2022-2023学年浙教版数学七年级上册6.9直线的相交 课后测验
一、单选题
1．（2021七上·石景山期末）如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中（ ）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：如图所示：
过点P作PH⊥AB于点H，PH的长就是该运动员的跳远成绩，
故答案为：D．
【分析】根据所给的图片，求出运动员跳远成绩即可。
2．（2021七上·惠山期中）过点A作直线AB的垂线，符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】解：A、 没过点A，故此选项A不正确；
B、 没过点A，半径选取不正确，故选项B不正确；
C、 过点A，符合要求的作图痕迹，故选项C正确；
D、 过点B，没过点A，故选项D不正确.
故答案为：C.
【分析】根据尺规作图要求，过点A，选取关于点A对称的两点，以适当的长度为半径画弧，两弧交于两点，过A与两点中一点画直线，根据以上要求对各选项分别判断，即可作答.
3．（2020七上·重庆月考）在 中， ， ，过点C作 ，垂足为P，则CP长的最大值为
A．5 B．4 C．3 D．6
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可知： ，
长的最大值为3.
故答案为：C.
【分析】根据垂线段最短的性质进行解答.
4．（2020七上·奉化期末）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，这其中蕴含的数学道理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．两点之间直线最短
【答案】C
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，这其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短，
故答案为：C．
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答即可．
5．（2020七上·重庆月考）如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC.若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝80°，
∴∠1＝∠2＝40°，
∴∠BOC＝140°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠3＝70°.
故答案为：D.
【分析】由对顶角相等可得∠1＝∠2，进而根据∠1+∠2＝80°可得∠1度数，由∠BOC为∠1邻补角可得∠BOC的度数，最后由角平分线的定义可得 ∠3的度数.
6．（2021七上·朝阳月考）下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由题意得PQ⊥a，
P到a的距离是PQ垂线段的长，
故答案为：C．
【分析】根据点到直线的距离的定义逐项求解即可。
7．（2020七上·宽城期末）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠1=∠5
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】A、∠1、∠2互为对顶角，对顶角相等，故A符合题意；
B、根据三角形外角定理，∠2=∠3+∠A，∠2>∠3，故不符合题意；
C、根据三角形外角定理，∠1=∠4+∠5，∠2=∠3+∠A，∠3和∠4不一定相等，故不符合题意；
D、根据三角形外角定理，∠1=∠5+∠4，∠1>∠5，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据对顶角的性质和三角形外角的性质逐一进行判断即可.
8．（2020七上·丰顺期末）如图，直线 与 相交于点O， ，若 ，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOE=140°，∠AOE和∠2是邻补角，
∴∠2=180°-140°=40°，
∵∠1=∠2，∴∠BOD=2∠2=80°，
又∵∠BOD和∠AOC是对顶角
∴∠AOC=∠BOD=80°．
故答案为：C．
【分析】根据邻补角的定义，可得∠2=180°-140°=40°，由∠BOD=∠1+∠2=2∠2，从而求出∠BOD=80°，根据对顶角相等可得∠AOC=∠BOD，从而求出结论.
9．（2020七上·江岸期末）在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为
，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为
，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为
条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为
，若
，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；相交线
【解析】【解答】根据题意得，
2条直线最多将平面分成4个区域
，
3条直线最多将平面分成7个区域
，
4条直线最多将平面分成11个区域
，
5条直线最多将平面分成16个区域
则
，
，
，
经检验n=20是原方程的根
故答案为：C.
【分析】 根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可求解．
10．（2022七上·贵港期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠EOF＝90°.对于下列结论：①∠BOC＝2∠AOE；②OF平分∠BOD；③∠AOE是∠BOF的余角；④∠AOE是∠COE的补角.其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE，
∴∠BOC＝2∠AOE，故①正确；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD＋∠DOF＝90°，∠AOE＋∠BOF＝90°，即∠AOE是∠BOF的余角，故③正确；
∴∠FOD＝∠BOF，
∴OF平分∠BOD，故②正确；
∵∠AOE＝∠DOE，∠DOE＋∠COE＝180°，
∴∠COE＋∠AOE＝180°，即∠AOE是∠COE的补角，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，根据角平分线的概念可得∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE，据此判断①；根据平角的概念可得∠AOE＋∠BOF＝90°，据此判断③；易得∠FOD＝∠BOF，据此判断②；根据∠AOE＝∠DOE，∠DOE＋∠COE＝180°，可得∠COE＋∠AOE＝180°，据此判断④.
二、填空题
11．（2021七上·诸暨期末）已知∠AOC和∠BOD是一组对顶角，若∠AOC＝40°，则∠BOD＝ ．
【答案】40°
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC和∠BOD是一组对顶角，∠AOC＝40°，
∴∠BOD=∠AOC＝40°.
【分析】根据对顶角相等得出∠BOD=∠AOC＝40°，即可得出答案.
