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浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式（解析版）
1.3 二次根式的运算（2）
【知识重点】
一、同类二次根式：
1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
2.注意：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式. 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数或因式，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断.
3.同类二次根式合并法则：“同类二次根式相加减，根式不变，系数相加减”.
二、二次根式的运算法则：
实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同，而且有理数的运算法则、运算律以及运算公式在实数范围内仍然适用.
【经典例题】
【例1】若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 ．
【答案】-5
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；因式分解法解一元二次方程
【解析】由题意，得
x2+3x=x+15，
解得x=-5，或x=3，当x=3时，它们不是最简二次根式，
∴x= -5．
故答案为：-5．
【例2】如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【例3】计算：（1）．
【答案】解：
．
（2）
【答案】解：
【知识点】二次根式的加减法
【例4】a=，b=，则的值是 ．
【答案】
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】当a=，b=时，
故答案为： .
【例5】已知，，则 ．
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】 ， ，
， ，
， ，
原式
．
故答案为：6.
【基础训练】
1．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【答案】D
【解析】∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
∴x+3＝2x，
解得：x＝3，
故答案为：D．
2．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】，
∵二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，
∴且，
即，
∴①当，即a=30时，，
②当，即a=24时，，
③当，即a=14时，，
则符合条件的正整数a有3个.
故答案为：C.
3．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原式= + - = + - = ，故选B．
4．化简 的结果是 .
【答案】
【解析】
= .
故答案为： .
5．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ．
【答案】-1
【解析】∵最简二次根式与可以合并，
∴，
解得，
故答案为：-1．
6．已知x，y是两个不相等的有理数，且满足等式，则 ； ．
【答案】-3；9
【解析】，
∴，
解得：，；
故答案为：-3；9.
7．计算
（1）
（2） × -4× ×(1- )0-( )-1
（3）(2 -3 )÷ -( - )2
【答案】（1）解：
=
=
（2）解： × -4× ×(1- )0-( )-1
= × -4× ×1-
=
=
（3）解：(2 -3 )÷ -( - )2
=
=
=
8．计算：
（1）÷－×＋；
（2）－－（－2）；
（3）（2－）2017×（2＋）2016－2－（－）0
（4）（a＋2＋b）÷（＋）－（－）．
【答案】（1）解：÷－×＋，
=÷－×＋，
=4-＋，
=4+，
（2）解：－－（－2），
=－－（－），
=，
=，
（3）解：原式=
=.
（4）解：（a＋2＋b）÷（＋）－（－），
=（＋）2÷（＋）－（－），
=（＋）－（－）
=＋－+，
=.
【解析】（1）利用二次根式的乘除法法则，先算乘除法运算，再合并同类二次根式.
（2）先将各个二次根式化成最简二次根式，再去括号，然后合并同类二次根式.
（3）利用幂的性质、平方差公式及二次根式的性质进行计算，再算乘方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
（4）利用完全平方公式将 a＋2＋b 转化为，再算除法运算，然后去括号，合并同类二次根式.
【培优训练】
9．下列二次根式中，同类二次根式是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】A
【解析】A.，是同类二次根式；
B.和不是同类二次根式；
C.和不是同类二次根式；
D.和不是同类二次根式。
故答案为：A.
10．我们知道的小数部分b为，如果用a代表它的整数部分，那么的值是（ ）
A．8 B．－8 C．4 D．－4
【答案】B
【解析】∵1<<2，
∴4<<5，
∵a为6-的整数部分，b为6-的小数部分，
∴a=4，b=2-，
∴ab2 a2b=ab(b-a)
=4(2-)( 2--4)
=-4(2-)( 2+)
=-4(4-2)
=-8．
故答案为：B．
11．已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由原式成立，所以x<0，所以原式= + = ，故选C．
12． 化简 ＝ .
【答案】-a
【解析】原式=- -a +
=-a .
故答案为-a
13．已知：m+n＝10，mn＝9，则 ＝ ．
【答案】±
【解析】∵m+n＝10，mn＝9，
∴
＝
＝
＝ ，
∴ ＝± ．
故答案为：± 。
14．先化简，再求值： ，其中x＝1，y＝2．
【答案】解：
=
=
=
=
=
=
=
= ；
将 代入得：原式= ．
15．若x，y为实数，且y＝ ＋ ＋ ．求 － 的值．
【答案】解：要使y有意义，必须 ，即 ∴ x＝ ．当x＝ 时，y＝ ．
又∵ － ＝ －
＝| |－| |
∵x＝ ，y＝ ，∴ ＜ ．
∴原式＝ － ＝2
当x＝ ，y＝ 时，原式＝2 ＝
16．已知：x＝ ，y＝ ，求 的值．
【答案】解：x＝5＋2 ，y＝5－2 ，xy＝1，x＋y＝10，x－y＝4 ，原式＝ ＝
【解析】【分析】先把x、y分别分母有理化，得到，.将原分式化简得到，将x、y的值分别代入，化简求值即可. 也可利用，计算出xy及x+y、x-y的值，再整体代入也可. 本题考查二次根式的化简，分式的化简，熟练掌握对应的性质，准确计算是关键.
