一元二次方程整章学案

一元二次方程
一元二次方程
一：基本知识点
一元二次方程概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
满足条件：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
二.例题
例1.判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0
例2.（1）要使是一元二次方程，则k=_______.
（2）已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。
（3）已知关于x的方程。问
（i）当k为何值时，方程为一元二次方程？
（ii）当k为何值时，方程为一元一次方程？
例3．(1)求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
(2)方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
(3)当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程

例4．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
例5.(1)若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值
(2)关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值
例6．用以前所学的知识求出下列方程的根
（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0
三.巩固练习
选择题
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）．
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）．
A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数
4．方程x（x-1）=2的两根为（ ）．
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2
5．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）．
A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2= C．x1=a，x2= D．x1=a2，x2=b2
6．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则=（ ）．
A．1 B．-1 C．0 D．2
填空题
1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
2．一元二次方程的一般形式是__________．
3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．
4．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
5．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
6．方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．
综合提高题
1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？
2．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
3．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
4．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．
一元二次方程的解法
2.1 直接开平方法
一、基本知识点
问题1．填空
（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．
问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ．
问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？
二、例题
例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1
例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
例题3：如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x，BQ=2x
依题意，得：x·2x=8
x2=8
根据平方根的意义，得x=±2
即x1=2，x2=-2
可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．
所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2．
例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．
那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
把（1+x）当成一个数，配方得：
（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56
x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6
方程的根为x1=10%，x2=-3.1
因为增长率为正数，
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
三、巩固练习
选择题
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
2．方程3x2+9=0的根为（ ）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
3．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（ ）．
A．（x-）2=，x=± B．（x-）2=-，原方程无解
C．（x-）2=，x1=+，x2= D．（x-）2=1，x1=，x2=-
填空题
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
综合提高题
1．解关于x的方程（x+m）2=n．
2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？

2.2 配方法
一、基本知识点
解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7
上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=±或mx+n=±（p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?
问题：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？
（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．
（2）不能．
既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：
x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9
左边写成平方形式 → （x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2，x2= -8
可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
二、例题
例1．用配方法解下列关于x的方程
（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0 （3）3x2-6x+4=0 （4）（1+x）2+2（1+x）-4=0

例2．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．
解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
根据题意，得：（8-x）（6-x）=××8×6
整理，得：x2-14x+24=0
（x-7）2=25即x1=12，x2=2
x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．
所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
例3。用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．
解：设6x+7=y
则3x+4=y+，x+1=y-
依题意，得：y2（y+）（y-）=6
去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72
y2（y2-1）=72， y4-y2=72
（y2-）2=
y2-=±
y2=9或y2=-8（舍）
∴y=±3
当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-
当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-
所以，原方程的根为x1=-，x2=-
例3求证:无论y取何值时,代数式-3y2+8y-6恒小于0.
三、巩固练习
选择题
1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）．
A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
4．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ）．
A．（x-）2= B．（x-）2=0
C．（x-）2= D．（x-）2=
5．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．
A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（x-a）2=a
6．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）．
A．1 B．2 C．-1 D．-2
填空题
1．方程x2+4x-5=0的解是________．
2．代数式的值为0，则x的值为________．
3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．
4．如果x2+4x-5=0，则x=_______．
5．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．
6．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．
综合提高题
1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
2．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．

3．用配方法解方程．
（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x
4．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值．
5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．

2.3 公式法
一。基本知识点
用配方法解方程
ax2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0
(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵4a2>0，4a2＞0, 当b2-4ac≥0时≥0
∴（x+）2=()2
直接开平方，得：x+=± 即x=
∴x1=，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
公式的理解
由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
总结：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
二．例题
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 （4）4x2-3x+2=0

例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①或②或③


三、巩固练习
选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．
A．x= B．x=
C．x= D．x=
2．方程x2+4x+6=0的根是（ ）．
A．x1=，x2= B．x1=6，x2=
C．x1=2，x2= D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
2.4 判别一元二次方程根的情况
一、基本知识点
方程
b2-4ac的值
b2-4ac的符号
x1、x2的关系
（填相等、不等或不存在）
2x2-3x=0
3x2-2x+1=0
4x2+x+1=0
请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．
（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．
当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．
二．例题
例1．不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0