12．（2021七上·延庆期末）如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上．在线段PA，PB，PC，PD中，最短的线段是 ，理由是 ．
【答案】PC；垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵，PA，PB，PD都不垂直于AD，
∴由垂线段最短可得，最短的线段是PC，
理由是：垂线段最短．
故答案为：PC；垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。
13．（2021七上·鼓楼期末）如图，直线 、 相交于点 ，将量角器的中心与点 重合，发现表示 的点在直线 上，表示 的点在直线 上，则 ．
【答案】75
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
，
．
故答案为：75．
【分析】利用角的和差求出∠2的度数，根据对顶角相等可得∠1=∠2，据此即得结论.
14．（2021七上·伊川期末）如图，直线 、 相交于点O， 平分 ，若 ，则 的度数为 .
【答案】72°
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2×36 =72 ，
∵∠BOC与∠AOE是对顶角，
∴∠BOC的度数为72 ，
故答案为：72 .
【分析】根据∠BOC与∠AOE是对顶角求解即可. 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角·
15．（2021七上·海曙期末）如图， 直线 与直线 相交于点 ， 已知 ，则 .
【答案】120°
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：120°
【分析】由垂直，得到，由对顶角相等，得到，从而得到结果。
16．（2020七上·枣阳期末）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分 ，若 ，则 等于 .
【答案】142°
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BOD =76°，
∴∠AOC=∠BOD =76°，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM= ∠AOC= ×76°=38°，
∴∠BOM=180°-∠AOM=180°-38°=142°.
故答案为142°.
【分析】根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解.
17．（2019七上·利川月考）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＋∠BOD＝100°，则∠AOD等于 度.
【答案】130
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOD，且∠AOC+∠BOD=100°，
∴∠AOC=50°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=130°.
故答案为：130.
【分析】由对顶角相等可得∠AOC，由邻补角定义可得∠AOD。
18．（2019七上·广饶期中）如图,△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=70°,AD平分线∠BAC．过点D作DE⊥AB于点E,则∠ADE= .
【答案】60°
【知识点】垂线；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=60°，
又∵AD平分线∠BAC，
∴∠BAD=30°，
又∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°－30°＝60°.
故答案是：60°．
【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC＝60°，再根据角平分线以和垂线的定义，即可求到∠ADE的度数．
19．（2019七上·宝应期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠BOE=26°30′.则∠AOC= .
【答案】53°
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE=26°30′，
∴∠BOD=2∠BOE =53°，
∴∠AOC=53°.
故答案为：53°.
【分析】首先利用角平分线的定义得出∠BOD=2∠BOE，再利用对顶角的定义得出答案.
三、作图题
20．（2021七上·南关期末）按下面的要求画图，并回答问题：
（1）如图①，点M从点O出发向正东方向移动4个格，再向正北方向移动3个格．画出线段OM，此时M点在点O的北偏东 °方向上（精确到1°），O、M两点的距离是 cm．
（2）根据以下语句，在“图②”上边的空白处画出图形．
画4cm长的线段AB，点P是直纸AB外一点，过点P画直线AB的垂线PD，垂足为点D．你测得点P到AB的距离是 cm．
【答案】（1）53；5
（2）3
【知识点】钟面角、方位角；点到直线的距离
【解析】【解答】解：（1）如图，线段即为所求．
此时点在点的北偏东方向上，、两点的距离是，
故答案为：53，5；
（2）如图，线段和垂线即为所求．
测得点到的距离是，
故答案为：3．
【分析】（1）根据要求先找出点M，再连接并根据方向角求解即可；
（2）根据点到直线的距离的定义求解即可。
21．（2021七上·苏州期末）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行知识探索.
（回忆）
（1）如图，A、B是河l两侧的两个村庄.现要在河l上修建一个抽水站C，使它到A、B两村庄的距离的和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由.
（2）（探索）
如图，A、B两个村庄在一条笔直的马路的两端，村庄 C在马路外，要在马路上建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，请在图中画出点O的位置，并说明理由.
（3）如图，A、B、C、D四个村庄，现建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，请在图中画出点O的位置，并说明理由.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）理由：两点之间线段最短；
如图所示：
理由：点到直线的距离垂线段最短；
（3）解：如图所示：
理由：两点之间线段最短（到A、C最短在AC上；到B、D最短在BD上）.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；点到直线的距离
【解析】【分析】（1）根据两点之间距离线段最短，直接连接A、B点，交直线于l于点C，点C即为所求；
（2）根据点到直线距离垂线段最短，直接过点C作线段AB的垂线，交AB于点C，点C即为所求；
（3）分别连接A、C和B、D线段，交于点O，根据两点之间距离线段最短，此时AO+BO+CO+DO最小，O点即为所求.
