二次根式的性质与化简
一、选择题（共20小题）
1、设M=，其中a、b为相邻的两个整数，c=ab，则M（ ）
A、必为偶数 B、必为奇数
C、必为无理数 D、以上三种都有可能
2、如果为正整数，则在下面的四组值中，x和y只能取（ ）
A、x=25530，y=29464 B、x=37615，y=26855
C、x=15123，y=32477 D、x=28326，y=28614
3、已知|x﹣12|+和y2﹣10y+25互为相反数，则以x、y、z为边的三角形为（ ）
A、直角三角形 B、等腰三角形
C、锐角三角形 D、钝角三角形
4、a=，则a，b，c的大小关系是（ ）
A、a＞b＞c B、a=b=c
C、a=c＞b D、a=b＞c
5、下列说法：①平方根是； ②的立方根是±；③﹣8的立方根与4的平方根的和是0，④实数和数轴上的点是一一对应的；⑤，其中错误的有（ ）
A、①②③ B、①③⑤
C、①②③⑤ D、①④
6、下列说法：①1的平方根是±1；②﹣1没有立方根；③实数与数轴上的点一一对应； ④，其中正确的是（ ）
A、①③ B、①④
C、①③④ D、②③④
7、实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|﹣﹣|a+b|的结果是（ ）
A、2a﹣b B、b
C、a D、﹣2a+b
8、下 列说法：①在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；②近似数7.30所表示的准确数a的范围是：7.295≤a＜7.305；③一个数的绝对值必大于这个数的相反数；④大于﹣2.5而小于π的整数共有6个；⑤平方根是本身的数是1和0；⑥有理数可以分为正数和负数；⑦的值是3或﹣3．其中正确的是（ ）
A、5个 B、4个
C、3个 D、2个
9、估算的值（ ）
A、在1到2之间 B、在2到3之间
C、在3到4之间 D、在4到5之间
10、实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简a+|a+b|﹣的值是（ ）
．
A、﹣b﹣c B、c﹣b
C、2（a﹣b+c） D、2a+b+c
11、计算的结果为（ ）
A、4 B、3
C、2 D、16
12、计算的结果是（ ）
A、2+ B、2﹣
C、﹣2+ D、﹣2﹣
13、下列计算中正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
14、下列计算中，正确的是（ ）
A、 B、
C、5=5? D、=3a
15、化简的结果是（ ）
A、 B、9
C、 D、±3
16、若a，b为实数，a＜b＜0，则化简式子|a﹣b|﹣等于（ ）
A、a B、﹣a
C、b D、﹣b
17、下列各式中，计算正确的是（ ）
A、+= B、2+=2
C、a﹣b=（a﹣b） D、=+=2+3=5
18、下列结论错误的是（ ）
A、 B、方程2x﹣4=0的解为x=2
C、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D、2x+y=2xy
19、下列运算正确的是（ ）
A、3﹣1÷3=1 B、
C、|3.14﹣π|=3.14﹣π D、
20、给出的下列计算或化简：（1）（a2）4=a6；（2）（﹣3a）3=﹣27a3；（3）2﹣2=；（4）．其中正确个数有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
二、填空题（共5小题）
21、如图，那么的结果是 _________ ．
22、，则xy= _________ （ a≤1）= _________ ．
23、计算：= _________ ；= _________ ．
24、计算：= _________ ．
25、比较2，，三数的大小，并用“＜”连接． _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、计算：（写出主要运算过程）
（1）（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）．
（2）（﹣1）101×（﹣4）÷|﹣9|
（3）
