2022-2023学年浙教版数学九年级下册3.1 投影 同步练习
一、单选题
1．（2020九下·贵阳开学考）下列投影现象属于平行投影的是（ ）
A．手电筒发出的光线所形成的投影
B．太阳光发出的光线所形成的投影
C．路灯发出的光线所形成的投影
D．台灯发出的光线所形成的投影
2．（2019九下·沙雅期中）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示，OA＝20cm，OA′＝50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）
A．5：2 B．2：5 C．4：25 D．25：4
3．（2019九下·台州期中）两个人的影子在两个相反的方向，这说明（ ）
A．他们站在阳光下 B．他们站在路灯下
C．他们站在路灯的两侧 D．他们站在月光下
4．下面属于中心投影的是( )
A．太阳光下的树影 B．皮影戏
C．月光下房屋的影子 D．海上日出
5．下列命题中真命题的个数为（ ）
①正方形的平行投影一定是菱形；②平行四边形的平行投影一定是平行四边形；③三角形的平行投影一定是三角形.
A．1 B．2 C．3 D．0
6．当投影线由上到下照射水杯时，如图所示，那么水杯的正投影是（ ）
A． B．
C． D．
7．当棱长为20的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为（ ）
A．20 B．300 C．400 D．600
8．太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是（ ）
A．与窗户全等的矩形 B．平行四边形
C．比窗户略小的矩形 D．比窗户略大的矩形
9．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子( )
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
10．正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（ ）
A．正方形 B．平行四边形或线段
C．矩形 D．菱形
二、填空题
11．小明的身高是 米，他的影长是 米，同一时刻古塔的影长是 米，则古塔的高是 米．
12．一个长方形的正投影的形状、大小与原长方形完全一样，则这个长方形 投影面；一个长方形的正投影的形状、大小都发生了变化，则这个长方形 投影面.
13．皮影戏中的皮影是由 投影得到.
14．（2022九下·长沙开学考）如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为 m.
15．（2021九下·江西月考）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树 的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子离 为2m，那么这棵大树高 m．
16．（2020九下·郑州期中）乐乐同学的身高为 ，测得他站立在阳光下的影长为 ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为 ，那么乐乐竖直举起的手臂超出头顶的长度约为 .
三、解答题
17．（2022九下·泾阳月考）如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射人室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5m，AC在地面的影长CM=4.5m，求窗户的高度AB．
18．（2020九下·越城期中）如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，求路灯的高.
19．（2020九下·广州月考）如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆AB的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为4 米，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？
20．如图，两幢楼高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼投在乙楼上的影子的高度．（结果精确到0.01， ≈1.732， ≈1.414）
21．小亮在广场上乘凉，如图所示的线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯.
（1）请在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子；
（2）如果灯杆长PO=12 m，小亮身高AB=1.6 m，小亮与灯杆的距离BO=13 m，请求出小亮影子的长度.
22．如图，某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上.
（1）请你在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF；
（2）若AB=5米，CD=3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长.
23．如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.
（1）球在地面上的影子是什么形状
（2）当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化
（3）若白炽灯到球心的距离是1 m，到地面的距离是3 m，球的半径是0.2 m，则球在地面上影子的面积是多少
24．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4.2m，请你计算DE的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为投影线交于一点的投影为中心投影，投影线相互平行的投影称为平行投影，
所以A，C，D都属于中心投影，只有B属于平行投影.
故答案为：B.
【分析】投影线交于一点的投影为中心投影，投影线相互平行的投影称为平行投影，由慨念进行逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，
∵OA=20cm，OA′=50cm，
∴ = = =
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比= =2:5.
故答案为：B.
【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可.
3．【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：根据两个人的影子在两个相反的方向，则一定是中心投影；且两人同在光源两侧.故答案为：C.
【分析】由平行投影中影子的长度取决于物体的长度，中心投影中影子的长度和方向不仅与物体的长度有关，而且还要看物体到光源的距离可以得出本题结论.
