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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程
2.2一元二次方程的解法（4）
【知识重点】
一、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：(b24ac≥0).
二、使用求根公式的条件：求根公式是专门用来解一元二次方程的.
1.把方程化成一般形式；2.要求a≠0； 3. b24ac≥0因为开平方运算时，被开方数必须是非负数；即求根公式使用的前提条件是a≠0且b24ac≥0.
三、判别式与一元二次方程的根的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由代数式b24ac的值来决定，因此b24ac叫做一元二次方程的根的判别式，判别式的值与一元二次方程的根的关系是：
1. b24ac>0 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
2. b24ac=0 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
3. b24ac<0 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
【经典例题】
【例1】解方程：；
【例2】解下列方程：
【例3】计算：
（1）；
（2）；
（3）；
【例4】已知关于x的方程．若这个方程有实数根，求k的取值范围．
【例5】已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m﹣1＝0，求证：不论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．
【基础训练】
1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则（ ）
A． B．
C． D．与的取值无关
2．若关于x的方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．4 B．-4 C．16 D．-16
3．已知方程□x2-4x+2=0，在□中添加一个合适的数字．使该方程有两个不相等的实数根．则添加的数字可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．且
5．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
6．方程x2﹣2x＝0的判别式Δ＝ ．
7．请填写一个常数，使得关于x的方程x2-2x+ =0有两个不相等的实数根．
8．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值．
9．关于的一元二次方程，其根的判别式的值为，求的值及该方程的解．
10．已知关于的方程
①求证：方程有两个不相等的实数根．
②若方程的一个根是求另一个根及的值．
【培优训练】
11．已知方程，当时，方程的解为（ ）
A． B． C． D．
12．已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程的根 B．-1可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
13．已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（ ）
A． B．4 C． D．
14．有两个一元二次方程：M：ax2＋bx＋c＝0，N：cx2＋bx＋a＝0，以下四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N也有两根符号相同
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的实数根，那么这个根必是x＝1
15．已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（ ）
A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根；
B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
16．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且x＞0，则的值为（ ）
A．1﹣ B．3﹣ C．1+ D．3+
17．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
18．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于 ．
19．关于x的方程 ，无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 .
20．若关于x的一元二次方程 各项系数满足 ，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当 时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是 个．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+2）x+k2+2k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
22．a是大于零的实数，已知存在唯一的实数，使得关于的二次方程的两个根均为质数求的值．
23．已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a＝4，b和c是关于x的方程x2-mx+3m＝0的两根，求m的值．
24．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如x2=4和（x-2）（x+3）=0有且只有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”.
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ：（只填写序号即可）
①②x2+4x+4=0 ③
（2）关于x的一元二次方程x2-2x=0与x2+x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与
（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，求n的值.
25．已知关于的方程
（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数的值；
（3）若一元二次方程满足，求的值．
【直击中考】
26．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．
27．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
28．对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B．
C．且 D．且
29．若一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，则c的取值范围是 ．
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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程（解析版）
2.2一元二次方程的解法（4）
【知识重点】
一、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：(b24ac≥0).
二、使用求根公式的条件：求根公式是专门用来解一元二次方程的.
1.把方程化成一般形式；2.要求a≠0； 3. b24ac≥0因为开平方运算时，被开方数必须是非负数；即求根公式使用的前提条件是a≠0且b24ac≥0.
三、判别式与一元二次方程的根的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由代数式b24ac的值来决定，因此b24ac叫做一元二次方程的根的判别式，判别式的值与一元二次方程的根的关系是：
1. b24ac>0 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
2. b24ac=0 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
3. b24ac<0 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
【经典例题】
【例1】解方程：；
【答案】 解：，
∴，
∴，
∴．
【例2】解下列方程：
【答案】解：，
这里，
，
∴，
∴，
【解析】此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边不易分解因式，而且二次项的系数不为1，故用公式法求解，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根.
【例3】计算：
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】（1）解：由原式可得：
∴方程有两个不相等实数根，
∴ ， ．
（2）解：由原式可得：
∴方程有两个不相等实数根，
，
∴ ， ．
（3）解：
移项得：
提公因式得：
化简得：
或
解得： ，
【解析】（1）（2）首先求出判别式的值，然后借助求根公式进行计算；
（3）将右边的式子移至左边，然后提取公因式可得(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0，据此求解.
【例4】已知关于x的方程．若这个方程有实数根，求k的取值范围．
【答案】解：∵关于x的方程，
∴
这个方程有实数根，
∴
解得
【解析】根据方程可得a=1，b=-2(k-3)，c=k2-4k-1，由方程有实数根可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得k的范围.
【例5】已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m﹣1＝0，求证：不论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．
【答案】证明：△=b2 -4ac=（2m）2-4×2×（ m-1）= 4m2 -8m+8=4（m-1）2+4，
∵4（m-1）2≥0，
∴4（m-1）2+4>0
∴△>0，
∴这个方程总有两个不相等的实数根
【解析】先求出一元二次方程根的判别式△=4（m-1）2+4>0，即可证出方程总有两个不相等的实数根．
【基础训练】
1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则（ ）
A． B．
C． D．与的取值无关
【答案】C
【解析】 一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△＞0.