四、解答题
22．（2020七上·红桥期末）直线 ， 相交于点O， 平分 ， ， ，求 的度数．
解：∵ ，
∴ +∠ ▲ = ▲ °．
∵直线 ， 相交于点O
∴ 与∠ ▲ 是对顶角
∴ ▲ = ▲ °．
∵ 是 的平分线
∴ ▲ = ▲ °．
【答案】解：∵ ， ，
∴ + =106°．
∵直线 ， 相交于点O，
∴ 与 是对顶角，
∴ =106°．
∵ 是 的平分线，
∴ =53°．
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用平角的意义、角平分线的定义以及对顶角相等可得出答案．
23．（2022七上·宝安期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转α°（0°<α<180°） ．
（1）如图2，若α=26°，则∠BOP= ，∠AOM+∠BOQ= ．
（2）若射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC=β°
①若△AOB旋转到图3的位置，∠BON的度数为多少？（用含β的代数式表示）
②△AOB在旋转过程中，若∠AOC=2∠AOM，求此时β的值．
【答案】（1）64°；180°
（2）①∵∠MOP=90°，∠POC=β°，
∴∠MOC=90°-β°，
∵OC是∠BOM的角平分线，
∴∠MOB=2∠MOC=180°-2β°，
∴∠BOP=90°-∠MOB=90°-（180°-2β°）=2β°-90°，
∵∠PON=90°，
∴∠BON=∠BOP+∠PON=2β°-90°+90°=2β°；
②如图，当OB旋转到OP的左侧时，
∵OC是∠BOM的角平分线，
∴∠COB=∠MOC，
∵∠AOC=2∠AOM，
∴∠AOM=∠MOC，
∴∠COB=∠MOC=∠AOM，
∵∠COB+∠MOC+∠AOM=90°，
∴∠COB=∠MOC=∠AOM=30°，
∴∠POC=β°=90°-∠MOC=90°-30°=60°，
②如图，当OB旋转到OP的右侧时，
设∠AOM=x，
∵∠AOC=2∠AOM=2x，
∴∠MOC=3∠AOM=3x，
∵∠COB+∠MOC+∠AOM=90°，
∴∠COB=∠MOC=∠AOM=30°，
∵OC是∠BOM的角平分线，
∴∠COB=∠MOC=3x，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=5x=90°，
∴x=18°，
∴∠MOC=3x=54°，
∴∠POC=β°=90°-∠MOC=90°-54°=36°，
综上，β的值为60°或36°.
【知识点】垂线；旋转的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠MOP=90°，α=26°，
∴∠BOP=90°-26°=64°，
∵∠AOB=∠MOQ=90°，
∴∠AOM=90°-∠BOM，∠BOQ=90°+∠BOM，
∴∠AOM+∠BOQ=90°-∠BOM+90°+∠BOM=180°，
故答案为：64°；180°；
【分析】（1）根据题意得出∠BOP=90°- α，∠AOM=90°-∠BOM，∠BOQ=90°+∠BOM，即可得出∠BOP=64°，∠AOM+∠BOQ=180°；
（2）①根据角平分线的定义得出∠COB=∠MOC=∠AOM，再根据∠COB+∠MOC+∠AOM=90°，
得出∠MOC=30°，即可得出∠POC=β°=90°-∠MOC=60°；
②分两种情况讨论：当OB旋转到OP的左侧时，当OB旋转到OP的右侧时，分别求出∠MOC的度数，再利用∠POC=β°=90°-∠MOC即可得出答案.
1 / 12022-2023学年浙教版数学七年级上册6.9直线的相交 课后测验
一、单选题
1．（2021七上·石景山期末）如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中（ ）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
2．（2021七上·惠山期中）过点A作直线AB的垂线，符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020七上·重庆月考）在 中， ， ，过点C作 ，垂足为P，则CP长的最大值为
A．5 B．4 C．3 D．6
4．（2020七上·奉化期末）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，这其中蕴含的数学道理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．两点之间直线最短
5．（2020七上·重庆月考）如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC.若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
6．（2021七上·朝阳月考）下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020七上·宽城期末）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠1=∠5
8．（2020七上·丰顺期末）如图，直线 与 相交于点O， ，若 ，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2020七上·江岸期末）在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为
，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为
，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为
条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为
，若
，则
（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022七上·贵港期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠EOF＝90°.对于下列结论：①∠BOC＝2∠AOE；②OF平分∠BOD；③∠AOE是∠BOF的余角；④∠AOE是∠COE的补角.其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2021七上·诸暨期末）已知∠AOC和∠BOD是一组对顶角，若∠AOC＝40°，则∠BOD＝ ．
12．（2021七上·延庆期末）如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上．在线段PA，PB，PC，PD中，最短的线段是 ，理由是 ．
13．（2021七上·鼓楼期末）如图，直线 、 相交于点 ，将量角器的中心与点 重合，发现表示 的点在直线 上，表示 的点在直线 上，则 ．
14．（2021七上·伊川期末）如图，直线 、 相交于点O， 平分 ，若 ，则 的度数为 .
15．（2021七上·海曙期末）如图， 直线 与直线 相交于点 ， 已知 ，则 .
16．（2020七上·枣阳期末）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分 ，若 ，则 等于 .