4．【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有B选项得到的投影为中心投影．
故答案为：B．
【分析】把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影，根据定义即可判断出答案。
5．【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：①正方形的平行投影是平行四边形或线段，故①为假命题；
②平行四边形的平行投影一定是平行四边形或线段，故②为假命题；
③三角形的平行投影一定是三角形或线段，故③为假命题。
故答案为：D。
【分析】由于投影线的方向不确定，一个物体的投影图形会随着投影线的方向变化而变化。
6．【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：投影线的方向是从上往下，因为杯口和杯底是圆，所以能看到一个圆和一条小线段。
故答案为：D。
【分析】由投影线的照射方向，可从向上往下看水杯得到图形。
7．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：平行投影得到的图形是一个正方形，而且棱长为20，则面积为20×20=400。
故答案为：C。
【分析】因为正方体的某个面平行于投影面，此时的正投影得到的图形形状恰好是该正方体的一个面的大小。
8．【答案】A
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为投影面（墙）与矩形窗户平行，
所以太阳光照射的影子与原来的相同。
故答案为A。
【分析】当投影面与平面图形是平行时，影子与原图形大小一样。
9．【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】根据光源是由远到近的过程和中心投影的特点可得：小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短，
故答案为：A．
【分析】该投影是中心投影， 小亮从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处 的过程中，光源是由远到近的过程，根据中心投影的特点，小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短。
10．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为太阳光线是平行光线，
当正方形竖着放置在投影面的上方时，所得到投影的图形是线段；
当正方形不是竖着放置在投影面的上方时，因为正方形一组对边平行且相等，则在地面上形成的投影相对的边平行且相等，是平行四边形．
故一定是平行四边形或线段。
故答案为B.
【分析】由于太阳光线照射的方向不一样所得到投影也不一样，投影可以是正方形，平行四边形，矩形，菱形，线段。
11．【答案】
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设古塔的高为x米．由题意得： ，解得：x=14.4．故答案为：14.4．
【分析】根据同一时刻，同一地点，同一平面，不同物体的长度与影长成比例即可建立方程，求解即可。
12．【答案】//；不平行于
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：长方形与投影面平行时，正投影不改变大小；
当长方形与投影面不平行时，正投影的形状将会改为，可能为线段，平行四边形。
故答案为：//；不平行于
【分析】长方形的正投影与投影面的相对位置的不同，得到的正投影的大小也不一样。长方形与投影面的特殊的相对位置有：互相平行，互相垂直。平行时，正投影与原长方形形状大小一样；其他相对位置时，正投影的形状大小将会改变。
13．【答案】中心
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：中心投影的定义：由同一点出发的投影线所形成的投影线叫做中心投影。
皮影是由灯光发出的线所形成的投影。
故答案为：中心。
【分析】由平行投影和中心投影的定义判断即可。
14．【答案】9.6
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x（m），则可列比例式为 ，解得x＝9.6（m）.
故答案为：9.6.
【分析】设旗杆的高度为xm，根据相同时刻的物高与影长成比例可得关于x的方程，求解即可.
15．【答案】9
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：延长AD交BC延长线于E，
根据同一时刻影长与物高成比例可得CE：CD=1：1.4，
∵CD=2m，
∴CE= m，
∴BE=BC+CE=5+ = m，
∴BE：AB=1:1.4，
∴AB=9m．
故答案为：9．
【分析】根据同一时刻影长与物高成比例，先求出CE，再求AB即可．
16．【答案】40
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如下图，AB为乐乐身高，BD是乐乐手臂超出头顶部分，AC是乐乐站立在阳光下的影长，AE是乐乐举起手臂后的影长
根据题意，AC=83cm，AB=166cm，AE=103cm
∵是阳光照射的影长，∴CB∥ED
∴∠BCA=∠E
∴tan∠BCA=tan∠E，即：
解得：BD=40
故答案为：40.
【分析】根据影长的性质得出CB∥ED，然后根据平行线分线段成比例的性质列式求出BD即可.
17．【答案】解：∵BN∥AM，
∴∠CBN=∠A，∠CNB=∠M，
∴△CBN∽△CAM，
∴ 即
解得：CA=3，
∴AB=3-1=2，
答：窗户的高度AB为2m．
【知识点】相似三角形的性质；平行投影
【解析】【分析】阳光可看作一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AE仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形的性质可求出AC的长，进而求出AB的长即窗户的高度.