17．计算（ ＋ ）÷（ ＋ － ）（a≠b）．
【答案】解：原式＝ ÷
＝ ÷
＝ · ＝－ ．
18．已知函数 ，其中 ，且满足 .
（1）求 ；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：将y=kx代入 ，
整理得， ，
解得，k=9;
（2）解：由（1）得k=9,即y=9x,
∴原式= =
19．观察下列格式， - ， ， ， …
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【答案】（1）解： - = - = - =-1，
= - =-2，
= - =-3，
= - =-4
（2）解： - =-5
（3）解： - = - =-n
20．先阅读，再解答问题：
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如：当时，求的值.
为解答这道题，若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.
方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.
由，可得，即，.
原式.
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：∵，
∴x＋1＝，
∴（x＋1）2＝2，即x2＋2x＋1＝2，
∴x2＋2x＝1，
∴原式＝2x（x2＋2x） 3x＋1
＝2x 3x＋1
＝ x＋1
＝ （ 1）＋1
＝2 ；
（2）解：∵，
∴x 2＝，
∴（x 2）2＝3，
即x2 4x＋4＝3，
∴x2 4x＝ 1或x2＝4x 1，
∴原式＝
＝（16x2 8x＋1 4x2＋x 36x＋9 5x＋5）
＝ [12（4x 1） 48x＋15]
＝（48x 12 48x＋15）
＝×3
＝.
21．如果记 ，并且 表示当 时y的值，即 ； 表示当 时y的值，即 ； 表示当 时 的值，即 ；…
（1）计算下列各式的值：
.
.
（2）当n为正整数时，猜想 的结果并说明理由；
（3）求 的值.
【答案】（1）1；1
（2）解：猜想 的结果为1.
证明：
（3）解：
【解析】（1） ；
.
【直击中考】
22．（2022·六盘水）计算： ．
【答案】0
【解析】原式=.
故答案为：0.
23．（2022·安顺）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】B
【解析】原式=
=2+，
∵3<<4，
∴5<2+<6，
故答案为：B.
24．（2021·铜仁）计算 ；
【答案】3
【解析】
.
故答案为：3.
25．（2021·威海）计算 的结果是 ．
【答案】
【解析】原式
，
故答案为： ．
26．（2021·常德）计算： （ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】
=
=
=1.
故答案为：B.
27．（2021·恩施）从 ， ， 这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由题意得：
，
∴所有积中小于2的有 两个；
故答案为：C.
28．（2021·黄冈）人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 法就应用了黄金分割数.设 ， ，则 ，记 ， ，…， .则 .
【答案】10
【解析】 ，
（ 为正整数），
，
，
，
，
则 ，
故答案为：10.
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浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式
1.3 二次根式的运算（2）
【知识重点】
一、同类二次根式：
1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
2.注意：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式. 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数或因式，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断.
3.同类二次根式合并法则：“同类二次根式相加减，根式不变，系数相加减”.
二、二次根式的运算法则：
实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同，而且有理数的运算法则、运算律以及运算公式在实数范围内仍然适用.
【经典例题】
【例1】若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 ．
【例2】如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
【例3】计算：（1）．
（2）
【例4】a=，b=，则的值是 ．
【例5】已知，，则 ．
【基础训练】
1．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
2．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．化简 的结果是 .
5．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ．
6．已知x，y是两个不相等的有理数，且满足等式，则 ； ．
7．计算
（1）
（2） × -4× ×(1- )0-( )-1
（3）(2 -3 )÷ -( - )2
8．计算：
（1）÷－×＋；
（2）－－（－2）；
（3）（2－）2017×（2＋）2016－2－（－）0
（4）（a＋2＋b）÷（＋）－（－）．
【培优训练】
9．下列二次根式中，同类二次根式是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
10．我们知道的小数部分b为，如果用a代表它的整数部分，那么的值是（ ）
A．8 B．－8 C．4 D．－4
11．已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
12． 化简 ＝ .
13．已知：m+n＝10，mn＝9，则 ＝ ．
14．先化简，再求值： ，其中x＝1，y＝2．
15．若x，y为实数，且y＝ ＋ ＋ ．求 － 的值．
16．已知：x＝ ，y＝ ，求 的值．
17．计算（ ＋ ）÷（ ＋ － ）（a≠b）．
18．已知函数 ，其中 ，且满足 .
（1）求 ；
（2）求 的值.
19．观察下列格式， - ， ， ， …
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
20．先阅读，再解答问题：
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如：当时，求的值.
为解答这道题，若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.
方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.
由，可得，即，.
原式.
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值.
21．如果记 ，并且 表示当 时y的值，即 ； 表示当 时y的值，即 ； 表示当 时 的值，即 ；…
（1）计算下列各式的值：
.
.
（2）当n为正整数时，猜想 的结果并说明理由；
（3）求 的值.
【直击中考】
22．计算： ．
23．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
24．计算 ；
25．计算 的结果是 ．
26．计算： （ ）
A．0 B．1 C．2 D．
27．从 ， ， 这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个.
A．0 B．1 C．2 D．3
28．人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 法就应用了黄金分割数.设 ， ，则 ，记 ， ，…， .则 .
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