（4）（结果精确到0.1）
27、计算
（1）
（2）
（3）﹣22﹣（﹣1）3×（﹣）÷﹣|﹣1|
（4）．
28、求下列各式中x的值及计算．
（1）16x2﹣49=0
（2）﹣（x﹣3）3=27
（3）计算：|﹣3|++（﹣1）0﹣．
29、把下列各数表示在数轴上并用“＜”号连接起来：
﹣5，|﹣3.5|，0，，π
30、计算：﹣22++|﹣3|﹣（3.14﹣π）0．
二次根式的性质与化简
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、设M=，其中a、b为相邻的两个整数，c=ab，则M（ ）
A、必为偶数 B、必为奇数
C、必为无理数 D、以上三种都有可能
考点：整数的奇偶性问题；二次根式的性质与化简。
分析：首先不妨设a＜b，由于a、b为相邻的两个整数，用a表示b，c也用b表示，代入根式化简，进一步利用奇偶性讨论即可解答．
解答：解：不妨设a＜b，因为a、b为相邻的两个整数，
所以a+1=b，c=a（a+1），
把b、c代入M=得，
M=，
=，
=，
=，
=，
=a2+a+1，
当a为奇数时，a2+a+1为奇数；
当a为偶数时，a2+a+1为奇数；
由此得出M必为奇数．
故选B．
点评：此题主要利用相邻的两个整数的性质、完全平方公式、二次根式的化简以及数的奇偶性解决问题．
2、如果为正整数，则在下面的四组值中，x和y只能取（ ）
A、x=25530，y=29464 B、x=37615，y=26855
C、x=15123，y=32477 D、x=28326，y=28614
考点：完全平方数；二次根式的性质与化简。
专题：计算题。
分析：解法1：如果为正整数，则x2+y2是一个正整数的平方，即为一个完全平方数，则其个位数字只能是0，1，4，9，6，5中的某一个，由此可排除C、D，再分别计算A、B，即可得出正确结果；
解法2：原式表示一个直角三角形的斜边，且为正整数，得到直角边长x与y除以最大公约数后，必然一奇一偶，利用这个特点即可判定，得到正确的选项．
解答：解法1：A、∵=38986，∴本选项正确；
B、∵≈46217.74，∴本选项错误；
C、∵x2+y2的个位数字是32+72的个位数字为8，而8不可能是一个完全平方数的个位数字，∴本选项错误；
D、∵x2+y2的个位数字是62+42的个位数字为2，而2不可能是一个完全平方数的个位数字，∴本选项错误．
解法2：原式是一个直角三角形的斜边（正整数），勾股定理的勾股数，
那么x、y除以最大公约数后为一奇一偶，
A、除以最大公约数2后分别为12765、14732一奇一偶符合条件；
B、C本身为两个奇数，不符合题意；
D、除以最大公约数6后分别为4721、4769两个奇数，不符合题意，
只有A正确．
故选A．
点评：本题主要考查了二次根式的化简，由于数据较大，有一定难度．
3、已知|x﹣12|+和y2﹣10y+25互为相反数，则以x、y、z为边的三角形为（ ）
A、直角三角形 B、等腰三角形
C、锐角三角形 D、钝角三角形
．
4、a=，则a，b，c的大小关系是（ ）
A、a＞b＞c B、a=b=c
C、a=c＞b D、a=b＞c
考点：有理数大小比较；二次根式的性质与化简。
专题：常规题型。
分析：比较有理数的大小，就要先简化有理数，整理可以得到a=1，b=﹣1，c=1．所以大小轻松比较．
解答：解：先简化有理数可以解得
a==1，b==﹣1，c==1．
所以 a=c＞b，故选（C）．
点评：解决此类问题的关键是对有理数简化的运算．考查有理数简化的运算，即正负数的大小比较．
5、下列说法：①平方根是； ②的立方根是±；③﹣8的立方根与4的平方根的和是0，④实数和数轴上的点是一一对应的；⑤，其中错误的有（ ）
A、①②③ B、①③⑤
C、①②③⑤ D、①④
6、下列说法：①1的平方根是±1；②﹣1没有立方根；③实数与数轴上的点一一对应； ④，其中正确的是（ ）
A、①③ B、①④
C、①③④ D、②③④
考点：平方根；立方根；实数与数轴；二次根式的性质与化简。
专题：常规题型。
分析：此题需根据实数与数轴的关系，立方根、平方根的定义和性质即可判定．
解答：解：①1的平方根是±1，故本说法正确；
②﹣1的立方根为﹣1，故本说法错误；