18．【答案】解：如图，在Rt△CDE中，CD＝DE＝1.8m，
在Rt△MNF中，MN＝NF＝1.5m，
∵∠CDE＝∠MNF＝90°，
∴∠E＝∠F＝45°，
∴AB＝EB＝BF，
∴DB＝AB﹣1.8，BN＝AB﹣1.5，
∵DN＝2.7m，
∴2AB﹣1.8﹣1.5＝2.7，
∴AB＝3（m），
∴路灯的高为3m.
【知识点】中心投影
【解析】【分析】在Rt△MNF中，MN＝NF，由等腰直角三角形的性质可得∠E＝∠F＝45°，AB＝EB＝BF，于是DB和BN可用含AB的代数式表示出来，再根据DN=BD+BN可得关于AB的方程，解方程可求解.
19．【答案】解：延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E，
∵CD 米，∠DCE=45°，
∴DE=CE=CD =4，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴ ，解得EF=2DE=8，
∴BF=10+4+8=22，
∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴△EDF∽△BAF，
∴ ，即 ，
∴AB=11米．
答：旗杆的高度为11米．
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】 延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E， 证出 △EDF∽△BAF， 再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
20．【答案】解：如图，延长MB交CD于E，连接BD，
由于AB=CD=30m，AB⊥AC，CD⊥AC,
∴四边形ACDB是矩形，
∴NB和BD在同一直线上，∠DBE=∠MBN=30°
∴AC=BD=24m，∠BDE=90°，
在Rt△BED中tan30°= ，
DE=BD tan30°=24× ，
∴CE=30﹣8 ≈16.14(m)，
答：甲楼投到乙楼影子高度是16.14m．
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；平行投影
【解析】【分析】 如图，延长MB交CD于E，连接BD， 首先判断出 四边形ACDB是矩形， 根据矩形的性质得出 AC=BD=24m，∠BDE=90°， 进而根据平角的定义判断出 NB和BD在同一直线上，根据对顶角相等得出∠DBE=∠MBN=30° ， 在Rt△BED中 ，根据正切函数的定义，及特殊锐角三角函数值，由 DE=BD tan30° 算出DE，从而得出答案。
21．【答案】（1）解：如图：连结PA并延长，交直线OB于点C，则线段BC就是小亮在照明灯P照射下的影子.
（2）解：在△CAB和△CPO中，∵∠ACB=∠PCO，∠ABC=∠POC=90°，
∴△CAB∽△CPO，
∴ ，即 = ，解得：BC=2 m.
答：小亮影子的长度为2 m.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）连接物体和它影子的顶端的直线必定经过点光源；由此即可作出图形.
（2）根据相似三角形的判定得△CAB∽△CPO，再由相似三角形性质对应边成比例可得出方程，解之即可得出答案.
22．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设此时木杆AB的影长BF为x米，
依题可得： = ，解得x= .
答：此时木杆AB的影长是 米.
【知识点】平行投影
【解析】【分析】（1）根据木杆CD的影长不落在广告墙上，可画出太阳光线CE，再由太阳光线是平行的，可画出木杆AB的影长BF.
（2）根据平行投影的特点：同一时刻，物体的高和影子长成比例即可解答.
23．【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.
（2）解：当把白炽灯向上平移时，影子会变小.
（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，在Rt△OAE中，∴OA= = = (m)，∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，
∴△OAH∽△OEA，∴，
∴OH= == (m)，又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，
∴△OAE∽△AHE，∴ = ，
∴AH= == (m).依题可得：△AHO∽△CFO，∴，∴CF= = (m)，∴S影子=π·CF2=π· = π=0.375π(m2).答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.
（2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.
（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.
