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第四章：相似三角形能力提升测试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：D
解析：设另一个直角三角形的周长为x，
∵三角形的边长分别为3，4，5，
∴周长为：3＋4＋5＝12，
∵两个三角形相似，
∴，
解得：x＝28，故D正确．
故选：D．
2.答案：A
解析：观察图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，
∵BC＝12，EF＝6，
∴．
故选A.
3.答案：D
解析：∵A（6，6），B（8，2），
∴AB＝＝2，
∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴线段CD的长为：×2＝．
故选：D．
4.答案：A
如图，
∵点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的中点，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE：BC＝1：2，
∴△ADE与△ABC的周长比为1：2，
故选：A．
5.答案：B
解析：由镜面反射原理知∠APB=∠CPD.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP.
∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP，
∴AB∶BP=CD∶DP.
∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，，
∴CD= =8（米）.
故该古城墙的高度是8米.
故选B.
6.答案：C
解：∵，
∴，
A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
C．若添加，不能证明△ADE≌△ABC，故本选项符合题意；
D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
故选：C．
7.答案：B
如图所示：
设矩形DEFG的宽DE=x，则AM=AH-HM=8-x，
∵矩形的对边DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
即，
解得DG=（8-x），
四边形DEFG的面积=（8-x）x=-（x2-8x+16）+20=-（x-4）2+20，
所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG最大面积为20cm2．
故选B．
8.答案：D
解析：∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，
∴BE∶EC＝1∶3；
∴BE∶BC＝1∶4；
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△ABC，△DOE∽△AOC，
∴＝，
∴＝，
故答案为：D．
9.答案：C
解析：满足条件的直线有4条，如图所示：
如图1，过P作PE∥AC，则有△BPE∽△BAC；
如图2，过P作PE∥BC，则有△APE∽△ABC；
如图3，过P作∠AEP=∠B，又∠A=∠A，则有△APE∽△ACB；
如图4，过P作∠BEP=∠A，又∠B=∠B，则有△BEP∽△BAC，
故选：C．
10.答案：A
解析：①∵∠BAC＝90°，AH⊥BC，
∴∠ABC+∠BAH＝∠BAH+∠CAH＝90°，
∴∠CAH＝∠ABC，故①正确；
②过点M作ME∥BC，与AO交于点E，
∵M是AC中点，
∴ME是△ACN的中位线，
∴ME＝，AE＝EN，
∵CN＝2BN，
∴ME＝BN，
∵ME∥BC，
∴∠OBN＝∠OME，
∵∠BON＝∠MOE，
∴△OBN≌△OME（AAS），
∴ON＝OE，
∵AE＝EN，
∴AN＝4ON，
∴，
∵CN＝2BN，S△ABC＝48，
∴
∴，故②正确；
③∵AE＝EN，OE＝ON，
∴AO＝3NO，
故③正确；
④过点C作CF⊥BC，与BM的延长线交于点F，
∴∠AIM＝∠F，
∵M是AC的中点，
∴AM＝CM，
∵∠AMI＝∠CMF，
∴△AMI≌△CMF（AAS），
∴AI＝CF，
∵IH∥CF，
当H不是BC的中点时，IH≠，
∴IH≠，故④不正确；
故选：A．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：相似多边形的周长的比是1：4，
周长的比等于相似比，因而相似比是1：4，
面积的比是相似比的平方，
因而它们的面积比为1：16；
12.答案：
解析：∵AD∥BE∥CF，
∴，即，
解得：，
13.答案：6
解析：∵，
∴△ADC∽△ABO
∴
∵，
∴，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴,
解得：，
∴B点的纵坐标为6，故C正确.
故答案为：6.
14.答案：或10
解析：∵∠A=∠A，
①当时△ADE∽△ABC，
则，
得AE=10；
②当时△ADE∽△ACB，
则，
得；
综上分析可知，AE 等于或10
15.答案：(6，5)
解析：如图过点C作轴垂线，垂足为点E，
∵，
∴,
∵,
∴,
在△ABO和△BCE中，
∴△ABO∽△BCE，
则,
∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∵点A坐标为(0，3)，
∴点D坐标为(6，5)，
16.答案：
解析：连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，
∵∠BDC＝45°，
∴∠CAO＝∠CDB＝45°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BC＝，
∴AB＝BC＝12，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，
∴∠COA＝∠DGE＝90°，
∵∠DEG＝∠CEO，
∴△DGE∽△COE，
∴，
∵CE＝2DE，
设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，
∴AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，
∵∠ADB＝∠AGD＝90°，
∠DAG＝∠BAD，
∴△AGD∽△ADB，
∴DG2＝AG BG，
∴9＝（6﹣3x）（6＋3x），
∵x＞0，
∴，
∴OE＝，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
答案为
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°．
∵CE是外角平分线
∴∠ACE＝60°．
∴∠BAC＝∠ACE．
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△CED．
（2）解：作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6．
∴AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝．
∵AD＝2CD，
∴CD＝2，AD＝4，MD＝1．
在Rt△BDM中，BD＝．
由（1）△ABD∽△CED
得:，
∴ED＝
∴BE＝BD＋ED＝．
18.解析：（1）证明：在ΔABC中，
∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F
∴∠AFE=∠AGC=90°
∵∠EAF=∠GAC
∴∠AED=∠C
在ΔADE和ΔABC中，
∵∠AED=∠C，∠EAD=∠CAB
∴ΔADE∽ΔABC
（2）解：在ΔAEF和ΔACG中，
∵∠AFE=∠AGC，∠EAF=∠GAC
∴ΔAEF∽ΔAGC
由（1）知ΔADE∽ΔABC
∴
又ΔAEF∽ΔAGC
∴
19.解析：（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵O是AB的中点，
∴CO⊥AB，∠BOC=90°，
∴∠BCO=45°，
∠FCE=∠BCO+∠FCO=45°+∠FCO，
∠FEC=∠B+∠EFM=45°+∠EFM，
∵∠FCO=∠EFM，
∴∠FCE=∠FEC，
∴CF=EF；
（2）证明：∵EM⊥AB，
∴∠EMF=∠COF=90°，
∵EF=CF，∠FCO=∠EFM，
∴△EMF≌△FOC，
∴FM=OC=OB，
∵EM∥CO，
∴，
∵，
∴，
∴
20.解析：（1）正方形ABCD内接于⊙O，
∴AD=BC，
∴，
∴∠ABD=∠CGB，
又∵∠EFB=∠BFG，
∴△BFE∽△GFB，
∴，
即；
（2）∵点E为AB中点，
∴AE=BE=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=AB=AD=6，BD=，，
∵CD∥BE，
∴△CDF∽△EBF，
∴，
∴DF=2BF，CF=2EF，
∴3BF=BD=，3EF=，
∴，
由（1）得
21.解析：①∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
②如图，连接 .
