符合题意
B. 当有意义时，，解得，不符合题意
C. 当有意义时，，解得，不符合题意
D. 当有意义时，，解得，符合题意，
故答案为：D
3．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A.当x﹣1＜0时，此时原式无意义，故A不一定是二次根式；
B.当x＜0时，此时原式无意义，故B不一定是二次根式；
C.x2+2≥0,此时原二次根式有意义，故C符合题意。
D.当x2﹣2＜0时，此时原式无意义，故D不一定是二次根式；
故答案为：C
4．要使 有意义，则x应满足（ ）
A． ≤x≤3 B．x≤3且x≠
C． ＜x＜3 D． ＜x≤3
【答案】D
【解析】由题意得：
解不等式①得， ≤3，
解不等式②的， ＞ ，
所以， ＜ ≤3.
故答案为：D.
5．若x，y为实数，且，则x+y的值为( )
A．7 B．1 C．-7 D．-1
【答案】D
【解析】由得x=-4，
∴3-y=0，
∴y=3，
∴x+y=-4+3=-1.
故答案为：D.
6．计算 的结果是（ ）
A． B．-1 C． D．1
【答案】A
【解析】 有意义，
，
解得： ，
则 ，
原式
.
故答案为：A.
7．若 在实数范围内有意义，则x取值范围是 ．
【答案】x<-3
【解析】二次根式 在实数范围内有意义，
则 ≥0且x+3≠0，即x+3<0，
解得：x<-3．
故答案为：x<-3．
8．如果 是二次根式，那么 的取值范围是 ．
【答案】x＜2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】∵ 是二次根式，
∴10-5x≥0，
∴x 2．
故答案为：x＜2．
9．如果分式 有意义，那么 的取值范围是 .
【答案】 且
【解析】由题意知：x 1≥0且x 3≠0，
解得：x≥1且x≠3.
故答案为：x≥1且x≠3.
10．若代数式 有意义，则 的取值范围是 .
【答案】m>1
【解析】∵ 代数式 有意义，
m+1≥0且m-1＞0
解之：m≥-1，m＞1
∴m的取值范围是m＞1.
故答案为：m＞1.
11．当x满足什么条件时，下列式子在实数范围内有意义？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
【答案】（1）解：∵有意义，
∴x+1≥0，
∴x≥-1；
（2）解：∵有意义，
∴x2+2≥0，
∴x为任意实数；
（3）解：∵有意义，
∴-x2≥0，
∴x=0；
（4）解：∵有意义，
∴3-2x＞0，
∴x＜1.5.
12．已知：
【答案】解： ，∴ .
∴原式=
13．已知x，y是实数，且y= +x-2，求x2+y2的值．
【答案】y= +x-2，
∴根据二次根式有意义的条件可得x-1=0，解得x=1，
∴y= +x-2=1-2=-1，
∴x2+y2=12+(-1)2=2
14．已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长.
【答案】解：∵
∴3a－6≥0，2－a≥0
∴a=2
∴b=3
∵a，b分别为等腰三角形的两条边长
∴等腰三角形的另一条边为2或3
∴等腰三角形的周长为：2+2+3=7或2+3+3=8
【培优训练】
15．已知 是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
【答案】B
【解析】由题意是正整数所以 >0，且n为整数，所以12－n>0，所以n<12，所以n最大取11，故选B
分析：利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程
16．如果代数式 有意义，那么直角坐标系中 P(m，n)的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】依题意的-m≥0，mn＞0，解得m＜0，n＜0，
故P(m，n)的位置在第三象限，
故答案为：C.
17．若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【答案】D
【解析】将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
18．已知实数 满足 ，求 的值是多少？
【答案】解：∵二次根式有意义，
∴a-2009≥0，即a≥2009，
∴2008-a≤-1＜0，
∴a-2008+ =a，解得 =2008，
等式两边平方，整理得a-20082=2009.
19．（2022八下·龙口期末）已知a满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2022
【答案】D
【解析】由题意知：，解得：，
∴，
∵，
∴，得：，
∴，即．
故答案为：D
20．（2021八上·滕州月考）已知 ，则 的值为 ．
【答案】8084
【解析】根据二次根式有意义的条件得： ，即 ．
∴
∴ 可化为
∴
∴
∴
∴
故答案为：8084．
21．已知
是正整数，则实数
的最大值为 .