24．【答案】（1）如图所示：EF即为所求；
（2）∵AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m，EF=4.2m，
∴=，则=，
解得：DE=7，
答：DE的长为7m．
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】（1）利用平行投影的性质得出DE在阳光下的投影EF即可；
（2）利用同一时刻物体高度与影长比值相等进而得出答案．
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级下册3.1 投影 同步练习
一、单选题
1．（2020九下·贵阳开学考）下列投影现象属于平行投影的是（ ）
A．手电筒发出的光线所形成的投影
B．太阳光发出的光线所形成的投影
C．路灯发出的光线所形成的投影
D．台灯发出的光线所形成的投影
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为投影线交于一点的投影为中心投影，投影线相互平行的投影称为平行投影，
所以A，C，D都属于中心投影，只有B属于平行投影.
故答案为：B.
【分析】投影线交于一点的投影为中心投影，投影线相互平行的投影称为平行投影，由慨念进行逐一判断即可.
2．（2019九下·沙雅期中）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示，OA＝20cm，OA′＝50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）
A．5：2 B．2：5 C．4：25 D．25：4
【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图，
∵OA=20cm，OA′=50cm，
∴ = = =
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比= =2:5.
故答案为：B.
【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可.
3．（2019九下·台州期中）两个人的影子在两个相反的方向，这说明（ ）
A．他们站在阳光下 B．他们站在路灯下
C．他们站在路灯的两侧 D．他们站在月光下
【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：根据两个人的影子在两个相反的方向，则一定是中心投影；且两人同在光源两侧.故答案为：C.
【分析】由平行投影中影子的长度取决于物体的长度，中心投影中影子的长度和方向不仅与物体的长度有关，而且还要看物体到光源的距离可以得出本题结论.
4．下面属于中心投影的是( )
A．太阳光下的树影 B．皮影戏
C．月光下房屋的影子 D．海上日出
【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有B选项得到的投影为中心投影．
故答案为：B．
【分析】把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影，根据定义即可判断出答案。
5．下列命题中真命题的个数为（ ）
①正方形的平行投影一定是菱形；②平行四边形的平行投影一定是平行四边形；③三角形的平行投影一定是三角形.
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：①正方形的平行投影是平行四边形或线段，故①为假命题；
②平行四边形的平行投影一定是平行四边形或线段，故②为假命题；
③三角形的平行投影一定是三角形或线段，故③为假命题。
故答案为：D。
【分析】由于投影线的方向不确定，一个物体的投影图形会随着投影线的方向变化而变化。
6．当投影线由上到下照射水杯时，如图所示，那么水杯的正投影是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：投影线的方向是从上往下，因为杯口和杯底是圆，所以能看到一个圆和一条小线段。
故答案为：D。
【分析】由投影线的照射方向，可从向上往下看水杯得到图形。
7．当棱长为20的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为（ ）
A．20 B．300 C．400 D．600
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：平行投影得到的图形是一个正方形，而且棱长为20，则面积为20×20=400。
故答案为：C。
【分析】因为正方体的某个面平行于投影面，此时的正投影得到的图形形状恰好是该正方体的一个面的大小。
8．太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是（ ）
A．与窗户全等的矩形 B．平行四边形
C．比窗户略小的矩形 D．比窗户略大的矩形
【答案】A
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为投影面（墙）与矩形窗户平行，
所以太阳光照射的影子与原来的相同。
故答案为A。
【分析】当投影面与平面图形是平行时，影子与原图形大小一样。
9．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子( )
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】根据光源是由远到近的过程和中心投影的特点可得：小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短，
故答案为：A．
【分析】该投影是中心投影， 小亮从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处 的过程中，光源是由远到近的过程，根据中心投影的特点，小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短。
10．正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（ ）
A．正方形 B．平行四边形或线段
C．矩形 D．菱形
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为太阳光线是平行光线，
当正方形竖着放置在投影面的上方时，所得到投影的图形是线段；
当正方形不是竖着放置在投影面的上方时，因为正方形一组对边平行且相等，则在地面上形成的投影相对的边平行且相等，是平行四边形．
故一定是平行四边形或线段。
故答案为B.