17．（2019七上·利川月考）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＋∠BOD＝100°，则∠AOD等于 度.
18．（2019七上·广饶期中）如图,△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=70°,AD平分线∠BAC．过点D作DE⊥AB于点E,则∠ADE= .
19．（2019七上·宝应期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠BOE=26°30′.则∠AOC= .
三、作图题
20．（2021七上·南关期末）按下面的要求画图，并回答问题：
（1）如图①，点M从点O出发向正东方向移动4个格，再向正北方向移动3个格．画出线段OM，此时M点在点O的北偏东 °方向上（精确到1°），O、M两点的距离是 cm．
（2）根据以下语句，在“图②”上边的空白处画出图形．
画4cm长的线段AB，点P是直纸AB外一点，过点P画直线AB的垂线PD，垂足为点D．你测得点P到AB的距离是 cm．
21．（2021七上·苏州期末）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行知识探索.
（回忆）
（1）如图，A、B是河l两侧的两个村庄.现要在河l上修建一个抽水站C，使它到A、B两村庄的距离的和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由.
（2）（探索）
如图，A、B两个村庄在一条笔直的马路的两端，村庄 C在马路外，要在马路上建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，请在图中画出点O的位置，并说明理由.
（3）如图，A、B、C、D四个村庄，现建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，请在图中画出点O的位置，并说明理由.
四、解答题
22．（2020七上·红桥期末）直线 ， 相交于点O， 平分 ， ， ，求 的度数．
解：∵ ，
∴ +∠ ▲ = ▲ °．
∵直线 ， 相交于点O
∴ 与∠ ▲ 是对顶角
∴ ▲ = ▲ °．
∵ 是 的平分线
∴ ▲ = ▲ °．
23．（2022七上·宝安期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转α°（0°<α<180°） ．
（1）如图2，若α=26°，则∠BOP= ，∠AOM+∠BOQ= ．
（2）若射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC=β°
①若△AOB旋转到图3的位置，∠BON的度数为多少？（用含β的代数式表示）
②△AOB在旋转过程中，若∠AOC=2∠AOM，求此时β的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：如图所示：
过点P作PH⊥AB于点H，PH的长就是该运动员的跳远成绩，
故答案为：D．
【分析】根据所给的图片，求出运动员跳远成绩即可。
2．【答案】C
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】解：A、 没过点A，故此选项A不正确；
B、 没过点A，半径选取不正确，故选项B不正确；
C、 过点A，符合要求的作图痕迹，故选项C正确；
D、 过点B，没过点A，故选项D不正确.
故答案为：C.
【分析】根据尺规作图要求，过点A，选取关于点A对称的两点，以适当的长度为半径画弧，两弧交于两点，过A与两点中一点画直线，根据以上要求对各选项分别判断，即可作答.
3．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可知： ，
长的最大值为3.
故答案为：C.
【分析】根据垂线段最短的性质进行解答.
4．【答案】C
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，这其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短，
故答案为：C．
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答即可．
5．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝80°，
∴∠1＝∠2＝40°，
∴∠BOC＝140°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠3＝70°.
故答案为：D.
【分析】由对顶角相等可得∠1＝∠2，进而根据∠1+∠2＝80°可得∠1度数，由∠BOC为∠1邻补角可得∠BOC的度数，最后由角平分线的定义可得 ∠3的度数.
6．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由题意得PQ⊥a，
P到a的距离是PQ垂线段的长，
故答案为：C．
【分析】根据点到直线的距离的定义逐项求解即可。
7．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】A、∠1、∠2互为对顶角，对顶角相等，故A符合题意；
B、根据三角形外角定理，∠2=∠3+∠A，∠2>∠3，故不符合题意；
C、根据三角形外角定理，∠1=∠4+∠5，∠2=∠3+∠A，∠3和∠4不一定相等，故不符合题意；
D、根据三角形外角定理，∠1=∠5+∠4，∠1>∠5，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据对顶角的性质和三角形外角的性质逐一进行判断即可.
8．【答案】C
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOE=140°，∠AOE和∠2是邻补角，
∴∠2=180°-140°=40°，
∵∠1=∠2，∴∠BOD=2∠2=80°，
又∵∠BOD和∠AOC是对顶角
∴∠AOC=∠BOD=80°．
故答案为：C．
【分析】根据邻补角的定义，可得∠2=180°-140°=40°，由∠BOD=∠1+∠2=2∠2，从而求出∠BOD=80°，根据对顶角相等可得∠AOC=∠BOD，从而求出结论.
9．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；相交线
【解析】【解答】根据题意得，
2条直线最多将平面分成4个区域
，
3条直线最多将平面分成7个区域
，
4条直线最多将平面分成11个区域
，
5条直线最多将平面分成16个区域
则
，
，
，
经检验n=20是原方程的根
故答案为：C.
