图形折叠问题

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图形折叠问题
在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm, AB＝20cm． 点E，F分别为CD，AB的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，求∠DAH的大小及EG的长。
（浙教版九下P17题6）
20
10
20
图形折叠问题既考查学生的动手能力，又考查了想象能力，往往与全等、相似、面积、对称性质联系在一起．涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。
二 解决翻折问题
我们把翻折问题分为两类：“依点翻折”和“依线翻折”。
一 认识翻折问题
1.关注“两点一线”
在翻折过程中，我们应关注“两点”，即对称点，思考自问“哪两个点是对称点 ” ；还应关注“一线”，即折线，也就是对称轴。这是解决问题的基础。
2. 联想到重合与相等遇到这类问题，我们应马上联想到“重合的线段相等,重合的角相等”，这是解决问题的关键。
图形的翻折是图形的运动形式之一
例1.将矩形ABCD纸对折，设折痕为EF，再把B点折到折痕线EF上（见图点B′），若 ，则EB′=____．
B
A
　B′
G
　D
　 C
E
F
例2、有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．
请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．
图1
图2
p
（1）△BMP是等边三角形．
证明：连结AN, ∵EF垂直平分AB ∴AN ＝ BN.由折叠知 :AB ＝ BN
∴AN ＝ AB ＝ BN ∴△ABN为等边三角形
∴∠ABN ＝60° ∴∠PBN ＝30° 又∵∠ABM ＝∠NBM ＝30°，∠BNM ＝∠A ＝90°
∴∠BPN ＝60°,∠MBP ＝∠MBN ＋∠PBN ＝60°
∴∠BMP ＝60°∴∠MBP ＝∠BMP ＝∠BPM ＝60°∴△BMP为等边三角形 ．
例2、（2）在图2中，若AB＝a，BC＝b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？
图1
图2
p
a
b
（3）设矩形ABCD的边AB＝2，BC＝4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM/为y=kx，当∠M/BC＝60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？
例2、第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．
图1
图2
图3
A/
H
2
例3. （2007年济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.
　(1)求证：△PBE∽△QAB；
　(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；
　(3)如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？
例4.如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D落在边BC上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE=
A
B
C
D
F
E
根据折叠的规律：可证△ADE≌△AFE,从而
∠DAE=∠FAE
=(90°--60°)÷2
= 15°
15°
60°
15°
15°
A
B
C
D
F
E
透过现象看本质:
折叠
轴对称
实质
轴对称性质：
A
D
E
F
1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.
2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
由折叠可得：
1.△AFE≌△ADE
2.AE是DF的中垂线
例5.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm, BC=10cm ,求EC的长
分析：设EC=x,
则EF=DE=8-x .
在Rt△ABF中，AF=AD=10，AB=8，
所以BF=6，FC=4
Rt△POE∽Rt△BPA
解得EC=3(cm)
A
B
C
D
F
E
8
10
10
6
4
3
例6. （08 浙江宁波）如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸的短边长为a .
（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：
第一步 将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B’处，铺平后得折痕AE；
第二步 将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．
则AD:AB的值是 ，AD,AB的长分别是 ， ．
A
B
C
D
F
E
B’
4开
2开
8开
16开
图1
图2
a
（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．
相等，比值为
例7. （2007年台州市）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕 ，且 (1)判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；
(2)求直线CE与x轴交点P的坐标；
P
6X
8X
3X
4X
10X
5X
5X
关键是找出对称点，并画出来。
例8 . 08湖州已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数 的图象与AC边交于点E．
请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（ ,3）
(4, )
3
例9.在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为6，两边OA、OC分别落在坐标轴上，点E在射线BC上，且BE=2CE，将△ABE沿直线AE翻转，点B落在点B1处。
（1）请在图中作出点B1及翻转后图形.
0
C
B
A
y
x
0
C
B
A
y
E
B1
（2）对于图1，若E在BC上，求点B1的坐标。
两种情况
F
利用相似，列出方程求解
E
0
C
B
A
y
B1
x
图1
图2
6
4
a
6-a
4
6
例10. （07湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
图1
解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA． ∴Rt△POE∽Rt△BPA．
∴y=
(0＜x＜4)
∴
即
x
y
4-x
3
(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
图2
(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰直角三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．
故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．
则
∴
y=
例11 . 直线 分别与x轴、y轴交于B、A两点. 把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，再把△BOC以直线BC为轴翻折得△BCE，求点E的坐标.
由（1）知 OA＝1， OB＝ ，
∴ ∠OBA＝30°. ∵ △ABC和△ABO关于AB成轴对称， 　 ∴ BC＝BO＝ ，∠CBA=∠OBA＝30°. ∴ ∠CBO＝60°.
过点C作CM⊥x轴于M，如图，则在Rt△BCM中，
.
图形翻折实际上是轴对称变换，
变换前后的对应线段相等、对应角相等。
常常与角平分线、中线、线段中垂线、等腰三角形的高相联系。解决翻折的动态几何问题关键是结合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有关知识，全面寻找图形运动过程中的不变量。
A
B
C
D
例12. （08山东东营）：将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（ ）
　
C
例13．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（ ）
C
例14.如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（　　）
E
D
C
B
A
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
A．4 B．6 C．8 D．10
６
６
４
２
２
C
４
４
图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点经验：
1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形； 2 ．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；
3．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而 进一步发现其中的数量关系； 4．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。
谢谢大家，欢迎批评指正！