【分析】由于太阳光线照射的方向不一样所得到投影也不一样，投影可以是正方形，平行四边形，矩形，菱形，线段。
二、填空题
11．小明的身高是 米，他的影长是 米，同一时刻古塔的影长是 米，则古塔的高是 米．
【答案】
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设古塔的高为x米．由题意得： ，解得：x=14.4．故答案为：14.4．
【分析】根据同一时刻，同一地点，同一平面，不同物体的长度与影长成比例即可建立方程，求解即可。
12．一个长方形的正投影的形状、大小与原长方形完全一样，则这个长方形 投影面；一个长方形的正投影的形状、大小都发生了变化，则这个长方形 投影面.
【答案】//；不平行于
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：长方形与投影面平行时，正投影不改变大小；
当长方形与投影面不平行时，正投影的形状将会改为，可能为线段，平行四边形。
故答案为：//；不平行于
【分析】长方形的正投影与投影面的相对位置的不同，得到的正投影的大小也不一样。长方形与投影面的特殊的相对位置有：互相平行，互相垂直。平行时，正投影与原长方形形状大小一样；其他相对位置时，正投影的形状大小将会改变。
13．皮影戏中的皮影是由 投影得到.
【答案】中心
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：中心投影的定义：由同一点出发的投影线所形成的投影线叫做中心投影。
皮影是由灯光发出的线所形成的投影。
故答案为：中心。
【分析】由平行投影和中心投影的定义判断即可。
14．（2022九下·长沙开学考）如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为 m.
【答案】9.6
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x（m），则可列比例式为 ，解得x＝9.6（m）.
故答案为：9.6.
【分析】设旗杆的高度为xm，根据相同时刻的物高与影长成比例可得关于x的方程，求解即可.
15．（2021九下·江西月考）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树 的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子离 为2m，那么这棵大树高 m．
【答案】9
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：延长AD交BC延长线于E，
根据同一时刻影长与物高成比例可得CE：CD=1：1.4，
∵CD=2m，
∴CE= m，
∴BE=BC+CE=5+ = m，
∴BE：AB=1:1.4，
∴AB=9m．
故答案为：9．
【分析】根据同一时刻影长与物高成比例，先求出CE，再求AB即可．
16．（2020九下·郑州期中）乐乐同学的身高为 ，测得他站立在阳光下的影长为 ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为 ，那么乐乐竖直举起的手臂超出头顶的长度约为 .
【答案】40
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如下图，AB为乐乐身高，BD是乐乐手臂超出头顶部分，AC是乐乐站立在阳光下的影长，AE是乐乐举起手臂后的影长
根据题意，AC=83cm，AB=166cm，AE=103cm
∵是阳光照射的影长，∴CB∥ED
∴∠BCA=∠E
∴tan∠BCA=tan∠E，即：
解得：BD=40
故答案为：40.
【分析】根据影长的性质得出CB∥ED，然后根据平行线分线段成比例的性质列式求出BD即可.
三、解答题
17．（2022九下·泾阳月考）如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射人室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5m，AC在地面的影长CM=4.5m，求窗户的高度AB．
【答案】解：∵BN∥AM，
∴∠CBN=∠A，∠CNB=∠M，
∴△CBN∽△CAM，
∴ 即
解得：CA=3，
∴AB=3-1=2，
答：窗户的高度AB为2m．
【知识点】相似三角形的性质；平行投影
【解析】【分析】阳光可看作一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AE仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形的性质可求出AC的长，进而求出AB的长即窗户的高度.
18．（2020九下·越城期中）如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，求路灯的高.
【答案】解：如图，在Rt△CDE中，CD＝DE＝1.8m，
在Rt△MNF中，MN＝NF＝1.5m，
∵∠CDE＝∠MNF＝90°，
∴∠E＝∠F＝45°，
∴AB＝EB＝BF，
∴DB＝AB﹣1.8，BN＝AB﹣1.5，
∵DN＝2.7m，
∴2AB﹣1.8﹣1.5＝2.7，
∴AB＝3（m），
∴路灯的高为3m.
【知识点】中心投影
【解析】【分析】在Rt△MNF中，MN＝NF，由等腰直角三角形的性质可得∠E＝∠F＝45°，AB＝EB＝BF，于是DB和BN可用含AB的代数式表示出来，再根据DN=BD+BN可得关于AB的方程，解方程可求解.