【分析】 根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可求解．
10．【答案】D
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE，
∴∠BOC＝2∠AOE，故①正确；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD＋∠DOF＝90°，∠AOE＋∠BOF＝90°，即∠AOE是∠BOF的余角，故③正确；
∴∠FOD＝∠BOF，
∴OF平分∠BOD，故②正确；
∵∠AOE＝∠DOE，∠DOE＋∠COE＝180°，
∴∠COE＋∠AOE＝180°，即∠AOE是∠COE的补角，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，根据角平分线的概念可得∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE，据此判断①；根据平角的概念可得∠AOE＋∠BOF＝90°，据此判断③；易得∠FOD＝∠BOF，据此判断②；根据∠AOE＝∠DOE，∠DOE＋∠COE＝180°，可得∠COE＋∠AOE＝180°，据此判断④.
11．【答案】40°
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC和∠BOD是一组对顶角，∠AOC＝40°，
∴∠BOD=∠AOC＝40°.
【分析】根据对顶角相等得出∠BOD=∠AOC＝40°，即可得出答案.
12．【答案】PC；垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵，PA，PB，PD都不垂直于AD，
∴由垂线段最短可得，最短的线段是PC，
理由是：垂线段最短．
故答案为：PC；垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。
13．【答案】75
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
，
．
故答案为：75．
【分析】利用角的和差求出∠2的度数，根据对顶角相等可得∠1=∠2，据此即得结论.
14．【答案】72°
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2×36 =72 ，
∵∠BOC与∠AOE是对顶角，
∴∠BOC的度数为72 ，
故答案为：72 .
【分析】根据∠BOC与∠AOE是对顶角求解即可. 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角·
15．【答案】120°
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：120°
【分析】由垂直，得到，由对顶角相等，得到，从而得到结果。
16．【答案】142°
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BOD =76°，
∴∠AOC=∠BOD =76°，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM= ∠AOC= ×76°=38°，
∴∠BOM=180°-∠AOM=180°-38°=142°.
故答案为142°.
【分析】根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解.
17．【答案】130
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOD，且∠AOC+∠BOD=100°，
∴∠AOC=50°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=130°.
故答案为：130.
【分析】由对顶角相等可得∠AOC，由邻补角定义可得∠AOD。
18．【答案】60°
【知识点】垂线；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=60°，
又∵AD平分线∠BAC，
∴∠BAD=30°，
又∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°－30°＝60°.
故答案是：60°．
【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC＝60°，再根据角平分线以和垂线的定义，即可求到∠ADE的度数．
19．【答案】53°
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE=26°30′，
∴∠BOD=2∠BOE =53°，
∴∠AOC=53°.
故答案为：53°.
【分析】首先利用角平分线的定义得出∠BOD=2∠BOE，再利用对顶角的定义得出答案.
20．【答案】（1）53；5
（2）3
【知识点】钟面角、方位角；点到直线的距离
【解析】【解答】解：（1）如图，线段即为所求．
此时点在点的北偏东方向上，、两点的距离是，
故答案为：53，5；
（2）如图，线段和垂线即为所求．
测得点到的距离是，
故答案为：3．
【分析】（1）根据要求先找出点M，再连接并根据方向角求解即可；
（2）根据点到直线的距离的定义求解即可。
21．【答案】（1）解：如图所示：
（2）理由：两点之间线段最短；
如图所示：
理由：点到直线的距离垂线段最短；
（3）解：如图所示：
理由：两点之间线段最短（到A、C最短在AC上；到B、D最短在BD上）.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；点到直线的距离
【解析】【分析】（1）根据两点之间距离线段最短，直接连接A、B点，交直线于l于点C，点C即为所求；
（2）根据点到直线距离垂线段最短，直接过点C作线段AB的垂线，交AB于点C，点C即为所求；
（3）分别连接A、C和B、D线段，交于点O，根据两点之间距离线段最短，此时AO+BO+CO+DO最小，O点即为所求.
22．【答案】解：∵ ， ，
∴ + =106°．
∵直线 ， 相交于点O，
∴ 与 是对顶角，
∴ =106°．
∵ 是 的平分线，
∴ =53°．
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用平角的意义、角平分线的定义以及对顶角相等可得出答案．
23．【答案】（1）64°；180°
（2）①∵∠MOP=90°，∠POC=β°，
∴∠MOC=90°-β°，
∵OC是∠BOM的角平分线，
∴∠MOB=2∠MOC=180°-2β°，
∴∠BOP=90°-∠MOB=90°-（180°-2β°）=2β°-90°，
∵∠PON=90°，
∴∠BON=∠BOP+∠PON=2β°-90°+90°=2β°；
②如图，当OB旋转到OP的左侧时，
∵OC是∠BOM的角平分线，
∴∠COB=∠MOC，
∵∠AOC=2∠AOM，
∴∠AOM=∠MOC，
∴∠COB=∠MOC=∠AOM，
∵∠COB+∠MOC+∠AOM=90°，
∴∠COB=∠MOC=∠AOM=30°，
∴∠POC=β°=90°-∠MOC=90°-30°=60°，
②如图，当OB旋转到OP的右侧时，
设∠AOM=x，
∵∠AOC=2∠AOM=2x，
∴∠MOC=3∠AOM=3x，
∵∠COB+∠MOC+∠AOM=90°，
∴∠COB=∠MOC=∠AOM=30°，
∵OC是∠BOM的角平分线，
∴∠COB=∠MOC=3x，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=5x=90°，
∴x=18°，
∴∠MOC=3x=54°，
∴∠POC=β°=90°-∠MOC=90°-54°=36°，
综上，β的值为60°或36°.