例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．


三、巩固练习
选择题
1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（ ）．
A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解
B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解
C．∵b2-4ac=8，∴方程有解
D．∵b2-4ac=8，∴方程无解
2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（ ）．
A．a=0 B．a=2或a=-2
C．a=2 D．a=2或a=0
3．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（ ）．
A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数
填空题
1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．
2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．
3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）=0的根的情况是________．
综合提高题
1．不解方程，试判定下列方程根的情况．
（1）2+5x=3x2 （2）x2-（1+2）x++4=0
2．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．
3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．
4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率
2.5 因式分解法
一。基本知识点
下面两个方程都可以写成：
（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．（以上解法是如何实现降次的？）
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
二．例题
例1．解方程
（1）10x-4.9 x2 =0 （2）x（x-2）+x-2 =0 (3)5x2-2x-=x2-2x+
(4)(x-1) 2 =(3-2x) 2
（思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？）

例2．已知9a2-4b2=0，求代数式的值．
分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．
例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0
分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．
解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）
∴（x-4）（x+1）=0
∴x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1
（上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．）

三、巩固练习
选择题
1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x 两边同除以x，得x=1
2．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（ ）．
A．- B．-1 C． D．1
填空题
1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．
2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．
3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．
综合提高题
1．用因式分解法解下列方程．
（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0 （3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0
2．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．
3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）
一元二次方程根与系数的关系
一。基本知识点
方 程
x1
x2
x1+x2
x1. x2
x2-2x=0
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
（1）关于x的方程 x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？
（2）关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1， x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
解下列方程，并填写表格：
方 程
x1
x2
x1+x2
x1. x2
2x2-7x-4=0
3x2+2x-5=0
5x2-17x+6=0
小结:.根与系数关系：
（1）关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。)
（2）形如的方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论。
即： 对于方程 ax2+bx+c=0（a≠0）
∵ ∴
∴ ，
（可以利用求根公式给出证明）
例题
例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：



例2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？


例3：已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）
例4：已知方程的一个根是 -3，求另一根及k的值.
变式一：已知方程的两根互为相反数，求k；
变式二：已知方程的两根互为倒数，求k；
例5. 已知是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值.



小结：运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．
三、巩固练习
1.已知方程 的一个根是1，求另一根及m的值.
已知方程的一个根为，求另一根及c的值.
3.已知关于x的方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值.
4.已知两数和为8，积为9，求这两个数.
5. x2-2x+6=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，x1x2=6.是否正确？
6.已知方程的两个根为，求的值.
7.若m，n是方程的两个实数根,求代数式的值.
8.m为何值时,（1）方程有两个不相等的正数根？
（2）方程的两根异号？
9.已知x1， x2是方程5 x2-7x+2=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值.
(1) x12+x22 (2)( x1+x2)2 (3)
10.若关于x的方程的两根是，且满足 ，求实数m的值.
实际问题与一元二次方程
一．基本知识点
探究两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为 5000(1-x)2 元,依题意得
5000（1-x）2=3000
解方程,得
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 比较:两种药品成本的年平均下降率
(22.5%,相同)
思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?
（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）
小结：类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－)
例题
例1.（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?
（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．
(3)公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为x
则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320
整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0
解得：x1=-2（不符，舍去），x2==0.125=12.5%
答：所求的年利率是12．5%．
例3．如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则：）

分析：（1）设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．
（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．
解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．
则：（6-x）·2x=8
整理，得：x2-6x+8=0
解得：x1=2，x2=4
∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．
（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有
∵AB=6，BC=8
∴由勾股定理，得：AC==10
∴DQ=
则：（14-y）·=12.6
整理，得：y2-18y+77=0
解得：y1=7，y2=11
即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=2y-8=6），使△PCD的面积为12.6cm2．
经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，
∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在． ∴本小题只有一解y1=7．
例4．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间?
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?
分析：（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为=10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间．
（2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出x的值．
解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是=10（m/s）
那么从刹车到停车所用的时间是=2.5（s）
（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20
从刹车到停车每秒平均车速减少值是=8（m/s）
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s
则这段路程内的平均车速为=（20-4x）m/s
所以x（20-4x）=15
整理得：4x2-20x+15=0
解方程：得x=
x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s）
答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．
例5．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?
分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．
（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]
（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．
解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元
（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000
（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000
解得：x1=80，x2=60
当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．
当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．
三．巩固练习
选择题
1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）．
A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
2．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．
A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元
C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元
3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ ）．
A． B．p C． D．
4.直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）．
A． B．5 C． D．7
5．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（ ）．
A．12% B．15% C．30% D．50%
填空题
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________．
3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．
4．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下：
时间t（s）
1
2
3
4
……
距离s（m）
2
8
18
32
……
写出用t表示s的关系式为_______．
综合提高题
为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量．
2．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．
（1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（用代数式来表示）（注：年获利率=×100%）
（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．
3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每个车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．
（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a、b的代数式表示）
（2）若一名检验员1天能检验b个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?