19．（2020九下·广州月考）如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆AB的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为4 米，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？
【答案】解：延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E，
∵CD 米，∠DCE=45°，
∴DE=CE=CD =4，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴ ，解得EF=2DE=8，
∴BF=10+4+8=22，
∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴△EDF∽△BAF，
∴ ，即 ，
∴AB=11米．
答：旗杆的高度为11米．
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】 延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E， 证出 △EDF∽△BAF， 再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
20．如图，两幢楼高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼投在乙楼上的影子的高度．（结果精确到0.01， ≈1.732， ≈1.414）
【答案】解：如图，延长MB交CD于E，连接BD，
由于AB=CD=30m，AB⊥AC，CD⊥AC,
∴四边形ACDB是矩形，
∴NB和BD在同一直线上，∠DBE=∠MBN=30°
∴AC=BD=24m，∠BDE=90°，
在Rt△BED中tan30°= ，
DE=BD tan30°=24× ，
∴CE=30﹣8 ≈16.14(m)，
答：甲楼投到乙楼影子高度是16.14m．
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；平行投影
【解析】【分析】 如图，延长MB交CD于E，连接BD， 首先判断出 四边形ACDB是矩形， 根据矩形的性质得出 AC=BD=24m，∠BDE=90°， 进而根据平角的定义判断出 NB和BD在同一直线上，根据对顶角相等得出∠DBE=∠MBN=30° ， 在Rt△BED中 ，根据正切函数的定义，及特殊锐角三角函数值，由 DE=BD tan30° 算出DE，从而得出答案。
21．小亮在广场上乘凉，如图所示的线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯.
（1）请在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子；
（2）如果灯杆长PO=12 m，小亮身高AB=1.6 m，小亮与灯杆的距离BO=13 m，请求出小亮影子的长度.
【答案】（1）解：如图：连结PA并延长，交直线OB于点C，则线段BC就是小亮在照明灯P照射下的影子.
（2）解：在△CAB和△CPO中，∵∠ACB=∠PCO，∠ABC=∠POC=90°，
∴△CAB∽△CPO，
∴ ，即 = ，解得：BC=2 m.
答：小亮影子的长度为2 m.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）连接物体和它影子的顶端的直线必定经过点光源；由此即可作出图形.
（2）根据相似三角形的判定得△CAB∽△CPO，再由相似三角形性质对应边成比例可得出方程，解之即可得出答案.
22．如图，某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上.
（1）请你在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF；
（2）若AB=5米，CD=3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设此时木杆AB的影长BF为x米，
依题可得： = ，解得x= .
答：此时木杆AB的影长是 米.
【知识点】平行投影
【解析】【分析】（1）根据木杆CD的影长不落在广告墙上，可画出太阳光线CE，再由太阳光线是平行的，可画出木杆AB的影长BF.
（2）根据平行投影的特点：同一时刻，物体的高和影子长成比例即可解答.
23．如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.
（1）球在地面上的影子是什么形状
（2）当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化
（3）若白炽灯到球心的距离是1 m，到地面的距离是3 m，球的半径是0.2 m，则球在地面上影子的面积是多少
【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.
（2）解：当把白炽灯向上平移时，影子会变小.
（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，在Rt△OAE中，∴OA= = = (m)，∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，
∴△OAH∽△OEA，∴，
∴OH= == (m)，又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，
∴△OAE∽△AHE，∴ = ，
∴AH= == (m).依题可得：△AHO∽△CFO，∴，∴CF= = (m)，∴S影子=π·CF2=π· = π=0.375π(m2).答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.
（2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.
（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.
24．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4.2m，请你计算DE的长．
【答案】（1）如图所示：EF即为所求；
（2）∵AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m，EF=4.2m，
∴=，则=，
解得：DE=7，
答：DE的长为7m．
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】（1）利用平行投影的性质得出DE在阳光下的投影EF即可；
（2）利用同一时刻物体高度与影长比值相等进而得出答案．
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