【知识点】垂线；旋转的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠MOP=90°，α=26°，
∴∠BOP=90°-26°=64°，
∵∠AOB=∠MOQ=90°，
∴∠AOM=90°-∠BOM，∠BOQ=90°+∠BOM，
∴∠AOM+∠BOQ=90°-∠BOM+90°+∠BOM=180°，
故答案为：64°；180°；
【分析】（1）根据题意得出∠BOP=90°- α，∠AOM=90°-∠BOM，∠BOQ=90°+∠BOM，即可得出∠BOP=64°，∠AOM+∠BOQ=180°；
（2）①根据角平分线的定义得出∠COB=∠MOC=∠AOM，再根据∠COB+∠MOC+∠AOM=90°，
得出∠MOC=30°，即可得出∠POC=β°=90°-∠MOC=60°；
②分两种情况讨论：当OB旋转到OP的左侧时，当OB旋转到OP的右侧时，分别求出∠MOC的度数，再利用∠POC=β°=90°-∠MOC即可得出答案.
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2022-2023学年浙教版数学七年级上册6.9直线的相交 课后测验
一、单选题
1．（2021七上·石景山期末）如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中（ ）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
2．（2021七上·惠山期中）过点A作直线AB的垂线，符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020七上·重庆月考）在 中， ， ，过点C作 ，垂足为P，则CP长的最大值为
A．5 B．4 C．3 D．6
4．（2020七上·奉化期末）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，这其中蕴含的数学道理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．两点之间直线最短
5．（2020七上·重庆月考）如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC.若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
6．（2021七上·朝阳月考）下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020七上·宽城期末）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠1=∠5
8．（2020七上·丰顺期末）如图，直线 与 相交于点O， ，若 ，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2020七上·江岸期末）在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为
，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为
，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为
条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为
，若
，则
（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022七上·贵港期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠EOF＝90°.对于下列结论：①∠BOC＝2∠AOE；②OF平分∠BOD；③∠AOE是∠BOF的余角；④∠AOE是∠COE的补角.其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2021七上·诸暨期末）已知∠AOC和∠BOD是一组对顶角，若∠AOC＝40°，则∠BOD＝ ．
12．（2021七上·延庆期末）如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上．在线段PA，PB，PC，PD中，最短的线段是 ，理由是 ．
13．（2021七上·鼓楼期末）如图，直线 、 相交于点 ，将量角器的中心与点 重合，发现表示 的点在直线 上，表示 的点在直线 上，则 ．
14．（2021七上·伊川期末）如图，直线 、 相交于点O， 平分 ，若 ，则 的度数为 .
15．（2021七上·海曙期末）如图， 直线 与直线 相交于点 ， 已知 ，则 .
16．（2020七上·枣阳期末）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分 ，若 ，则 等于 .
17．（2019七上·利川月考）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＋∠BOD＝100°，则∠AOD等于 度.
18．（2019七上·广饶期中）如图,△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=70°,AD平分线∠BAC．过点D作DE⊥AB于点E,则∠ADE= .
19．（2019七上·宝应期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠BOE=26°30′.则∠AOC= .
三、作图题
20．（2021七上·南关期末）按下面的要求画图，并回答问题：
（1）如图①，点M从点O出发向正东方向移动4个格，再向正北方向移动3个格．画出线段OM，此时M点在点O的北偏东 °方向上（精确到1°），O、M两点的距离是 cm．
（2）根据以下语句，在“图②”上边的空白处画出图形．
画4cm长的线段AB，点P是直纸AB外一点，过点P画直线AB的垂线PD，垂足为点D．你测得点P到AB的距离是 cm．
21．（2021七上·苏州期末）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行知识探索.
（回忆）
（1）如图，A、B是河l两侧的两个村庄.现要在河l上修建一个抽水站C，使它到A、B两村庄的距离的和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由.
（2）（探索）
如图，A、B两个村庄在一条笔直的马路的两端，村庄 C在马路外，要在马路上建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，请在图中画出点O的位置，并说明理由.
（3）如图，A、B、C、D四个村庄，现建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，请在图中画出点O的位置，并说明理由.