【答案】16
【解析】∵二次根式
有意义，
∴17-n≥0，
∴n≤17，
∵是正整数，
∴17-n可以是16，9，4，1，
∴n的最大值是16.
故答案为：16.
22．若的值为零，则x的值为 ．
【答案】2
【解析】∵分式的值为零，
∴=0且x+2≠0，
即=0且x≠-2，
解得：x=2．
故答案为：2．
23．若，则的值为 ．
【答案】-6
【解析】根据二次根式有意义的条件可得：
，
，
，
，
解得：，
将代入中，
得，
故答案是：．
24．若 ，则a-b的算术平方根为 ．
【答案】3
【解析】由题意得， ， ，
解得， ，
，
解得， ，
，
算术平方根为3，
故答案为：3．
25．已知x满足 ，求 的值.
解：由 有意义可知x的取值范围是_▲_
∵
∴_▲_+ （去掉绝对值符号）
∴ _▲_ （移项，合并）
∴ _▲_ （算术平方根的意义）
∴ _▲_
【答案】解：∵使 有意义，
∴ ，解得： ；
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ .
26．已知m，n为实数，且满足m=，求6m﹣3n的值．
【答案】解：因为n2﹣9≥0，9﹣n2≥0，且n﹣3≠0，
所以n2=9且n≠3，
解得：n=﹣3，m=﹣．
∴6m﹣3n=5．
27．已知+有意义，求的值．
【答案】解：∵+有意义，
∴x﹣a≥0且a﹣x≥0，
∴x=a，
∴==2．
【直击中考】
28．（2022·湘西）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2
【答案】D
【解析】∵ 二次根式有意义，
∴3x-6≥0
解之：x≥2.
故答案为：D.
29．（2022·丹东）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≥﹣3
C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0
【答案】D
【解析】由题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
故答案为：D．
30．（2022·广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．≤-1
【答案】B
【解析】由题意可知：，
∴，
故答案为：B．
31．（2022·衡阳）如果二次根式 有意义，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得
a-1≥0
解之：a≥1.
故答案为：B.
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浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式
1.1 二次根式
【知识重点】
一、二次根式的概念：
一般地，把形如()的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.
二、二次根式的非负性
二次根式的实质是一个正数的算术平方根，它具有非负性，即当时，≥0.
【经典例题】
【例1】下列式子是二次根式的有（ ）
① ；② （a≥0）；③ （m，n同号且n≠0）；④ ；⑤ ．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例2】若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知实数 ， 满足 ，则 的值为 ．
【基础训练】
1．下列各式中，不是二次根式的是( )
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，的取值范围为的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．要使 有意义，则x应满足（ ）
A． ≤x≤3 B．x≤3且x≠
C． ＜x＜3 D． ＜x≤3
5．若x，y为实数，且，则x+y的值为( )
A．7 B．1 C．-7 D．-1
6．计算 的结果是（ ）
A． B．-1 C． D．1
7．若 在实数范围内有意义，则x取值范围是 ．
8．如果 是二次根式，那么 的取值范围是 ．
9．如果分式 有意义，那么 的取值范围是 .
10．若代数式 有意义，则 的取值范围是 .
11．当x满足什么条件时，下列式子在实数范围内有意义？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
12．已知：
13．已知x，y是实数，且y= +x-2，求x2+y2的值．
14．已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长.
【培优训练】
15．已知 是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
16．如果代数式 有意义，那么直角坐标系中 P(m，n)的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17．若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
18．已知实数 满足 ，求 的值是多少？
19．已知a满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2022
20．已知 ，则 的值为 ．
21．已知
是正整数，则实数
的最大值为 .
22．若的值为零，则x的值为 ．
23．若，则的值为 ．
24．若 ，则a-b的算术平方根为 ．
25．已知x满足 ，求 的值.
解：由 有意义可知x的取值范围是_
∵
∴_ _+ （去掉绝对值符号）
∴ （移项，合并）
∴ （算术平方根的意义）
∴
26．已知m，n为实数，且满足m=，求6m﹣3n的值．
27．已知+有意义，求的值．
【直击中考】
28．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2
29．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≥﹣3
C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0
30．代数式有意义时，x应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．≤-1
31．如果二次根式 有意义，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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