③实数与数轴上的点一一对应，符合实数与数轴上的点的关系，故本说法正确；
④，故正确．
∴其中正确的是①③④．
故选C．
点评：此题主要考查了立方根、平方根的定义，实数与数轴的关系，及二次根式的性质与化简，要求学生熟练掌握这些基础知识．
7、实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|﹣﹣|a+b|的结果是（ ）
A、2a﹣b B、b
C、a D、﹣2a+b
考点：实数与数轴；二次根式的性质与化简。
分析：由数轴可知a＞0，b＜0，|b|＞a，利用绝对值的定义计算．
解答：解：由数轴可知a＞0，b＜0，|b|＞a，
∴|a﹣b|﹣﹣|a+b|=a﹣b﹣a﹣[﹣（a+b）]=a．
故选C
点评：此题主要考查了绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．
8、下 列说法：①在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；②近似数7.30所表示的准确数a的范围是：7.295≤a＜7.305；③一个数的绝对值必大于这个数的相反数；④大于﹣2.5而小于π的整数共有6个；⑤平方根是本身的数是1和0；⑥有理数可以分为正数和负数；⑦的值是3或﹣3．其中正确的是（ ）
A、5个 B、4个
C、3个 D、2个
9、估算的值（ ）
A、在1到2之间 B、在2到3之间
C、在3到4之间 D、在4到5之间
考点：估算无理数的大小；二次根式的性质与化简。
专题：计算题。
分析：首先确定的范围，根据二次根式的性质即可得出答案．
解答：解：∵＜＜，
∴4＜＜5．
故选D．
点评：本题考查了有理数的大小比较和二次根式的性质的应用，知道：16＜23＜25，=4，=5．
10、实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简a+|a+b|﹣的值是（ ）
．
A、﹣b﹣c B、c﹣b
C、2（a﹣b+c） D、2a+b+c
考点：实数的运算；数轴；二次根式的性质与化简。
分析：此题考查了绝对值和二次根式的性质，|a|=，，由数轴可知b＜c＜0＜a，|a|＜|b|，所以|a+b|=﹣a﹣b，=﹣c．
解答：解：a+|a+b|﹣=a﹣a﹣b+c=c﹣b．
故选B．
点评：根据数轴判断a+b，c的符号是一个难点，解题时要细心，能提高了学生的综合应用能力．
11、计算的结果为（ ）
A、4 B、3
C、2 D、16
考点：实数的运算；二次根式的性质与化简。
分析：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意．
解答：解：．故选C．
点评：考查二次根式的加减运算，注意只有被开方数相同的二次根式才能合并．
12、计算的结果是（ ）
A、2+ B、2﹣
C、﹣2+ D、﹣2﹣
13、下列计算中正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：实数的运算；二次根式的性质与化简。
分析：此题考查了二次根式的运算，要注意运算法则和运算顺序．
解答：解：A、2+3不能合并，故不对；
B、算式中，无意义，正确计算为：==4，故不对；
C、===，故不对；
D、==，正确．
故选D．
点评：此题考查了学生的计算能力，解题时要注意运算顺序．
14、下列计算中，正确的是（ ）
A、 B、
C、5=5? D、=3a
考点：实数的运算；二次根式的性质与化简。
分析：根据二次根式的乘除运算法则，逐项化简即可．
解答：解：A、，故不对；
B、2，故不对；
C、5，故不对；
D、==3a，正确．
故选D．
点评：此题考查了学生的计算能力，解题时要细心，要化为最简二次根式．
15、化简的结果是（ ）
A、 B、9
C、 D、±3
16、若a，b为实数，a＜b＜0，则化简式子|a﹣b|﹣等于（ ）
A、a B、﹣a
C、b D、﹣b
考点：实数的运算；绝对值；二次根式的性质与化简。
分析：利用绝对值和开平方的定义计算．
解答：解：∵a＜b＜0，
∴a﹣b＜0，a＜0，
∴|a﹣b|﹣=b﹣a+a=b．
故选C．
点评：本题考查了二次根式的化简和绝对值的化简|a|=，此题考查了学生的综合应用能力，计算要细心．