四、解答题
22．（2020七上·红桥期末）直线 ， 相交于点O， 平分 ， ， ，求 的度数．
解：∵ ，
∴ +∠ ▲ = ▲ °．
∵直线 ， 相交于点O
∴ 与∠ ▲ 是对顶角
∴ ▲ = ▲ °．
∵ 是 的平分线
∴ ▲ = ▲ °．
23．（2022七上·宝安期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转α°（0°<α<180°） ．
（1）如图2，若α=26°，则∠BOP= ，∠AOM+∠BOQ= ．
（2）若射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC=β°
①若△AOB旋转到图3的位置，∠BON的度数为多少？（用含β的代数式表示）
②△AOB在旋转过程中，若∠AOC=2∠AOM，求此时β的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：如图所示：
过点P作PH⊥AB于点H，PH的长就是该运动员的跳远成绩，
故答案为：D．
【分析】根据所给的图片，求出运动员跳远成绩即可。
2．【答案】C
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】解：A、 没过点A，故此选项A不正确；
B、 没过点A，半径选取不正确，故选项B不正确；
C、 过点A，符合要求的作图痕迹，故选项C正确；
D、 过点B，没过点A，故选项D不正确.
故答案为：C.
【分析】根据尺规作图要求，过点A，选取关于点A对称的两点，以适当的长度为半径画弧，两弧交于两点，过A与两点中一点画直线，根据以上要求对各选项分别判断，即可作答.
3．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可知： ，
长的最大值为3.
故答案为：C.
【分析】根据垂线段最短的性质进行解答.
4．【答案】C
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，这其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短，
故答案为：C．
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答即可．
5．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝80°，
∴∠1＝∠2＝40°，
∴∠BOC＝140°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠3＝70°.
故答案为：D.
【分析】由对顶角相等可得∠1＝∠2，进而根据∠1+∠2＝80°可得∠1度数，由∠BOC为∠1邻补角可得∠BOC的度数，最后由角平分线的定义可得 ∠3的度数.
6．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由题意得PQ⊥a，
P到a的距离是PQ垂线段的长，
故答案为：C．
【分析】根据点到直线的距离的定义逐项求解即可。
7．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】A、∠1、∠2互为对顶角，对顶角相等，故A符合题意；
B、根据三角形外角定理，∠2=∠3+∠A，∠2>∠3，故不符合题意；
C、根据三角形外角定理，∠1=∠4+∠5，∠2=∠3+∠A，∠3和∠4不一定相等，故不符合题意；
D、根据三角形外角定理，∠1=∠5+∠4，∠1>∠5，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据对顶角的性质和三角形外角的性质逐一进行判断即可.
8．【答案】C
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOE=140°，∠AOE和∠2是邻补角，
∴∠2=180°-140°=40°，
∵∠1=∠2，∴∠BOD=2∠2=80°，
又∵∠BOD和∠AOC是对顶角
∴∠AOC=∠BOD=80°．
故答案为：C．
【分析】根据邻补角的定义，可得∠2=180°-140°=40°，由∠BOD=∠1+∠2=2∠2，从而求出∠BOD=80°，根据对顶角相等可得∠AOC=∠BOD，从而求出结论.
9．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；相交线
【解析】【解答】根据题意得，
2条直线最多将平面分成4个区域
，
3条直线最多将平面分成7个区域
，
4条直线最多将平面分成11个区域
，
5条直线最多将平面分成16个区域
则
，
，
，
经检验n=20是原方程的根
故答案为：C.
【分析】 根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可求解．
10．【答案】D
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE，
∴∠BOC＝2∠AOE，故①正确；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD＋∠DOF＝90°，∠AOE＋∠BOF＝90°，即∠AOE是∠BOF的余角，故③正确；
∴∠FOD＝∠BOF，
∴OF平分∠BOD，故②正确；
∵∠AOE＝∠DOE，∠DOE＋∠COE＝180°，
∴∠COE＋∠AOE＝180°，即∠AOE是∠COE的补角，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，根据角平分线的概念可得∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE，据此判断①；根据平角的概念可得∠AOE＋∠BOF＝90°，据此判断③；易得∠FOD＝∠BOF，据此判断②；根据∠AOE＝∠DOE，∠DOE＋∠COE＝180°，可得∠COE＋∠AOE＝180°，据此判断④.
11．【答案】40°
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC和∠BOD是一组对顶角，∠AOC＝40°，
∴∠BOD=∠AOC＝40°.
【分析】根据对顶角相等得出∠BOD=∠AOC＝40°，即可得出答案.
12．【答案】PC；垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵，PA，PB，PD都不垂直于AD，
∴由垂线段最短可得，最短的线段是PC，
理由是：垂线段最短．
故答案为：PC；垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。
13．【答案】75
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
，
．
故答案为：75．
【分析】利用角的和差求出∠2的度数，根据对顶角相等可得∠1=∠2，据此即得结论.
14．【答案】72°
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2×36 =72 ，
∵∠BOC与∠AOE是对顶角，
∴∠BOC的度数为72 ，
故答案为：72 .