故答案为：C.
2．若关于x的方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．4 B．-4 C．16 D．-16
【答案】A
【解析】∵关于x的方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=16-4c=0，
∴c=4.
故答案为：A.
3．已知方程□x2-4x+2=0，在□中添加一个合适的数字．使该方程有两个不相等的实数根．则添加的数字可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】A、当a=0时，是一元一次方程，只有一个实数根，错误；
B、当a=1时，△=16-8=8>0， 则该方程有两个不相等的实数根 ，正确；
C、当a=2时，△=16-16=0， 则该方程有两个相等的实数根 ，错误；
D、当a=3时，△=16-24=-8<0， 则该方程没有实数根 ，错误；
故答案为：B.
4．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．且
【答案】B
【解析】∵关于x的一元二次方程（k-1）x2-4x+2=0有实数根，
∴k-1≠0且Δ=（-4）2-4×（k-1）×2≥0，
解得：k≤3且k≠1．
故答案为：B．
5．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
【答案】A
【解析】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
6．方程x2﹣2x＝0的判别式Δ＝ ．
【答案】4
【解析】根据题意，Δ＝(-2)2﹣4×1×0＝4.
故答案为：4.
7．请填写一个常数，使得关于x的方程x2-2x+ =0有两个不相等的实数根．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】∵x2-2x=0的两个根为x1=0，x2=2，
∴方程x2-2x=0有两个不相等的实数根．
故答案为：0.
8．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，解得．
【解析】利用一元二次方程根的判别式列出方程组求解即可。
9．关于的一元二次方程，其根的判别式的值为，求的值及该方程的解．
【答案】解：由题意知，，，
，
，
，
舍去，，
即，
当时，原方程化为：，
解得：，．
【解析】根据题意可得m≠0且△=1，代入求解可得m的值，据此可得对应的一元二次方程，然后利用因式分解法求解即可.
10．已知关于的方程
①求证：方程有两个不相等的实数根．
②若方程的一个根是求另一个根及的值．
【答案】①解：①=k2+8＞0
∴方程有两个不相等实数根
②设另一根为x1，由根与系数的关系：
∴，k=1
【解析】①先求出 =k2+8＞0 ，再证明即可；
②利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
【培优训练】
11．已知方程，当时，方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，当时
∴
故答案为：C．
12．已知关于x的一元二次方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程的根 B．-1可能是方程的根
C．0可能是方程的根 D．1和-1都是方程的根
【答案】D
【解析】∵方程 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴ 且 ，
∴ ，
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 ，即 时，
∴ 是 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ 和 不能同时是方程 的根，故D选项错误，符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴当 ， 时， 是方程 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D
13．已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：此方程的根的判别式 ，
解得 ，
是一元二次方程 的一个根，
，即 ，
对于任意实数m， 均成立，
令 ，
整理得： ，
由二次函数的性质可知，当 时，y取得最大值，最大值为 ，
即 的最大值等于 ，
故答案为：A.
14．有两个一元二次方程：M：ax2＋bx＋c＝0，N：cx2＋bx＋a＝0，以下四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N也有两根符号相同
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的实数根，那么这个根必是x＝1
【答案】D
【解析】A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程M的判别式 ﹥0，则方程N的判别式 ﹥0，所以方程N也有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；
B ．如果方程M有两根符号相同,那么两根之积 ﹥0,所以ac>0，即方程N的两根之积 >0，所以方程N的两根符号也相同，故本选项不符合题意；
C. 如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0，所以 ，所以 是方程N的一个根，不符合题意；
D. 如果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2＋bx＋c=cx2＋bx＋a，整理得(a-c)x2＝a-c，当a=c时，x为任意数；当a≠c时，x2=1，x=±1，符合题意；
故答案为：D．
15．已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（ ）
A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根；
B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
【答案】C
【解析】A．∵方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴△1=b2﹣4ac≥0．
∵△2=b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a=0也有两个实数根，不符合题意；
B．∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，∴ ，∴ 是cx2+bx+a=0的一个根，故不符合题意；
C．由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c=0①，cm2+bm+a=0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a=0，整理得：（a﹣c）（m2﹣1）=0．
∵a≠c，∴m2﹣1=0，∴m=±1，故C符合题意，D不符合题意．
故答案为：C．
16．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且x＞0，则的值为（ ）
A．1﹣ B．3﹣ C．1+ D．3+
【答案】C
【解析】∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴原式
故答案为：C
17．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k＞2
【解析】∵一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即22﹣4×1×（﹣k+3）＞0，
解得：k＞2．
故答案为：k＞2．
18．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于 ．
【答案】2
【解析】∵已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴△=4-4a（2-c）=0，整理得：4a（c-2）=-4，
∵方程ax2+2x+2-c=0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴等式两边同时除以4a得：，即：．
故答案为：2.
19．关于x的方程 ，无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【解析】原方程可化为 ，
当该方程总有两个不相等的实数根时，
则其根的判别式 ，
解得 ，
无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数p取何值，不等式 恒成立，
小于 的最小值，
由偶次方的非负性得： ，
，
的最小值为1，
，
故答案为： .