17、下列各式中，计算正确的是（ ）
A、+= B、2+=2
C、a﹣b=（a﹣b） D、=+=2+3=5
考点：实数的运算；二次根式的性质与化简。
分析：同类二次根式：①根指数是2，②被开方数相同．二次根式的加减运算，只有同类二次根式才能合并．
解答：解：A、被开方数不同，不能合并，故不对；
B、有理数与无理数不能合并，故不对；
C、被开方数相同，合并正确；
D、，故不对．
正确的是C，故选C．
点评：考查二次根式的加减运算，注意只有被开方数相同的二次根式才能合并．
18、下列结论错误的是（ ）
A、 B、方程2x﹣4=0的解为x=2
C、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D、2x+y=2xy
考点：合并同类项；平方差公式；二次根式的性质与化简；一元一次方程的解。
分析：此题涉及到二次根式的化简、一元一次方程的解、平方差公式、合并同类项等知识，需要分别针对各知识点进行判断．
解答：解：A、==2，正确；
B、将x=2代入原方程中，方程左边2×2﹣4=0=方程右边，故x=2是原方程的解，正确；
C、平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，正确；
D、2x、y不是同类项，不能合并，错误；
故选D．
点评：此题需要注意的是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，不是同类项的不能合并．
19、下列运算正确的是（ ）
A、3﹣1÷3=1 B、
C、|3.14﹣π|=3.14﹣π D、
20、给出的下列计算或化简：（1）（a2）4=a6；（2）（﹣3a）3=﹣27a3；（3）2﹣2=；（4）．其中正确个数有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；负整数指数幂；二次根式的性质与化简。
分析：根据幂的运算法则以及二次根式的性质计算即可．
解答：解：（1）（a2）4=a8，错误；
（2）、（3）、（4）正确．
故选C．
点评：本题综合考查了整式运算的多个考点，包括同底数幂的乘法和除法，积的乘方和幂的乘方，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
二、填空题（共5小题）
21、如图，那么的结果是 ﹣2b ．
考点：绝对值；数轴；二次根式的性质与化简。
专题：计算题；图表型。
分析：先根据数轴确定出a、b的大小，然后判断出a﹣b与a+b的正负情况，再去掉绝对值符号与根号，合并同类项即可．
解答：解：根据图形可得b＜a＜0，
∴a﹣b＞0，a+b＜0，
∴|a﹣b|+=a﹣b+（﹣a﹣b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．
故答案为：﹣2b．
点评：本题考查了数轴，绝对值的性质，以及二次根式的化简，根据数轴判断出a、b的正负以及大小情况是解题的关键．
22、，则xy= 9 （ a≤1）= 3﹣2a ．
23、计算：= ﹣ ；= 3 ．
考点：立方根；二次根式的性质与化简。
专题：计算题。
分析：根据负数的立方根是负数；二次根式的基本性质：（）2=a （a≥0）求解．
解答：解：=﹣；=3．
故答案为：﹣；3．
点评：考查了立方根的定义和二次根式的性质．
立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：．
二次根式的基本性质：①a≥0；≥0（双重非负性）．②（）2=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③=a（a≥0）（算术平方根的意义）
24、计算：= 0 ．
考点：立方根；二次根式的性质与化简。
专题：计算题。
分析：根据立方根的定义与二次根式的性质化简，然后计算即可．
解答：解：+=﹣3+3=0．
故答案为：0．
点评：本题主要考查了立方根的定义与二次根式的性质，二次根式的化简容易出错，化简后是3而不是﹣3，需要注意．
25、比较2，，三数的大小，并用“＜”连接． ＜2＜ ．
三、解答题（共5小题）
26、计算：（写出主要运算过程）