【分析】根据∠BOC与∠AOE是对顶角求解即可. 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角·
15．【答案】120
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：120
【分析】由垂直，得到，由对顶角相等，得到，从而得到结果。
16．【答案】142°
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BOD =76°，
∴∠AOC=∠BOD =76°，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM= ∠AOC= ×76°=38°，
∴∠BOM=180°-∠AOM=180°-38°=142°.
故答案为142°.
【分析】根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解.
17．【答案】130
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOD，且∠AOC+∠BOD=100°，
∴∠AOC=50°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=130°.
故答案为：130.
【分析】由对顶角相等可得∠AOC，由邻补角定义可得∠AOD。
18．【答案】60°
【知识点】垂线；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=60°，
又∵AD平分线∠BAC，
∴∠BAD=30°，
又∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°－30°＝60°.
故答案是：60°．
【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC＝60°，再根据角平分线以和垂线的定义，即可求到∠ADE的度数．
19．【答案】53°
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE=26°30′，
∴∠BOD=2∠BOE =53°，
∴∠AOC=53°.
故答案为：53°.
【分析】首先利用角平分线的定义得出∠BOD=2∠BOE，再利用对顶角的定义得出答案.
20．【答案】（1）53；5
（2）3
【知识点】钟面角、方位角；点到直线的距离
【解析】【解答】解：（1）如图，线段即为所求．
此时点在点的北偏东方向上，、两点的距离是，
故答案为：53，5；
（2）如图，线段和垂线即为所求．
测得点到的距离是，
故答案为：3．
【分析】（1）根据要求先找出点M，再连接并根据方向角求解即可；
（2）根据点到直线的距离的定义求解即可。
21．【答案】（1）解：如图所示：
（2）理由：两点之间线段最短；
如图所示：
理由：点到直线的距离垂线段最短；
（3）解：如图所示：
理由：两点之间线段最短（到A、C最短在AC上；到B、D最短在BD上）.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；点到直线的距离
【解析】【分析】（1）根据两点之间距离线段最短，直接连接A、B点，交直线于l于点C，点C即为所求；
（2）根据点到直线距离垂线段最短，直接过点C作线段AB的垂线，交AB于点C，点C即为所求；
（3）分别连接A、C和B、D线段，交于点O，根据两点之间距离线段最短，此时AO+BO+CO+DO最小，O点即为所求.
22．【答案】解：∵ ， ，
∴ + =106°．
∵直线 ， 相交于点O，
∴ 与 是对顶角，
∴ =106°．
∵ 是 的平分线，
∴ =53°．
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用平角的意义、角平分线的定义以及对顶角相等可得出答案．
23．【答案】（1）64°；180°
（2）①∵∠MOP=90°，∠POC=β°，
∴∠MOC=90°-β°，
∵OC是∠BOM的角平分线，
∴∠MOB=2∠MOC=180°-2β°，
∴∠BOP=90°-∠MOB=90°-（180°-2β°）=2β°-90°，
∵∠PON=90°，
∴∠BON=∠BOP+∠PON=2β°-90°+90°=2β°；
②如图，当OB旋转到OP的左侧时，
∵OC是∠BOM的角平分线，
∴∠COB=∠MOC，
∵∠AOC=2∠AOM，
∴∠AOM=∠MOC，
∴∠COB=∠MOC=∠AOM，
∵∠COB+∠MOC+∠AOM=90°，
∴∠COB=∠MOC=∠AOM=30°，
∴∠POC=β°=90°-∠MOC=90°-30°=60°，
②如图，当OB旋转到OP的右侧时，
设∠AOM=x，
∵∠AOC=2∠AOM=2x，
∴∠MOC=3∠AOM=3x，
∵∠COB+∠MOC+∠AOM=90°，
∴∠COB=∠MOC=∠AOM=30°，
∵OC是∠BOM的角平分线，
∴∠COB=∠MOC=3x，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=5x=90°，
∴x=18°，
∴∠MOC=3x=54°，
∴∠POC=β°=90°-∠MOC=90°-54°=36°，
综上，β的值为60°或36°.
【知识点】垂线；旋转的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠MOP=90°，α=26°，
∴∠BOP=90°-26°=64°，
∵∠AOB=∠MOQ=90°，
∴∠AOM=90°-∠BOM，∠BOQ=90°+∠BOM，
∴∠AOM+∠BOQ=90°-∠BOM+90°+∠BOM=180°，
故答案为：64°；180°；
【分析】（1）根据题意得出∠BOP=90°- α，∠AOM=90°-∠BOM，∠BOQ=90°+∠BOM，即可得出∠BOP=64°，∠AOM+∠BOQ=180°；
（2）①根据角平分线的定义得出∠COB=∠MOC=∠AOM，再根据∠COB+∠MOC+∠AOM=90°，
得出∠MOC=30°，即可得出∠POC=β°=90°-∠MOC=60°；
②分两种情况讨论：当OB旋转到OP的左侧时，当OB旋转到OP的右侧时，分别求出∠MOC的度数，再利用∠POC=β°=90°-∠MOC即可得出答案.
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