20．若关于x的一元二次方程 各项系数满足 ，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当 时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是 个．
【答案】3
【解析】因为a+b+c＝0，所以b＝﹣a﹣c，
△＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2-4ac=（a﹣c）2≥0，方程一定有实数根，
当a＝c时，△＝0，有两个相等的实数根，故①不符合题意，②符合题意；
当a、c同号时，根据一元二次方程根与系数的关系，两根的积是 ＞0，则方程有两个同号的实数根，又∵b＝﹣a﹣c，显然a、b异号，两根之和为﹣ ＞0．则两根一定都是正数，故③符合题意．
当a，b同号时，∵b＝﹣a﹣c，显然a与a+c异号，故a、c异号，两根的积是 ＜0，方程有两个异号实数根．故④符合题意．
故答案为：3．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+2）x+k2+2k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
【答案】证明：∵a＝1，b＝2k+2，c＝k2+2k
∴Δ＝（2k+2）2﹣4（k2+2k）
＝（4k2+8k+4）﹣（4k2+8k）
＝4，
∴Δ＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等实数根
【解析】先计算出判别式△的值，再进行判断即可.
22．a是大于零的实数，已知存在唯一的实数，使得关于的二次方程的两个根均为质数求的值．
【答案】解：设方程的两个质数根为 、 由根与系数的关系，有
，①
，②
，得 ，
则
由 知， 、 显然均不为2，所以必为奇数．
故 和 均为整数，且 ，
若 为奇数，则必 ，从而， 为合数，矛盾．
因此， 必为偶数．同理， 也为偶数．
所以， 和 均为整数，且 ．
不妨设 ，则 或 ．
当 时， ，得 ， ，均为质数．
当 时， ，得 ， ， 为合数，不合题意．
综上可知， ， ．
代入 得
依题意，方程 有唯一的实数解．
故 ．
解得 ．
23．已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a＝4，b和c是关于x的方程x2-mx+3m＝0的两根，求m的值．
【答案】解：等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b＝c，若b和c是关于x的方程x2-mx+3m＝0的两个实数根，
则△＝（-m）2-12m＝0，
解得：m＝0（舍去）或m＝12；
当a为腰时，则b＝4或c＝4，若b和c是关于x的方程x2-mx+3m＝0的两个实数根，
则42-4m+3m＝0，
解得：m＝16；
此时x＝4或12，三角形三边为4，4，12，
∵4+4＜12
∴不满足三角形三边关系，应舍去，
故m的值为12．
【解析】根据一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系求解即可。
24．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如x2=4和（x-2）（x+3）=0有且只有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”.
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ：（只填写序号即可）
①②x2+4x+4=0 ③
（2）关于x的一元二次方程x2-2x=0与x2+x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与
（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，求n的值.
【答案】（1）解：①②
（2）解：一元二次方程 x2-2x=0的解为，
当相同的根是x=0时，m-1=0，解得：m=1，
当相同的根是x=2时，4+2+m-1=0，解得：m=-5，
综上所述： m=1或-5.
（3）解：∵关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，
∴关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根是，
∴（x-n）（x+3）=0 的两个根是，
∵ 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，
∴n=-1或3.
【解析】【解析】解：（1）①，
解得：，
②，
解得：，
③，
，
解得：，
∴属于“同伴方程”的有①②.
故答案为：①②.
【分析】（1）利用“同伴方程”的定义一一判断即可；
（2）先求出，再分类讨论求解即可；
（3）先求出（x-n）（x+3）=0 的两个根是，再求解即可。
25．已知关于的方程
（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数的值；
（3）若一元二次方程满足，求的值．
【答案】（1）证明：当，即时，原方程为，
解得：；
当，即时，，
方程有实数根．
综上可知：无论取何值，此方程总有实数根．
（2）解：方程有两个整数根，
，，且，
为整数，为正整数，
或．
（3）解：由得，，且，
，
解得：或，
经检验或是原方程的解．
故的值为-3或0．
【解析】（1）由题意分两种情况：①当二次项系数为0时，即k+1=0，可得关于x的一元一次方程为-4x-4=0，解得x=-1；②当K+1≠0时，计算b2-4ac=（3k-1）2-4(k+1)(2k-2)=(k-3)2，由平方的非负性可得b2-4ac=(k-3)2≥0，根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可得原方程有两个实数根；结合两种情况可得：无论k取何值，原方程总有两个实数根；
（2）由题意用公式法解方程可得x1=-1；x2=-2+，根据方程有两个整数根且k为正整数可得k=1或k=3；
（3）由（2）可得x1=-1；x2=-2+，且k≠-1；把x1、x2代入已知的等式=3可得关于k的方程，解方程可求解.
【直击中考】
26．（2022·宜宾）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，
且.
故答案为：B.
27．（2022·西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴ ，
解得：m≥且m≠1.
故答案为：D.
28．（2022·巴中）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】A
【解析】∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：.
故答案为：A.
29．（2022·徐州）若一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，则c的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
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