∵ 是边 的中点， ，
∴ ，
又由菱形 ，得 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ .
（2）解：如图，延长 交 的延长线于点 ，
由菱形 ，得 ， ，
∴ ， ，
∵ 是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，而为公共角.
∴ ，
∴，
又∵ ，
∴ .
22.解析：（1）∵直线与轴、轴分别交于、两点，
∴，，
∵抛物线经过、两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得，，由题意可得如图所示：
设点，直线AB的解析式为，把点A、B代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
设点，点，
∵四边形是菱形，
∴根据中点坐标公式可得：，即，
∴，
∵，
∴根据两点距离公式可得：，
解得：或或（不符合题意，舍去），
∴；；
（3）过作轴交于，如图所示：
由（2）可得：，，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
化简得：，
当方程有唯一实根时，满足条件的只有一个，
∴，
化简得：，
解得：，（含去）
∴，
设平移后的抛物线为：，将点坐标代入平移后解析式得：
，
解得：，
．
23.解析：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
∵，
∴,
（2）解：由（1）知，CD＝，
由运动知，CQ＝t，DP＝t，
∴CP＝CD DP＝ t，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B＋∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵△CPQ与△ABC相似，
①当∠CPQ＝90°时，△CPQ∽△BCA，
∴，
∴
∴t＝3
②当∠CQP＝90°时，△CPQ∽△BAC，
∴，
即：t为3秒或秒时，△CPQ与△ABC相似．
（3）解：假设存在，如图所示，
Rt△ACD中，根据勾股定理得，，
过点Q作CE⊥CD于E，
∴QE∥AD，
∴△CEQ∽△CDA，
∵S△CPQ＝CP QE＝
∴S△ACD＝ AD CD＝ ，
∵PQ分△ACD的面积为1：11，
∴①当S△CPQ＝时，
∴，
∴5t2 24t＋16＝0，
∴t＝或4．
②当S△CPD＝S△ACD时，
∴
∴5t2 24t＋176＝0，而△242 4×5×176＝576 3520＜0，
此方程无解，即：此种情况不存在，
综上所述，当t＝或4时，PQ分△ACD的面积为1：11．
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第四章：相似三角形能力提升测试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（ ）
A． B． C．21 D．28
2．如图，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )
A．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：2
3．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
6.如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（ ）
A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝
7．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为( )
A．40 cm2 B．20 cm2 C．25 cm2 D．10 cm2
8.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
9．点P是△ABC中AB边上一点（不与A、B重合），过P作直线截△ABC使得截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多作（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC，M是AC中点，CN＝2BN，BM交AN于O，BM交AH于I，若S△ABC＝48，则下面结论正确的是（ ）
①∠CAH＝∠ABC；②S△ABO＝12；③AO＝3NO；④．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．两个相似多边形的周长之比为1：4，则它们的面积之比为____________
12．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，AC＝5，EF＝4，则DE的长度是___________
13．如图，在平面直角坐标系中,C为△AOB的OA边上一点，，过C作交AB于点D,C两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为___________
14.如图，，，，D为上一点，且，在上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则
15.如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是_____________
16.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝，CE＝2DE，则CE的长为___________
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．（本题6分）如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E，（1）求证：△ABD∽△CED；（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
18．（本题8分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.（1）求证ΔADE∽ΔABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值.
19（本题8分）．如图，在 中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB的中点，连结OC，点F，E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO=∠EFM.
（1）求证：CF=EF；（2）求证：.
20．（本题10分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG.（1）求证：；（2）若求FB和EG的长.
21．（本题10分）已知菱形ABCD中,E是边AB的中点,F是边AD上一点.
（1）如图1，连接CE,CF,，. ①求证：；②若，求CE的长；
（2）如图2，连接CE,CF,若，求CE的长.
22．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点；（1）求抛物线的解析式；
（2）点为轴上一点，点为直线上一点，过作交轴于点，当四边形为菱形时，请直接写出点坐标；
（3）在（2）的条件下，且点在线段上时，将抛物线向上平移个单位，平移后的抛物线与直线交于点（点在第二象限），点为轴上一点，若，且符合条件的点恰好有2个，求的取值范围．
23．（本题12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D 出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，△CPQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻，使得PQ分△ACD的面积为1：11？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
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