（1）（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）．
（2）（﹣1）101×（﹣4）÷|﹣9|
（3）
（4）（结果精确到0.1）
考点：有理数的加减混合运算；绝对值；有理数的乘方；计算器—数的开方；二次根式的性质与化简。
专题：计算题。
分析：（1）先去括号，再按照有理数加减法的法则计算即可解答．
（2）先根据有理数的乘方法则绝对值的定义化简再计算即可解答．
（3）先计算乘方与二次根式，再计算即可解答．
（4）先求出平方根与立方根，再相减即可解答．
解答：解：（1）（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）．
=4.3+4﹣2.3﹣4
=（4.3﹣2.3）+（4﹣4）
=2；
（2）（﹣1）101×（﹣4）÷|﹣9|
=﹣1×
=；
（3）
=﹣4﹣（﹣1）×9
=﹣4+9
=5；
（4）（结果精确到0.1）
=2.055862753
≈2.1．
点评：本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握绝对值、有理数的乘方法则、数的开方、二次根式的化简是解答本题的关键．
27、计算
（1）
（2）
（3）﹣22﹣（﹣1）3×（﹣）÷﹣|﹣1|
（4）．
考点：有理数的混合运算；立方根；二次根式的性质与化简。
专题：计算题。
分析：（1）利用乘法分配律，给括号中每一项都乘以﹣20，利用两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘的法则计算后，再根据同号及异号两数相加的法则即可得到原式的结果；
（2）根据运算顺序，先计算乘方运算，第一项表示1平方的相反数，第二项中的乘方运算表示两个﹣2的乘积，然后算乘除运算，最后算加减运算，可得结果；
（3）根据运算顺序，先计算乘方及绝对值运算，第一项表示两个2乘积的相反数，﹣1的奇次幂为﹣1，然后计算乘除运算，最后利用加法运算法则计算可得出结果；
（4）根据平方根及立方根的定义，化简原式的三项，把所得的结果相加可得原式的结果．
解答：解：（1）
=×（﹣20）+×（﹣20）﹣×（﹣20）
=﹣16+（﹣10）+15
=﹣26+15
=﹣（26﹣15）
=﹣11；
（2）
=﹣1﹣6÷4×3
=﹣1﹣
=﹣5；
（3）﹣22﹣（﹣1）3×（﹣）÷﹣|﹣1|
=﹣4+1××6﹣1
=﹣4+1﹣1
=﹣4；
（4）
=8+（﹣3）﹣
=5﹣
=4．
点评：此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算，本题第一小题就是利用乘法分配律来简化运算的．同时注意﹣12与（﹣1）2的区别，前者表示1平方的相反数，后者表示两个﹣1的乘积．
28、求下列各式中x的值及计算．
（1）16x2﹣49=0
（2）﹣（x﹣3）3=27
（3）计算：|﹣3|++（﹣1）0﹣．
考点：平方根；绝对值；立方根；实数的运算；零指数幂；二次根式的性质与化简。
专题：计算题。
分析：（1）先求出x2的值，再根据平方根的定义解答；
（2）把（x﹣3）看作一个整体，根据立方根的定义求出，然后即可得解；
（3）根据绝对值的性质，二次根式的化简，任何非0数的0次幂等于1，进行计算即可求解．
解答：解：（1）16x2﹣49=0，
x2=，
∴x=±，
∴x=±；
（2）﹣（x﹣3）3=27，
（x﹣3）3=﹣27，
x﹣3==﹣3，
∴x=0；
（3）|﹣3|++（﹣1）0﹣，
=3﹣+2+1﹣6，
=﹣．
点评：本题考查了利用平方根与立方根解方程，二次根式的化简，绝对值的性质，0指数幂，综合题，但难度不大，是基础知识，需熟练掌握．
29、把下列各数表示在数轴上并用“＜”号连接起来：
﹣5，|﹣3.5|，0，，π
考点：实数与数轴；绝对值；二次根式的性质与化简。
分析：利用绝对值和二次根式的性质，首先从数轴上表示出各点所在的位置，即可得出答案．
解答：解；|﹣3.5|=3.5，
﹣=﹣2，
∴﹣5＜﹣＜0＜π＜|﹣3.5|．
点评：此题主要考查了实数与数轴以及绝对值和二次根式的性质，根据已知正确化简是解题关键．
30、计算：﹣22++|﹣3|﹣（3.14﹣π）0．
